文：
翻譯：安宇森
譯者序：
本文作者是加洲理工大學(xué)的一名博士后研究員。這篇精彩的文章囊括了物理化學(xué)的眾多領(lǐng)域，介紹了其中令人拍案叫絕的科研進(jìn)展。通過拓?fù)鋱稣摚碚摚杜e幾何，魔群月光等方向，展示了物理和化學(xué)之間深刻的相像性，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)的思想對于物理發(fā)展的啟發(fā)。是一篇不可多得的物理化學(xué)科普佳作。
弦理論是一個引力的量子理論。的廣義相對論可以從弦論的等式中自然的衍生下來。這個結(jié)果是自洽的，由于它的估算并不會造成發(fā)散。弦理論或許是惟一自洽的引力的量子理論。假如它是對的，這么它將具有巨大的價值。無論它是不是對的，弦理論都無疑是物理中許多驚人的看法的來源。這是十分奇怪的一件事。由于之前總是物理影響化學(xué)學(xué)。當(dāng)愛因斯坦努力的想要抒發(fā)廣義相對論的時侯，他發(fā)覺他須要的工具早在60年前就早已被黎曼創(chuàng)造下來了。這是個典型的事例。而且物理家在化學(xué)學(xué)家開始用群論之前早就發(fā)覺了它。而在弦理論中，這卻是反過來的。數(shù)學(xué)學(xué)將它高貴的看法提供給了語文。這個結(jié)果就是GregMoore所說的數(shù)學(xué)物理。
拓?fù)鋱稣?span style="display:none">Vmf物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
我們總是在平直的空間背景下發(fā)覺化學(xué)。彈力球是圓的，然而椅子是平的。在月球表面做實驗的時侯，我們覺得月球的曲率是可以忽視的，將三維的歐式空間作為我們的背景。從球面推到環(huán)面，再繼續(xù)推廣，我們可以在更多的形狀上研究數(shù)學(xué)系統(tǒng)。那些提供了一個不同且令人激動的理解物理的方法。一個被禁錮在有磁場流通過的球上的電子只能搶占特定的量子化的基態(tài)。相像的，一個環(huán)面有兩個非乏味的支路（cycle）。弦的纏繞數(shù)記錄了它在每位支路（cycle）中繞了多少次。
量子熱學(xué)是一回事，狹義相對論是另一回事。這種理論不是自然的共存的。正統(tǒng)的量子熱學(xué)不容許粒子的形成和湮沒。狹義相對論支持它們。我們須要引入場來處理這個不一致。量子場論是滿足狹義相對論的量子熱學(xué)系統(tǒng)。標(biāo)準(zhǔn)模型是一個量子場論。化學(xué)學(xué)家總是給量子場論以額外的對稱性。諸如，超對稱理論要求粒子是配對的。對于每位玻色粒子總有一個費米子作為超伙伴。
超對稱場論有一個令人失望的障礙。假定一個超對稱量子場論定義在一個通常的彎曲流形上。牛頓數(shù)學(xué)的歐式度規(guī)和狹義相對論的洛倫茲度規(guī)被流形自己的度規(guī)取代。超荷對應(yīng)于守恒的旋量。在平空間下旋量等式的解有好多，并且在彎曲空間下這個解變的特別的有限。它們太有限了，以致于通常情況下是沒有解的。將一個平空間的超對稱場論推廣到通常的彎曲流形上破缺了所有的超對稱。卡拉比－丘流形，它們是滿足特定的平直性質(zhì)-----里奇平直性，一種弱化了的平直性的流形。它們?nèi)菰S有守恒的旋量。
然而球面沒有這樣的解。
上世紀(jì)80年代，給數(shù)學(xué)學(xué)家介紹了拓?fù)渑ぷ儭Ｒ粋€扭變可以成功的將超對稱場論耦合到彎曲流形上。選定正確的扭變，旋量多項式的非乏味解還會出現(xiàn)。這很大程度上是一種救出舉措，我們挽救了一部份在平空間中發(fā)覺的超對稱。扭變理論中的數(shù)學(xué)觀測量就是非扭變理論中出現(xiàn)的觀測量的子集。雖然非扭變理論中的觀測量，在眾多誘因中，依賴于背景流形的精確幾何結(jié)構(gòu)，出現(xiàn)在扭變理論中的子集只依賴于流形拓?fù)浞矫娴募?xì)節(jié)。
