明天，微積分已成為基本的物理工具而被廣泛地應用于自然科學的各個領域。恩格斯說過：“在一切理論成就中，未有像十七世紀下半葉微積分的發明那樣被看作人類精神的最高勝利了，若果在某個地方我們看見人類精神的純粹的和惟一的戰功，那就正是在這兒?！?span style="display:none">JNX物理好資源網(原物理ok網)
“牛頓(Isaac，1642~1727)1642年生于那不勒斯。……，1661年，步入美國劍橋學院學習，1665年，紐約流行瘧疾，牛頓回到山間，終日思索各類問題，運用他的智慧和數年來獲得的知識，發明了流訓詁(微積分)、萬有引力和光的剖析?！?span style="display:none">JNX物理好資源網(原物理ok網)
1665年5月20日，牛頓的原稿中開始有“流訓詁”的記載?！读鲾档慕榻B》和《用運動解決問題》等論文中介紹了流數(微分)和積分，以及解流數多項式的方式與積分表。1669年，牛頓在他的同學中充溢了題為《運用無窮多項等式的剖析學》的小圖冊，在這兒，牛頓除了給出了求一個變量對于另一個變量的瞬時變化率的普遍方式，并且證明了面積可以由求變化率的逆過程得到。由于面積也是用無窮面館積的和來表示因而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過程得到(更精確地說，和的極限才能由反微分得到)，這個事實就是我們如今所講的微積分基本定律。這兒“牛頓使用的是無窮小技巧，把變量的無限小增量稱作‘瞬’，瞬是無窮小量，是不可份量，或是微元，牛頓通過放棄‘瞬’求得變化率?！?671年牛頓將他關于微積分研究的成果整理成《流數法和無窮級數》(1736)，在這兒，他覺得變量是連續運動形成的，他把變量稱作流，變量的變化率稱作流數。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問題：已知兩個流之間的關系，求它們流數之間的關系，以及它的逆問題。《流數法和無窮級數》是一部較完整的微積分專著。書的后半部份通過20個問題廣泛地介紹了流數法各無窮級數的應用。1676年，牛頓寫出了《求曲邊形的面積》(1704)，在這兒，牛頓的微積分思想發生了重大變化，他舍棄了微元或無窮小量，而采用了最初比和最后比的方式。
流訓詁
1687年牛頓發表了它的劃時代的科學名著《自然哲學的物理原理》，流訓詁(即微積分)是其三大發覺之一。正如愛因斯坦所說：“牛頓啊……你所發覺的公路在你的那種時代是一位具有最高思維能力和創造能力的人所發覺的惟一公路，你所創造的概念雖然在明天依然指導著我們的化學學思想”。
牛頓生活的時代正是美國發生變化的時代，當時日本發生了國外戰爭，資產階層和貴族的階層妥協，使日本資產階層革命顯著的帶上了不徹底性。當時的日本資產階層正在為現存的欺壓階層的一切下層建筑做永恒存在的論證，因而絕對化的思想成為占統治地位的主導思想，它也影響到當時的自然科學家們把形而念書的思想方式絕對化。牛頓的思想也遭到了日本資產階層革命不徹底性的影響，因此牛頓也常常不能從自然界本身或事物的本身來找尋最初的誘因，而利用于外來的推進力。
牛頓在30歲曾經發覺了微積分，并完善了精典熱學體系，而他的后半生在自然科學的研究上幾乎一事無成。這是因為在資本主義形成和產生的時期，資產階層以前向宗教神學發起沖擊，幫助科學從神學中解放下來。并且當資產階層的地位鞏固之后，階層斗爭漸趨加劇之時，資產階層就漸漸衰退，她們就捉住各類各樣的宗教信念作為奴役人民的思想裝備。牛頓受其影響很大，其前半生因為自發的唯心主義的思想傾向，使他獲得了巨大成就，而后半生則完全沉湎于神學的研究。
牛頓承繼了培根的經驗主義傳統牛頓建立了什么定律，非常注重實驗和歸納推理的作用，他曾斷定，自然科學只能從經驗事實出發解釋世界。這在當時對嚴打經院哲學的崇尚空談、妄稱神意來丑化自然界是起過積極作用的。并且“牛頓卻屈從于經驗事實，片面指出歸納的重要性。只有大量的感性材料，一切停留在事物的現象上，單純借助歸納的方式是得不出系統的普遍性的理智認識來的。在剖析和綜合、演繹和歸納的問題上，形而念書使牛頓深陷了矛盾?！?span style="display:none">JNX物理好資源網(原物理ok網)
萊布尼茲所處的時代背景及其哲學思想
