本文為2021年10月22日丘成桐院士在東南大學劍雄學院揭牌暨數學學科創建百年慶典上的講話實錄，發表于《數學人文》（訂閱號：）未經許可不得轉載。
今天我很榮幸能在東南大學吳健雄學院講幾句話。 一方面也紀念東南大學數學學科創建的百年歷史。 東南大學在中國學術界一直具有舉足輕重的地位。
1933年，曾向我的老師陳省身先生（1911-2004）傳授射影微分幾何的孫光遠教授（1900-1979）離開清華大學，到東南大學任教授。 我的兩個朋友程重慶教授和沉向陽教授都是東南大學本科生。 這表明東南大學在人才培養方面做出了重要貢獻。 但毫無疑問，在東南大學的校友中，吳健雄先生（1912-1997）是被永遠銘記的一位。
吳健雄
二十多年前，我在臺灣中央研究院開會時，總會見到吳健雄先生和她的丈夫袁家騮先生（1912-2003）。 在與她夫婦聊天時，我欽佩她的知識，尤其是她在實驗物理方面的工作。
袁家騮和吳健雄夫婦
1936年，她赴加州大學伯克利分校，師從物理學大師勞倫斯（1901-1958）。 我本人也在伯克利師從數學大師陳省身。 雖然那件事已經過去了33年，但我們的交流仍然很有趣。
她一生在β衰變物理學方面做了許多重要的工作。 最杰出的工作是1956年，她帶領團隊在極低的溫度下利用強磁場極化鈷60原子核的自旋方向來觀察鈷60。 原子核β衰變所發射電子的發射方向。 她的團隊發現大多數電子以與鈷 60 原子核自旋相反的方向離開。 這證實了弱相互作用中宇稱不守恒，也驗證了李正道和楊振寧同年提出的假設。
這個實驗震驚了物理學界，李和楊獲得了諾貝爾獎。 但令人驚訝的是，她并沒有獲得諾貝爾獎。 對于此事，學界不少人都為她感到委屈。 不過，她擁有了當時物理學界給予學者的一切榮譽，此生應該無悔。
吳建雄先生的工作主要集中在對自然的實驗觀察，特別是β衰變引起的各種現象。 這是西方文藝復興時期和古希臘時期重要的科學方法。 愛因斯坦（1879-1955）曾在給斯維策（JE）（1953，收錄于《愛因斯坦文集》（第一卷））的回信中說過：
“西方科學的發展基于兩項偉大成就：希臘哲學家發明了形式邏輯系統（歐幾里得幾何學），以及通過系統實驗發現因果關系的可能性（文藝復興時期）。 在我看來，中國圣賢沒有采取這些步驟并不奇怪。 但令人驚訝的是這些發現竟然存在。”
愛因斯坦的意思是，數學推理方法加上上述實驗觀察是現代科學方法的基礎。 世人驚奇的是，宇宙是美麗而有序的，并且可以通過這些方法來理解。
觀察天象并利用可控實驗尋找展現自然真實本質的數據，確實是現代科學的第一步。 但如何在大量的觀察和數據中找到關鍵點來解釋我們所看到的現象，是現象學物理學家的重點工作。 一般來說，一種新現象出現后，大量學者開始建立各種模型來模擬我們所看到的現象。
模型當然可以建立，但往往太多，而且大多數都經不起時間的考驗。 如何判斷模型是否正確？ 一般來說，經過時間檢驗的理論將會發揮重要作用。 因為這些理論在不同的地方都被證明是有效的，所以是可以信賴的。 如果新模型在這些理論面前站不住腳，那么一般來說這個模型就有問題了！
然而，一種理論——無論它多么美麗，其內部結構必須是一致的，不能產生矛盾，否則就無法解釋自然現象。 物理和工程的理論都是用數學來表達的，但物理學家和工程師經常直觀地使用數學工具。 在很多細節上，他們沒有注意到數學上的微妙變化比他們想象的還要復雜。 。 他們一開始認為是完美的理論，當他們深入研究時可能會充滿缺陷。
