原子核為什么會自發(fā)衰變？為什么說核的α衰變是一個純粹的量子過程？如何估算一個原子核的壽命？
4月16日12時，《張朝陽的數(shù)學課》第139期播出，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐陣搜狐視頻直播間，先介紹了原子核以及核α衰變的模型，事實上前者是α粒子隧穿庫侖勢壘的過程。借助上一節(jié)課估算得到的方勢壘透射系數(shù)，張朝陽近似估算了α衰變的半衰期，發(fā)覺其中的規(guī)律可以抒發(fā)為一個與核電荷數(shù)、半徑以及衰變能相關的線性函數(shù)。
原子核α衰變是一個量子隧穿過程
步入近代，繼原子的核外電子排布后，量子化學學取得的又一成就是對原子核化學性質的描述。如今我們曉得，原子核由中子和質子組成，核力努力將諸多核子禁錮在一起，而核子之間的電磁互相作用使她們互相抵觸。當兩者達到平衡時，原子核就產(chǎn)生了。并且作為強互相作用的剩余部份，核力的力程——也就是它起作用的距離——十分有限。當原子核容納了越來越多的核子，規(guī)格顯得越來越大時，核力的禁錮療效漸漸衰減。
與其相反，電磁互相作用例如典型的庫侖力的作用范圍可以延展到無窮遠。于是很自然地，隨著規(guī)格的減小，庫侖敵視漸漸壓倒核力的禁錮作用，原子核漸漸顯得不穩(wěn)定。諸如在典型的重核鈾238中，238個核子之間可能會有2個質子和2個中子一起產(chǎn)生相對獨立的集團——即一個氦核，又被稱為α粒子。接出來，這個氦核在庫侖力的作用下逐步向外行進，從結果上看即是從鈾238的原子核中飛射出一個氦核：
這個過程在數(shù)學上稱為原子核的α衰變現(xiàn)象，它在自然界中普遍存在，是重核不穩(wěn)定性的主要彰顯。
值得注意的是，氦核漸漸遠離并不是一個精典化學的過程，而是一個量子隧穿的過程。事實上我們可以用一個簡單的模型來描述氦核的運動。以鈾原子核剛體的位置為原點構建座標系，首先在近距離處，氦核感遭到一個很強的核力，而庫侖力的療效近似可以忽視。為了簡單起見，我們用一個深勢阱來表征這個禁錮作用。而當氦核稍為跨過核的邊界（記為r_0處）時，核力會迅速衰減，此時變?yōu)閹靵鰟萜鹬鲗ё饔谩＜偃缥覀兒鲆曔@個轉變的細節(jié)，將核力作用部份處理成方勢阱，即可以得到如圖所示的勢場。
我們的模型即是一個能量為E的氦核在這個勢場上運動。首先由能量守恒和相對論質能公式
可以恐怕
注意這兒的質量都指的是靜止質量。再來恐怕庫侖勢壘的高度，也就是庫侖勢在r_0處的取值。按照上面的描述，我們覺得在此處α粒子將逐步脫離其余234個核子（一個釷核）的撕扯，開始獨立運動。也就是說，此處可以近似看作是釷核的表面。而將釷核近似看作圓球時，它的直徑可以用中重核直徑公式近似給出
代入到庫侖勢中，
這兒我們借助了真空介電常數(shù)
以及元電荷電量
可見事實上
假如按精典化學的觀點，α粒子根本不可能跨過這道“墻”跑到外界，但在支配量子熱學的框架下，這是可能的。
（張朝陽描述α粒子隧穿庫侖勢壘的過程）
以方勢壘近似庫侖勢壘求解衰變機率
在上一節(jié)課中，我們早已看過了粒子跨過“墻”的實例。當一個平面波的行進途中遇到一個方勢壘，它有機率會被反射之后反向傳播，但也有幾率會穿透這個勢壘繼續(xù)往前。上面早已估算得到，粒子面對方勢壘的透射系數(shù)為：
其中V是方勢壘的高度，l是勢壘的長度，系數(shù)
再看α粒子隧穿的過程，事實上，如圖所示，庫侖勢壘可以近似地被看成是由一系列方勢壘（黃色長圓形）并在一起組合而成。α粒子要穿越庫侖勢壘，即是要依次穿越每位方勢壘，直至穿出整個庫侖勢場。
