?《物理與工程》期刊近期在線發表了一篇論文，從接收到發表僅僅用了5天，作者覺得這是論文刊發的最快紀錄。論文的內容是從最簡單的古典微分幾何知識基礎上物理小論文500字，怎么理解量子熱學和熱力學中的一些前沿問題。本文章的主要部份則是介紹作者在科研小學習和使用微分幾何20余年以后，自覺得成功反哺教學的兩個典型成果。
撰文|劉全慧（理論化學博士，四川學院化學與微電子科學大學院士）
1論文刊出最快的世界紀錄：五天
近來有篇小論文，從投出到刊出的時間，五天，創下了中國(或許國際上)學術期刊發文章速率的最快歷史紀錄。這就是《物理與工程》(教育部高等中學學院數學課程教學指導委員會學術期刊，復旦學院編輯出版)上的拙作《懂幾何者，在數學學中無往而不利》。2021年3月13日收到，18日上線。這篇文章，既不是投稿，也不是征稿，而是《物理與工程》編輯部和筆者商量為她們的陌陌公眾號寫篇一篇文章，文章草成后，編輯部覺得是“好文章”然后“升艙”到雜志上的結果。炮制這篇文章只用了三天，并且積累素材卻持續了20來年，內容作為措詞也蘊育了一段時間。同一時間段內，投給《大學化學》的一篇文章《幾何視角下的熱力學》也深受好評，編輯部將安排在某一期的首篇推出。
圖1中國學術期刊發文章速率的最快歷史紀錄：五天。
筆者的人生中有少數幾個點不是這么昏暗，竟然都和幾何有點關系。不僅論文、經費等和謀生直接相關的俗務外，還有如下一些：
1.指導了幾位大專生進行的研究，最好的三篇論文都和幾何相關。大專生能進行前沿研究都和幾何有關，說明幾何不難。同時也說明，幾何是數學學研究一塊最有份量的敲門磚。
2.1989年獲碩士學位，論文是Z2規范場的相結構，而規范場就是一種幾何學。
3.1999年獲博士學位，論文是關于生物膜幾何形狀和廣義相對論，須要的是古典微分幾何。
4.2000年，申請ICTP的(相當于訪問學者或則博士后)，這是第二次申請，比1999年第一次申請材料僅僅多了幾個字：等作者在1999的一篇PRL和等作者在2000的一篇PRL上，都肯定了筆者研究Berry幾何相位的一篇CPL文章。
5.他鄉遇故知。2016年，在北京碰巧遇到，說起舊事來，他高興得像個小孩，參見相片(圖2)。很可惜，于2020過世了，專門發了一篇記念文章。2018年，十分有幸在川大接待Berry并主持他的報告會（岳麓講堂），參見相片(圖3)。
圖2筆者和合照
圖3Berry和四川學院物電院師生合照
2化學學圖象，經常是指幾何圖象
大化學學家Dyson自覺得從費米的20分鐘里所學到的，比他從奧本海默20年里學到的還要多。費米的一句話不經意的話，被理解為費米秘籍，除了秒成格言廣為傳播，并且奉為數學學教學和研究的費米準則。原話是：“Oneway,andthisisthewayI,istohaveaclearofthethatyouare．Theotherwayistohaveaandself-.”這里，化學圖象()被提升到了至關緊要的位置。不同于，形容詞的指的是細膩而血淋淋的數學，而則是一個狀態描述。彭桓武先生就特別指出和之間的差距。
圖4和編繪的“大學數學”教材封面
極其指出幾何在數學學教育中的作用，非領導的“大學數學”教學小組莫屬。倘若不是因為由于引力波的成功偵測而獲得了2017年諾貝爾化學學獎，大約不會有太多人關注他在2017年出版的一本學院數學教材，名子很奇特——《現代精典化學》(全名是:,,,,,and)，參見相片(圖4)。雖然，這本書的內容經過了千錘百煉，在加洲理工和哈佛學院進行了37年的教學實踐，書的特征就是用幾何塑造了精典數學學。序言中寫道：“幾何學是本書中的深入主線，和特別重要的經緯。我們將見到怎樣通過淬煉的幾何思索就可決定或強烈限制了精典數學學的基本原理。幾何學除了能展現精典原理的特點，還有助于將它們與相應的量子原理關聯上去。進一步，幾何方法可以避開晦澀的剖析估算。雖然相關的繁瑣、常規的估算，有時無法避開，在這些情況下，我們有時會求救于現代符號運算軟件Maple，和來節約空間?！睋Q句話說，烤焦數學學上估算難度上的塵土，發覺數學學中四處都是幾何。
學院里的幾何，必須依靠于微積分就能獲得深入的理解。為此，學院中的數學圖象就應當是微分幾何圖象。所謂的化學深刻，很可能不過是簡單幾何。本文接出來的兩節，通過兩個反例，希望說明如下一個道理：數學課程中重要而困難的數學問題，只須要簡單的微分幾何就可以化腐朽為神奇，顯得玲瓏澄澈且意趣橫生。
3熱力學第三定理與兩個函數之間的切觸
圖5一個函數和它的泰勒展開的幾何理解(圖片取自網路)
