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您對幾何的理解和看法是什么？
問：我想聽聽老師對幾何的理解和看法。
答：我非常喜歡幾何。 因為我們對世界的感知，我們將其概括為數學和物理。 物理學抽象了一些自然法則。 例如，在經典力學中，在分析宏觀運動時，基本上將物體視為剛體，即將物體判斷為一個點并進行分析。 不考慮它的變形，不考慮它的內部關系什么叫相對位移，這就是經典力學。
但這個復雜的問題可以分解為更簡單的問題。 我首先從宏觀的角度把它看成一個剛體來分析它的運動和受力； 但我也可以把它切成碎片，然后我可以分析它各部分之間的關??系。
雖然它內部沒有做任何工作，但整體來說，并不影響外部的操作。 但它內部仍然存在相互作用，因此系統內部仍然存在相對的力和運動。
但這些想法其實都是點線思維，而這種點線思維會在多個方向上產生這個結果。 比如在長、寬、高三個維度上，都有這種運動，還有直線運動。 所以我們在學習基礎知識的時候，實際上是線性思考的。 但如果想要全面分析，就需要將其各個維度的直線運動結合起來。
就像我剛才講的，不能只看一個原則，要多看幾個方向，看它是什么樣的條件，這樣你才能知道它整體是怎么走的。 所以這個幾何形狀非常重要。 雖然我們有數學，這個很簡單的算術，還有很多物理定理，但是你必須把它放到一個三維空間里，再加上一個維度的時間，才能使它完整。
整個物理學也是如此。 經典問題都是線性問題，然后代入多維空間。 有很多，主要是三、四維。 在這個過程中，仍然存在一些問題無法解決。 比如后來出現了相對論、時空扭曲、量子力學、隱形空間等。 至于這些看不見的空間，它們實際上使用了一些其他的方法，而這些其他的方法都與幾何學密不可分。
因為我最近在看數學。 古典數學以前是幾何代數，現在數學又分為現代代數。 不管怎樣，幾何在這里非常重要，它將代數和幾何結合在一起。 然后是解析幾何。 其中許多復雜問題需要在多維空間中考慮才能得到解決。 包括現在的AI，包括運籌學，包括物理、數學，其實都離不開幾何。
還有拓撲。 微積分實際上是非常基礎的。 它不是現代代數的一個大分支。 它是現代代數的基礎。 為什么？ 因為我們的世界是多維的，所以這種幾何形狀很重要。 歐幾里得幾何主要解決平面幾何。 首先平面幾何是二維幾何，然后是立體幾何。 但這些幾何圖形都是坐標系是直的幾何圖形。
這是什么意思？ 它具有三個維度：長度、寬度和高度。 它們不僅相互垂直，而且是筆直的。 但在幾何學中，還有一個非常重要的東西就是黎曼幾何。 黎曼幾何是關于什么的？ 黎曼幾何講的是它的坐標系是彎曲的。
這是什么意思？ 讓我給你舉一個更生動的例子。 我們在學校學習的幾何都是關于人站直的。 比如我們身體的脊柱、我們的肋骨，我們可以拭目以待。 它們彼此垂直：一個是垂直的什么叫相對位移，另一個是水平的。
當你站直的時候，分析你的心臟在哪里，你的肺在哪里，里面的血液如何流動，氣如何流動……這些東西。 有很多算法可以弄清楚人體內部。 那么黎曼幾何是怎么回事呢？ 黎曼幾何意味著彎腰，你彎腰去計算。 作為一個人，你會知道，一個人彎下腰，他就不會死。 你內部的運作，怎么運作，還是怎么運作。
當你的脊柱彎曲時，它的坐標系也會彎曲。 當你的坐標系彎曲之后，你身體的一切實際上都是相對于你的脊柱而言的，位置上并沒有太多的平移或移動。 它是相對靜止的，并且會隨著坐標系的曲線而彎曲。
因此，即使你的脊柱彎曲，你的內臟器官實際上并沒有發生變化。 它們相對于您的脊柱和肋骨沒有移動。 但由于您的腰部彎曲，因此腰部相對于您身體外部的參考系發生位移。
黎曼幾何是關于什么的？ 黎曼幾何講述了當你的坐標系是彎曲的時候，如何切換坐標系來計算它的位置和運動。 為什么黎曼幾何特別重要？ 因為世界就是這樣。 每個人都在動，每個人都在動，但是每個人都在動，其實他沒有動。 當你彎腰的時候，你的內臟器官相對于你的脊柱實際上并沒有移動，但在別人看來，你的內臟器官在移動。
在別人眼中的坐標系中，可能仍然是直線坐標系。 當您流離失所時，它可以切換您是否移動。 黎曼幾何最重要的是它可以切換坐標系。 所以一個物體運動還是靜止取決于它的坐標系是否運動。 換句話說，對象在空間中的位置取決于您用來查看它的坐標系。 這就是位置。
運動呢？例如，我們呼吸。 呼吸有氣管吧？ 這就是所謂的上下運動。 那么你會認為這是一個簡單的往復運動。 但這個簡單的往復動作，如果你是雜技演員，就會扭來扭去，曲折不斷。 你在呼吸，但是你看到呼吸的運動還是直線往復運動嗎？ 他有時這樣移動，有時那樣移動，對嗎？
如果我們畫一個人的呼吸的圖，不告訴你這個人在運動，你只看到他呼吸的運動軌跡，你能知道這是呼吸嗎？ 你當然不能。 但如果你畫這個人，看呼吸的動作，你就會知道，其實就是簡單的呼吸。
這是什么問題？ 問題是，我們看似復雜的運動，實際上是因為坐標系在做復雜的運動，所以你看到的簡單運動就變成了復雜的運動。
而我們的世界實際上就是這樣。 很多看似復雜的運動其實并不復雜，因為它們的坐標系是在運動的。 黎曼幾何非常重要。 怎樣才能看清楚一個動作呢？ 它需要幾何學，它需要黎曼幾何學。
黎曼幾何的關鍵點在于它是坐標系變化的幾何。 因此，它可以切換視角，可以分析運動中發生的事情，更容易幫助人們看到運動的本質。
我不會擴展它，但將來我會擴展它。 我將在數學主題中對此進行擴展。 如何用數學來解讀F法和Tao法？ 其實是有方法的。
開明的人R
2024年1月6日