一般來說，物理學家和工程師希望看到他們的理論迅速得到應用，就會突飛猛進，而不注意他們推理的嚴謹性。 數學家的嚴謹態度對科學理論和模型有很大幫助。 在眾多可能的模型中，只有數學上兼容的模型才能生存。 當經典力學推向量子力學時，經常會出現數學上的不相容性，物理學家稱之為異常現象（）。 這種異常幫助我們選擇模型的正確性，在弦理論中，幫助我們選擇規范群和時空維度。
無論如何，物理學家堅持認為正確的物理理論必須經過實驗驗證才能被認為是成功的。 這是一個非常正確的觀點。 自然界的現象太復雜了，所以理論漸近地模擬了這些復雜的現象，所以重復的實驗是驗證理論的必要過程。
物理理論常常會推導出一些有趣的數學公式，甚至為數學家找到一些數學問題的答案。 然而，物理學家使用的工具從數學角度來看往往并不嚴格，例如量子場論，其數學結構本身仍然是一個謎。 然而，從量子場論中得到的數學結論可能只是數學家的夢想。
在弦理論中，大約三十年前，我的一位博士后布萊恩·格林（Brian）和我的朋友坎德拉斯（）等人在所謂的丘流形（-Yau流形）中引入了鏡像對稱性。 ( )的概念震驚了我們的幾何數學家！ 當他們與我討論這個想法時，我認為這種鏡像對稱不太可能存在。 但當他們用這個概念解決數學上的一個世紀難題時，我不禁對他們表示敬佩。
這個問題可以解釋如下。考慮一個方程
我們正在尋找有理函數
滿足上式。 該解稱為有理曲線。 每條有理曲線都有一個度 ()。當度
當時，一百多年前，德國數學家舒伯特（1848-1911）計算出了2875條滿足上述五階多項式方程的有理曲線。
我的朋友卡茨大約四十年前就得到了答案。 度數越大，計算就越困難。 沒有找到通用答案的好方法。 但通過鏡像對稱的方法，可以找到一個美麗的公式，它可以解答所有程度的問題。
1990 年，我在伯克利主持了一次匯聚了數學家和物理學家的會議。 數學家和物理學家為了這個公式發生了爭吵！ 為什么？ 當時，兩位挪威數學家通過嚴格的數學論證得出結論，次數等于3的有理曲線有條形，但上述物理學家得到的答案是條形。
這個矛盾引起了激烈的爭論，數學家們很不服氣，因為物理學家的推論并不嚴格，但物理學家卻找不到他們推論中的錯誤。 三個月后，事情終于得到解決：兩名挪威學者在計算時使用了計算機程序，過程中出現了錯誤。 錯誤被糾正后，結果與物理學家的答案一致，大家都松了口氣。 語氣。 從那時起，數學家們對弦理論有了新的認識！ 一大批杰出的數學家加入了這一領域的研究，為物理學家在弦理論方面做出了深入的貢獻。
從這個時候開始。 理論物理學家和數學家的合作進入了一個新時代。 數學家利用幾十年來發展的知識來推廣物理學家的方法并獲得許多重要的結果。
然而，對于數學家來說，量子場論產生的理論總是如霧里看花，不敢太相信。 有很多事情物理學家認為是顯而易見的，但數學家需要重新定義它們才能理解其內容。 。 從弦理論中獲得的物理直覺可以通過量子場論推導出許多重要的數學公式。 數學家們很羨慕，因為這些公式解決了他們幾個世紀以來的問題。 但包括物理學家在內，沒有人認為這些公式已經被證明。 我們有一種非常奇怪的感覺，我們正在由弦理論家領導來解決一些重要的核心數學問題！ 即使現在，我們仍然有這樣的感覺。
1995年至1996年間，伯克利的（）和連文浩-劉克峰-I三人小組用純數學方法驗證了坎德拉斯公式，我們松了口氣。
