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2016年,諾貝爾化學獎頒授給了三位英國科學家：戴維·索利斯（David）、鄧肯·霍爾丹（）和邁克爾·科斯特格拉斯哥（），以嘉獎她們“在拓撲相變以及拓撲材料方面的理論”。
拓撲的直觀意義
拓撲描述幾何空間的整體性質，不感興趣“點與點之間的距離”之類的數值，只感興趣點之間的聯接形式，即研究的是“連沒連”、“怎樣連”這樣的問題。
舉三維空間中二維曲面的拓撲性質為例，可以更為直觀地理解拓撲。假如一個二維曲面不能被撕裂和粘貼，但可以猶如橡皮膜一樣地被拉伸、彎曲或壓扁，這個曲面是拓撲不變的，或則說拉伸前后保持同樣的拓撲。為此霍爾效應(Halleffect)物理知識大全，拓撲也被人也稱為“橡皮膜上的幾何學”。
更為直觀和有趣的是考慮二維閉合曲面。例如說，一個橡皮膜弄成的球面（圖1左），通過拉伸及縮小可以變產生橢球面或其它各類形狀，但卻不可能弄成圖1中圖所示的蛋糕圈面的形狀。類似地，蛋糕圈面形狀的一個面團，可以撫摸成一個杯子形狀。也就是說，蛋糕圈面的拓撲，與杯子表面的拓撲是一樣的。
語文中將這一類“有限、無邊界、有方向”的二維閉合面，用“虧格”來描述和分類。對實閉曲面而言，淺顯地說，虧格就是曲面上洞眼的個數，即：球面的虧格為0，蛋糕圈面的虧格為1，如圖1所示。
?圖1：不同的虧格對應的不同拓撲
物質的千姿百“相”
高中的數學書上就告訴我們，物質有三態：氣態、液態、固態。后來的說法再擴大了一些，加上了等離子態、波色-愛因斯坦匯聚態、液晶態等等。不僅“態”這個字之外，現代數學學中用得更多的是物質的“相”。物質不同“相”的種類比通常所說的“態”的種類要多得多。也就是說，對應于同一個態，還可以有許多不同的相。例如，水的固態是冰，但冰有好多種不同的結晶形式，它們便對應于不同的相，如圖2（左）所示。據悉，高昂的磚石和鋼筆中的石墨，同為碳的同素異型體，但因其晶體結構不同，也產生了特點迥異的物質相，見圖2（右）。
?圖2：同一物質不同的相。（左）雪花的不同結晶態；（右）碳的同素異型體
人們最開始對“固、液、氣”三態的認識，是基于它們不同的表現形態：固體有一定的容積和形狀；液體有一定容積，但形狀不定；二氧化碳則容積、形狀均不固定。而當物質的這三態相互轉變時，也相應地伴隨著容積的變化和熱量的吸收或釋放。化學學家們將這一類轉換稱作一級相變。這個“一級”，在這里有一個物理上的意義：在相變發生點，熱力學中的熱阻（例如物理勢）不變化，而它的一階求導（如容積等）則有變化。
為了解釋實驗中不斷出現的各類相變，這個一級相變的概念也被延展下去。這么便有了二級、三級……等等用熱力學量的N階行列式來分辨不同級別的相變。不過，級別高的相變并不多，姑且還沒有必要分得這么細致。因而，人們將不僅一級相變之外的更中級相變，也稱為連續相變。
這么，怎么來定義化學中的“相”呢？在各類具體情況下可以有不同的定義，如同前面所舉的雪花及碳的不同結晶“相”那樣，與本篇主題有關的主要是“貝里相位”。
布里相位
化學學圓通常用“相位”一詞來描述某種波動性質，例如說交流電的相位、振動弦的相位、量子熱學中波函數的相位等等。布里相位是具體應用到電磁現象中的產物。在精典電磁學中，相位只有相對意義：兩個波的相位差會產生干涉白色，但一束電磁波的絕對相位值，并不形成任何觀測效應。在電磁的量子理論中，相位具有可觀測化學效應，這便是布里相位。
?圖3：通電纜線圈造成的相位因子φ是布里相位
