(1上海交通學院理大學)
(2中國科大學數學研究所)
(3上海教育科學研究院)
(4天津師范學院科學教育研究院)
本文選自《物理》2022年第1期
01
從具象理念到具體實例
《物理思想進課堂》專欄在2021年度通過12篇文章從原則和目的、層次和結構、范式和技巧等較為底層和具象的方面對化學學的輪廓進行了描繪[1]。2022年，專欄將嘗試把這種較為具象的理念融入力、熱、聲、光、電、磁等基礎數學教育的內容中，產生較為具體的專題和實例，以期和一線基礎數學班主任有更多的剖析。
02
現象與緣由
在許多人眼中，數學學是一門“透過現象看本質”的學問。較為慎重地說，一方面數學學內相當多的前沿領域還處在探究現象與現象關聯階段，暫時還談不上“本質”；另一方面因為“本質”一詞往往給人“終極真理”的覺得，但數學學卻隨著人類的認識水平不斷發展，明天的所謂“本質”明天就可能不夠“本質”，因而筆者用“原因”代替“本質”來敘述：數學學是一門探究“現象間關聯以及現象后緣由”的學問。
如2021年專欄多篇文章提及過的，數學學的建立過程大體經過兩次“思維經濟”：第一次是通過對各類現象進行定量地精確觀察，從中歸納總結出現象之間的關聯(唯象規律)，產生對自然知識的第一次“思維經濟”；之后進一步在邏輯和物理工具的幫助下，探訪那些“表面規律”背后的緣由，構建更為簡約、完備、精確的模型和理論(數學理論)來完成第二次“思維經濟”[2]。
精典熱學的構建過程是個挺好的反例。
03
從開普勒行星運動定理到牛頓運動定理
開普勒基于第谷對行星運動現象的大量觀測數據(非常是火星的運行)，對其進行歸納和總結，在1609年發表開普勒行星運動第一和第二定理，又在1619年發表第三定理。這三條定理敘述為：(1)行星繞太陽運動的軌道是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上(橢圓定理)；(2)行星和太陽的連線在相等的時間間隔內掃過的面積相等(面積定理)；(3)所有行星繞太陽一周的星體時間T的平方與它們軌道半長軸a的立方成比列(調和定理)[3]。產生了對第谷行星運動知識的第一次“思維經濟”。
圖1開普勒和行星運動定理
軌道是橢圓，太陽在焦點，連線掃過面積與時間的關系，公轉周期與軌道長半軸的關系，這種其實都只是現象與現象的關聯，并不涉及“原因”的問題。就好象我們在一只掛鐘表盤上發覺的規律：最長的表針每秒鐘動1格，中間厚度的表針每分鐘動1格，最短的表針每小時動1格，至于它的機芯是機械的、石英的還是某個“精靈”在上面推進，在表針的規律中并不反映。
運動背后的誘因究竟是哪些呢？亞里士多德覺得地面上物體的一種運動形式始于組成物體的基本元素(水、火、土、氣)回到自然位置的自然本性，稱為自然運動()；另一種則是物體須要遭到外界的作用才能運動，作用一旦撤掉，運動也就趨向停止，稱為受迫運動()。天上的天體運動()也算是一種自然運動，它的運動形式是完美又無始無終的勻速圓周運動。
伽利略則用實驗來找尋運動的誘因。他發覺在光滑斜面上同時釋放相同形狀但不同輕重的滾球，不論斜面角度大小，它們總是齊頭并進(傳說中的漢堡斜塔實驗應當是斜面實驗的一個斜面為90°的極限情況)，這一證據否定了亞里士多德“自然運動”的觀點。而當把兩個光滑斜面對在一起時，伽利略又發覺從左側滾下的小球，總能抵達旁邊差不多相同的高度。隨著對側斜面變緩，小球在水平方向上滾粗的距離也越長，這么在極限情況下，當旁邊的斜面達到水平時小球也將持續滾動下去。這意味著一個物體的運動并不須要外力的維持，亞里士多德的“受迫運動”，即力是物體維持運動的誘因也是不對的。伽利略把物體不受外力而維持運動狀態的性質稱為慣性()，不過他覺得的慣性運動()是順著月球表面的勻速圓周運動。
牛頓在伽利略對運動緣由探究的基礎上考量開普勒的行星運動定理，構建起一套闡明行星運動緣由的理論，也是地面上的物體各類運動共同遵守的法則——牛頓運動定理：
(1)物體在不受外力或合外力為零的情況下將保持靜止或勻速直線運動的慣性運動狀態。