“萊布尼茲(，1646~1716)生于美國?！?672年赴倫敦，在那兒接觸到惠更斯等一些物理名流，引其步入了物理領域，開始微積分的創造性工作?！?span style="display:none">JNX物理好資源網(原物理ok網)
1684年萊布尼茨發表了物理史上第一篇即將的微積分文獻《一種求極限值和切線的新方式》。這篇文獻是他自1673年以來的微積分研究的概括與成果，其中定義了微分，廣泛地采用了微分符號dx、dy，還給出了和、差、積、商及乘冪的微分法則。同時包括了微分法在求切線、極大、極小值及拐點方面的應用。三年后，又發表了一篇積分學論文《深奧的幾何與不變量及其無限的剖析》，其中首次使用積分符號“∫”牛頓建立了什么定律，初步闡述了積分(或求積)問題與微分求切線問題的互逆問題。即明天你們熟知的牛頓—萊布尼茨公式
為我們描繪了微積分學的基本雛型和發展新藍圖。
“牛頓構建微積分是從運動學的觀點出發，而萊布尼茲則從幾何學的角度去考慮，所創設的微積分符號遠遠優于牛頓符號，并有效地促使了微積分學的發展?！迸ｎD發覺微積分(1665~1666年)比萊布尼茨起碼早了9年，但是萊布尼茨公開發表它的微積分文章比牛頓早3年。據萊布尼茨本人提供的證據說明他是在1674年產生了微分的思想與技巧。假如說，牛頓構建微積分主要是從運動學的觀點出發，而萊布尼茲則是從哲學的和幾何學的角度去考慮，非常是和巴羅的“微分三角形”有密切關系，萊布尼茲稱它為“特征三角形”。巴羅的微分三角形對萊布尼茲有著重要啟發，對微分三角形的研究，使他意識到求切線和求積問題是一對互逆的問題。萊布尼茲第一個抒發出微分和積分之間的互逆關系。
萊布尼茲的許多研究成果和思想的發展，都包含在從1673年起寫的但未曾發表過的成百頁的筆記中。1673年左右，他看見求曲線的切線的正問題和反問題的重要性，他完全相信反方式等價于通過求和來求面積和容積。1684年，萊布尼茲發表第一篇微分學論文《一種求極大、極小和切線的新方式，它也適用于多項式或無理量，以及這些新方式的奇妙類型的估算》，對他往年的研究作了初步整理，表述了微分學的基本原理，覺得函數的無限小增量是自變量無限小變化的結果，且把這個函數的增量稱作微分，用字母d表示。1675~1676年間，他從求曲邊形面積出發得到積分的概念，給出微積分基本定律
1686年萊布尼茲發表積分學論文《潛在的幾何與剖析不可分和無限》。1693年，他給出了上述定律的一個證明。以上這種都發表在《教師學報》上。將微分和積分統一上去，是微積分理論得以完善的一個重要標志。萊布尼茲出生在美國路德派諸候與天主教諸候之間的對立而引發的“三六年戰爭”結束前。為了改變宗教紛爭的局面，萊布尼茲立志要發覺一種新的天主教和路德教都能適宜的關于實體的學說，以成為兩派教會得以聯合的哲學基礎。其實萊布尼茲的意圖是不可能實現的，但他后來卻因而提出了一種與笛卡爾不同的實體學說——單子論。
單子論
“單子論是萊布尼茲哲學的核心內容。萊布尼茲覺得一切事物都由單子這些精神的實體構成的，這些‘單子’既非物質的而又具有一定的質，它是精神性的，萊布尼茲就把它比之于靈魂。只有精神的單子才是真實的存在的實體，從單子是不可分的，即沒有部份的‘單純’實體這一點出發，萊布尼茲就推測出它的一系列特點：單子沒有部份，它就不能以自然的形式通過各部份的組合而形成，或通過各部份的分解而剿滅，因而它的生滅只能出于上帝的忽然創造或毀滅；單子沒有部份，就不能構想有哪些東西可以步入其內部來引起變化，這樣，單子就成了各自獨立或徹底孤立的東西，各單子之間不能有任何真正的互相作用或影響。單子之間沒有量的差別，而只有質的不同。”
其實，萊布尼茲的基本觀點是唯物主義的，也是形而念書的。他把宇宙的秩序都歸因于上帝的預先決定。他肯定許多必然真理并非來自經驗，他覺得不但認識的對象都是由精神性的“單子”所構成。并且認識的主體也只能作為精神實體的心靈這些“單子”。他把一切發展變化都歸因于上帝的“前定”，實際也就否定了真正的發展，這是他的觀點的悲觀的一面。但另一方面，萊布尼茲的哲學也有積極方面，它的哲學中富含豐富的辨證法思想，他肯定實體本身就具有力，因此是能動的，實質上肯定了物質與運動不可分的思想，他企圖解決“不可分的點”和“連續性”的矛盾問題，接觸到了某些與全體、間斷性與連續性的對立統一問題，對推動理智和經驗的辨證結合作出了一定的貢獻。
牛頓、萊布尼茲成立微積分之比較
