初步知識角動量定理角動量守恒（單粒子）
角動量定理可表示為
begin{align}&frac{txrzbvzd{ {{L}} }}{txrzbvzd{t}} = {{tau}}&(1)\end{對齊}
即系統角動量相對于時間的變化率等于外力的合力矩。 該系統可以包括任意數量的隨機選擇的對象。
推導
推導類似動量定理。 我們已經知道了單個粒子的角動量，任何物體都可以劃分為多個足夠小的元素，每個元素都可以看成一個粒子。設第i個粒子的位置向量為{{ r}} _i，角動量為 {{L}} _i，力矩為 {{tau}} _i，單個粒子的角動量定理為
begin{align}&frac{txrzbvzd{ {{L}} _i}}{txrzbvzd{t}} = {{tau}} _i = {{tau }} _i^{輸入} + {{tau}} _i^{輸出}&(2)\end{對齊}
其中，{{tau}} _i^{in} 和 {{tau}} _i^{out} 分別為系統內其他粒子的矩和粒子 i 接收到的來自系統外的矩.對所有 i 求和該方程即可得到總角動量的變化率 {{L}}
begin{align}&frac{txrzbvzd{ {{L}} }}{txrzbvzd{t}} =sum_i frac{txrzbvzd{ {{L}} _i}}{txrzbvzd{t}} = sum_i {{tau}} _i^{in} + sum_i {{tau}} _i^{out}&(3)\ 結束{對齊}
現在我們只需證明粒子系統的總內矩為零
begin{align}&sum_i {{tau}} _i^{in} = sum_i left( {{r}} _i \times sum_j^{jne i} { {F}} _{jto i} right) = sum_{i,j}^{ine j} {{r}} _i \times {{F}} _{j 到 i}&(4)\end{對齊}
其中{{F}} _{jto i}是粒子j對粒子i的力。現在只考慮任意兩個粒子點k和l，它們在求和中的貢獻為
begin{align}&{{r}} _k \次 {{F}} _{lto k} + {{r}} _l \次 {{F}} _{kto l} equiv {{tau}} _{lto k}+ {{tau}} _{kto l}&(5)\end{align }
也就是說，k 施加在 l 上的力矩加上 l 施加在 k 上的力矩（兩個粒子的內部力矩之和）。 因此，如果能夠證明任意兩個粒子的內矩之和為零，則粒子系統的內矩之和為零。
我們先看幾何證明。 如圖1所示，根據定義，力矩的大小等于力的模長乘以力臂的長度，一對相互作用的力的大小是相同的。 由于它們共線并且力臂也重合，因此兩個力矩大小相等。 ． 然而，兩個力矩的一個方向是順時針方向（指向紙內），另一個方向是逆時針方向（指向紙外），因此兩個力矩相互抵消，加起來為零。
圖 1：兩個粒子之間的相互作用力對總力矩的貢獻為零。
我們再看一下代數方法：我們首先沿著連接兩個物質的連線寫出相互作用力 {{F}} _{lto k} = alpha( {{r}} _k - {點 {r}} _l), {{F}} _{kto l} = alpha( {{r}} _l - {{r}} _k)，直接計算和這兩個時刻必須
begin{align}&{{r}} _k \次 ( {{r}} _k - {{r}} _l)alpha + {{r}} _l \次( {{r}} _l - {{r}} _k)alpha = 0&(6)\end{align}
證書完成。
實施例1 自行車車輪和轉椅實驗
小明一開始坐在固定的轉椅上，雙手握住自行車車輪的軸兩端，自行車車輪在水平面上旋轉。 這時，小明上下翻轉自行車車輪（還在旋轉）什么叫角動量守恒定律，問小明轉椅會怎樣旋轉？
假設一開始輪子的角動量是向上的，那么翻轉后輪子的角動量是向下的，即角動量增量是向下的。 由于角動量守恒，小明身體與轉椅的角動量必然有一個向上的增量，因此轉椅的最終旋轉方向與輪子的初始旋轉方向相同。
示例2 陀螺儀的進動
圖2：陀螺儀的進動
如圖2（左）所示，陀螺儀旋轉時，如果其軸與垂直方向有一定的傾斜角度，則軸將繞垂直軸緩慢旋轉。 這種現象稱為進動。 為了分析方便，我們首先假設陀螺儀進動的角速度遠小于陀螺儀自轉的角速度。 這樣，我們可以認為陀螺儀的角動量{{L}}平行于陀螺儀的軸。 顯然，陀螺儀的進動意味著陀螺儀的角動量變化率方向 txrzbvzd{ {{L}} }/txrzbvzd{ {{t}} } 始終垂直到圖中{r}}和{{L}}所在的平面。 根據角動量定理什么叫角動量守恒定律，施加在陀螺儀上的扭矩{{tau}}也具有相同的大小和方向。
那么這個扭矩是如何產生的呢？ 我們對陀螺儀進行力分析，如圖 2（右）所示。 為了計算陀螺儀上的力矩，我們以軸的底端為原點。 假設陀螺儀的軸沒有質量，則地面對陀螺儀的支撐力N產生的力矩為零，重力產生的力矩為 {{tau}} = {{r} } _0 \times (m {{g}} )，其大小為mgr_0sintheta，方向為垂直紙張朝內，正好滿足陀螺儀進動的要求。
更違反直覺的是，施加在頂部的重力方向是導致頂部翻倒的方向。 然而，陀螺不但根本不會翻倒（如果不考慮摩擦力），而且它的重心還會向垂直于重力的方向移動。