這是對伽利略慣性概念的承繼和弘揚(勻速直線運動)，同時也提供了慣性運動的判定根據——不受外力或合外力為零的物體一定在做慣性運動，于是我們能夠以這個物體為參照物構建慣性參照系(frame)。伽利略相對性原理告訴我們“一切慣性參照系中熱學規律保持不變”(相對論將其進一步擴展為“一切慣性參照系中數學規律保持不變”)，換句話說在一個慣性系中創立的熱學規律在所有慣性系中都組建且方式不變。這為建立一個簡約、完備、精確、普遍適用的數學理論奠定了基礎。
(2)具有一定動量的物體，在外力作用下，其動量隨時間的變化率同該質點所受的外力成反比，并與外力的方向相同。
既然力是物體運動狀態發生改變的緣由，力和物體運動狀態改變之間的確切關系是哪些呢？牛頓第二定理給出了定量的回答，質點所受的外力與其加速度成反比。這個比列系數的大小與物質的多少有關，同時反應了物體運動狀態改變的難易程度，牛頓將其稱為“慣性質量”。
須要說明的是，牛頓第二定理中的動量或是加速度，都是在根據牛頓第一定理確定的慣性參照系基礎上描述的，所以第一、第二定理是各自獨立的，牛一律不能視為牛二律外力為零的特例。
(3)互相作用的兩個物體之間的斥力和反斥力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。
牛頓第三定理是不能由第一、第二定理推出的，是構建在大量實驗基礎上的一條獨立定律。在慣性定理的基礎上，牛頓第二定理給出了外力和物體的加速度成反比的關系，但是這兒只有加速度a可以通過直接檢測獲得。力和慣性質量是兩個互相關聯的量，但其絕對數值的確定卻須要利用牛頓第三定理。因為兩個物體之間的斥力和反斥力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上，這么互相作用的兩個物體其加速度大小之比正好是兩者慣性質量之比的倒數，我們定義一個慣性質量的基準(如過去采用的國際千克原器)，這么其他物體的慣性質量就可以通過與基準物體互相作用，對二者加速度的直接檢測而得到：
牛頓運動三定理既互相獨立又構成一個有機整體，定量地解釋了各類運動背后的誘因——不受力或合外力為零的物體保持慣性運動，而物體運動狀態發生變化的緣由則是遭到了力。輔以萬有引力定理，牛頓熱學體系幾乎就能解決宏觀低速情況下的所有熱學問題，完成了第二次“思維經濟”。
其實，萬有引力定理——任何兩個物體都存在通過其連心線方向上的互相吸引的力牛頓第一定律內容和公式，其大小與它們質量的乘積成反比，與它們距離的平方成正比，畢竟還是現象和現象之間的關聯，至于引力形成的緣由是哪些，目前我們仍不曉得。
04
基礎數學中的“運動學”與“動力學”
運動學()是從幾何的角度描述和研究物體位置隨時間的變化規律，開普勒行星運動三定理是典型的運動學規律。而動力學()則是研究運動的變化與導致變化的緣由，牛頓運動定理是動力學規律。
圖2基礎數學中的主要熱學問題
基礎數學的熱學大體由運動學和動力學兩部份構成，具體如圖2所示。其中運動學的部份大體只有兩類問題：(1)已知物體的位置隨時間的變化規律通過微分得到速率、加速度；(2)已知物體的加速度、速度，通過積分結合初始條件確定位置隨時間的變化規律。
第(1)類問題配合動力學雖然就是按照運動變化的現象找尋緣由的過程；而第(2)類問題則是依據受力或動量的情況斷定運動變化現象的過程。
學校階段因為缺少微積分和向量代數等物理工具，一般處理的都是較為特殊的情況。從最基本的慣性運動——勻速直線運動開始，物體因為受力而發生運動狀態改變時，一般也只處理幾種簡單情況：
(1)勻變速直線運動：加速度大小不變，方向不變且與速率方向平行；
(2)勻速率圓周運動：加速度大小不變，方向一直與速率方向垂直；
(3)拋體運動：加速度大小、方向均不變，方向與速率方向有一定角度。
在這個基本脈絡之下，運動與力的問題便可提綱挈領、綱舉目張，剩下的就是剖析和估算方法問題了。
參考文獻
[1]皮埃爾·迪昂.化學學理論的目的與結構.上海：商務印書館，2005.p.39
[2]魏紅祥等.從“學會已知”到“探索未知”——物理思想進課堂專欄年度回顧與展望.化學，2021，50(12)：853
[3]咸世強.牛頓萬有引力定理的發覺淵源——從所謂的開普勒定理到萬有引力定理.化學牛頓第一定律內容和公式，1998，27(9)：557
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