(1上海交通學(xué)院理大學(xué))
(2中國(guó)科大學(xué)數(shù)學(xué)研究所)
(3上海教育科學(xué)研究院)
(4天津師范學(xué)院科學(xué)教育研究院)
本文選自《物理》2022年第1期
01
從具象理念到具體實(shí)例
《物理思想進(jìn)課堂》專欄在2021年度通過(guò)12篇文章從原則和目的、層次和結(jié)構(gòu)、范式和技巧等較為底層和具象的方面對(duì)化學(xué)學(xué)的輪廓進(jìn)行了描繪[1]。2022年，專欄將嘗試把這種較為具象的理念融入力、熱、聲、光、電、磁等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容中，產(chǎn)生較為具體的專題和實(shí)例，以期和一線基礎(chǔ)數(shù)學(xué)班主任有更多的剖析。
02
現(xiàn)象與緣由
在許多人眼中，數(shù)學(xué)學(xué)是一門“透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)”的學(xué)問(wèn)。較為慎重地說(shuō)，一方面數(shù)學(xué)學(xué)內(nèi)相當(dāng)多的前沿領(lǐng)域還處在探究現(xiàn)象與現(xiàn)象關(guān)聯(lián)階段，暫時(shí)還談不上“本質(zhì)”；另一方面因?yàn)椤氨举|(zhì)”一詞往往給人“終極真理”的覺(jué)得，但數(shù)學(xué)學(xué)卻隨著人類的認(rèn)識(shí)水平不斷發(fā)展，明天的所謂“本質(zhì)”明天就可能不夠“本質(zhì)”，因而筆者用“原因”代替“本質(zhì)”來(lái)敘述：數(shù)學(xué)學(xué)是一門探究“現(xiàn)象間關(guān)聯(lián)以及現(xiàn)象后緣由”的學(xué)問(wèn)。
如2021年專欄多篇文章提及過(guò)的，數(shù)學(xué)學(xué)的建立過(guò)程大體經(jīng)過(guò)兩次“思維經(jīng)濟(jì)”：第一次是通過(guò)對(duì)各類現(xiàn)象進(jìn)行定量地精確觀察，從中歸納總結(jié)出現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)(唯象規(guī)律)，產(chǎn)生對(duì)自然知識(shí)的第一次“思維經(jīng)濟(jì)”；之后進(jìn)一步在邏輯和物理工具的幫助下，探訪那些“表面規(guī)律”背后的緣由，構(gòu)建更為簡(jiǎn)約、完備、精確的模型和理論(數(shù)學(xué)理論)來(lái)完成第二次“思維經(jīng)濟(jì)”[2]。
精典熱學(xué)的構(gòu)建過(guò)程是個(gè)挺好的反例。
03
從開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定理到牛頓運(yùn)動(dòng)定理
開(kāi)普勒基于第谷對(duì)行星運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象的大量觀測(cè)數(shù)據(jù)(非常是火星的運(yùn)行)，對(duì)其進(jìn)行歸納和總結(jié)，在1609年發(fā)表開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)第一和第二定理，又在1619年發(fā)表第三定理。這三條定理敘述為：(1)行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上(橢圓定理)；(2)行星和太陽(yáng)的連線在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過(guò)的面積相等(面積定理)；(3)所有行星繞太陽(yáng)一周的星體時(shí)間T的平方與它們軌道半長(zhǎng)軸a的立方成比列(調(diào)和定理)[3]。產(chǎn)生了對(duì)第谷行星運(yùn)動(dòng)知識(shí)的第一次“思維經(jīng)濟(jì)”。
圖1開(kāi)普勒和行星運(yùn)動(dòng)定理
軌道是橢圓，太陽(yáng)在焦點(diǎn)，連線掃過(guò)面積與時(shí)間的關(guān)系，公轉(zhuǎn)周期與軌道長(zhǎng)半軸的關(guān)系，這種其實(shí)都只是現(xiàn)象與現(xiàn)象的關(guān)聯(lián)，并不涉及“原因”的問(wèn)題。就好象我們?cè)谝恢粧扃姳肀P上發(fā)覺(jué)的規(guī)律：最長(zhǎng)的表針每秒鐘動(dòng)1格，中間厚度的表針每分鐘動(dòng)1格，最短的表針每小時(shí)動(dòng)1格，至于它的機(jī)芯是機(jī)械的、石英的還是某個(gè)“精靈”在上面推進(jìn)，在表針的規(guī)律中并不反映。
運(yùn)動(dòng)背后的誘因究竟是哪些呢？亞里士多德覺(jué)得地面上物體的一種運(yùn)動(dòng)形式始于組成物體的基本元素(水、火、土、氣)回到自然位置的自然本性，稱為自然運(yùn)動(dòng)()；另一種則是物體須要遭到外界的作用才能運(yùn)動(dòng)，作用一旦撤掉，運(yùn)動(dòng)也就趨向停止，稱為受迫運(yùn)動(dòng)()。天上的天體運(yùn)動(dòng)()也算是一種自然運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)動(dòng)形式是完美又無(wú)始無(wú)終的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
