(1上海交通學(xué)院理大學(xué))
(2中國科大學(xué)數(shù)學(xué)研究所)
(3上海教育科學(xué)研究院)
(4天津師范學(xué)院科學(xué)教育研究院)
本文選自《物理》2022年第1期
01
從具象理念到具體實例
《物理思想進(jìn)課堂》專欄在2021年度通過12篇文章從原則和目的、層次和結(jié)構(gòu)、范式和技巧等較為底層和具象的方面對化學(xué)學(xué)的輪廓進(jìn)行了描繪[1]。2022年，專欄將嘗試把這種較為具象的理念融入力、熱、聲、光、電、磁等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容中，產(chǎn)生較為具體的專題和實例，以期和一線基礎(chǔ)數(shù)學(xué)班主任有更多的剖析。
02
現(xiàn)象與緣由
在許多人眼中，數(shù)學(xué)學(xué)是一門“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”的學(xué)問。較為慎重地說，一方面數(shù)學(xué)學(xué)內(nèi)相當(dāng)多的前沿領(lǐng)域還處在探究現(xiàn)象與現(xiàn)象關(guān)聯(lián)階段，暫時還談不上“本質(zhì)”；另一方面因為“本質(zhì)”一詞往往給人“終極真理”的覺得，但數(shù)學(xué)學(xué)卻隨著人類的認(rèn)識水平不斷發(fā)展，明天的所謂“本質(zhì)”明天就可能不夠“本質(zhì)”，因而筆者用“原因”代替“本質(zhì)”來敘述：數(shù)學(xué)學(xué)是一門探究“現(xiàn)象間關(guān)聯(lián)以及現(xiàn)象后緣由”的學(xué)問。
如2021年專欄多篇文章提及過的，數(shù)學(xué)學(xué)的建立過程大體經(jīng)過兩次“思維經(jīng)濟(jì)”：第一次是通過對各類現(xiàn)象進(jìn)行定量地精確觀察，從中歸納總結(jié)出現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)(唯象規(guī)律)，產(chǎn)生對自然知識的第一次“思維經(jīng)濟(jì)”；之后進(jìn)一步在邏輯和物理工具的幫助下，探訪那些“表面規(guī)律”背后的緣由，構(gòu)建更為簡約、完備、精確的模型和理論(數(shù)學(xué)理論)來完成第二次“思維經(jīng)濟(jì)”[2]。
精典熱學(xué)的構(gòu)建過程是個挺好的反例。
03
從開普勒行星運動定理到牛頓運動定理
開普勒基于第谷對行星運動現(xiàn)象的大量觀測數(shù)據(jù)(非常是火星的運行)，對其進(jìn)行歸納和總結(jié)，在1609年發(fā)表開普勒行星運動第一和第二定理，又在1619年發(fā)表第三定理。這三條定理敘述為：(1)行星繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上(橢圓定理)；(2)行星和太陽的連線在相等的時間間隔內(nèi)掃過的面積相等(面積定理)；(3)所有行星繞太陽一周的星體時間T的平方與它們軌道半長軸a的立方成比列(調(diào)和定理)[3]。產(chǎn)生了對第谷行星運動知識的第一次“思維經(jīng)濟(jì)”。
圖1開普勒和行星運動定理
軌道是橢圓，太陽在焦點，連線掃過面積與時間的關(guān)系，公轉(zhuǎn)周期與軌道長半軸的關(guān)系，這種其實都只是現(xiàn)象與現(xiàn)象的關(guān)聯(lián)，并不涉及“原因”的問題。就好象我們在一只掛鐘表盤上發(fā)覺的規(guī)律：最長的表針每秒鐘動1格，中間厚度的表針每分鐘動1格，最短的表針每小時動1格，至于它的機(jī)芯是機(jī)械的、石英的還是某個“精靈”在上面推進(jìn)，在表針的規(guī)律中并不反映。
