明天，微積分已成為基本的物理工具而被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。恩格斯說(shuō)過(guò)：“在一切理論成就中，未有像十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類(lèi)精神的最高勝利了，若果在某個(gè)地方我們看見(jiàn)人類(lèi)精神的純粹的和惟一的戰(zhàn)功，那就正是在這兒。”
“牛頓(Isaac，1642~1727)1642年生于那不勒斯。……，1661年，步入美國(guó)劍橋?qū)W院學(xué)習(xí)，1665年，紐約流行瘧疾，牛頓回到山間，終日思索各類(lèi)問(wèn)題，運(yùn)用他的智慧和數(shù)年來(lái)獲得的知識(shí)，發(fā)明了流訓(xùn)詁(微積分)、萬(wàn)有引力和光的剖析。”
1665年5月20日，牛頓的原稿中開(kāi)始有“流訓(xùn)詁”的記載。《流數(shù)的介紹》和《用運(yùn)動(dòng)解決問(wèn)題》等論文中介紹了流數(shù)(微分)和積分，以及解流數(shù)多項(xiàng)式的方式與積分表。1669年，牛頓在他的同學(xué)中充溢了題為《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)等式的剖析學(xué)》的小圖冊(cè)，在這兒，牛頓除了給出了求一個(gè)變量對(duì)于另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的普遍方式，并且證明了面積可以由求變化率的逆過(guò)程得到。由于面積也是用無(wú)窮面館積的和來(lái)表示因而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過(guò)程得到(更精確地說(shuō)，和的極限才能由反微分得到)，這個(gè)事實(shí)就是我們?nèi)缃袼v的微積分基本定律。這兒“牛頓使用的是無(wú)窮小技巧，把變量的無(wú)限小增量稱(chēng)作‘瞬’，瞬是無(wú)窮小量，是不可份量，或是微元，牛頓通過(guò)放棄‘瞬’求得變化率。”1671年牛頓將他關(guān)于微積分研究的成果整理成《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》(1736)，在這兒，他覺(jué)得變量是連續(xù)運(yùn)動(dòng)形成的，他把變量稱(chēng)作流，變量的變化率稱(chēng)作流數(shù)。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問(wèn)題：已知兩個(gè)流之間的關(guān)系，求它們流數(shù)之間的關(guān)系，以及它的逆問(wèn)題。《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》是一部較完整的微積分專(zhuān)著。書(shū)的后半部份通過(guò)20個(gè)問(wèn)題廣泛地介紹了流數(shù)法各無(wú)窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用。1676年，牛頓寫(xiě)出了《求曲邊形的面積》(1704)，在這兒，牛頓的微積分思想發(fā)生了重大變化，他舍棄了微元或無(wú)窮小量，而采用了最初比和最后比的方式。
流訓(xùn)詁
1687年牛頓發(fā)表了它的劃時(shí)代的科學(xué)名著《自然哲學(xué)的物理原理》，流訓(xùn)詁(即微積分)是其三大發(fā)覺(jué)之一。正如愛(ài)因斯坦所說(shuō)：“牛頓啊……你所發(fā)覺(jué)的公路在你的那種時(shí)代是一位具有最高思維能力和創(chuàng)造能力的人所發(fā)覺(jué)的惟一公路，你所創(chuàng)造的概念雖然在明天依然指導(dǎo)著我們的化學(xué)學(xué)思想”。