伽利略則用實(shí)驗(yàn)來(lái)找尋運(yùn)動(dòng)的誘因。他發(fā)覺(jué)在光滑斜面上同時(shí)釋放相同形狀但不同輕重的滾球，不論斜面角度大小，它們總是齊頭并進(jìn)(傳說(shuō)中的漢堡斜塔實(shí)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)是斜面實(shí)驗(yàn)的一個(gè)斜面為90°的極限情況)，這一證據(jù)否定了亞里士多德“自然運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)。而當(dāng)把兩個(gè)光滑斜面對(duì)在一起時(shí)，伽利略又發(fā)覺(jué)從左側(cè)滾下的小球，總能抵達(dá)旁邊差不多相同的高度。隨著對(duì)側(cè)斜面變緩，小球在水平方向上滾粗的距離也越長(zhǎng)，這么在極限情況下，當(dāng)旁邊的斜面達(dá)到水平時(shí)小球也將持續(xù)滾動(dòng)下去。這意味著一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)并不須要外力的維持，亞里士多德的“受迫運(yùn)動(dòng)”，即力是物體維持運(yùn)動(dòng)的誘因也是不對(duì)的。伽利略把物體不受外力而維持運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的性質(zhì)稱為慣性()，不過(guò)他覺(jué)得的慣性運(yùn)動(dòng)()是順著月球表面的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
牛頓在伽利略對(duì)運(yùn)動(dòng)緣由探究的基礎(chǔ)上考量開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)定理，構(gòu)建起一套闡明行星運(yùn)動(dòng)緣由的理論，也是地面上的物體各類運(yùn)動(dòng)共同遵守的法則——牛頓運(yùn)動(dòng)定理：
(1)物體在不受外力或合外力為零的情況下將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。
這是對(duì)伽利略慣性概念的承繼和弘揚(yáng)(勻速直線運(yùn)動(dòng))，同時(shí)也提供了慣性運(yùn)動(dòng)的判定根據(jù)——不受外力或合外力為零的物體一定在做慣性運(yùn)動(dòng)，于是我們能夠以這個(gè)物體為參照物構(gòu)建慣性參照系(frame)。伽利略相對(duì)性原理告訴我們“一切慣性參照系中熱學(xué)規(guī)律保持不變”(相對(duì)論將其進(jìn)一步擴(kuò)展為“一切慣性參照系中數(shù)學(xué)規(guī)律保持不變”)，換句話說(shuō)在一個(gè)慣性系中創(chuàng)立的熱學(xué)規(guī)律在所有慣性系中都組建且方式不變。這為建立一個(gè)簡(jiǎn)約、完備、精確、普遍適用的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。
(2)具有一定動(dòng)量的物體，在外力作用下，其動(dòng)量隨時(shí)間的變化率同該質(zhì)點(diǎn)所受的外力成反比，并與外力的方向相同。
既然力是物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的緣由，力和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變之間的確切關(guān)系是哪些呢？牛頓第二定理給出了定量的回答，質(zhì)點(diǎn)所受的外力與其加速度成反比。這個(gè)比列系數(shù)的大小與物質(zhì)的多少有關(guān)，同時(shí)反應(yīng)了物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度，牛頓將其稱為“慣性質(zhì)量”。
須要說(shuō)明的是，牛頓第二定理中的動(dòng)量或是加速度，都是在根據(jù)牛頓第一定理確定的慣性參照系基礎(chǔ)上描述的，所以第一、第二定理是各自獨(dú)立的，牛一律不能視為牛二律外力為零的特例。
(3)互相作用的兩個(gè)物體之間的斥力和反斥力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。
牛頓第三定理是不能由第一、第二定理推出的，是構(gòu)建在大量實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一條獨(dú)立定律。在慣性定理的基礎(chǔ)上，牛頓第二定理給出了外力和物體的加速度成反比的關(guān)系，但是這兒只有加速度a可以通過(guò)直接檢測(cè)獲得。力和慣性質(zhì)量是兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的量，但其絕對(duì)數(shù)值的確定卻須要利用牛頓第三定理。因?yàn)閮蓚€(gè)物體之間的斥力和反斥力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上，這么互相作用的兩個(gè)物體其加速度大小之比正好是兩者慣性質(zhì)量之比的倒數(shù)，我們定義一個(gè)慣性質(zhì)量的基準(zhǔn)(如過(guò)去采用的國(guó)際千克原器)，這么其他物體的慣性質(zhì)量就可以通過(guò)與基準(zhǔn)物體互相作用，對(duì)二者加速度的直接檢測(cè)而得到：