考慮空間有一個通電螺線圈。假定線圈中有如圖3b所示方向的電壓，則會在螺線圈的內部形成向下的磁場。想像這個線圈繞得十分緊密，無限細又無限長的話，磁場只能被禁錮在Y軸上，而整個空間的其余部份電場和磁場都為0。從精典觀點看，假如有電子繞線圈一周后，沒有感遭到電磁場，對它的狀態不會有任何影響，但實驗結果卻有影響。1984年，美國物理化學學家邁克爾·貝里爵士（SirBerry，1941-）從量子的觀點引進“貝里相位”解釋了這個現象。布里覺得，一個量子體系回到原先狀態時，有可能會帶來一個額外的，由于空間的幾何性質而形成的相位因子，稱之為幾何（布里）相位【1】。假如電子路徑不包括線圈時，這個相位為0。但若果電子路徑包括線圈在內，布里相位便不為0，它具有可觀察的的化學意義。不可將其忽略，布里詼諧地比喻說，如同不能將“小孩”與洗腳水一起倒掉一樣。布里相位被量子熱學和光學實驗的觀察所否認。
?圖4：布里和他研究的“磁懸浮烏龜”
有趣的是，布里不僅因提出幾何相而出名之外，還由于與安德烈·海姆研究“磁懸浮烏龜”獲得2000年的惡搞諾貝爾化學獎（IgNobelPrizefor）【2】。海姆后來由于對石墨烯的開創性實驗研究而獲得2010年諾貝爾化學獎，布里也曾得到過沃爾夫數學獎等多種獎項。由此可見，惡搞諾貝爾獎也不僅僅是一種諷刺揶揄，可能更多的是彰顯了一種詼諧，獲獎者中也不乏創意之人，例如布里就應當可以算作一個。
拓撲怎么步入化學學中？
1982年，早于布里在研究量子混沌時提出的“貝里相位”，英國芝加哥學院化學學家索利斯等人，為了解釋整數量子霍爾效應，早已將物理中的拓撲概念與電子波函數的“相位”聯系上去。兩組人馬從不同的課題來研究量子電磁現象，卻得到了類似的推論，大有異曲同工之妙。
索利斯與布里的共同推論是：量子態與空間的整體拓撲性質有關。
首先從圖3實驗中的布里相位說起，電磁勢積分一圈后的額外相位因子φ的癥結來自于狹長的螺線線圈。其實線圈在外邊空間中形成的電場和磁場處處為0，并且在Y軸上的鐵損量卻改變了空間的拓撲性質。沒有這個磁場時，空間是乏味的、單連通的普通三維空間。而通電螺線管的存在相當于在電子運動的三維空間中挖了一個洞，使空間弄成了非乏味的，具有了不同的拓撲性質。或則可以作如下類比：沒有通電螺線管的空間類似于球面拓撲空間，加了通電螺線管以后，有了一個洞，弄成了蛋糕圈面的拓撲空間。
霍爾效應也有精典與量子之分，量子霍爾效應中又包括整數量子霍爾效應和分數量子霍爾效應。因而，量子霍爾效應中涉及到不同的、離散的量子態，構成不同的“相”，相互轉變則為“相變”。
在表征量子化霍爾效應的參數中，有一個填充因子n，索利斯由n出發，引入了一個稱為TKNN的拓撲數，并由此而對電子波函數的拓撲性質進行分類【3】，這是第一次將物理上的拓撲概念應用于與“相”有關的匯聚態理論中，它是基于索利斯和2016年另一位化學獎得主科斯特伯明翰初期的工作【4】。
量子霍爾效應，研究的是二維系統中電子在均勻磁場中的運動。若果將電子運動和磁場都進行量子化，得到的填充因子n，可以被理解為電子數N與磁路量子數Nφ的比值。
?圖5：用電子和磁路量子表示量子霍爾效應
可以淺顯地用白糖葫蘆的圖象【5】來比喻量子霍爾效應中電子與磁路量子數量的分配關系。
如圖5圖（左）所示，將一個電子表示成一個無花果（圖中的紅色圓餅），穿過電子的磁路量子用一根木棍表示（圖中的紅色箭頭）。從左圖可見，整數量子霍爾效應中每位磁路量子所穿過的電子數，便等于填充因子n。
當n=1的時侯，對應于一個磁路量子穿過一個電子的情形。當n=2時，有兩個子能帶被塞滿，因而，一個磁路量子穿過兩個電子。之后，可以以這種推下去。