這是重要的，但是在物理上也是重要的。
拓?fù)渑ぷ儓稣撚袝r也被稱作上同調(diào)場論。這個扭變給這一個理論提供了格拉斯曼或則反對易的標(biāo)量對稱性Q。化學(xué)可觀測量在這個對稱性的上同調(diào)中。度規(guī)的變型對于Q算子是恰當(dāng)?shù)模⒓醇訌娏死碚摰年P(guān)聯(lián)函數(shù)的度規(guī)無關(guān)性。對于Q操作閉的場的關(guān)聯(lián)函數(shù)個別時侯可以通過強悍的超對稱局域化的技術(shù)來精確估算。
這種可以估算的關(guān)聯(lián)函數(shù)是拓?fù)浠騽t幾何的不變量。雖然不考慮化學(xué)，這種不變量仍然是許多物理課題的焦點。
理論
四維幾何具有豐富的特殊結(jié)構(gòu)。物理家的第一要務(wù)是通過對四維流形進(jìn)行分類來給這個豐富的結(jié)構(gòu)賦于秩序。不是每件事都馬上要做。關(guān)鍵的事情要先做。諸如哪些時侯兩個流形是拓?fù)涞葍r的，即同胚的。在1982年，展示了兩個流形是同胚的當(dāng)且僅當(dāng)它們在（上）同調(diào)條紋里有著相同的相交方式（form）。其次重要的是，同胚的流形不一定是微分同胚的。作為光滑流形它們不是等價的。光滑性給流形之間提出了新的層面上的問題。怎樣區(qū)分互相之間同胚但不是微分同胚的流形和互相之間微分同胚的流形？1983年，在四維光滑流形中引入了一系列的不變量，用以分辨同胚但不是微分同胚的流形。不變量有著嚴(yán)格的幾何定義，并且它們卻遭到了楊米爾斯規(guī)范理論的瞬子構(gòu)形的啟發(fā)。這個構(gòu)形是理論的運動多項式的解。在物理家之間，這個解稱作反自排比聯(lián)絡(luò)。
給定一個李群G和M上的一個主叢P。聯(lián)絡(luò)是A，這個量可以和平移的概念結(jié)合上去。化學(xué)學(xué)家把A稱作規(guī)范場，如同所有其他的場一樣，A在路徑積分中是容許漲落的。M上還有其他自然的矢量叢。通過應(yīng)用G的主叢，這種是和G的表示相關(guān)的伴叢。它們的聯(lián)絡(luò)可以從A誘導(dǎo)下來。化學(xué)學(xué)家把這看作物質(zhì)場。A的曲率是一個稱作規(guī)范場強的二方式，它可能會分解成自排比和反自排比的份量。假如一個場強是完全反自排比的，這么它們在M上的積分是一個正整數(shù)，稱作瞬子數(shù)。反自排比聯(lián)絡(luò)使楊米爾斯作藥量取極小值，因而不同的瞬子數(shù)標(biāo)志著不同的拓?fù)浞种В騽t稱作場構(gòu)形空間中的不同區(qū)域。對于一個固定的瞬子數(shù)，對于可能的反自排比（ASD）聯(lián)絡(luò)存在一個具象的幾何空間－－瞬子模空間。在最簡單的情況下，模空間的方向?qū)?yīng)于一些參數(shù)，比如瞬子的空間位置。
用微分方式的積分定義了他的拓?fù)洳蛔兞俊Ｎ⒎址绞降姆e分并不比高等微積分更為復(fù)雜，而且對于這種技術(shù)的使用給人最為印象深刻的一點是，他決定在反自排比（ASD）聯(lián)絡(luò)的模空間下估算這種積分。也構(gòu)造了一個映射來從M的同調(diào)群中得到合適的微分方式。
