高中奧林匹克物理競(jìng)賽解題方法4.等效法簡(jiǎn)介在某些物理問題中，一個(gè)過程的發(fā)展和一種狀態(tài)的確定往往是由多個(gè)因素共同決定的。在這種確定中，如果某些因素所起的作用和其他因素所起的作用相同，那么前一個(gè)因素和后一個(gè)因素就是等效的，它們可以互相替代，而不影響過程發(fā)展或狀態(tài)確定的最后結(jié)果。這種基于等效性用某些因素互相替代來(lái)研究問題的方法就是等效法。等效思維的本質(zhì)就是把比較復(fù)雜的實(shí)際問題，在同樣的效果下，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單熟悉的問題，從而突出主要因素，抓住其本質(zhì)，找出其中的規(guī)律。因此，在應(yīng)用等效法時(shí)，常常用較簡(jiǎn)單的因素來(lái)代替較復(fù)雜的因素，這樣就可以使問題簡(jiǎn)化，容易求解。例1：如圖4-1所示，水平面上有兩面垂直光滑壁面A、B，兩壁面相距d。一小球以初速度v0從兩壁之間O點(diǎn)向上拋出，與A、B發(fā)生彈性碰撞后，落回拋出點(diǎn)，求小球的投射角θ。 分析：彈性小球在兩壁之間的反彈運(yùn)動(dòng)可以等效為完整的斜投射運(yùn)動(dòng)（見圖）。所以解斜投射運(yùn)動(dòng)即可得解。由題意可得： 投射角可解 例二：質(zhì)點(diǎn)從A到B作直線運(yùn)動(dòng)，A、B兩點(diǎn)距離為L(zhǎng)。已知質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的速度為v0，加速度為a。若將L分成n等段，則質(zhì)點(diǎn)每經(jīng)過L/n的距離，質(zhì)點(diǎn)的加速度就增加a/n。求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B時(shí)的速度。
分析：從A到B的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，由于加速度是勻速增加的，所以此運(yùn)動(dòng)為非勻速加速直線運(yùn)動(dòng)。非勻速加速直線運(yùn)動(dòng)不能用勻速加速直線運(yùn)動(dòng)公式求解，但如果能用等效的勻速加速直線運(yùn)動(dòng)代替，則此運(yùn)動(dòng)可求解。由于加速度隨行進(jìn)距離的增加而勻速增加，所以由勻速加速運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)出公式可求得此運(yùn)動(dòng)中的平均加速度。例3：一只老鼠沿直線從老鼠洞里爬出來(lái)。已知爬行速度的大小與離老鼠洞中心的距離s成反比。當(dāng)老鼠到達(dá)離老鼠洞中心s1=1m的A點(diǎn)時(shí)，其速度的大小為。當(dāng)老鼠到達(dá)離老鼠洞中心s2=2m的B點(diǎn)時(shí)，其速度的大小為。老鼠從A點(diǎn)到B點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所花的時(shí)間為t=？分析：我們知道，汽車在恒功率行駛時(shí)，它的速度v和牽引力F成反比，即v=P/F。因此，老鼠的運(yùn)動(dòng)可以等效為一根彈簧在恒功率的外力牽引下的運(yùn)動(dòng)。由此分析可寫出，代入上式求解，得老鼠到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度。再根據(jù)外力所作的功，等于這個(gè)等效彈簧的彈性勢(shì)能的增加量。代入有關(guān)量可得，這道題也可以用鏡像法、類比法求解。例4如圖4-2所示，鉛丸內(nèi)有一個(gè)半徑為r的球形空腔，其表面與球面相切。鉛彈的質(zhì)量為M，在鉛彈中心與空腔中心的連線上，距鉛彈中心距離為L(zhǎng)處有一質(zhì)量為m的小球（可看作點(diǎn)質(zhì)量），求鉛彈對(duì)小球所受的引力。