我們終于有了一個經過嚴格證明的數學定理，而且證明過程并沒有使用物理學中的量子場論。 這是一件值得慶祝的事情，為什么呢？ 除了用數學方法嚴格解決一個百年難題之外，我們還證明了從弦理論直觀得到的結果是正確的。
我們知道，到目前為止，弦理論還沒有實驗證明其正確性，但由它推導出來的數學公式已經被嚴格證明。 事實上，弦理論不僅引出了重要的數學公式，而且創造了許多深入的數學方向，整合了不同的數學分支。 而這些新的數學已經成為研究物理的重要工具！
當然，要充分證明弦理論是自然基礎理論的一部分，仍然極其需要實驗和觀察。 但我們堅信，優美、簡潔、深刻的數學理論一定是大自然的一部分。
我自己的看法是：
簡單而美麗的數學，是大自然展現給人類最美的部分！ 素數、虛數、幾何圖形、基波、美麗的組合，誰說這些不是大自然的一部分？
我們越來越意識到這些聽起來抽象的概念，也越來越意識到它們無處不在！
我們來談談對稱的概念。 最簡單的一種是鏡像對稱。 每個人照鏡子的時候都會有這樣的感覺。 任何有文化的國家都知道這種對稱性。 古代中國有，古埃及有，古巴比倫有，古印度有，古希臘有物理學家修真，古波斯有。 這種對稱性是如此明顯，以至于當物理學家發現它并沒有表現在弱力的β衰變過程中時，他們感到非常驚訝！
對稱思想一直是貫徹數學中心思想的重要概念。 這似乎是顯而易見的，但它真正發展成為數學中的重要工具始于 19 世紀初期的伽羅瓦理論。 伽羅瓦（é，1811-1832）使用置換群解釋了用根式求解一個變量的多項式方程的充要條件。
伽羅瓦
事實上，自從意大利人塔爾塔利亞（ò，1500-1557）發現三次方程的根式解公式（又稱卡爾達諾公式）以來，大家都認為所有方程都有根式解。 伽羅瓦為每個多項式引入了一個群（伽羅瓦群），他證明了多項式方程有根式解的充要條件是該群可解（）。 對于一般大于五次的多項式方程，該群是不可解的。 因此伽羅瓦得出結論，當次數大于五時，一般多項式方程沒有根式解。
將問題轉化為群問題是現代物理學家常用的方法。 1854 年凱萊（，1821-1895）和 1856 年戴德金（，1831-1916）定義了抽象有限群。 從那時起，我們就看到了各種各樣的對稱現象。
經過150多年的努力，數學家終于得到了有限群的分類結果，基本了解了有限群的內部結構。 最基本的組是簡單組。 除了少數“經典簡單群”外，簡單群的數量有限。 它們極其復雜，但又極其美麗。 有很多群理論家參與這項工作，其中之一是密歇根大學的格蕾絲（路易斯），她是我的朋友。 1980年，當他宣布第一個重要成果時，他正在普林斯頓高等研究院。當時我也在普林斯頓高等研究院，這令人興奮！
這個群最初被稱為“群”，但是當1982年論文發表時，它被更名為“巨人”。這個群的元素數量大約是
，太陽系中的原子數量約為
。 如果使用矩陣變換來表示，則需要一維空間。
后來，博爾切茲（）發現了幻群、模函數和弦論之間的關系。 對稱的概念不再只是一種普遍的感覺。 其背后有深刻的數學理論。
這些抽象的有限群如何在具體的物理現象中表現出來，稱為群表示論。 我們還沒有理解有限群的所有表示論，但是獲得的結果是豐富的。 有限群在數論、幾何、經典力學和量子力學中發揮著重要作用。 我們看到的對稱性不再是簡單的交換對稱性，它比鏡像對稱的概念要復雜得多。
事實上，中國人引以為傲的《易經》使用了大量對稱概念，但與普通有限群的結構相比，卻簡單得多。 再加上深入的群表示理論，我們可以梳理復雜的自然和數學現象，得到許多令人驚奇而美麗的定理。