圖5（中）是分數量子霍爾效應的情況。對應于木棍太多，大棗不夠，即磁路量子數太多，電子數量不夠分配，因此出現幾個磁路量子共用一個電子的情形。假如兩個磁路量子共同穿過一個電子，n便成為了分數：n=1/2；倘若三個磁路量子穿過一個電子，則n=1/3。還有更為復雜一些的情形，例如：假如是五個磁路量子穿過兩個電子，則有：n=2/5。
為此，填充因子n可以用小麥態（相）的分類標簽，每一個不同的n都代表一種不同的量子態：n為整數時，對應整數量子霍爾態；n為分數時，對應量子流體分數霍爾態。
不同的n值代表的不同量子態，無論是分數還是整數，都須要由系統波函數內在的拓撲性質來描述。
比如，分數量子霍爾效應之間的不同，可直觀地用這種能級簡并電子集體運動模式的不同來描述。好比是那些電子在跑著各類復雜的集體舞。每一種分數量子霍爾態對應一種集體舞模式，每種模式可以用本文一開始介紹的拓撲中的虧格來表征，見圖6。
?圖6：分數量子霍爾態對應的不同拓撲
幾乎與索利斯解釋整數量子霍爾效應同時，加拿大耶魯學院的數學學家霍爾丹將拓撲的概念用于一維載流子鏈【6】，霍爾丹以后對匯聚態化學做出一系列重大貢獻，包括分數量子霍爾效應等。1988年，霍爾丹第一個預言了沒有磁場的（反常）量子霍爾效應【7】。
纖維叢和陳數
讓我們再將拓撲的概念介紹得更深入一些。
布里相位提供了一個具有拓撲結構的最簡單數學系統的事例，但事實上數學中常常說到的“空間”，遠不是三維空間。量子理論中通常用希爾伯特空間來描述量子態。假如考慮一個在真實的三維空間中運動的電子，對應于電子軌跡的每位點，都存在一個與波函數相應的無窮維的希爾伯特空間。由此我們可以構建一個物理模型，將電子真實運動的空間作為基空間，希爾伯特空間作為切空間，這么就構成了一個物理家稱之為“纖維叢”的東西。假如來個淺顯比喻的話，纖維叢可以直觀地理解為如圖7左圖所示的圖象：一根作為基底的鐵絲上纏繞著許多根纖維（毛線），或則是想像成凹凸不平的泥土地上長滿了長長短短的雜草。這樣一來，量子理論中提到的空間，指的是這個復雜的“纖維叢”空間，包含了基空間、纖維、還有纖維叢（乘積空間）兩者的性質：鐵絲彎曲成了哪些形狀？泥土地是平面還是球面？毛線或雜草，是簡單而乏味的形態，還是某種蜷曲、打結等奇特的樣子？還有纖維叢本身，也可能是整體非乏味的，像圖7下圖所示的莫比烏斯帶那個。有關纖維叢的更深入介紹，可見參考文獻【8】。
從纖維叢的觀點看，匯聚態數學中不同的量子態對應的不同拓撲，可以用一個非0的、以物理家陳省身命名的不變量—“第一陳數”來表征。
?圖7：纖維叢的直觀圖象
如前所述，拓撲不同于幾何：幾何考察局部形狀，拓撲研究整體性質。但是，物理中有一個非常美妙的高斯-博內定律，將這二者關聯上去。高斯-博內定律是平面幾何中“三角形三個外角和等于180度”到通常二維曲面的推廣，日裔物理家陳省身又將曲面上的高斯-博內定律推廣到高維流形上，證明了高斯-博內-陳定律。
纖維叢是基空間和切空間（纖維）兩個拓撲空間的乘積，最簡單的纖維叢事例其實是當基空間和切空間都是1維的情況。譬如說，平面可看作X為基底Y為切空間的纖維叢；圓錐面可看成圓圈為基底、一維直線為切空間的纖維叢。平面和圓錐面都是乏味的纖維叢，乏味的意思是說兩個空間相加的方式在基空間的每一點都是一樣的。若果不一樣的話，就可能是非乏味的纖維叢了，例如莫比烏斯帶就不乏味，見圖8。
?圖8：纖維叢
圖8是“第一陳數”應用的最簡單事例。陳數=0，描述拓撲乏味的圓錐面，陳數=1，描述莫比烏斯帶。陳數可直觀理解為基空間的點改變一圈時，纖維繞著基空間“扭”了多少圈。例如說，從圖8可見，相對于平直的圓錐面而言霍爾效應(Halleffect)物理知識大全，當基空間參數變化一圈時，莫比烏斯帶上“纖維”的方向，繞著基空間“扭”了一圈，因而陳數=1。扭得更多圈的莫比烏斯帶，對應更大的“陳數”。