牛頓和萊布尼茲用各自不同的方式，成立了微積分學。假如說牛頓接近最后的推論要比萊布尼茲早一些，這么萊布尼茲發表自己的推論要早于牛頓。其實牛頓的微積分應用遠遠超過萊布尼茲的工作，剌激并決定了幾乎整個十八世紀剖析的方向，而且萊布尼茲成功地構建起愈加便捷的符號體系和估算方式。兩位微積分的奠基人，一位具有美國式的處世慎重，治學嚴謹的風度；一位具有美國人的哲理思辨態度，熱情大膽。因為陰差陽錯的時代背景，過于追求嚴謹的牛頓遲遲未將自己的發覺發表，讓萊布尼茨搶了一個發表的奪魁。
牛頓和萊布尼茲的哲學觀點的不同造成了她們成立微積分的方式不同。牛頓堅持唯心論的經驗論，非常注重實驗和歸納推理。他在研究精典熱學規律和萬有引力定理時，遇見了一些難以解決的物理問題，而這種物理問題用歐幾里德幾何學和16世紀的代數學是難以解決的，因而牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的厚度、重心、最大最小值等問題的方式——流數法?！芭ｎD的研究采用了最初比和最后比的方式。他覺得流數是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的頓時的比值，消失量的最后比就是量在消失的頓時的比值。”這個解釋太模糊了，算不上精確的物理概念，只不過是一種直觀的描述。最初比和最后比的數學原型是初速率與末速率的物理具象，在物體作位置聯通的過程中的每剎那間具有的速率是自明的，牛頓就是從這個客觀事實出發提出了最初比和最后比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點。
萊布尼茲的微積分創造源于研究“切線問題”和“求積問題”，他從微分三角形認識到：求曲線的切線依賴于縱座標之差與橫座標之差的比值；求曲邊圖形的面積則依賴于在橫坐標的無限新村間上的縱座標之和或無限薄的圓形之和。萊布尼茲認識到求和與求差運算是可逆的。萊布尼茲用無窮小的思想給出了微積分的基本定律，并發展成為高階微分。萊布尼茲的無窮小是分階的，這緣于他哲學中的單子論思想?！叭R布尼茲在單子論手指出：不同的單子其知覺的清晰程度是不一樣的，并從一種知覺向另一種知覺過渡和變化，發展就是由單子構成的事物，由低級向中級的不同等級的序列?！笨梢哉f，萊布尼茲的無窮小的分階正是和它的客觀唯物論的哲學體系中那種不同層次的單子系統是相對應的。萊布尼茲在微積分的研究過程中，連續性原則成為其工作的基石，而連續性原則是植根于他哲學中無限的本質的思想。
牛頓和萊布尼茲成立微積分的相同點有：從不同的角度成立了一門新的物理學科，使微積分具有廣泛的用途并能應用于通常函數；用代數的方式從過去的幾何方式中解脫下來；都研究了微分與反微分之間的互逆關系。
牛頓和萊布尼茲成立微積分的不同點主要有：牛頓承繼了培根的經驗論，對歸納非常偏愛。牛頓的微積分顯著帶著從熱學脫胎而至的數學模型的痕跡，以機械運動的物理模型出現，其中的基本概念，如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都來自機械運動，是機械運動頓時狀態的數學具象。他構建微積分的目的是為了解決特殊問題，指出的是能推廣的具體結果。而萊布尼茲指出才能應用于特殊問題的通常技巧和算法，便于統一處理各類問題。萊布尼茲在符號的選擇上耗費了大量的時間，發明了一套頗具提示性的符號系統。他把sum(和)的第一個字母S拉長表示積分，用dx表示x的微分，這套簡明易懂又易于使用的符號仍然延用至今。
微積分的符號
牛頓覺得微積分是純幾何的自然延展，關心的是微積分在數學學中的應用。經驗、具體和慎重是他的工作特性，這些拘束的做法，使他沒有能恣意發揮。而萊布尼茲關心的是廣泛意義下的微積分，力求創造構建微積分的建立體系。他富有想像，喜歡推廣，大膽并且有思辯性，所以毫不遲疑地宣布了新學科的誕生。
牛頓和萊布尼茲都是她們時代的科學巨人。微積分之所以能成為獨立的學科并給整個自然科學帶來革命性的影響，主要是借助牛頓與萊布尼茲的工作。從牛頓和萊布尼茲成立微積分的過程中可以看出：當巨人的哲學的思索弄成科學的推論時，對科學發展的影響是深遠的。
春節秋令營及化學冬訓
本期編輯|以太
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