?《物理與工程》期刊近期在線發(fā)表了一篇論文，從接收到發(fā)表僅僅用了5天，作者覺(jué)得這是論文刊發(fā)的最快紀(jì)錄。論文的內(nèi)容是從最簡(jiǎn)單的古典微分幾何知識(shí)基礎(chǔ)上物理小論文500字，怎么理解量子熱學(xué)和熱力學(xué)中的一些前沿問(wèn)題。本文章的主要部份則是介紹作者在科研小學(xué)習(xí)和使用微分幾何20余年以后，自覺(jué)得成功反哺教學(xué)的兩個(gè)典型成果。
撰文|劉全慧（理論化學(xué)博士，四川學(xué)院化學(xué)與微電子科學(xué)大學(xué)院士）
1論文刊出最快的世界紀(jì)錄：五天
近來(lái)有篇小論文，從投出到刊出的時(shí)間，五天，創(chuàng)下了中國(guó)(或許國(guó)際上)學(xué)術(shù)期刊發(fā)文章速率的最快歷史紀(jì)錄。這就是《物理與工程》(教育部高等中學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)學(xué)術(shù)期刊，復(fù)旦學(xué)院編輯出版)上的拙作《懂幾何者，在數(shù)學(xué)學(xué)中無(wú)往而不利》。2021年3月13日收到，18日上線。這篇文章，既不是投稿，也不是征稿，而是《物理與工程》編輯部和筆者商量為她們的陌陌公眾號(hào)寫(xiě)篇一篇文章，文章草成后，編輯部覺(jué)得是“好文章”然后“升艙”到雜志上的結(jié)果。炮制這篇文章只用了三天，并且積累素材卻持續(xù)了20來(lái)年，內(nèi)容作為措詞也蘊(yùn)育了一段時(shí)間。同一時(shí)間段內(nèi)，投給《大學(xué)化學(xué)》的一篇文章《幾何視角下的熱力學(xué)》也深受好評(píng)，編輯部將安排在某一期的首篇推出。
圖1中國(guó)學(xué)術(shù)期刊發(fā)文章速率的最快歷史紀(jì)錄：五天。
筆者的人生中有少數(shù)幾個(gè)點(diǎn)不是這么昏暗，竟然都和幾何有點(diǎn)關(guān)系。不僅論文、經(jīng)費(fèi)等和謀生直接相關(guān)的俗務(wù)外，還有如下一些：
1.指導(dǎo)了幾位大專生進(jìn)行的研究，最好的三篇論文都和幾何相關(guān)。大專生能進(jìn)行前沿研究都和幾何有關(guān)，說(shuō)明幾何不難。同時(shí)也說(shuō)明，幾何是數(shù)學(xué)學(xué)研究一塊最有份量的敲門(mén)磚。
2.1989年獲碩士學(xué)位，論文是Z2規(guī)范場(chǎng)的相結(jié)構(gòu)，而規(guī)范場(chǎng)就是一種幾何學(xué)。
3.1999年獲博士學(xué)位，論文是關(guān)于生物膜幾何形狀和廣義相對(duì)論，須要的是古典微分幾何。
4.2000年，申請(qǐng)ICTP的(相當(dāng)于訪問(wèn)學(xué)者或則博士后)，這是第二次申請(qǐng)，比1999年第一次申請(qǐng)材料僅僅多了幾個(gè)字：等作者在1999的一篇PRL和等作者在2000的一篇PRL上，都肯定了筆者研究Berry幾何相位的一篇CPL文章。
5.他鄉(xiāng)遇故知。2016年，在北京碰巧遇到，說(shuō)起舊事來(lái)，他高興得像個(gè)小孩，參見(jiàn)相片(圖2)。很可惜，于2020過(guò)世了，專門(mén)發(fā)了一篇記念文章。2018年，十分有幸在川大接待Berry并主持他的報(bào)告會(huì)（岳麓講堂），參見(jiàn)相片(圖3)。
圖2筆者和合照
圖3Berry和四川學(xué)院物電院師生合照
2化學(xué)學(xué)圖象，經(jīng)常是指幾何圖象
