物理建模：車輛停車距離的影響誘因及關系的探究
一、發現問題，提出問題。
不管是駕駛車輛還是騎單車（本文主要討論車輛），當發生路況有變化或碰到突發情況時須要緊急停車，停車距離（即從發覺情況、踩下煞車到車輛停止運動所聯通的距離）是很重要的誘因，比如：當你開著一輛車忽然發覺離你100m處有一個障礙物時，你踩下煞車的停車距離若是120m滑動摩擦力的影響因素，這便會遇見危險。據悉，行車過程中的“安全距離”也與此有關。為此，停車距離是一個很有必要討論的問題。這么，停車距離都與什么誘因有關呢？它們之間又有如何的數目關系呢？讓我們一上去進行探究。
二、分析問題、建立模型并進行估算。
其實，停車距離有著好多影響誘因，忽視掉一些影響甚少的誘因后，經過整理，主要探究以下誘因：車輛的行駛速率，人的反應時間，車和人的質量，滑動磨擦力（包括橋面與內胎的動磨擦質數、車和人的總質量、重力加速度）和空氣阻力（包括車輛的風阻系數、空氣的密度、汽車的迎風面積和時速的平方）。下邊我們開始進行建模：（注意：以下的所有估算過程均忽視單位！數值按取國際單位時的數值進行估算！）
設停車距離為S，反應距離（即從發覺情況到踩下煞車這一段反應時間所聯通的距離）為x?，制動距離為x（從踩下煞車到車輛停止運動），則有S＝x?＋x，下邊我們分別來探究x?和x：
（一）反應距離x?：
設車輛踩煞車前的勻速行駛速率為v，其實，在踩下煞車之前，車輛是以速率v勻速行駛的，這段行駛的時間即為反應時間，我們記為t?，則有x?＝vt?，因為一個人的反應時間基本上是不變的，因而我們可以將t?看作是一個常數，這么x?就是v的一個函數，記作x?＝f（v）＝vt?（t?是常數，v＞0）.
（二）煞車距離x：
因為減速過程中所受的阻力可以看作是一定的（前面會介紹），所以加速度a是一定的，車輛做勻減速直線運動。所以，估算x可以用數學學勻變速直線運動公式中的“速度位移關系式”，即“v2-v?2＝2ax”：在此探究情景下，末速率（公式中的v）為0，初速率（公式中的v?）為v，制動距離為x，另外，因為加速度方向與速率方向相反，所以加速度的大小a'＝－a，故x＝－v2/2a＝－v2/（－2a'）＝v2/2a'，而x也可以看作是v的一個函數，記作x＝g（v）＝v2/2a'（a'為常數，v＞0）.
而加速度大小a'又怎么去表示呢？求a'須要用到牛頓第二定理F（合）＝ma'，則a'＝F（合）/m.其中m，即總質量，為人的質量和車的質量之和，即m＝m（人）＋m（車）.而F（合）則較為復雜，它由橋面與車輪間的滑動磨擦力和空氣阻力組成，即F（合）＝F（f）＋F（空氣阻力），下邊我們來分別探究。
（1）滑動磨擦力F（f）：
這兒有必要說一下制動的原理：大部份小矯車都采用液壓制動，由于液體是不能被壓縮的，才能幾乎100%的傳遞動力，基本原理是駕駛員踩下煞車踏板，向制動總泵中的制動油施加壓力，液體將壓力通過管道傳遞到每位車輪制動卡鉗的活塞上，活塞驅動制動卡鉗夾緊制動盤因而形成巨大磨擦力令汽車減速。當遇見緊急情況時，駕駛員通常會最大限度地踩下煞車板，使制動卡鉗幾乎完全抱住輪胎，使車胎停止轉動。但在現實中，輪轂是不會停止轉動的。由于假如完全停止轉動，會造成車輛的控制力增加，顯得不好控制，同時與地面的附著力也會增加，會導致一定的危險，所以現今大部份車輛都裝有剎車防抱死系統（ABS）。作用就是在車輛剎車時，手動控制剎車器剎車力的大小，使車輪不被打滑，處于接近打滑、邊包邊滑的狀態。但因為磨擦力極大部份都是滑動磨擦力，且為了便捷運算，以下的估算過程便將剩下的一小部份滾動磨擦忽視不計了，這兒特做說明。
滑動磨擦力＝動磨擦質數×正壓力——F（f）＝μF（N）＝μmg，其中m＝m（人）＋m（車），上文早已說過了；而動磨擦質數μ由橋面材質決定，經過查閱資料，通常來說正常干燥混凝土橋面、水泥橋面、瀝青橋面的動磨擦質數大概都在0.6左右，進行估算時可按0.6去算。g即為重力加速度，約為9.8m/s2.