拓撲相變研究中的亞裔
去年得諾貝爾化學獎的三位學者，是將拓撲應用于匯聚態化學的鼻祖。以后幾六年，匯聚態化學無論在理論還是實驗方面，都取得了長足的進展，對將來的數學理論及工程應用，有巨大的潛在意義。其中包括對各種拓撲絕緣體的研究、電子學材料、超導的應用、量子估算、量子通訊，以及基礎數學理論，都將受惠不淺。
可喜的是，在匯聚態化學活躍的舞臺上，不乏日裔學者的身影。剛剛談及的分數量子霍爾效應，是在1982年被加拿大溫哥華貝爾實驗室的幾位科學家發覺的，其中之一是法籍日裔科學家崔琦。
崔琦（CheeTsui）于1939年出生于中國山東，后來到新加坡讀書，再赴英國深造，定居英國。他和貝爾實驗室的朋友史特莫（H.L.），及完善分數量子霍爾效應理論解釋的勞夫林（R.B.）兩人一起，分享了1998年的諾貝爾化學獎。崔琦被中國媒體譽為“從貧窮鄉村走下來的諾貝爾獎得主”。
另兩位英國亞裔化學學家，對匯聚態化學近二十來年的發展也作出了杰出的貢獻，那是你們熟知的哈佛學院院長張首晟，以及麻省理工大學的文小剛。巧合的是，這兩位學者都是從高能化學開始再轉而研究匯聚態。張首晟除了理論預言了二維量子載流子霍爾態的存在，并在2006年提出在HgTe/CdTe量子阱體系中，實現量子載流子霍爾效應的可能性，并很快被丹麥研究團隊的實驗所否認【9】。文小剛則構建了分數量子霍爾效應的拓撲序理論和邊沿態理論，然后又進一步提出弦網匯聚理論，除了闡明了拓撲序和量子序的本質，并且又轉而返回到最基礎的物質本源問題，構造出了一個光和電子的統一理論【10】。
據悉，復旦學院院長、中國科大學教授薛其坤率領的團隊，在拓撲絕緣體的研究中脫穎而出，2013年在世界上首次發覺了量子反常霍爾效應，詳情請見參考文獻中的資料【11】。
（注：此文部份內容，摘自筆者已出版的一本科普讀物【12】）
參考文獻
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【2】搞笑諾貝爾獎，[OL].
【3】D.J.,M.*,M.P.,andM.denNijs，HallinaTwo-，[J].Phys.Rev.Lett.49,405–408.1982。
【4】J.M.&D.J.,",andphaseintwo-",ofC:SolidState,Vol.6pages1181-1203(1973)
【5】D.,TheHall,[M].,.2002.
【6】F.D.M..ofthe1-D:withtheO(3)sigmamodel.A,93(9):464–468,1983.
【7】F.D.M.，ModelforaHall:-ofthe，[J].,61,Issue18,pp.2015-2018.31,1988,
【8】C.B.,D.M.,D.B.,”,,and”,[M].North,.1977,
【9】B.andShou-ChengZhang.spinhall.,96(10):,March2006.
【10】Xiao-GangWen,FieldofManyBody-FromtheofSoundtoanofLightand,[M].Univ.Press,,2004.
【11】ChangCZ,ZhangJ,FengX,etal.oftheHallina.[J].,2013.
【12】張天蓉.電子，電子！誰來挽救摩爾定理？[M].上海:北大學院出版社，2015,pp.140-220.
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