在畫受力圖時，中學生常常執著于判斷力的指向，這是因在高中這個記憶力黃金階段就學習了力的3要素(大小、方向和作用點)，隨后經小學數學和學院數學的反復強化，力的方向意識已然根深蒂固了。但隨著剖析對象復雜，判定力的方向顯得很困難，尤其是磨擦力的指向。磨擦力在教學中是一種很典型的力，它在中學數學中即有介紹，且在日常生活中經常地會接觸到，并且對靜磨擦力指向的確定，中學生總覺得是個很富于挑戰性的困局。雖然教材提供了判據：靜磨擦力的指向與相對運動趨勢相反，但這個判據并不好用，由于運動的“趨勢”很難由示意圖的幾何信息判定下來。實際上，對化學課程常用的例題和習題進行梳理(不管是小學數學、高中數學，還是學院化學)，可發覺它們大多為質點模型，且受力相對簡單，例如圖1(a)這樣的事例。對這種簡單事例，“運動趨勢”的判定常常都是由剖析主動力的信息來完成的。
圖1靜磨擦力的典型例題
對于比較復雜的問題剖析，中學生也經常試圖在畫受力圖時就弄清楚靜磨擦力的指向，但是此時用主動力的信息來判定“運動趨勢”變得很困難，這是由于：(1)復雜問題中有質心(不再是質點)，且主動力可能會很復雜(例如圖1(b));(2)有時質心上的“主動力”也是待定的(例如圖1(c))，待定值的大小會影響磨擦力的指向;(3)研究對象發生質心平面運動(圖1(d));(4)物體的“總體運動”與接觸面的相對運動可以不一致，例如圖1(d)中純滾動的輪子，輪心有運動，但輪子與地面接觸點的速率為零，加速度垂直于公切線(但仍然是靜磨擦力，不是“滾動磨擦力”)。上述諸誘因促使靜磨擦力指向更無法預先判斷。
雖然，除了是中學生，老師也同樣有“靜磨擦力指向”的苦惱，因此提出了眾多判據[1-8]。有些判據試圖只使用主動力的信息。這就還存在這樣一個問題：靜磨擦力的指向可由主動力信息惟一確定嗎？
對于動力學情形，本文將展示主動力信息不足以惟一確定靜磨擦力的指向。換句話說，想找出這樣的普適判據是徒勞的：僅借助主動力信息判定靜磨擦力的指向。只有在個別特殊條件下，能夠由主動力信息判別出靜磨擦力的指向。劉濤等曾提出一個磨擦力指向的判據[10]，本文還將論證這個判據的合理智。
1平衡情形
圖2(a)的質心遭到主動力、摩擦力和支持力而保持平衡。不管主動力怎么復雜，都可以向接觸點A簡化，簡化結果為主矢
和主矩MR(見圖2(b))。由于磨擦力、支持力和
均通過A點，故而平衡必然要求MR=0。假如磨擦力和支持力合在一起稱作全約束力FR，它就與
大小相等，指向相反。把FR沿切線和法線分解得到磨擦力Fs和支持力FN(見圖2(c))。此種情形下Fs的指向由主動力信息惟一確定。
圖2平衡情形的磨擦力剖析
對圖1(a)這樣簡單的情形，磨擦力的指向可以依據該圖中的F直接判定下來。對于主動力很復雜的情形，非常是像圖1(c)這些含“待定主動力”的情形，在畫受力圖時就試圖找到磨擦力的“正確”指向，除了很困難，但是“正確”指向也有可能隨待定主動力的取值而變化。
上述陳述中“正確”加了冒號，雖然更準確的敘述是“正值”，即正的數值。力是矢量，它有大小和方向兩個屬性。在常規語境下，幾何“大小”不取負值，因而：磨擦力的“正確”指向，習慣上就是磨擦力大小為“正的數值”所對應的指向。假如容許力的大小可以取“負的數值”，這么就無需苦惱于“正值”指向了。在畫受力圖時，只要把力的作用線畫對即可，受力圖上箭頭示意的力指向則從作用線的兩個指向中隨意選擇一個即可。下邊以平面力系平衡問題為例，闡述這樣做的合理智。
平面力系向一點簡化得到主矢
和主矩M。不失通常性，主矢
可寫成Fx和Fy兩個份量。其實M、Fx和Fy都是磨擦力Fs的函數，即M(Fs)、Fx(Fs)和Fy(Fs)。平衡多項式為
Fx(Fs)=0,Fy(Fs)=0,M(Fs)=0
(1)
假如將受力圖上的磨擦力箭頭指向反一下，則主矩和主矢的3個份量變為M(-Fs)、Fx(-Fs)和Fy(-Fs)。此時平衡的充要條件為
Fy(-Fs)=0,Fx(-Fs)=0,M(-Fs)=0
(2)