牛頓生活的時(shí)代正是美國(guó)發(fā)生變化的時(shí)代，當(dāng)時(shí)日本發(fā)生了國(guó)外戰(zhàn)爭(zhēng)，資產(chǎn)階層和貴族的階層妥協(xié)，使日本資產(chǎn)階層革命顯著的帶上了不徹底性。當(dāng)時(shí)的日本資產(chǎn)階層正在為現(xiàn)存的欺壓階層的一切下層建筑做永恒存在的論證，因而絕對(duì)化的思想成為占統(tǒng)治地位的主導(dǎo)思想，它也影響到當(dāng)時(shí)的自然科學(xué)家們把形而念書(shū)的思想方式絕對(duì)化。牛頓的思想也遭到了日本資產(chǎn)階層革命不徹底性的影響，因此牛頓也常常不能從自然界本身或事物的本身來(lái)找尋最初的誘因，而利用于外來(lái)的推進(jìn)力。
牛頓在30歲曾經(jīng)發(fā)覺(jué)了微積分，并完善了精典熱學(xué)體系，而他的后半生在自然科學(xué)的研究上幾乎一事無(wú)成。這是因?yàn)樵谫Y本主義形成和產(chǎn)生的時(shí)期，資產(chǎn)階層以前向宗教神學(xué)發(fā)起沖擊，幫助科學(xué)從神學(xué)中解放下來(lái)。并且當(dāng)資產(chǎn)階層的地位鞏固之后，階層斗爭(zhēng)漸趨加劇之時(shí)，資產(chǎn)階層就漸漸衰退，她們就捉住各類(lèi)各樣的宗教信念作為奴役人民的思想裝備。牛頓受其影響很大，其前半生因?yàn)樽园l(fā)的唯心主義的思想傾向，使他獲得了巨大成就，而后半生則完全沉湎于神學(xué)的研究。
牛頓承繼了培根的經(jīng)驗(yàn)主義傳統(tǒng)牛頓建立了什么定律，非常注重實(shí)驗(yàn)和歸納推理的作用，他曾斷定，自然科學(xué)只能從經(jīng)驗(yàn)事實(shí)出發(fā)解釋世界。這在當(dāng)時(shí)對(duì)嚴(yán)打經(jīng)院哲學(xué)的崇尚空談、妄稱(chēng)神意來(lái)丑化自然界是起過(guò)積極作用的。并且“牛頓卻屈從于經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，片面指出歸納的重要性。只有大量的感性材料，一切停留在事物的現(xiàn)象上，單純借助歸納的方式是得不出系統(tǒng)的普遍性的理智認(rèn)識(shí)來(lái)的。在剖析和綜合、演繹和歸納的問(wèn)題上，形而念書(shū)使牛頓深陷了矛盾。”
萊布尼茲所處的時(shí)代背景及其哲學(xué)思想
“萊布尼茲(，1646~1716)生于美國(guó)。……，1672年赴倫敦，在那兒接觸到惠更斯等一些物理名流，引其步入了物理領(lǐng)域，開(kāi)始微積分的創(chuàng)造性工作。”
1684年萊布尼茨發(fā)表了物理史上第一篇即將的微積分文獻(xiàn)《一種求極限值和切線的新方式》。這篇文獻(xiàn)是他自1673年以來(lái)的微積分研究的概括與成果，其中定義了微分，廣泛地采用了微分符號(hào)dx、dy，還給出了和、差、積、商及乘冪的微分法則。同時(shí)包括了微分法在求切線、極大、極小值及拐點(diǎn)方面的應(yīng)用。三年后，又發(fā)表了一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不變量及其無(wú)限的剖析》，其中首次使用積分符號(hào)“∫”牛頓建立了什么定律，初步闡述了積分(或求積)問(wèn)題與微分求切線問(wèn)題的互逆問(wèn)題。即明天你們熟知的牛頓—萊布尼茨公式
為我們描繪了微積分學(xué)的基本雛型和發(fā)展新藍(lán)圖。
