提高思維層次
導讀
展示數學學剖析問題的方式，從蘋果到牛頓、開普勒、卡文迪許和愛因斯坦......數學學整個學科的成立從牛頓1687年的名著《自然哲學的物理原理》開始。哲學中自由的思辨在科學里成為大膽的假定，運用物理和邏輯進行嚴格的推理。更重要的是必須用實驗和觀測結果做最終檢驗真理的標準。數學學就是哲學、數學與實驗相結合后形成的科學。
1687年，如日中天的康熙臣子，只身在后宮跟傳教士學幾何，玩自鳴鐘。但遙遠的西方形成了面向大眾的科學，一個多世紀后就改變中國的國運。
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和正在學數學的同事談數學技巧
雖然你不是數學專業的，你應當也據說過這個故事：牛頓在蘋果園中看到蘋果掉在地上（也有說被蘋果砸中頭的），悟出了萬有引力定理。這個故事是否可信？從科學的角度我們可以問，一位訓練有素的化學學家，能夠在當時的條件下，從蘋果的落地推導入萬有引力定理？答案是肯定的。
打算知識
要想重現牛頓在蘋果園中的思索，我們首先要清楚在哪個知名的蘋果落地之前，牛頓早已曉得哪些。牛頓當時把握的知識，大部份都早已被明天的小學生學到了。
首先是牛頓的熱學三定理：
第一定理：假如不受力，物體保持勻速直線運動
第二定理：假如受力，物體的質量除以加速度等于受力，F=ma
第三定理：兩個物體之間的斥力和反斥力大小相等方向相反
太陽系的結構：經過天文學家的常年努力，破不僅宗教迷信，人們早已曉得月球和行星都圍繞著太陽轉。除了這般，天文學家還對月球和幾顆主要行星的軌道進行了精密的觀測。這種軌道的數據，對發覺萬有引力定理起到了決定性的作用。
據悉，牛頓把握的語文工具，比昨天的小學生多一些。牛頓發明了微積分，微積分在發覺萬有引力的過程中，也提供了幫助。
對于物體的下落和重力，數學學已經研究得很清楚了。初期的人類，天真地覺得重的物體比輕的物體下落快。也有聰明人意識到這肯定不對，他是這樣推論的：
把一個重的物體和一個輕的物體綁在一起，會產生一個更重的物體。假如重物比輕物下落快，那這個更重的物體一定下落更快。另一方面，輕物和重物綁在一起下落，它原本的下落速率慢，一定會向后連累重物的下落，所以這個復合物體下落的速率一定會比重物要慢。這就自相矛盾了，倒是重物和輕物下落一樣快可以自圓其說。
這套推理隱含的假定是物體的下落始于外因（例如它的質量），假如有其他外力干預（例如空氣阻力），這個推理就不組建了。明天我們曉得，蘋果之所以比樹根下落快，不是由于蘋果更重，而是由于樹根的形狀，讓它遭到的空氣阻力比重力大得多。
后來伽利略在漢堡斜塔上展示了重球和輕球同時落地。數學學最終是要靠實驗檢驗的，但這個事例表明，推理的力量也很強悍。
明天小學生在數學課中就會學到：假如不計空氣阻力，所有物體的下落過程都是勻加速運動，所有物體的加速度都是g。用牛頓的第二定理，我們曉得物體都遭到了一個重力，和它的質量成反比：F=mg。
從蘋果的下落找尋重力的起源
聽到哪個蘋果落到地上，牛頓首次開始思索重力的起源。古人認為物體向下落天經地義，但當時牛頓早已曉得大地是個球，月球是漂浮在宇宙中的。宇宙中并沒有一個稱作“下”的方向，月球似乎也沒有向那個方向落下去。日本和中國的蘋果就會落到地上，但兩地蘋果的下落角度差得很大。重力，更像是月球對所有物體的吸引。
但究竟是哪些誘因引起了月球對物體的吸引力？重力反比于質量，也就是說有質量的物體就會被吸引，雖然是物體的質量形成了吸引力。但為何這個吸引力只在月球和物體之間，為何兩個蘋果之間沒有吸引力？
把這個問題暫時放一放。我們應用一下牛頓第三定理。假如月球吸引蘋果導致了重力，這么這個重力會有一個反斥力，就是蘋果對月球的吸引力。月球對蘋果的吸引力反比于蘋果的質量，蘋果對月球的吸引力一定反比于月球的質量。但斥力和反斥力大小相等，惟一的可能性就是蘋果和月球之間的吸引力反比于蘋果質量除以月球質量。
這樣一來，之前的問題有答案了：假如兩個物體之間的吸引力反比于兩者質量的乘積，這么月球對蘋果的引力反比于月球質量除以蘋果質量，兩個蘋果之間的吸引力反比于兩個蘋果質量的乘積。后者是蘋果的重量，前者一定比蘋果的重量小好多好多。所以，很可能兩個蘋果之間是有吸引力的，只不過它太小，我們觀察不到。
假如月球由于有巨大的質量形成引力，這么月球和太陽，和其他行星之間是否也會有引力？
月球在繞太陽旋轉，但還沒有人想過為何，天上的事情自然是上帝安排的。很可能，牛頓在蘋果園里，從地面想到了天上。月球繞太陽公轉的軌道是一個近似的矩形，月球在環繞太陽做勻速圓周運動。
做勻速圓周運動的物體，是有一個加速度的。即使速率的大小不變，但方向不斷改變，隨時都在轉彎。這個加速度的方向指向圓心，大小由下邊這個公式給出。
轉動加速度公式
這個結果，用牛頓的微分很容易證明。明天中學的數學老師也會把這個結果教給中學生。