假定Fs=ξ是多項式(1)的解，這么容易驗證Fs=-ξ也是多項式(2)的解。也就是說，靜磨擦力指向的反與不反的區別僅僅是靜磨擦力數值差個正負號而已。因而，在畫受力圖時，完全沒有必要苦惱于靜磨擦力的正值指向。關于受力圖中力矢指向的詳盡討論可參考文獻[11]。
其實,上述靜磨擦力指向的處理也適用于空間力系問題。在物理上，達朗貝爾原理可把動力學問題弄成靜力學問題，所以對于動力學問題，靜磨擦力的指向也可從作用線的兩個方向中任意選一個即可。
其實，就靜磨擦力大小的估算而言，它的指向并不是很關鍵。其實對學習磨擦力概念而言，為了理解磨擦力的化學本質，應該指出“靜磨擦力的指向與相對運動趨勢相反”這樣的判據。
2動力學情形
就圓錐(或圓盤)純滾動的動力學問題，好多作者對其中的靜磨擦力指向進行了討論[1-8]，但筆者覺得從估算角度,雖然對動力學問題，靜磨擦力的指向判定也不是很重要的命題。除了這般，下邊還將展示：主動力信息不足以惟一確定靜磨擦力的指向。只有在特定條件下，靜磨擦力的指向才會被主動力信息惟一確定。
2.1估算靜磨擦力
下邊討論較為普適的情形，即圖3(a)所示的邊沿平滑質心在地面上純滾動。不失通常性，質心與地面的公切線取圖示位置的水平方向。質心所受的全部主動力向其形心C簡化得到主矢Fx+Fy和主矩MC，此時質心轉動的角速率和角加速度分別為ω和α。Fx的作用線與公法線相交于Q點，剛體C與切點A的連線與公切線傾角為θ，質心的質量為m，繞A的回轉直徑為ρA。
圖3邊沿平滑質心的純滾動的磨擦力剖析
質心上切點A的速率為零，但加速度不是零。依據文獻[12,13]獲知：A點加速度沿私法向高中摩擦力怎么算，如圖3(a)中
所示;
其中ρe為等效曲率直徑(相當于：把地面剪短，質心弄成一個圓所對應的直徑)高中摩擦力怎么算，它與地面在接觸點的曲率直徑ρ地和質心在接觸點的曲率直徑ρ之間的關系為
或則
(3)
采用達朗貝爾原理剖析。因此以A為基點，看動點C有
(4)
相應于上式右端三項，我們加三項慣性集中力，
和
如圖3(b)中所示，大小分別為
對α,還要加上MI=JCα(JC為質心繞剛體的轉動力矩),轉向見圖3(b)。
由達朗貝爾原理有
從式(5)可解出
(8)
式(7)可變為
(9)
其中
是主動力系向A點簡化的主矩(Fx和Fy移至A點)。
從式(9)解得
再將此α表達式代入式(8)有
(10)
2.2討論
(1)式(10)中沒有出現Fy，即主動力系主矢量的法向份量與靜磨擦力大小無關。其實Fy的取值要保證FNA>0，以使質心與地面之間有壓力(由式(6)確定)。另外，假如FNA過小，靜磨擦力達到最大靜磨擦力，質心就可能滑動，因而難以保證純滾動。下邊的討論，均默認FNA>0且靜磨擦力大于最大靜磨擦力。
(2)沿法線從A向下找到一點D滿足
主動力系向D簡化的主矩為
(11)
這樣式(10)可寫成
(12)
假如把質心看作為繞A做定軸轉動(A速率為零，且其加速度沿法線，與定軸轉動有類似之處)，則D就是質心的撞擊中心。
式(12)表明有兩個誘因會影響靜磨擦力大小，一是主動力向撞擊中心簡化的主矩，二是質心轉動的角速率，它們分別對應式(12)的第一項和第二項。
(3)在式(12)中，第二項與角速率有關，它與當前時刻的主動力信息無關，因而對動力學問題，當前時刻的主動力信息不足以確定靜磨擦力的數值，更不用說正值指向。
一個極端反例如圖4所示，質量偏心的圓輪在水平面上純滾動，力F作用在剛體C上，且其大小仍然等于輪子重力mg。其實兩個主動力F和mg互相抵消，即主動力為零力系(主矢為零，且對任意點的主矩為零)，而且Fs不為零，論證如下：輪子作勻角速率純滾動，輪心O的速率不隨時間變化(加速度為零),并且剛體C的加速度
圖4主動力信息不足以確定靜磨擦力指向
由剛體運動定律有：
它不恒等于零。而主動力為零力系，其實不可能由主動力信息判斷靜磨擦力的指向。
(4)只有當式(12)的第二項為零，才有可能按照當前時刻的主動力信息確定出靜磨擦力大小。這有3種情形：情形A,ω=0；情形
情形
此時，
(13)