分析：由于鉛球內(nèi)部有空腔，不能等效于球心的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。我們?cè)O(shè)想在鉛球的空腔內(nèi)填入一個(gè)與鉛球密度相同的小鉛球△M，再在小球m對(duì)稱的另一側(cè)放置另一個(gè)一模一樣的小鉛球△M。這樣，兩個(gè)相加的小鉛球?qū)π∏騧的引力就可以抵消，空腔鉛球就變成了實(shí)心鉛球，其結(jié)果等效。有空腔的鉛球?qū)的引力，等效于實(shí)心鉛球和另一側(cè)△M對(duì)m的引力之和。設(shè)空腔鉛球?qū)的引力為F，實(shí)心鉛球和△M對(duì)m的引力分別為F1和F2。則F=F1－F2①經(jīng)計(jì)算可知：，故 ②③將②和③代入①，解得腔體鉛球?qū)π∏虻闹亓Α?例5如圖4-3所示，小球在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的光滑斜面上方自由滑動(dòng)，當(dāng)它滑至下方時(shí)與擋板相撞，并向反方向反彈。設(shè)每次與擋板碰撞后的速度為碰撞前的速度，計(jì)算小球從開始滑行到最后停在斜面下方所經(jīng)過的總距離。 分析 小球碰撞擋板后的速度小于碰撞前的速度，說明在碰撞過程中有能量損失，每次反彈的距離都小于上一次，小球一步步向擋板接近，最后停在擋板處。我們可以分別計(jì)算出每次碰撞的距離L1，L2，…，Ln，那么小球運(yùn)動(dòng)的總距離為，然后用等比級(jí)數(shù)求和公式求出結(jié)果，但這種解法很麻煩。我們假設(shè)小球在與擋板碰撞時(shí)不損失能量，原來(lái)?yè)p失的能量就看作是小球運(yùn)動(dòng)過程中克服阻力所做的功。最后的結(jié)果是一樣的。由于阻力在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中都是存在的，所以可以利用摩擦所做的功來(lái)計(jì)算距離。
設(shè)小球在第一次碰撞前后的速度分別為和，碰撞后反彈的距離為L(zhǎng)1，則碰撞中損失的動(dòng)能為。根據(jù)等效性可得等效摩擦力。通過此結(jié)果可知，等效摩擦力與滑道長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，所以在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，等效摩擦力都是相同的。以整個(gè)運(yùn)動(dòng)作為研究過程，求解小球所行進(jìn)的總距離。本題也可以用遞歸的方法求解，讀者可以試一試。例六如圖4-4所示，一只小球被兩根等長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)導(dǎo)線懸掛著。設(shè)已知L和，當(dāng)小球垂直于紙張時(shí)，它的周期為。分析本題為雙線擺，我們知道單擺的周期，若雙線擺的長(zhǎng)度相當(dāng)于單擺的長(zhǎng)度，便可算出雙線擺的周期。把雙線擺的長(zhǎng)度等效于單擺的長(zhǎng)度，則這個(gè)雙線擺的周期為 例8 如圖4-5所示，由一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的剛性輕桿，桿端裝有小球組成的單擺，做振幅很小的自由振動(dòng)，若在桿的中點(diǎn)固定另一相同的小球，則該單擺就變成了異形復(fù)擺。求該復(fù)擺的振動(dòng)周期。 解析復(fù)擺的物理模型屬于大學(xué)普通物理的內(nèi)容，由于中學(xué)階段知識(shí)水平所限，不能直接求解，如果能進(jìn)行等效操作，將其轉(zhuǎn)化為中學(xué)生熟悉的單擺模型，那么求解周期就會(huì)變得簡(jiǎn)便易行。設(shè)想有一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)0的輔助單擺，它的周期和原復(fù)擺相同。兩擺以擺角從靜止開始擺動(dòng)，當(dāng)它們擺到與垂直方向成一定角度時(shí)貝語(yǔ)網(wǎng)校，它們有相同的角速度，對(duì)兩擺應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，于是得到 對(duì)于單擺，我們把兩個(gè)方程的解結(jié)合起來(lái)，便得到原復(fù)擺的周期。舉例來(lái)說，9 一根厚度均勻的U形管，內(nèi)盛某種液體，開始靜止在水平面上，如圖4-6所示。已知：L=10cm。當(dāng)此U形管以4m/s2的加速度向右水平運(yùn)動(dòng)時(shí)，求兩垂直管內(nèi)液面的高度差。