大化學(xué)學(xué)家Dyson自覺(jué)得從費(fèi)米的20分鐘里所學(xué)到的，比他從奧本海默20年里學(xué)到的還要多。費(fèi)米的一句話不經(jīng)意的話，被理解為費(fèi)米秘籍，除了秒成格言廣為傳播，并且奉為數(shù)學(xué)學(xué)教學(xué)和研究的費(fèi)米準(zhǔn)則。原話是：“Oneway,andthisisthewayI,istohaveaclearofthethatyouare．Theotherwayistohaveaandself-.”這里，化學(xué)圖象()被提升到了至關(guān)緊要的位置。不同于，形容詞的指的是細(xì)膩而血淋淋的數(shù)學(xué)，而則是一個(gè)狀態(tài)描述。彭桓武先生就特別指出和之間的差距。
圖4和編繪的“大學(xué)數(shù)學(xué)”教材封面
極其指出幾何在數(shù)學(xué)學(xué)教育中的作用，非領(lǐng)導(dǎo)的“大學(xué)數(shù)學(xué)”教學(xué)小組莫屬。倘若不是因?yàn)橛捎谝Σǖ某晒蓽y(cè)而獲得了2017年諾貝爾化學(xué)學(xué)獎(jiǎng)，大約不會(huì)有太多人關(guān)注他在2017年出版的一本學(xué)院數(shù)學(xué)教材，名子很奇特——《現(xiàn)代精典化學(xué)》(全名是:,,,,,and)，參見(jiàn)相片(圖4)。雖然，這本書(shū)的內(nèi)容經(jīng)過(guò)了千錘百煉，在加洲理工和哈佛學(xué)院進(jìn)行了37年的教學(xué)實(shí)踐，書(shū)的特征就是用幾何塑造了精典數(shù)學(xué)學(xué)。序言中寫(xiě)道：“幾何學(xué)是本書(shū)中的深入主線，和特別重要的經(jīng)緯。我們將見(jiàn)到怎樣通過(guò)淬煉的幾何思索就可決定或強(qiáng)烈限制了精典數(shù)學(xué)學(xué)的基本原理。幾何學(xué)除了能展現(xiàn)精典原理的特點(diǎn)，還有助于將它們與相應(yīng)的量子原理關(guān)聯(lián)上去。進(jìn)一步，幾何方法可以避開(kāi)晦澀的剖析估算。雖然相關(guān)的繁瑣、常規(guī)的估算，有時(shí)無(wú)法避開(kāi)，在這些情況下，我們有時(shí)會(huì)求救于現(xiàn)代符號(hào)運(yùn)算軟件Maple，和來(lái)節(jié)約空間。”換句話說(shuō)，烤焦數(shù)學(xué)學(xué)上估算難度上的塵土，發(fā)覺(jué)數(shù)學(xué)學(xué)中四處都是幾何。
學(xué)院里的幾何，必須依靠于微積分就能獲得深入的理解。為此，學(xué)院中的數(shù)學(xué)圖象就應(yīng)當(dāng)是微分幾何圖象。所謂的化學(xué)深刻，很可能不過(guò)是簡(jiǎn)單幾何。本文接出來(lái)的兩節(jié)，通過(guò)兩個(gè)反例，希望說(shuō)明如下一個(gè)道理：數(shù)學(xué)課程中重要而困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只須要簡(jiǎn)單的微分幾何就可以化腐朽為神奇，顯得玲瓏澄澈且意趣橫生。
3熱力學(xué)第三定理與兩個(gè)函數(shù)之間的切觸
圖5一個(gè)函數(shù)和它的泰勒展開(kāi)的幾何理解(圖片取自網(wǎng)路)
下邊研究熱力學(xué)湯姆孫-貝特洛在高溫實(shí)驗(yàn)時(shí)發(fā)覺(jué)的一個(gè)規(guī)律的示意圖(圖6)。這幅示意圖能告訴我們哪些呢?教材都包含了坎坷而繁難的剖析，因而得到熱力學(xué)第三定理的能斯特?cái)⑹觥６坏┯辛饲杏|的概念，立刻發(fā)覺(jué)這兩根線在零溫時(shí)發(fā)生了一級(jí)切觸，即兩個(gè)函數(shù)有如下關(guān)系