“牛頓構(gòu)建微積分是從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，而萊布尼茲則從幾何學(xué)的角度去考慮，所創(chuàng)設(shè)的微積分符號(hào)遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓符號(hào)，并有效地促使了微積分學(xué)的發(fā)展。”牛頓發(fā)覺(jué)微積分(1665~1666年)比萊布尼茨起碼早了9年，但是萊布尼茨公開(kāi)發(fā)表它的微積分文章比牛頓早3年。據(jù)萊布尼茨本人提供的證據(jù)說(shuō)明他是在1674年產(chǎn)生了微分的思想與技巧。假如說(shuō)，牛頓構(gòu)建微積分主要是從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，而萊布尼茲則是從哲學(xué)的和幾何學(xué)的角度去考慮，非常是和巴羅的“微分三角形”有密切關(guān)系，萊布尼茲稱(chēng)它為“特征三角形”。巴羅的微分三角形對(duì)萊布尼茲有著重要啟發(fā)，對(duì)微分三角形的研究，使他意識(shí)到求切線和求積問(wèn)題是一對(duì)互逆的問(wèn)題。萊布尼茲第一個(gè)抒發(fā)出微分和積分之間的互逆關(guān)系。
萊布尼茲的許多研究成果和思想的發(fā)展，都包含在從1673年起寫(xiě)的但未曾發(fā)表過(guò)的成百頁(yè)的筆記中。1673年左右，他看見(jiàn)求曲線的切線的正問(wèn)題和反問(wèn)題的重要性，他完全相信反方式等價(jià)于通過(guò)求和來(lái)求面積和容積。1684年，萊布尼茲發(fā)表第一篇微分學(xué)論文《一種求極大、極小和切線的新方式，它也適用于多項(xiàng)式或無(wú)理量，以及這些新方式的奇妙類(lèi)型的估算》，對(duì)他往年的研究作了初步整理，表述了微分學(xué)的基本原理，覺(jué)得函數(shù)的無(wú)限小增量是自變量無(wú)限小變化的結(jié)果，且把這個(gè)函數(shù)的增量稱(chēng)作微分，用字母d表示。1675~1676年間，他從求曲邊形面積出發(fā)得到積分的概念，給出微積分基本定律
1686年萊布尼茲發(fā)表積分學(xué)論文《潛在的幾何與剖析不可分和無(wú)限》。1693年，他給出了上述定律的一個(gè)證明。以上這種都發(fā)表在《教師學(xué)報(bào)》上。將微分和積分統(tǒng)一上去，是微積分理論得以完善的一個(gè)重要標(biāo)志。萊布尼茲出生在美國(guó)路德派諸候與天主教諸候之間的對(duì)立而引發(fā)的“三六年戰(zhàn)爭(zhēng)”結(jié)束前。為了改變宗教紛爭(zhēng)的局面，萊布尼茲立志要發(fā)覺(jué)一種新的天主教和路德教都能適宜的關(guān)于實(shí)體的學(xué)說(shuō)，以成為兩派教會(huì)得以聯(lián)合的哲學(xué)基礎(chǔ)。其實(shí)萊布尼茲的意圖是不可能實(shí)現(xiàn)的，但他后來(lái)卻因而提出了一種與笛卡爾不同的實(shí)體學(xué)說(shuō)——單子論。
單子論
“單子論是萊布尼茲哲學(xué)的核心內(nèi)容。萊布尼茲覺(jué)得一切事物都由單子這些精神的實(shí)體構(gòu)成的，這些‘單子’既非物質(zhì)的而又具有一定的質(zhì)，它是精神性的，萊布尼茲就把它比之于靈魂。只有精神的單子才是真實(shí)的存在的實(shí)體，從單子是不可分的，即沒(méi)有部份的‘單純’實(shí)體這一點(diǎn)出發(fā)，萊布尼茲就推測(cè)出它的一系列特點(diǎn)：?jiǎn)巫記](méi)有部份，它就不能以自然的形式通過(guò)各部份的組合而形成，或通過(guò)各部份的分解而剿滅，因而它的生滅只能出于上帝的忽然創(chuàng)造或毀滅；單子沒(méi)有部份，就不能構(gòu)想有哪些東西可以步入其內(nèi)部來(lái)引起變化，這樣，單子就成了各自獨(dú)立或徹底孤立的東西，各單子之間不能有任何真正的互相作用或影響。單子之間沒(méi)有量的差別，而只有質(zhì)的不同。”