假如我們可以把牛頓第二定理用到整個月球上，這么月球一定是遭到了一個指向軌道圓心的力，那正是太陽的方向！月球繞太陽的公轉，完全可以用太陽的吸引力解釋。由于月球有速率，才不會像蘋果那樣掉下去。看來，很可能天上的、地上的物體，都滿足同樣的熱學定理，都有同樣的引力規律！
但為何是月球繞著太陽轉而不是太陽繞月球？為何所有的行星都繞太陽轉？這一定和月球上的所有蘋果都落到地面的誘因一樣：太陽的質量一定比所有的行星都大好多，因而太陽對每一顆行星的引力，比它們之間的引力大好多。
引力和距離的關系
兩個物體之間的引力大小，應當和距離有關，距離越遠引力越小，這才合理。否則，太陽比月球的質量大好多，我們和蘋果就會被吸到太陽里面去。但引力和距離是哪些樣的關系呢？
自然界最基本的規律，常常都是簡單的。例如牛頓第二定理，再簡單不過了。我們不妨猜猜，是跟距離成正比？還是跟距離的平方成正比？
等等，蘋果和月球之寬度離如何算？實際上，萬有引力定理，和牛頓三定理一樣，都是針對質點的。質點是具象下來的簡單物體，有質量，沒有規格和形狀結構。月球和蘋果之間的引力，須要把月球分割成無數的質點，分別估算蘋果和這種質點之間的引力牛頓第一定律現象舉例，再求和。這個估算，須要用到牛頓發明的積分。
月球對蘋果的引力
假如引力和距離的平方成正比，積分的結果非常簡單：月球對蘋果的引力，相當于把月球的質量都集中到地心那種點上。在引力的公式中，用蘋果到地心的距離（就是月球直徑）代入就可以了。假如引力不是和距離平方成正比，就沒有那么簡單漂亮的結果。蘋果樹下的牛頓似乎還不曉得這些，但他回到臥室后，一定可以推導入這個結果，明天物理基礎好的學院生，都可以獨立地完成這個證明。
假如地面的事情太復雜一時算不清楚，不妨去想想天上的東西。在太陽系內，恒星的直徑比它們之間的距離小好多，諾大的月球和太陽，反倒可以被近似地當成質點。各大行星繞著太陽轉動，直徑有大有小，它們會給出引力與距離關系的信息。
早在半個多世紀前，英國天文學家開普勒，就對各大行星的軌道進行了精密的觀測和估算，總結出了三個定理。其中第三定理非常簡單：行星的軌道直徑越大，公轉周期就越長，直徑的立方和周期的平方成反比。假如引力的距離平方成正比，就可以解釋開普勒第三定理。這個推論十分簡單，明天一個數學和物理基礎好中學生，也可以閉著眼睛在蘋果樹下完成這個證明。須要用到里面那種轉動加速度公式。
開普勒第三定理的推論
最后一行的公式右邊，是一個只和太陽質量有關，對月球和所有行星都一樣的常數，這就證明了開普勒第三定理。至此，從當時已知的科學知識出發，我們通過天馬行空的思索，和嚴謹塌實的推理，發覺了萬有引力定理。整個推論過程并沒有用到復雜的物理，牛頓完全可能在蘋果園里完成它。
牛頓的萬有引力定理
回到客廳，牛頓還做了更多的工作。開普勒還有另外兩條定理：第一定理：月球和行星的軌道是橢圓形的（很接近正圓的橢圓形），太陽坐落橢圓的一個焦點上。第二定理：行星和太陽的連線，單位時間內掃過的面積是一樣的（也就是說，行星離太陽近的時侯，速率會快些）。
牛頓用他的熱學第二定理，萬有引力定理，以及微積分語文工具，證明了這兩條定理。這下實錘了，我們除了定性地，但是定量地證明了宇宙中的天體，是根據和地面物體一樣的牛頓熱學定理和萬有引力定理運行的。
雜記
這還不算完，萬有引力定理預言了一個新的化學現象，就是兩個蘋果之間，任何兩個物體之間，也有一個很小的吸引力。這個現象必須得到實驗否認，這條定理才能被徹底接受。但這個力太小了，檢測它是須要很高的技術。在牛頓發表萬有引力定理的111年后，總算由卡文迪許完成了這個實驗，他用了兩個大標槍，檢測了它們之間的引力符合萬有引力定理牛頓第一定律現象舉例，同時第一次測到了萬有引力常數。
萬有引力常數
因為地面物體的引力是十分微弱的效應，關于引力的實驗總是很困難。后來，愛因斯坦于1916年發表了更中級的引力理論--廣義相對論；100年后的2016年，他預言的引力波才首次被偵測到。
牛頓把萬有引力定理，發表在他1687年的名著《自然哲學的物理原理》中。如何是哲學而不是數學學？那種時侯，數學學和整個科學都還沒有完全從哲學中分離下來。是牛頓成立了科學方式，成為了現代科學的奠基人。在哲學里，你可以自由地去思辨。在科學里，你也可以大膽假定，但你必須使用物理和邏輯進行嚴格的推理；更重要的，你必須用實驗和觀測結果做最終的檢驗真理的標準。數學學，就是哲學、數學與實驗相結合后形成的科學。
我們寫這篇事后諸葛亮的文章，正是為了展示數學學剖析問題的技巧。
1687年，康熙王朝正如日中天。但遙遠的西方形成了科學，一個多世紀后就改變中國的國運。
在西方，萬有引力定理也是重大的思想突破。之前人們總覺得天上的事情歸上帝管，如今發覺它們遵循和地面物體同樣的數學規律。虔敬的信徒牛頓興奮地說：我如今只須要上帝給我第一推進力，之后宇宙萬物就都屬于我的定理了！
謝謝那種蘋果，讓人類的認識往前邁出一大步！