在理解不變量的過程中，化學(xué)學(xué)家挖到寶了。她們提供了一個實際的估算，和在完成證明中須要的幾個重要概念。M上的不變量能否被整理成-生成函數(shù)。“－”中的是，惟一一個得到了菲爾茲獎的化學(xué)學(xué)家。
在1994年，給物理家引入了楊－米爾斯的扭變超對稱版本，將這個理論放到了彎曲的四維流形上。這個結(jié)果是-理論。不變量弄成了扭變楊米爾斯的關(guān)聯(lián)函數(shù)。每位關(guān)聯(lián)函數(shù)拿來估算-生成函數(shù)的一個系數(shù)。清楚具體的展示了拓?fù)鋱稣撝幸?guī)范不變的方程，以及它們的Q對稱性，是怎樣生成映射的像中所有的微分方式的。
和以后做了一個關(guān)于超對稱規(guī)范理論的漂亮的工作，發(fā)覺它們的行為等價于一個描述弱耦合磁單極的場論。這兩個看起來不同的化學(xué)系統(tǒng)之間的等價性稱作排比。它們在場論和弦論中四處都是。這個系統(tǒng)的一種描述是容易研究的，而另一種一般不是。
和的工作引起了一類新的可以估算的幾何不變量，稱作-不變量，它計數(shù)了磁單極等式的解。描述道，這種不變量抒發(fā)了不變量能提供的所有信息，并且它們簡單的磁單極描述促使不變量的許多性質(zhì)十分的平時而且很容易估算。隔了幾周以后，寫道：“長時間的問題解決了，新的想像不到的結(jié)果發(fā)覺了，已知的結(jié)果有了新的證明，研究的新天地打開了。”
深刻而困難的物理看法的極端簡化的版本是從理論化學(xué)中獲得的。物理家從沒想過可以得到它，而化學(xué)學(xué)家從沒想過可以給出它。
鏡像對稱
弦理論是在一個空間維度下延伸的，但是在時空中運動。隨著它的運動，弦在時空中掃出了一個二維面，它的世界面。弦世界面的上的場論即是共形不變的又是超對稱的。共形對稱性和系統(tǒng)的尺度不變性有著密切的聯(lián)系。不論是放大還是縮小，這個系統(tǒng)總是不變的。
枚舉幾何是拿來計數(shù)自然的幾何問題中解的數(shù)目的學(xué)問。在公元前200年，想要曉得怎樣找尋在一個平面上和三個給定的圓同時相切的圓的個數(shù)。總共有8個。假如活到如今，他可能想要問有多少個面可以被鑲嵌到一個高維的流形里，比如卡拉比－丘流形。
在一個卡拉比－丘流形上傳播的弦可能會通過它對于復(fù)曲線的個數(shù)十分敏感這一點來探求這個幾何。這個信息十分的有用，由于就是這種數(shù)列出了弦的世界面可能鑲嵌進(jìn)卡拉比－丘流形上的可能的方法。考慮一系列從黎曼面（或則叫世界面）到卡拉比－丘流形X的映射。描述它的二維的量子場論稱作超對稱－非線性sigma理論。二維的玻色場可以理解成X上的局域的座標(biāo)。費米場和規(guī)范場映射到相應(yīng)的叢的截面上，作藥量中的耦合常數(shù)是和X相關(guān)的幾何參數(shù)。玻色動能項的耦合常數(shù)就是X上的度規(guī)。
弦理論針對于枚舉幾何有好多可以說的，假如它還能在sigma模型里分離出編碼流形上曲線數(shù)目的數(shù)據(jù)的話，就可以說的更多。
有這個提取過程的印象，我們可以將非線性sigma模型進(jìn)行拓?fù)渑ぷ儭６S的拓?fù)渑ぷ兪强赡艿模蠥扭變和B扭變兩種形式，有A(X)和B(X)兩種理論。它們都是拓?fù)鋱稣摚梢杂米陨硐鄳?yīng)的方法和-理論進(jìn)行對比。它們的關(guān)聯(lián)函數(shù)和二維的世界面上的度規(guī)是沒有關(guān)系的。另一方面，按照扭變，這種關(guān)聯(lián)函數(shù)有著不同的時空解釋，每一個對應(yīng)于在非扭變模型里映射的不同的子集。A扭變將變量局域在了一個X上的全純映射中。而B扭變，局域化選定了常數(shù)映射。