為了完成這樣一個界定，首先要確定每位方勢壘的厚度。一方面，從方勢壘透射系數(shù)的物理表達式中可以見到，穿越方勢壘的機率與勢壘的長度直接相關，且勢壘越寬時，穿透勢壘的機率會越小。為了防止估算的紛擾和化學上一些次級效應的引入，我們應當盡可能地取到足夠寬的界定。但另一方面，為了足夠精確，方勢壘的疊加應當盡可能地還原出原先庫侖勢的形狀。事實上，這與用小方塊面積求和去迫近積分的思路是一致的。因此，這個長度又不能太大而是盡可能地取小?？梢钥匆?，恰當?shù)剡x定長度以平衡二者將是求解問題的關鍵。
首先在透射系數(shù)的估算中，我們希望選定一個合適的長度Δl促使近似
創(chuàng)立。相應的條件是
借助勢壘最低點計算系數(shù)
這兒α粒子的質量近似以核子的平均質量
作恐怕。普朗常數(shù)與光速的乘積是一個數(shù)學學常數(shù)
其次，估算粒子出射勢壘的位置r_c。借助方程
可得
我們希望選定的長度才能讓我們盡可能迫近庫侖勢壘的形狀，要求是
綜合這兩個約束，一個合適的選定方案是取
此時有
在量級上滿足我們對近似的要求。張朝陽指出，由于本節(jié)課上我們希望解決的是一個實際的數(shù)學問題，而不僅僅是解答一道習題，后者在估算上常常比較復雜，須要耐心和悉心。同時須要重視對化學量的恐怕，借助對量的掌握去認識和捉住最主要的數(shù)學內容。
在這個近似和界定下，每一個方勢壘的透射系數(shù)可以寫為
同樣借助最低點恐怕
所以，
（注：更嚴謹?shù)奶幚矸绞绞窍确e分再比較作近似，以防止在r_c附近的瑕疵，為了防止估算繁多，這兒及后面僅用了具有代表性的值以說明近似結果）可以看見，每經(jīng)過一個勢壘，α粒子穿透的機率都是指數(shù)級地被抬高。接出來我們忽視一些次級效應，將粒子依次穿越每位方勢壘的過程都覺得是獨立進行的，于是有粒子穿越整個庫侖勢壘的機率近似為
指數(shù)部份的求和展開來寫是
可以把它看成是對積分
的迫近。將這個積分值定義為γ，則有
（張朝陽推論α粒子穿透庫倫勢壘的機率）
半衰期的線性公式
事實上原子核衰變，實驗上發(fā)覺，α衰變的半衰期可以近似總結為一個僅與衰變能量和母核整體性質相關的線性函數(shù)。為了從理論上證明這一點，我們首先估算上一節(jié)中指數(shù)的積分
為了估算這個積分，首先做換元
得到
通分后，也即
接出來注意到
首先有
對正弦函數(shù)y=cosθ，假如
時，應當有
然而值得注意的是，此時r_c與r_0的比值并不足以大到促使上述近似才能挺好地創(chuàng)立。為了更仔細地討論這個問題原子核衰變，可以記
借助
曉得偏離量δ滿足
因為偏離量很小，所以應當有
即積分的結果
進一步通分，借助r_c的定義，有
及
所以有
其中k_1和k_2是由化學學常數(shù)決定的兩個系數(shù)。假如代入具體的數(shù)值，可以計算到
在整個討論中，事實上是在做一個半精典的近似去解決實際的化學問題。在半精典的圖象中，α粒子將以一定速率在原子核內自由聯(lián)通，之后不斷撞擊庫侖勢壘。近似地，假若記這個聯(lián)通速率為v，單位時間內粒子與勢壘的碰撞次數(shù)可以近似恐怕為
后面我們早已估算了單次碰撞的隧穿機率，即有衰變速度
假如記鈾238的粒子數(shù)為N(t)，它應該滿足微分等式
即
所謂半衰期τ，即粒子衰變?yōu)槌跏剂Ｗ訑?shù)一半的時間，即滿足等式
可以解得
對兩側取對數(shù)，有
因為對不同的核，α粒子的速率v變化事實上并不大，取對數(shù)后可以近似地看成常數(shù)k_0。于是有
此即我們想要求得的線性關系。
（張朝陽推論α衰變半衰期的線性公式）
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本節(jié)課相關視頻如下：
總透射率的估算
用微積分的思想表示總透射率
透射率公式的近似