運動背后的誘因究竟是哪些呢？亞里士多德覺得地面上物體的一種運動形式始于組成物體的基本元素(水、火、土、氣)回到自然位置的自然本性，稱為自然運動()；另一種則是物體須要遭到外界的作用才能運動，作用一旦撤掉，運動也就趨向停止，稱為受迫運動()。天上的天體運動()也算是一種自然運動，它的運動形式是完美又無始無終的勻速圓周運動。
伽利略則用實驗來找尋運動的誘因。他發(fā)覺在光滑斜面上同時釋放相同形狀但不同輕重的滾球，不論斜面角度大小，它們總是齊頭并進(jìn)(傳說中的漢堡斜塔實驗應(yīng)當(dāng)是斜面實驗的一個斜面為90°的極限情況)，這一證據(jù)否定了亞里士多德“自然運動”的觀點。而當(dāng)把兩個光滑斜面對在一起時，伽利略又發(fā)覺從左側(cè)滾下的小球，總能抵達(dá)旁邊差不多相同的高度。隨著對側(cè)斜面變緩，小球在水平方向上滾粗的距離也越長，這么在極限情況下，當(dāng)旁邊的斜面達(dá)到水平時小球也將持續(xù)滾動下去。這意味著一個物體的運動并不須要外力的維持，亞里士多德的“受迫運動”，即力是物體維持運動的誘因也是不對的。伽利略把物體不受外力而維持運動狀態(tài)的性質(zhì)稱為慣性()，不過他覺得的慣性運動()是順著月球表面的勻速圓周運動。
牛頓在伽利略對運動緣由探究的基礎(chǔ)上考量開普勒的行星運動定理，構(gòu)建起一套闡明行星運動緣由的理論，也是地面上的物體各類運動共同遵守的法則——牛頓運動定理：
(1)物體在不受外力或合外力為零的情況下將保持靜止或勻速直線運動的慣性運動狀態(tài)。
這是對伽利略慣性概念的承繼和弘揚(勻速直線運動)，同時也提供了慣性運動的判定根據(jù)——不受外力或合外力為零的物體一定在做慣性運動，于是我們能夠以這個物體為參照物構(gòu)建慣性參照系(frame)。伽利略相對性原理告訴我們“一切慣性參照系中熱學(xué)規(guī)律保持不變”(相對論將其進(jìn)一步擴(kuò)展為“一切慣性參照系中數(shù)學(xué)規(guī)律保持不變”)，換句話說在一個慣性系中創(chuàng)立的熱學(xué)規(guī)律在所有慣性系中都組建且方式不變。這為建立一個簡約、完備、精確、普遍適用的數(shù)學(xué)理論奠定了基礎(chǔ)。
(2)具有一定動量的物體，在外力作用下，其動量隨時間的變化率同該質(zhì)點所受的外力成反比，并與外力的方向相同。
既然力是物體運動狀態(tài)發(fā)生改變的緣由，力和物體運動狀態(tài)改變之間的確切關(guān)系是哪些呢？牛頓第二定理給出了定量的回答，質(zhì)點所受的外力與其加速度成反比。這個比列系數(shù)的大小與物質(zhì)的多少有關(guān)，同時反應(yīng)了物體運動狀態(tài)改變的難易程度，牛頓將其稱為“慣性質(zhì)量”。
須要說明的是，牛頓第二定理中的動量或是加速度，都是在根據(jù)牛頓第一定理確定的慣性參照系基礎(chǔ)上描述的，所以第一、第二定理是各自獨立的，牛一律不能視為牛二律外力為零的特例。
(3)互相作用的兩個物體之間的斥力和反斥力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。
牛頓第三定理是不能由第一、第二定理推出的，是構(gòu)建在大量實驗基礎(chǔ)上的一條獨立定律。在慣性定理的基礎(chǔ)上，牛頓第二定理給出了外力和物體的加速度成反比的關(guān)系，但是這兒只有加速度a可以通過直接檢測獲得。力和慣性質(zhì)量是兩個互相關(guān)聯(lián)的量，但其絕對數(shù)值的確定卻須要利用牛頓第三定理。因為兩個物體之間的斥力和反斥力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上，這么互相作用的兩個物體其加速度大小之比正好是兩者慣性質(zhì)量之比的倒數(shù)，我們定義一個慣性質(zhì)量的基準(zhǔn)(如過去采用的國際千克原器)，這么其他物體的慣性質(zhì)量就可以通過與基準(zhǔn)物體互相作用，對二者加速度的直接檢測而得到：