其實(shí)，萊布尼茲的基本觀點(diǎn)是唯物主義的，也是形而念書(shū)的。他把宇宙的秩序都?xì)w因于上帝的預(yù)先決定。他肯定許多必然真理并非來(lái)自經(jīng)驗(yàn)，他覺(jué)得不但認(rèn)識(shí)的對(duì)象都是由精神性的“單子”所構(gòu)成。并且認(rèn)識(shí)的主體也只能作為精神實(shí)體的心靈這些“單子”。他把一切發(fā)展變化都?xì)w因于上帝的“前定”，實(shí)際也就否定了真正的發(fā)展，這是他的觀點(diǎn)的悲觀的一面。但另一方面，萊布尼茲的哲學(xué)也有積極方面，它的哲學(xué)中富含豐富的辨證法思想，他肯定實(shí)體本身就具有力，因此是能動(dòng)的，實(shí)質(zhì)上肯定了物質(zhì)與運(yùn)動(dòng)不可分的思想，他企圖解決“不可分的點(diǎn)”和“連續(xù)性”的矛盾問(wèn)題，接觸到了某些與全體、間斷性與連續(xù)性的對(duì)立統(tǒng)一問(wèn)題，對(duì)推動(dòng)理智和經(jīng)驗(yàn)的辨證結(jié)合作出了一定的貢獻(xiàn)。
牛頓、萊布尼茲成立微積分之比較
牛頓和萊布尼茲用各自不同的方式，成立了微積分學(xué)。假如說(shuō)牛頓接近最后的推論要比萊布尼茲早一些，這么萊布尼茲發(fā)表自己的推論要早于牛頓。其實(shí)牛頓的微積分應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)萊布尼茲的工作，剌激并決定了幾乎整個(gè)十八世紀(jì)剖析的方向，而且萊布尼茲成功地構(gòu)建起愈加便捷的符號(hào)體系和估算方式。兩位微積分的奠基人，一位具有美國(guó)式的處世慎重，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娘L(fēng)度；一位具有美國(guó)人的哲理思辨態(tài)度，熱情大膽。因?yàn)殛幉铌?yáng)錯(cuò)的時(shí)代背景，過(guò)于追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐ｎD遲遲未將自己的發(fā)覺(jué)發(fā)表，讓萊布尼茨搶了一個(gè)發(fā)表的奪魁。
牛頓和萊布尼茲的哲學(xué)觀點(diǎn)的不同造成了她們成立微積分的方式不同。牛頓堅(jiān)持唯心論的經(jīng)驗(yàn)論，非常注重實(shí)驗(yàn)和歸納推理。他在研究精典熱學(xué)規(guī)律和萬(wàn)有引力定理時(shí)，遇見(jiàn)了一些難以解決的物理問(wèn)題，而這種物理問(wèn)題用歐幾里德幾何學(xué)和16世紀(jì)的代數(shù)學(xué)是難以解決的，因而牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的厚度、重心、最大最小值等問(wèn)題的方式——流數(shù)法。“牛頓的研究采用了最初比和最后比的方式。他覺(jué)得流數(shù)是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的頓時(shí)的比值，消失量的最后比就是量在消失的頓時(shí)的比值。”這個(gè)解釋太模糊了，算不上精確的物理概念，只不過(guò)是一種直觀的描述。最初比和最后比的數(shù)學(xué)原型是初速率與末速率的物理具象，在物體作位置聯(lián)通的過(guò)程中的每剎那間具有的速率是自明的，牛頓就是從這個(gè)客觀事實(shí)出發(fā)提出了最初比和最后比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點(diǎn)。