于是，湯姆孫-貝特洛原理啟示了：1，當(dāng)T→0時(shí)，ΔS→0，即熱力學(xué)第三定理；2物理小論文500字，正是因?yàn)橐患?jí)切觸，這個(gè)T→0時(shí)實(shí)際上可以高到溫度。這個(gè)溫度可以通過(guò)剖析中級(jí)切觸而定量求解下來(lái)。
通過(guò)這個(gè)反例可以說(shuō)明，幾何必須和微積分結(jié)合上去，完全的初等幾何是不太夠用的。
圖6兩個(gè)函數(shù)有一階切觸(圖片取自名著B(niǎo).，andanto2nd)
4動(dòng)量算符中顯含的平均曲率
球座標(biāo)下三個(gè)廣義動(dòng)量算符是，
這三個(gè)算符在通常初等量子力學(xué)教材中都接見(jiàn)到，主要部份都是一般的微分算符。前兩個(gè)算符多出的部份，一般的理解不過(guò)是為了微分部份顯得厄密而多下來(lái)的函數(shù)而已，并無(wú)深意，實(shí)際可能遠(yuǎn)非這般。這兩個(gè)函數(shù)，雖然是兩個(gè)不同平面的平均曲率。而平均曲率是古典微分幾何中入門(mén)級(jí)的概念。
首先，稍稍介紹一點(diǎn)哪些是平均曲率。考量曲面彎曲形狀的形式是化面為線。把曲面截開(kāi)，截面上的曲面就是一根一根的曲線，簡(jiǎn)稱截線。不過(guò)截的時(shí)侯，要沿法線截下去。一個(gè)二維曲面，可以找出正交的兩根截線（法截線），用這兩根截線的曲率（主曲率）來(lái)標(biāo)志曲面的彎曲程度，參考圖7。
圖8球面座標(biāo)。r為常數(shù)時(shí)，為一個(gè)直徑為r球面，平均曲率為1/r。θ為常數(shù)時(shí)，為一個(gè)工件，平均曲率為cotθ/2。φ為常數(shù)時(shí)，為一個(gè)平面，平均曲率為零。(圖取自網(wǎng)路后編輯而成)
圖9把P點(diǎn)處的工件剝開(kāi)成兩根線的時(shí)侯，一根是母線，曲率為零；另外一刀剖下去的時(shí)侯，刀面要和這根母線正交，其法截線的曲率直徑為rtanθ，曲率為cotθ/r。因而，r=1處的工件的平均曲率為cotθ/2。
有人可能覺(jué)得，對(duì)理解三個(gè)廣義動(dòng)量算符來(lái)說(shuō)，曉得了表達(dá)式，幾乎可以解決所有問(wèn)題，并不須要曉得這種量是否為平均曲率。對(duì)于這三個(gè)算符來(lái)說(shuō)，雖然不假。雖然不然，由于化學(xué)問(wèn)題往往必須從更大的范圍內(nèi)進(jìn)行考量，之后反過(guò)來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，能夠獲得更大的視野和正確的視角。有很多問(wèn)題涉及到這個(gè)曲率。第一，在平直空間中，聯(lián)通一個(gè)量子態(tài)須要通過(guò)動(dòng)量算符所構(gòu)造聯(lián)通算符來(lái)完成，不過(guò)在平直空間中，動(dòng)量中不包含多余的函數(shù)，因此量子態(tài)環(huán)型一周回到原處，量子態(tài)沒(méi)有改變。而在彎曲曲面上，正是因?yàn)閯?dòng)量多下來(lái)的部份，促使量子態(tài)才會(huì)多出一個(gè)相位因子。第二，這兒有關(guān)“世紀(jì)困局”：即徑向動(dòng)量算符Pr的觀測(cè)意義。要解決這個(gè)問(wèn)題，就必須求救于幾何，參見(jiàn)文獻(xiàn)Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys.,2015,12:.