下邊研究熱力學湯姆孫-貝特洛在高溫實驗時發覺的一個規律的示意圖(圖6)。這幅示意圖能告訴我們哪些呢?教材都包含了坎坷而繁難的剖析，因而得到熱力學第三定理的能斯特敘述。而一旦有了切觸的概念，立刻發覺這兩根線在零溫時發生了一級切觸，即兩個函數有如下關系
于是，湯姆孫-貝特洛原理啟示了：1，當T→0時，ΔS→0，即熱力學第三定理；2物理小論文500字，正是因為一級切觸，這個T→0時實際上可以高到溫度。這個溫度可以通過剖析中級切觸而定量求解下來。
通過這個反例可以說明，幾何必須和微積分結合上去，完全的初等幾何是不太夠用的。
圖6兩個函數有一階切觸(圖片取自名著B.，andanto2nd)
4動量算符中顯含的平均曲率
球座標下三個廣義動量算符是，
這三個算符在通常初等量子力學教材中都接見到，主要部份都是一般的微分算符。前兩個算符多出的部份，一般的理解不過是為了微分部份顯得厄密而多下來的函數而已，并無深意，實際可能遠非這般。這兩個函數，雖然是兩個不同平面的平均曲率。而平均曲率是古典微分幾何中入門級的概念。
首先，稍稍介紹一點哪些是平均曲率?？剂壳鎻澢螤畹男问绞腔鏋榫€。把曲面截開，截面上的曲面就是一根一根的曲線，簡稱截線。不過截的時侯，要沿法線截下去。一個二維曲面，可以找出正交的兩根截線（法截線），用這兩根截線的曲率（主曲率）來標志曲面的彎曲程度，參考圖7。
圖8球面座標。r為常數時，為一個直徑為r球面，平均曲率為1/r。θ為常數時，為一個工件，平均曲率為cotθ/2。φ為常數時，為一個平面，平均曲率為零。(圖取自網路后編輯而成)
圖9把P點處的工件剝開成兩根線的時侯，一根是母線，曲率為零；另外一刀剖下去的時侯，刀面要和這根母線正交，其法截線的曲率直徑為rtanθ，曲率為cotθ/r。因而，r=1處的工件的平均曲率為cotθ/2。
有人可能覺得，對理解三個廣義動量算符來說，曉得了表達式，幾乎可以解決所有問題，并不須要曉得這種量是否為平均曲率。對于這三個算符來說，雖然不假。雖然不然，由于化學問題往往必須從更大的范圍內進行考量，之后反過來看這個問題，能夠獲得更大的視野和正確的視角。有很多問題涉及到這個曲率。第一，在平直空間中，聯通一個量子態須要通過動量算符所構造聯通算符來完成，不過在平直空間中，動量中不包含多余的函數，因此量子態環型一周回到原處，量子態沒有改變。而在彎曲曲面上，正是因為動量多下來的部份，促使量子態才會多出一個相位因子。第二，這兒有關“世紀困局”：即徑向動量算符Pr的觀測意義。要解決這個問題，就必須求救于幾何，參見文獻Int.J.Geom.Meth.Mod.Phys.,2015,12:.
這個事例起碼給了我們三點啟示：第一，最常見的算符中直接出現了平均曲率，這么微分幾何就在量子熱學的入門處，因此也就在課程的全部內容中；第二，算符通常都包含幾何部份，也就是通常意義下的動量，應當是幾何動量，參見文獻，Euro.Phys.J.C.,2019,79:712及其中的參考文獻；第三，一般覺得現代數學的幾何基礎是黎曼幾何，而平均曲率是外曲率，無足輕重，這個想法片面的。
5斷想與結語
文章將近結束，興味卻未闌珊，記錄一些斷想在此。
假如把一門課教50年甚至80年，講得爛熟一團糟，也不過爾爾，一直未能達到用幾何塑造精典數學概念系統的程度，也難以發覺普通動量算符下邊雖然包含了簡單的幾何卻是深刻的化學，等等。任何學院班主任，必需要有和本課程教學內容密切相關的前沿科研經歷。純粹教學型的學院老師，可以是認真的老師，也可以好老師，然而未能在教學內容上出神入化，難以掌握重大題材，也難以理解最新進展，就不可能是學者型老師。
岳麓書院赫曦臺上有副挽聯云“合安利勉而為學，通天地人之謂才”。并且，“安利勉”的為學三途太過入世，做學問必需要有點出世的精神。筆者在長沙學院負責“岳麓講堂”，堅持延攬一些文理兼長的科學家過來講學，深信，學院生處于成長階段，興趣面不能太窄了，應當“轉益多師是汝師”。同時，學院里必需要有一點艱辛的課程。如今學院的課程，數目繁雜但失之淺易。甚至連簡單的微分幾何都不在學院化學系的課程系統內，這是否是學院課程設置的問題?
問題可能要換一個角度來看。微分幾何及其發展歷史，是人類文明最有神采的部份，這部份應當和元曲小令、經典小說等等一樣，是學院生必讀書籍中的一冊。對理工科學院生，尤其這么。
法國故事、古今格言、諸多例子，等等，都擠到了斷想的窄小通道里，下邊收斂到本文的主題。把文中的兩句話重復一遍，作為本文的結語：不但數學學圖象往往是指幾何圖象，但是化學的深刻很可能是簡單的幾何。