（2）空氣阻力F（空氣阻力）：
這個就較為復雜了，經過查閱可知空氣阻力的估算公式F（空氣阻力）＝(1/2)CρSv2.其中，C為空氣阻力系數（車輛的風阻系數）；ρ為空氣密度；S物體迎風面積；v為速率（此v隨著減速而變化，不同于上面所說的v，為防止混淆在下文中記作v'）。不難看出，C、ρ、S都是常數，所以F（空氣阻力）是v'的一個函數，記作F（空氣阻力）＝h（v'）＝(1/2)CρSv'2（C、ρ、S為常數，v'＞0）。這個很不好處理，由于速率是在不停變化的，所以空氣阻力也在不停變化，會造成加速度變化，致使整個過程不是勻變速直線運動，對于我們現階段的知識儲備是難以解決的，因而，我們要想出一個方式把空氣阻力確定在一個固定的值，又能最大限度地減少偏差。我們是這樣處理的：先解決一下那些常數，通過查閱資料可知一半小貨車的風阻系數C約為0.3，通常情況下空氣密度為1.293（單位：kg/m3），迎風面積S可簡略地算為車寬×車高（約1.65×1.45＝2.3925），帶入數據得到F（空氣阻力）＝h（v'）＝0.'2，因為空氣阻力相對于滑動磨擦力來說很小，所以就是在有空氣阻力的情況下，運動也近乎是（但不是）勻減速直線運動，速率是均勻增大的，所以我們可以取速率的中間值帶入函數h（v'）作為全程所受空氣阻力的恐怕值，即h?（v/2），h?（v/2）＝0.（v/2）2＝0.2.（帶上這些常數，空氣阻力的大小即為h（v/2）＝(1/8)CρSv2）
鋪墊了那么久，我們如今來進行最終的總估算：
S＝x?＋x＝f（v）＋g（v）＝vt?＋（v2/2a'）＝vt?＋（v2/2a'），將a'＝F（合）/m＝［F（f）＋F（空氣阻力）］/m＝［μmg＋h（v/2）］/m＝［μmg＋(1/8)CρSv2］/m＝μg＋（CρSv2）/8m代入并整理可得：
S＝vt?＋（4mv2）/（8μmg＋CρSv2）
（為結果簡約，其中m＝m（人）＋m（車）便未代入）
三、問題的解決與反省。
最終的表達式即使下來了！此表達式中不僅v其余均可看作常數（考慮到了兩點：1.S原本就與初速率v關系最大；2.除v外的其余的量在同樣的人使用同樣的車在同一情況下是不變的。其實，須要的時侯可以覺得S是這種量的一個多變量函數，依照具體情況而定，比如下雪造成μ的變化、人反應慢了造成t?的變化等等），所以將S看作是v的函數，便記作S＝k（v）＝vt?＋（4mv2）/（8μmg＋CρSv2），下邊我們趕緊用它來解決問題吧！
情景1：如果是最常見、普通的小貨車在道路上正常行駛，沒有下雪，人的反應時間算作0.5s，輪轂與地面的動磨擦質數為0.6，車的質量為1.5t，車上坐一大人一男孩，二人的質量之和為100kg，汽車在道路上的行駛速率為108km/h（30m/s），汽車的風阻系數取0.3，迎風面積算作2.4，空氣密度取1.3，g取10，將這種數據代入公式，可算得停車距離約為89.19m.
情景2：假如情景1中下了雨，動磨擦質數減少至0.3，其余條件不變，則帶入數據后可算得停車距離約為161.78m，所以下雨要減低速率行駛，否則易發生危險。
情景3：假如情景1中的小貨車換為了大客車，風阻系數C取0.9，S取7，v取20滑動摩擦力的影響因素，m取8t（車和人的總重），其余條件不變，則帶入數據后可算得停車距離約為43.05m.（實際上是要比這個長的，由于大部份客車是沒有ABS、ESP、盤剎、排氣剎車、液力緩速器等配件的，包括轎車本身的其他誘因就會導致一些復雜的影響致使公式算下來偏差較大）