這個(gè)事例起碼給了我們?nèi)c(diǎn)啟示：第一，最常見(jiàn)的算符中直接出現(xiàn)了平均曲率，這么微分幾何就在量子熱學(xué)的入門(mén)處，因此也就在課程的全部?jī)?nèi)容中；第二，算符通常都包含幾何部份，也就是通常意義下的動(dòng)量，應(yīng)當(dāng)是幾何動(dòng)量，參見(jiàn)文獻(xiàn)，Euro.Phys.J.C.,2019,79:712及其中的參考文獻(xiàn)；第三，一般覺(jué)得現(xiàn)代數(shù)學(xué)的幾何基礎(chǔ)是黎曼幾何，而平均曲率是外曲率，無(wú)足輕重，這個(gè)想法片面的。
5斷想與結(jié)語(yǔ)
文章將近結(jié)束，興味卻未闌珊，記錄一些斷想在此。
假如把一門(mén)課教50年甚至80年，講得爛熟一團(tuán)糟，也不過(guò)爾爾，一直未能達(dá)到用幾何塑造精典數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)的程度，也難以發(fā)覺(jué)普通動(dòng)量算符下邊雖然包含了簡(jiǎn)單的幾何卻是深刻的化學(xué)，等等。任何學(xué)院班主任，必需要有和本課程教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)的前沿科研經(jīng)歷。純粹教學(xué)型的學(xué)院老師，可以是認(rèn)真的老師，也可以好老師，然而未能在教學(xué)內(nèi)容上出神入化，難以掌握重大題材，也難以理解最新進(jìn)展，就不可能是學(xué)者型老師。
岳麓書(shū)院赫曦臺(tái)上有副挽聯(lián)云“合安利勉而為學(xué)，通天地人之謂才”。并且，“安利勉”的為學(xué)三途太過(guò)入世，做學(xué)問(wèn)必需要有點(diǎn)出世的精神。筆者在長(zhǎng)沙學(xué)院負(fù)責(zé)“岳麓講堂”，堅(jiān)持延攬一些文理兼長(zhǎng)的科學(xué)家過(guò)來(lái)講學(xué)，深信，學(xué)院生處于成長(zhǎng)階段，興趣面不能太窄了，應(yīng)當(dāng)“轉(zhuǎn)益多師是汝師”。同時(shí)，學(xué)院里必需要有一點(diǎn)艱辛的課程。如今學(xué)院的課程，數(shù)目繁雜但失之淺易。甚至連簡(jiǎn)單的微分幾何都不在學(xué)院化學(xué)系的課程系統(tǒng)內(nèi)，這是否是學(xué)院課程設(shè)置的問(wèn)題?
問(wèn)題可能要換一個(gè)角度來(lái)看。微分幾何及其發(fā)展歷史，是人類文明最有神采的部份，這部份應(yīng)當(dāng)和元曲小令、經(jīng)典小說(shuō)等等一樣，是學(xué)院生必讀書(shū)籍中的一冊(cè)。對(duì)理工科學(xué)院生，尤其這么。
法國(guó)故事、古今格言、諸多例子，等等，都擠到了斷想的窄小通道里，下邊收斂到本文的主題。把文中的兩句話重復(fù)一遍，作為本文的結(jié)語(yǔ)：不但數(shù)學(xué)學(xué)圖象往往是指幾何圖象，但是化學(xué)的深刻很可能是簡(jiǎn)單的幾何。