雖然兩個扭變形成了看上去十分不同的理論，后來發(fā)覺A和B扭變的區(qū)別只是符號的差異。在一個非扭變的理論中，有一個sigma模型之間的同構(gòu)映射，區(qū)別僅在于符號。一個sigma模型有一個靶空間卡拉比－丘流形X.另一個則是卡拉比－丘空間Y。這個等價性稱作鏡像對稱性。Y是X的鏡像。在扭變理論的層次上，這個等價性弄成了方程A(X)=B(Y),.由于常數(shù)映射很容易去研究而全純映射不這么容易，在B(Y)中估算化學(xué)量是估算A(X)中的數(shù)學(xué)量的一個有力的方式。
這引起了-不變量，它直接和計數(shù)曲線有關(guān)。鏡像對稱的威力第一次在簡單的卡拉比丘流形五次型（）中詮釋了下來。在流形中曲線的計數(shù)可以通過曲線的等級簡化，之后弄成一個拿來抒發(fā)每一級曲線數(shù)量的生成函數(shù)。曲線越復(fù)雜精美，它的等級越高。隨著等級的下降物理學(xué)五大分支，曲線的數(shù)量會驟降。等級1的曲線就是直線，在五次型卡拉比丘空間中直線的數(shù)量很容易估算。這由在19世紀(jì)末就得到了。在五次型中有2875個復(fù)直線。在1986年，確定了五次型包括條等級為2的曲線。
枚舉幾何的進(jìn)展是平緩的，估算很快就顯得十分繁雜。倘若任何人想要通過蠻力來數(shù)等級為3的曲線的數(shù)量，這么他的工作將是非常艱難的。
等人在1990s開始研究五次型()上的弦論。她們是由鏡像對稱性指引的。指定五次型為X，它的鏡像是Y。考慮A（X），拉式量有一項是Q恰當(dāng)?shù)模蚨谒惴纳贤{(diào)類中是乏味的。剩下的項是一個凱勒方式的積分，凱勒方式是一個微分方式。正是這一方式容許我們檢測卡拉比丘流形X中的環(huán)的容積。A（X）只依賴于凱勒方式。A（X）上的關(guān)聯(lián)函數(shù)退化到全純映射空間下的積分，這恰好和－不變量一致。Sigma模型要求一個困難的非微擾修正的無窮級數(shù)。由于鏡像對稱性的魔力，它們一定等價于B（Y）上的一個量，它們退化到恒等映射空間中的積分。這種積分恰好就是精典下精確稱作周期的量，這個量依賴于Y的復(fù)結(jié)構(gòu)。凱勒結(jié)構(gòu)控制著流形或則子流形的尺度，其上的復(fù)結(jié)構(gòu)和它的形狀。等人還能估算Y的周期積分，用一個大膽的稱作鏡面映射的變量替換，通過在全純映射的等級下一級一級的做，來將答案進(jìn)行展開來提取－不變量。
緊接著就是數(shù)學(xué)物理的令人炫目的表演了
等人用鏡像流形中徜徉的時侯，物理家正在努力用她們復(fù)雜的工具和一系列天才的計算機程序來計數(shù)等級為3的曲線。GeirandSteinStr?mme推測有2,682,549,425個這樣的曲線，解析的估算方式和證明這時沒用了，而簡單粗魯?shù)姆绞絼俪隽恕Ｋ齻冊诓死奈锢硌芯繖C構(gòu)展示了這個結(jié)果。那是1991年，和他的朋友表示異議，這個數(shù)是.物理家很懷疑。在鏡像對稱性中，數(shù)學(xué)學(xué)家用了物理家沒有據(jù)說過的方法。她們的估算依賴于一個非凡的推測，在一個卡拉比丘流形中的精典的周期積分等價于另外一個完全不同的卡拉比丘流形中計數(shù)的曲線數(shù)量。這個命題，若果是對的，就是革命性的。和慎重的檢測了她們的工作，之后在計算機程序中發(fā)覺了一個錯誤。
她們宣布她們的修正：數(shù)學(xué)學(xué)勝利了。
丘成桐先生
魔群月光推測
高能化學(xué)學(xué)家用對稱性來編織她們的理論。超對稱和共形對稱是其中的反例。一個數(shù)學(xué)理論的好多方面，像是粒子迸發(fā)，是要求它們和系統(tǒng)的對稱性相容來限制的。群理論無處不在。
