初步知識(shí)角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒（單粒子）
角動(dòng)量定理可表示為
begin{align}&frac{txrzbvzd{ {{L}} }}{txrzbvzd{t}} = {{tau}}&(1)\end{對齊}
即系統(tǒng)角動(dòng)量相對于時(shí)間的變化率等于外力的合力矩。 該系統(tǒng)可以包括任意數(shù)量的隨機(jī)選擇的對象。
推導(dǎo)
推導(dǎo)類似動(dòng)量定理。 我們已經(jīng)知道了單個(gè)粒子的角動(dòng)量，任何物體都可以劃分為多個(gè)足夠小的元素，每個(gè)元素都可以看成一個(gè)粒子。設(shè)第i個(gè)粒子的位置向量為{{ r}} _i，角動(dòng)量為 {{L}} _i，力矩為 {{tau}} _i，單個(gè)粒子的角動(dòng)量定理為
begin{align}&frac{txrzbvzd{ {{L}} _i}}{txrzbvzd{t}} = {{tau}} _i = {{tau }} _i^{輸入} + {{tau}} _i^{輸出}&(2)\end{對齊}
其中，{{tau}} _i^{in} 和 {{tau}} _i^{out} 分別為系統(tǒng)內(nèi)其他粒子的矩和粒子 i 接收到的來自系統(tǒng)外的矩.對所有 i 求和該方程即可得到總角動(dòng)量的變化率 {{L}}
begin{align}&frac{txrzbvzd{ {{L}} }}{txrzbvzd{t}} =sum_i frac{txrzbvzd{ {{L}} _i}}{txrzbvzd{t}} = sum_i {{tau}} _i^{in} + sum_i {{tau}} _i^{out}&(3)\ 結(jié)束{對齊}
現(xiàn)在我們只需證明粒子系統(tǒng)的總內(nèi)矩為零
begin{align}&sum_i {{tau}} _i^{in} = sum_i left( {{r}} _i \times sum_j^{jne i} { {F}} _{jto i} right) = sum_{i,j}^{ine j} {{r}} _i \times {{F}} _{j 到 i}&(4)\end{對齊}
其中{{F}} _{jto i}是粒子j對粒子i的力?，F(xiàn)在只考慮任意兩個(gè)粒子點(diǎn)k和l，它們在求和中的貢獻(xiàn)為
begin{align}&{{r}} _k \次 {{F}} _{lto k} + {{r}} _l \次 {{F}} _{kto l} equiv {{tau}} _{lto k}+ {{tau}} _{kto l}&(5)\end{align }
也就是說，k 施加在 l 上的力矩加上 l 施加在 k 上的力矩（兩個(gè)粒子的內(nèi)部力矩之和）。 因此，如果能夠證明任意兩個(gè)粒子的內(nèi)矩之和為零，則粒子系統(tǒng)的內(nèi)矩之和為零。
我們先看幾何證明。 如圖1所示，根據(jù)定義，力矩的大小等于力的模長乘以力臂的長度，一對相互作用的力的大小是相同的。 由于它們共線并且力臂也重合，因此兩個(gè)力矩大小相等。 ． 然而，兩個(gè)力矩的一個(gè)方向是順時(shí)針方向（指向紙內(nèi)），另一個(gè)方向是逆時(shí)針方向（指向紙外），因此兩個(gè)力矩相互抵消，加起來為零。
圖 1：兩個(gè)粒子之間的相互作用力對總力矩的貢獻(xiàn)為零。
我們再看一下代數(shù)方法：我們首先沿著連接兩個(gè)物質(zhì)的連線寫出相互作用力 {{F}} _{lto k} = alpha( {{r}} _k - {點(diǎn) {r}} _l), {{F}} _{kto l} = alpha( {{r}} _l - {{r}} _k)，直接計(jì)算和這兩個(gè)時(shí)刻必須
begin{align}&{{r}} _k \次 ( {{r}} _k - {{r}} _l)alpha + {{r}} _l \次( {{r}} _l - {{r}} _k)alpha = 0&(6)\end{align}
證書完成。
實(shí)施例1 自行車車輪和轉(zhuǎn)椅實(shí)驗(yàn)
小明一開始坐在固定的轉(zhuǎn)椅上，雙手握住自行車車輪的軸兩端，自行車車輪在水平面上旋轉(zhuǎn)。 這時(shí)，小明上下翻轉(zhuǎn)自行車車輪（還在旋轉(zhuǎn)）什么叫角動(dòng)量守恒定律，問小明轉(zhuǎn)椅會(huì)怎樣旋轉(zhuǎn)？
假設(shè)一開始輪子的角動(dòng)量是向上的，那么翻轉(zhuǎn)后輪子的角動(dòng)量是向下的，即角動(dòng)量增量是向下的。 由于角動(dòng)量守恒，小明身體與轉(zhuǎn)椅的角動(dòng)量必然有一個(gè)向上的增量，因此轉(zhuǎn)椅的最終旋轉(zhuǎn)方向與輪子的初始旋轉(zhuǎn)方向相同。
示例2 陀螺儀的進(jìn)動(dòng)
圖2：陀螺儀的進(jìn)動(dòng)
如圖2（左）所示，陀螺儀旋轉(zhuǎn)時(shí)，如果其軸與垂直方向有一定的傾斜角度，則軸將繞垂直軸緩慢旋轉(zhuǎn)。 這種現(xiàn)象稱為進(jìn)動(dòng)。 為了分析方便，我們首先假設(shè)陀螺儀進(jìn)動(dòng)的角速度遠(yuǎn)小于陀螺儀自轉(zhuǎn)的角速度。 這樣，我們可以認(rèn)為陀螺儀的角動(dòng)量{{L}}平行于陀螺儀的軸。 顯然，陀螺儀的進(jìn)動(dòng)意味著陀螺儀的角動(dòng)量變化率方向 txrzbvzd{ {{L}} }/txrzbvzd{ {{t}} } 始終垂直到圖中{r}}和{{L}}所在的平面。 根據(jù)角動(dòng)量定理什么叫角動(dòng)量守恒定律，施加在陀螺儀上的扭矩{{tau}}也具有相同的大小和方向。
那么這個(gè)扭矩是如何產(chǎn)生的呢？ 我們對陀螺儀進(jìn)行力分析，如圖 2（右）所示。 為了計(jì)算陀螺儀上的力矩，我們以軸的底端為原點(diǎn)。 假設(shè)陀螺儀的軸沒有質(zhì)量，則地面對陀螺儀的支撐力N產(chǎn)生的力矩為零，重力產(chǎn)生的力矩為 {{tau}} = {{r} } _0 \times (m {{g}} )，其大小為mgr_0sintheta，方向?yàn)榇怪奔垙埑瘍?nèi)，正好滿足陀螺儀進(jìn)動(dòng)的要求。
更違反直覺的是，施加在頂部的重力方向是導(dǎo)致頂部翻倒的方向。 然而，陀螺不但根本不會(huì)翻倒（如果不考慮摩擦力），而且它的重心還會(huì)向垂直于重力的方向移動(dòng)。