（g=10m/s2） 分析：當(dāng)U型管加速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以把液體看作放在一個(gè)等效重力場(chǎng)中， 的方向?yàn)榈刃е亓?chǎng)的垂直方向，此時(shí)兩邊的液面應(yīng)該與等效重力場(chǎng)的水平方向平行，也就是垂直于 的方向。設(shè) 的方向與g方向的夾角為 ，那么從圖4-6可以看出，液面與水平方向的夾角為 ，所以， 例10：垂直放置一光滑絕緣的圓形軌道，半徑為R，在其最低點(diǎn)A處放置一個(gè)質(zhì)量為m的帶電小球。整個(gè)空間中有均勻電場(chǎng)，使小球受到大小為 、方向水平向右的電場(chǎng)力。現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度，使小球沿軌道向上運(yùn)動(dòng)。若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，求。分析：小球同時(shí)受到重力和電場(chǎng)力的作用，此時(shí)也可以認(rèn)為小球處在一個(gè)等效重力場(chǎng)中。小球所受的等效重力是等效重力加速度與垂直方向的夾角，如圖4-7A所示。所以B點(diǎn)是等效重力場(chǎng)中軌道的最高點(diǎn)，如圖4-7所示。根據(jù)題意，小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。利用等效重力場(chǎng)中機(jī)械能守恒定律，將小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度代入上式，可得解為小球的初速度。例如，11空間中某一體積為V區(qū)域內(nèi)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度（E）定義如圖4-8所示。現(xiàn)在有一個(gè)半徑為a的金屬小球，原來(lái)不帶電，現(xiàn)在把它放在一個(gè)帶電荷為q的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中。點(diǎn)電荷位于金屬球外側(cè)，距球心距離為R，試計(jì)算此球內(nèi)金屬球表面感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度。
分析金屬球表面感應(yīng)電荷在金屬球內(nèi)部產(chǎn)生的電場(chǎng)。由靜電平衡知識(shí)知道，金屬球內(nèi)部一個(gè)電荷為q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)大小相等，方向相反。因此，求金屬球表面感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相當(dāng)于求金屬球內(nèi)部點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)。根據(jù)平均電場(chǎng)強(qiáng)度公式，設(shè)金屬球帶電荷q，密度為，則帶電球在q點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為，故方向從O至q。例11 一個(gè)質(zhì)量為m的小球，帶電量為Q，在場(chǎng)強(qiáng)為E的水平均勻電場(chǎng)中，獲得垂直向上的初速度為。若忽略空氣阻力和重力加速度g隨高度的變化，求小球運(yùn)動(dòng)過程中的最小速度。分析：若將電場(chǎng)力Eq與重力mg合為一個(gè)力，則小球相當(dāng)于只受到一個(gè)力的作用。由于小球的初速度與所受的合外力成鈍角，因此小球的運(yùn)動(dòng)可以看作在等效重力（即合外力）作用下的斜拋運(yùn)動(dòng)。做斜拋運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)其速度方向垂直于垂直方向時(shí)，其速度最小，這是斜拋運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)。可見，用這種等效方法可以快速得到結(jié)果。電場(chǎng)力與重力的合力方向如圖4-9所示。從圖中幾何關(guān)系可以看出，小球從O點(diǎn)拋出后，沿y方向做勻速減速直線運(yùn)動(dòng)，沿x軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)y軸方向的速度為零時(shí)，小球只在x軸方向有速度，此時(shí)小球的速度最小。因此，這道題也可以用向量三角形求極值的方法來(lái)解決，讀者可自行解答。