牛頓運(yùn)動(dòng)三定理既互相獨(dú)立又構(gòu)成一個(gè)有機(jī)整體，定量地解釋了各類運(yùn)動(dòng)背后的誘因——不受力或合外力為零的物體保持慣性運(yùn)動(dòng)，而物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化的緣由則是遭到了力。輔以萬(wàn)有引力定理，牛頓熱學(xué)體系幾乎就能解決宏觀低速情況下的所有熱學(xué)問(wèn)題，完成了第二次“思維經(jīng)濟(jì)”。
其實(shí)，萬(wàn)有引力定理——任何兩個(gè)物體都存在通過(guò)其連心線方向上的互相吸引的力牛頓第一定律內(nèi)容和公式，其大小與它們質(zhì)量的乘積成反比，與它們距離的平方成正比，畢竟還是現(xiàn)象和現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)，至于引力形成的緣由是哪些，目前我們?nèi)圆粫缘谩?span style="display:none">ZkZ物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
04
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的“運(yùn)動(dòng)學(xué)”與“動(dòng)力學(xué)”
運(yùn)動(dòng)學(xué)()是從幾何的角度描述和研究物體位置隨時(shí)間的變化規(guī)律，開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三定理是典型的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律。而動(dòng)力學(xué)()則是研究運(yùn)動(dòng)的變化與導(dǎo)致變化的緣由，牛頓運(yùn)動(dòng)定理是動(dòng)力學(xué)規(guī)律。
圖2基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的主要熱學(xué)問(wèn)題
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的熱學(xué)大體由運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)兩部份構(gòu)成，具體如圖2所示。其中運(yùn)動(dòng)學(xué)的部份大體只有兩類問(wèn)題：(1)已知物體的位置隨時(shí)間的變化規(guī)律通過(guò)微分得到速率、加速度；(2)已知物體的加速度、速度，通過(guò)積分結(jié)合初始條件確定位置隨時(shí)間的變化規(guī)律。
第(1)類問(wèn)題配合動(dòng)力學(xué)雖然就是按照運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象找尋緣由的過(guò)程；而第(2)類問(wèn)題則是依據(jù)受力或動(dòng)量的情況斷定運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的過(guò)程。
學(xué)校階段因?yàn)槿鄙傥⒎e分和向量代數(shù)等物理工具，一般處理的都是較為特殊的情況。從最基本的慣性運(yùn)動(dòng)——?jiǎng)蛩僦本€運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，物體因?yàn)槭芰Χl(fā)生運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變時(shí)，一般也只處理幾種簡(jiǎn)單情況：
(1)勻變速直線運(yùn)動(dòng)：加速度大小不變，方向不變且與速率方向平行；
(2)勻速率圓周運(yùn)動(dòng)：加速度大小不變，方向一直與速率方向垂直；
(3)拋體運(yùn)動(dòng)：加速度大小、方向均不變，方向與速率方向有一定角度。
在這個(gè)基本脈絡(luò)之下，運(yùn)動(dòng)與力的問(wèn)題便可提綱挈領(lǐng)、綱舉目張，剩下的就是剖析和估算方法問(wèn)題了。
參考文獻(xiàn)
[1]皮埃爾·迪昂.化學(xué)學(xué)理論的目的與結(jié)構(gòu).上海：商務(wù)印書館，2005.p.39
[2]魏紅祥等.從“學(xué)會(huì)已知”到“探索未知”——物理思想進(jìn)課堂專欄年度回顧與展望.化學(xué)，2021，50(12)：853
[3]咸世強(qiáng).牛頓萬(wàn)有引力定理的發(fā)覺(jué)淵源——從所謂的開(kāi)普勒定理到萬(wàn)有引力定理.化學(xué)牛頓第一定律內(nèi)容和公式，1998，27(9)：557
化學(xué)思想進(jìn)課堂專題：
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