牛頓運動三定理既互相獨立又構(gòu)成一個有機(jī)整體，定量地解釋了各類運動背后的誘因——不受力或合外力為零的物體保持慣性運動，而物體運動狀態(tài)發(fā)生變化的緣由則是遭到了力。輔以萬有引力定理，牛頓熱學(xué)體系幾乎就能解決宏觀低速情況下的所有熱學(xué)問題，完成了第二次“思維經(jīng)濟(jì)”。
其實，萬有引力定理——任何兩個物體都存在通過其連心線方向上的互相吸引的力牛頓第一定律內(nèi)容和公式，其大小與它們質(zhì)量的乘積成反比，與它們距離的平方成正比，畢竟還是現(xiàn)象和現(xiàn)象之間的關(guān)聯(lián)，至于引力形成的緣由是哪些，目前我們?nèi)圆粫缘谩?span style="display:none">TXQ物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
04
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的“運動學(xué)”與“動力學(xué)”
運動學(xué)()是從幾何的角度描述和研究物體位置隨時間的變化規(guī)律，開普勒行星運動三定理是典型的運動學(xué)規(guī)律。而動力學(xué)()則是研究運動的變化與導(dǎo)致變化的緣由，牛頓運動定理是動力學(xué)規(guī)律。
圖2基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的主要熱學(xué)問題
基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的熱學(xué)大體由運動學(xué)和動力學(xué)兩部份構(gòu)成，具體如圖2所示。其中運動學(xué)的部份大體只有兩類問題：(1)已知物體的位置隨時間的變化規(guī)律通過微分得到速率、加速度；(2)已知物體的加速度、速度，通過積分結(jié)合初始條件確定位置隨時間的變化規(guī)律。
第(1)類問題配合動力學(xué)雖然就是按照運動變化的現(xiàn)象找尋緣由的過程；而第(2)類問題則是依據(jù)受力或動量的情況斷定運動變化現(xiàn)象的過程。
學(xué)校階段因為缺少微積分和向量代數(shù)等物理工具，一般處理的都是較為特殊的情況。從最基本的慣性運動——勻速直線運動開始，物體因為受力而發(fā)生運動狀態(tài)改變時，一般也只處理幾種簡單情況：
(1)勻變速直線運動：加速度大小不變，方向不變且與速率方向平行；
(2)勻速率圓周運動：加速度大小不變，方向一直與速率方向垂直；
(3)拋體運動：加速度大小、方向均不變，方向與速率方向有一定角度。
在這個基本脈絡(luò)之下，運動與力的問題便可提綱挈領(lǐng)、綱舉目張，剩下的就是剖析和估算方法問題了。
參考文獻(xiàn)
[1]皮埃爾·迪昂.化學(xué)學(xué)理論的目的與結(jié)構(gòu).上海：商務(wù)印書館，2005.p.39
[2]魏紅祥等.從“學(xué)會已知”到“探索未知”——物理思想進(jìn)課堂專欄年度回顧與展望.化學(xué)，2021，50(12)：853
[3]咸世強(qiáng).牛頓萬有引力定理的發(fā)覺淵源——從所謂的開普勒定理到萬有引力定理.化學(xué)牛頓第一定律內(nèi)容和公式，1998，27(9)：557
化學(xué)思想進(jìn)課堂專題：
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