例十二如圖4-10所示，R1、R2、R3為固定電阻，但阻值未知，Rx為電阻箱，當(dāng)Rx為時(shí)，通過它的電流為，當(dāng)為時(shí)，求電阻值。電源電動(dòng)勢(shì)、內(nèi)阻r以及電阻R1、R2、R3均為未知量。根據(jù)題目給出的電路模型，方程個(gè)數(shù)顯然少于未知量個(gè)數(shù)，因此可以采用改變電路結(jié)構(gòu)的方法。將圖4-10所示虛線框內(nèi)的電路看作一個(gè)新的電源，其等效電路如圖4-10 A所示。該電源電動(dòng)勢(shì)為，內(nèi)阻為。根據(jù)電工知識(shí)，新電路不改變Rx與Ix的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且有 ① ②③ 由①和②可得，代入③可得 例13 圖4-11所示的兩個(gè)電阻電路A、B具有這樣的特點(diǎn)：對(duì)任意電阻RAB、RBC和RCA，均可確定相應(yīng)的電阻Ra、Rb和Rc。因此在對(duì)應(yīng)點(diǎn)A與a，B與b，C與c處的電位相同，流過相應(yīng)點(diǎn)（如A與a）的電流也相同。利用這些條件，證明：，并證明對(duì)于Rb和Rc也得到類似的結(jié)果。 利用以上結(jié)果求圖4-11中P、Q點(diǎn)間的電阻值 A. 分析：圖4-11中A、B兩個(gè)電路的連接方式分別稱為三角形連接和星形連接。只有當(dāng)兩電路任意兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的總電阻相等時(shí)，兩電路才能等效，對(duì)應(yīng)點(diǎn)A、a、B、b與C、c才有等電位。由Rab=RAB，Rac=RAC，Rbc=RBC可知，對(duì)于ab有①。同理，對(duì)于ac和bc有②③。將①+②－③相加可得：再經(jīng)①－②＋③和③+②－①，整理可得Rb與RC的表達(dá)式。
接下來(lái)我們利用上面的結(jié)果計(jì)算圖 4-12B 中 P 點(diǎn)、Q 點(diǎn)之間的電阻。用星型連接法代替三角形連接法，可以得到如圖 4-12B 所示的電路。PRQS 回路為平衡的惠斯通電橋，因此 RS 之間沒有電流，因此等效于圖 4-12C 所示的電路。因此將這三個(gè)并聯(lián)電阻相加即可得到 PQ 之間的總電阻 RPQ。例 14如圖 4-13 所示，將一個(gè)矩形金屬線框 abcd 放置在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B=0.6T 的均勻磁場(chǎng)中?？蚣芷矫娲怪庇诖鸥袘?yīng)強(qiáng)度方向，其中 ab 和 bc 各為一段均勻電阻導(dǎo)線 Rab=5Ω，Rbc=3Ω，線框其余部分的電阻可忽略不計(jì)?，F(xiàn)設(shè)導(dǎo)體EF放在ab與cd邊上，其有效長(zhǎng)度L=0.5m，且垂直于ab，其電阻為REF=1Ω，讓它從金屬框端部ad以勻速V=10m/s向右滑動(dòng)。當(dāng)EF滑過ab長(zhǎng)度的4/5時(shí)，從aE端部流過的電流為多少？分析當(dāng)EF向右移動(dòng)時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。當(dāng)EF滑過ab長(zhǎng)度時(shí)，電路圖可等效為圖4-13a所示的電路。根據(jù)題目，可計(jì)算出EF產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。此時(shí)電源內(nèi)阻為導(dǎo)體EF的電阻，所以電路中總電阻為 電路中總電流為 ∴通過aE的電流為15 例如有一塊薄平凹透鏡，其凹面半徑為0.5m，玻璃折射率為1.5，平面上鍍有反射層，如圖4-14所示，在此系統(tǒng)的左主軸上放置一物體S，S距系統(tǒng)為1。
5m，S的像在哪里？ 分析：這道題可以等效為物點(diǎn)S先經(jīng)薄平凹透鏡成像，它的像就是平面鏡的物體，經(jīng)平面鏡成像的像就是薄平凹透鏡成像的物體，根據(jù)成像定律，可以逐一計(jì)算出最后像的位置。 根據(jù)以上分析，先考慮物體S經(jīng)平凹透鏡成像，根據(jù)公式，在左邊成像，為虛像，該虛像經(jīng)平凹透鏡成像后，它的像距就是在右邊成像，為虛像。 再經(jīng)平凹透鏡成像，在系統(tǒng)右邊0.375m處成像。 這道題也可以用假設(shè)法求解。 針對(duì)性訓(xùn)練 1、一個(gè)半徑為R的金屬球與地面相連。如圖 4-15 所示，在距球心 L 處有一點(diǎn)電荷，其電荷為+q。求（1）球上感應(yīng)電荷的總電荷量；（2）q 上所受的庫(kù)侖力。 2. 如圖 4-16 所示，設(shè) ，求 AB 間的電阻。 3. 電路如圖 4-17 所示，當(dāng) 時(shí)，求 AB 間的等效電阻。 4. 有 9 個(gè)電阻器連接在一起形成圖 4-18 所示的電路，圖中數(shù)字的單位為 ，求 PQ 點(diǎn)間的等效電阻。 