也就是：假如主動力系向撞擊中心簡化的主矩MD為逆秒針，則FsA正值指向向左；而當MD為順秒針，則FsA正值指向往右。假如MD為零，則靜磨擦力為零。
進一步若Fx=0，則相當于質心上主動力為純質心，此時就不用找撞擊中心了。
(5)討論(4)中的3種情形解釋如下。
情形A相當于初瞬時情形，或質心作瞬時平移的情形。
情形B的
它的要求是剛體坐落通過接觸點的法線上。此時，可將主動力系向撞擊中心簡化，得到主動力主矩。靜磨擦力對撞擊中心的矩要與主動力主矩平衡。據此，可確定靜磨擦力的正值指向。
情形B最為常見，好多作者討論的均質圓錐(或圓盤)純滾動就屬于此類情形。由于有時對力偶加速度更有覺得，故有作者試圖借助輪心的切向加速度來判別靜磨擦力的指向。可以證明
(14)
其中G為主動力系簡化為集中力的作用線與法線的交點(如圖5所示；
和
是有方向的；若兩者方向相反，則
圖5主動力簡化為正交的兩個集中力
其實用式(14)判定靜磨擦力的正值指向，過程并不簡明，不如式(13)便捷。
情形C的
比較具象。對地面平直的特例，該情形退化為質心的曲率中心與質心的撞擊中心重合。
3一個判據的合理智
劉濤等曾給出下列判據:“只要假定此質心不遭到靜磨擦力作用，這么質心上的觸點相對于接觸面運動的加速度反方向，即為靜磨擦力方向”[10]。該準則后來被多人反復提起[5,6],但通常都是針對均質圓輪的定性討論。對任意形狀質心的純滾動，未見討論，更未對準則的正確性給與嚴格的證明。
下邊將嚴格證明上述準則的合理智。
根據這個準則，接觸面換成無磨擦的光滑面后，接觸點的速率仍然為零。因為地面不會變型，所以運動質心上與接觸點重合的那種“質點”軌跡(不是接觸切點的幾何曲線)在接觸點與地面相切，也與質心的邊沿相切，又因
故而質心上接觸“質點”的法線加速度為0，只有切線加速度
如圖6所示。
圖6假定光滑模型
以A為基點，C為動點有
(15)
相應于上式右端三項，我們加三項慣性力，
和
(見圖6所示)，大小分別為
和
沿x方向有
即得到
(16)
與式(8)兩旁相加有
(17)
圖6的
和圖3(b)的FsA的方向相反，而數值相加非負，故而
與FsA方向一直相反，這就證明了劉濤判據的合理智[10]。幾點說明如下。
第一，這個判據使用了“假設光滑”后的接觸點切線加速度，不是速率(速率仍然是零)。注意：動滑動磨擦力的指向用相對速率的方向來判斷。
第二，“假設光滑”只是把磨擦系數假定為零，而質心的角速率仍與有磨擦的相等。假如試圖為了更簡化：把角速率也假定成零，這么FsA的指向未必與
的相反。例如圖4的模型，“假設光滑”且再假定角速率為零，則切點的加速度將為零(此時質心各點速率和加速度均為零)，其實難以判定靜磨擦力的方向。
第三，假如式(12)的第二項為零，則可以不考慮角速率。常常討論的均質圓輪滾動屬于此類情形，即操作中可以忽視角速率的影響。
第四，我們常常對力偶的加速度有覺得。當
(剛體坐落法線上)，可以證明(參考圖5)，
(18)
其中
是“假設光滑”后剛體質心加速度的x份量。同樣可以看出，由式(18)來判定靜磨擦力方向也不簡明。
4結語
本文對靜磨擦力的指向問題進行了探究，所得要點如下：
(1)不管是靜力學，還是動力學，就估算靜磨擦力的大小而言，靜磨擦力的指向并不是很關鍵的問題，可在作用線的兩個方向中任取一個即可。
(2)對個別動力學問題，主動力的信息不足以惟一確定靜磨擦力的指向。
(3)當質心剛體坐落通過接觸點的法線上時，可以估算主動力對撞擊中心的主動扭力。靜磨擦力的正值指向應該使其對撞擊中心的矩與主動力扭力平衡。此判據最為簡約。
(4)可以假定接觸點無磨擦，得到質心上接觸“質點”的切向加速度，而原問題的靜磨擦力方向就與該切向加速度方向相反。并且“假設光滑”后，接觸點的切向加速度估算也不容易。
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引文格式:陳奎孚，姚海蓉，張云文.主動力信息足以確定靜磨擦力的指向嗎？[J].化學與工程，2018，28(4)：39-44.