萊布尼茲的微積分創(chuàng)造源于研究“切線問(wèn)題”和“求積問(wèn)題”，他從微分三角形認(rèn)識(shí)到：求曲線的切線依賴(lài)于縱座標(biāo)之差與橫座標(biāo)之差的比值；求曲邊圖形的面積則依賴(lài)于在橫坐標(biāo)的無(wú)限新村間上的縱座標(biāo)之和或無(wú)限薄的圓形之和。萊布尼茲認(rèn)識(shí)到求和與求差運(yùn)算是可逆的。萊布尼茲用無(wú)窮小的思想給出了微積分的基本定律，并發(fā)展成為高階微分。萊布尼茲的無(wú)窮小是分階的，這緣于他哲學(xué)中的單子論思想。“萊布尼茲在單子論手指出：不同的單子其知覺(jué)的清晰程度是不一樣的，并從一種知覺(jué)向另一種知覺(jué)過(guò)渡和變化，發(fā)展就是由單子構(gòu)成的事物，由低級(jí)向中級(jí)的不同等級(jí)的序列。”可以說(shuō)，萊布尼茲的無(wú)窮小的分階正是和它的客觀唯物論的哲學(xué)體系中那種不同層次的單子系統(tǒng)是相對(duì)應(yīng)的。萊布尼茲在微積分的研究過(guò)程中，連續(xù)性原則成為其工作的基石，而連續(xù)性原則是植根于他哲學(xué)中無(wú)限的本質(zhì)的思想。
牛頓和萊布尼茲成立微積分的相同點(diǎn)有：從不同的角度成立了一門(mén)新的物理學(xué)科，使微積分具有廣泛的用途并能應(yīng)用于通常函數(shù)；用代數(shù)的方式從過(guò)去的幾何方式中解脫下來(lái)；都研究了微分與反微分之間的互逆關(guān)系。
牛頓和萊布尼茲成立微積分的不同點(diǎn)主要有：牛頓承繼了培根的經(jīng)驗(yàn)論，對(duì)歸納非常偏愛(ài)。牛頓的微積分顯著帶著從熱學(xué)脫胎而至的數(shù)學(xué)模型的痕跡，以機(jī)械運(yùn)動(dòng)的物理模型出現(xiàn)，其中的基本概念，如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都來(lái)自機(jī)械運(yùn)動(dòng)，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)頓時(shí)狀態(tài)的數(shù)學(xué)具象。他構(gòu)建微積分的目的是為了解決特殊問(wèn)題，指出的是能推廣的具體結(jié)果。而萊布尼茲指出才能應(yīng)用于特殊問(wèn)題的通常技巧和算法，便于統(tǒng)一處理各類(lèi)問(wèn)題。萊布尼茲在符號(hào)的選擇上耗費(fèi)了大量的時(shí)間，發(fā)明了一套頗具提示性的符號(hào)系統(tǒng)。他把sum(和)的第一個(gè)字母S拉長(zhǎng)表示積分，用dx表示x的微分，這套簡(jiǎn)明易懂又易于使用的符號(hào)仍然延用至今。
微積分的符號(hào)
牛頓覺(jué)得微積分是純幾何的自然延展，關(guān)心的是微積分在數(shù)學(xué)學(xué)中的應(yīng)用。經(jīng)驗(yàn)、具體和慎重是他的工作特性，這些拘束的做法，使他沒(méi)有能恣意發(fā)揮。而萊布尼茲關(guān)心的是廣泛意義下的微積分，力求創(chuàng)造構(gòu)建微積分的建立體系。他富有想像，喜歡推廣，大膽并且有思辯性，所以毫不遲疑地宣布了新學(xué)科的誕生。
牛頓和萊布尼茲都是她們時(shí)代的科學(xué)巨人。微積分之所以能成為獨(dú)立的學(xué)科并給整個(gè)自然科學(xué)帶來(lái)革命性的影響，主要是借助牛頓與萊布尼茲的工作。從牛頓和萊布尼茲成立微積分的過(guò)程中可以看出：當(dāng)巨人的哲學(xué)的思索弄成科學(xué)的推論時(shí)，對(duì)科學(xué)發(fā)展的影響是深遠(yuǎn)的。
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