有限群包含有限個元素。通常來說，有限群可以分解成正規(guī)子序列，在這個序列中每位群都是下一個群的正規(guī)子群。有限單群是沒有非乏味的正規(guī)子群的這些有限群。它們是有限群的基本組成元。有限單群類似于質(zhì)數(shù)。隨著有限群理解的深入，物理家抒發(fā)了想要將它們分類的心愿。在幾十年的冗長乏味的合作以后，2004年，她們完成了這件事。有限單群分類為18個被理解的挺好的群，比如質(zhì)數(shù)階的循環(huán)群，還有26個額外或則稱作散在的單群。在散在單群中，最大的就是魔群，魔群中包含了1054個元素。許多其他的散在的單群可以作為這個怪物的子商群被實現(xiàn)。散在單群是奇異的結(jié)構(gòu)，它們在物理中是否具有更深層次的意義仍然是有待研究的。
這個問題的答案和魔群的表示密切相關(guān)，一個表示是將一個具象的群用線性空間的變換具體化物理學(xué)五大分支，因而將一個具象的群中的元素和一個矩陣結(jié)合上去。矩陣的大小是表示的維數(shù)。不可約表示構(gòu)成一個不可分割的表示的完備集，所有其它的表示都可以通過類似直和這樣的簡單操作從它們構(gòu)造出來。魔群有194個不可約表示。每位群都有一個一維表示對應(yīng)于乏味的群操作。在乏味的表示以后，魔群第二小的不可約表示是維的，第五小的是維的等等。那些不是就能迸發(fā)物理家通過精確構(gòu)造來進(jìn)行思索的數(shù)字。魔群和它作用的自然的對象，直至魔群月光推測發(fā)覺之前，仍然是神秘的。
模方式在圖論中很自然的形成，它們定義在上半復(fù)平面上的函數(shù)f(τ)。它在τ被一個模群SL2(Z):f(γ.τ)=(cτ+d)kf(τ)上的元素γ的作用下是協(xié)變的。這是一個2×2矩陣群，每位元素都是整數(shù)且導(dǎo)數(shù)為1.半整數(shù)的k稱作模方式的權(quán)重，c和d代表在矩陣γ第二行中的兩個整數(shù)元素。模方式是重要的物理對象。這個方式的展開式的系數(shù)常常是圖論學(xué)家感興趣的整數(shù)。這種整數(shù)方程的證明有時可以通過之前模方式滿足的泛函方程進(jìn)行證明。J函數(shù)是一個在模變換下不變的特殊函數(shù)，它根據(jù)權(quán)重為0的模方式進(jìn)行變換。J函數(shù)，實際上，是所有這一類模不變函數(shù)的生成元，由于它們都可以由J函數(shù)方程的比表示下來。
接出來一件令人驚奇的數(shù)學(xué)物理的特點風(fēng)波發(fā)生了，最初由群論學(xué)家在1978年注意到的。當(dāng)閑著沒事翻翻圖論書的時侯，他發(fā)覺j函數(shù)而且觀察到它的傅立葉展開從一個有趣的因子1開始，之后是，而且=1+，這是魔群的頭兩個不可約表示維數(shù)相乘得到的維數(shù)。他寄信給John，而John發(fā)覺j函數(shù)的下一個因子是21,493,760=21,296,876+196,883+1.
這個高貴的圖論結(jié)構(gòu)才能給出最大的散在單群的信息嗎？它看起來是令人驚訝而且奇怪的。因而得名：魔群月光猜測。
物理家John和Simon，首先通過問一個模對象的特定的類怎么編碼魔群的數(shù)據(jù)來將魔群月光推測抒發(fā)下來。她們推測，我們可以對每位魔群上的共軛類賦于一個模函數(shù)，這個共軛類在特殊的，虧格為0的SL2(R)的子群G的變換下是不變的。假如是這樣，她們的傅立葉展開可能包括魔群的表示的信息。它們的系數(shù)是群元素的特點標(biāo)，模函數(shù)和恒等類相聯(lián)系，那就是J函數(shù).