5. 對(duì)于圖 4-19 所示的電路，求 AB 點(diǎn)間的等效電阻。 6. 對(duì)于圖 4-20 所示由 5 個(gè)電阻器組成的網(wǎng)絡(luò)，求 AB 點(diǎn)間的等效電阻。 7. 由 7 個(gè)阻值均等于 r 的電阻器組成的網(wǎng)絡(luò)元件如圖 4-21a 所示。將這些網(wǎng)元連接起來(lái)所構(gòu)成的無(wú)限大梯形網(wǎng)絡(luò)如圖 4-21b 所示。求 P 點(diǎn)、Q 點(diǎn)間的等效電阻。 8.圖 4-22 給出了一束交流電隨時(shí)間變化的圖像，此交流電的有效值為（ ）ABCD 9.磁流體動(dòng)力發(fā)電機(jī)的原理圖如圖 4-23 所示。橫截面積為正方形的管道，長(zhǎng)度為 L高中物理等效半徑，寬度為 a，高度為 b，上下兩邊為絕緣體，距離為 a 的兩邊為電阻可忽略的導(dǎo)體，這兩根導(dǎo)體邊接負(fù)載電阻 RL。
將整個(gè)管道置于均勻磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于上下且向上。已有的電離氣體（帶正負(fù)電的粒子）連續(xù)穩(wěn)定地流過管道。為簡(jiǎn)化問題，假定截面上各點(diǎn)的流速相同。已知流速與電離氣體上的壓強(qiáng)成正比；而不管有無(wú)磁場(chǎng)，管道兩端電離氣體的壓強(qiáng)差都維持在p。設(shè)無(wú)磁場(chǎng)時(shí)電離氣體的流速為。求有磁場(chǎng)時(shí)流體發(fā)生器的電動(dòng)勢(shì)的大小。已知電離氣體的平均電阻率為。10.一個(gè)均勻的細(xì)導(dǎo)線環(huán)，總電阻為R，半徑為a，內(nèi)充滿垂直于環(huán)面的均勻磁場(chǎng)。磁場(chǎng)隨時(shí)間以速率K均勻增大，環(huán)上A、D、C點(diǎn)位置對(duì)稱。電流表G連接A、C點(diǎn)，如圖4-24所示。設(shè)電流表內(nèi)阻為RG，求通過電流表的電流大小。 11、一個(gè)方線框abcd固定在均勻磁場(chǎng)中，每條邊為L(zhǎng)1。其中，ab為一端電阻為R的均勻電阻絲，另三邊為電阻可忽略的銅絲。磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面且向內(nèi)?，F(xiàn)有一根與ab段材質(zhì)、厚度、長(zhǎng)度相同的電阻絲PQ，裝在線框上，如圖4-25所示。它以恒定的速度從ad滑向bc，當(dāng)PQ滑過1/3L的距離時(shí)，通過aP段電阻絲的電流為多少？方向是什么? 12、如圖4-26所示，沿x軸放置一塊細(xì)長(zhǎng)的導(dǎo)體板，板面處于水平位置，板的寬度為L(zhǎng)，電阻可忽略不計(jì)，它是一根圓弧形均勻?qū)Ь€，它的電阻為3R，圓弧所在平面垂直于x軸，圓弧的兩端a、d分別與導(dǎo)體板的兩個(gè)側(cè)面相連并能在導(dǎo)體板的上面滑動(dòng)。
圓弧ae=eb=cf=fd=（1/8）圓周長(zhǎng)，圓弧bc=（1/4）圓周長(zhǎng)，一只內(nèi)阻為Rg=nR的很小的電壓表位于圓弧的中心O處，電壓表兩端用電阻可忽略的直導(dǎo)線分別與b、c點(diǎn)相連。整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直向上的均勻磁場(chǎng)中。當(dāng)導(dǎo)體板靜止，圓弧導(dǎo)線和電壓表沿x軸以恒定速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）計(jì)算電壓表的讀數(shù)；（2）計(jì)算e、f點(diǎn)間的電位差（Ue-Rf）。 13、如圖4-27所示高中物理等效半徑，一根長(zhǎng)度為2πa，電阻為r的均勻細(xì)導(dǎo)線首尾相連，組成一個(gè)半徑為a的圓?，F(xiàn)把電阻為R的電壓表和電阻可忽略的導(dǎo)線分別接在如圖a、b所示的圓上的兩點(diǎn)上，這兩點(diǎn)間的圓弧與圓心的夾角為θ。設(shè)有一個(gè)沿垂直于圓平面的方向均勻變化的均勻磁場(chǎng)，已知磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率為k，則a、b兩種情況下電壓表的讀數(shù)是多少？ 14、平凸透鏡的焦距為f，其平面鍍有銀?，F(xiàn)把一個(gè)高度為H的物體垂直于主軸放置在距透鏡凸面2f處，其下端位于透鏡主軸上，如圖4-