一系列的推測以魔群月光推測而出名。
之后在1992年，它們由證明了。他的證明中的一些元素直接遭到弦論的啟發(fā)。他也引入了許多新的物理結(jié)構(gòu)，廣義的Kac-Moody代數(shù)，這種反過來造成了有趣的化學(xué)。許多魔群月光推測的化學(xué)內(nèi)容，和的證明的核心組成部份，來自物理家對于共形場論的建立。在物理中，共形場論稱作頂點算子代數(shù)。澄清魔群月光推測的頂點算子代數(shù)是由Igor，James，Arne兩人構(gòu)造的。而翻譯到弦論的工作由，Paul，.完成。對于弦論學(xué)家，j函數(shù)是一個專門的東西，是一個基態(tài)上的粒子狀態(tài)數(shù)量的配分函數(shù)。魔群在頂點算子代數(shù)上通過一個對稱性來作用。它和伊寧頓量對易而且保持能級不變，雖然真空上的迸發(fā)態(tài)通過對稱性的表示來組織上去。
配分函數(shù)的模不變性化學(xué)上是自然的。考慮一個閉弦圈的世界面上的共形場論。世界面具有圓錐型的拓?fù)洹榱斯浪闩浞趾瘮?shù)，圓錐的兩頭融合產(chǎn)生一個環(huán)面。歐式的時間座標(biāo)起到了有限的體溫的作用——這是在量子熱學(xué)和量子場論中都常常使用的一個認(rèn)同。模群SL2(Z)是將環(huán)面看成是一個拓?fù)淇臻g后其上的對稱群，因而給同胚變換的類指定的群將環(huán)面映射到自身。這種對稱性不影響背后的數(shù)學(xué)。這是我們熟悉的在量子熱學(xué)中估算點粒子不依賴于世界線的參數(shù)化這一基本事實在弦理論下的擴(kuò)充。數(shù)學(xué)上的一致性要求關(guān)于環(huán)面的一個任意的參數(shù)化不影響像配分函數(shù)之類的可觀測量。配分函數(shù)在SL2(Z).下一定是模不變的
另外一個魔群月光的模函數(shù)，和SL2(R)的虧格為0的子群有聯(lián)系，當(dāng)虧格為0的群是SL2(Z)的子群時，它也有一個共形場論的理論理解。它們的模不變性的論證和剛才給出的化學(xué)論證是一致的。對于虧格為0但不在SL2(Z)里的SL2(R)的子群，相關(guān)函數(shù)的模不變性沒有顯著的解釋，不論是數(shù)學(xué)上的還是物理上的。，其實，證明了這個猜測，然而他的證明中的這部份關(guān)于虧格為0的性質(zhì)，須要暴力的驗證，而不像是概念上的解釋。它在神秘的月光猜測中始終就是一個重要的懸案。就在近來,和我提出了關(guān)于魔群月光中虧格為0的性質(zhì)的一個概念上的解釋，我們用到了介孔弦中時空的性質(zhì)。這個構(gòu)造將證明中的代數(shù)的部份在數(shù)學(xué)上筑牢了。
魔群月光的觀察最終是弦論時空和世界面上的對稱性的自然結(jié)果，形成了令人驚訝的代數(shù)結(jié)構(gòu)。許多年前，問了一個怎樣解釋物理在數(shù)學(xué)中無法置信的有效性的問題。相比于回答這個問題，由于問出了這個問題促使他的文章是很有影響力的。明天，可能我們可以寫一個類似的文章，來尋求為何數(shù)學(xué)在物理中這么有效的解釋。假如物理和數(shù)學(xué)在許多層面上是等價的，這么它們的不同將不是內(nèi)容上的而是方法上的不同。最終會展示出她們都通向惟一的一個實在。
如此想想是不是十分乖巧？
推薦參考資料：
弦論淺顯讀物：
Brian,The:,,andtheQuestforthe(NewYork:,1999).
弦論教科書：
,1:Antothe(:Press,1998);
,2:and(:Press,1998).
網(wǎng)站：
：
~//.html
ofGregMoore:
~/