19世紀中葉，數學家引入了另一個劃時代的工具——連續群。 為了紀念它的創始人挪威數學家索菲斯·李（Lie，1842-1899），我們將其稱為李群。 李是一位幾何學家，而李群本身就是一個微分流形。 它被提出后，很快被數學家們發展起來。 同時期的重要學者還有基林（1847-1923）、菲利克斯·克萊因（1849-1925）等人。 與有限群相比，連續對稱群對于幾何和物理現象更為重要。 因為在研究連續對稱時，可以引入大量的微積分工具！
1872年，克萊因在德國（）公布了“埃爾蘭根綱領”，利用連續群的對稱性對幾何進行分類，影響了二十世紀幾何學的發展。 克萊因還引入了離散群的概念。 在龐加萊（Jules Henrié，1854-1912）的幫助下，離散群成為幾何學中描述幾何結構內部對稱性的又一工具，也為數論學家提供了重要的方法。
緊連續群的結構理論最終由嘉當（élie，1869-1951）領導的一批數學家在二十世紀初完成，其表示論則由偉大的數學家韋爾（Weyl，1885-1955）完成。 ，從而成為二十世紀最重要的數學工具——數論、幾何和物理學都以這些知識為主要研究工具。
與克萊因的埃爾蘭根綱領類似，現代理論物理學是按李群分類的。 連續群很早就起源于物理學，由德國女數學家諾特完成（艾美獎，1882-1935）。 物理學家常說，對稱性的概念是愛因斯坦在研究廣義相對論時引入的。 這種說法與事實相去甚遠！ 廣義相對論（）的工作原理完全是由希爾伯特（大衛，1862-1943）引入的，與愛因斯坦無關！ 但希爾伯特卻受到了諾特的影響！ 1915 年，她正在考慮連續對稱性如何生成物理運動方程。 諾特的文章發表于1918年，成為一百年來理論物理學家研究場方程的主要工具。
諾特
自從諾特的工作以來，物理學家迷信地認為所有自然現象都必須具有基本對稱性。 事實上，諾特的理論需要連續對稱群的作用，但沒有考慮離散群的作用。 所以從數學的角度來看，弱力沒有必要遵守宇稱守恒定律。 一個有趣的問題是，為什么強力遵守宇稱守恒定律？
事實上，直到20世紀60年代末，高能物理所使用的數學工具仍然是微擾法：改變某些已知解附近的某些參數，看看解如何變化。 這種精神起源于數學的變分法，以歐拉（Euler，1707-1783）和拉格朗日（，1736-1813）為主要創始人。 拉格朗日分析方法至今仍在使用。 當物理宏觀環境尚不明確時，攝動方法仍是主要工具。 一般來說，擾動中使用的物理對稱群是連續群。 20世紀50年代之前的物理學，主要工具是微擾法，主要是諾特流（ flow）。 在這個框架中，有限對稱群的出現不一定是自然的。
另一方面，更大的對稱性思想源自經典力學和電磁學。 拉格朗日在研究力學時引入了極其重要的勢（勢）概念，而拉普拉斯（-西蒙，1749-1827）則利用引力場的勢寫下了牛頓引力方程。 拉普拉斯方程影響了數學近三百年。 例如，廣義相對論中的愛因斯坦方程就是在牛頓方程的基礎上構建的，并添加了狹義相對論和等效原理。 但潛力并不是唯一的，并且可以相差一個常數。
19世紀，電磁學成為物理學的一個重大問題。 麥克斯韋（詹姆斯·克拉克，1831-1879）通過法拉第（1791-1867）等人的著名實驗，完善了高斯和黎曼的概念，得到了麥克斯韋方程組。 。 電和磁都有勢，相位差是函數。 這就是規范概念的雛形。
同一時期，黎曼（1826-1866）開始提出黎曼幾何的概念。 該幾何圖形背后的對稱群是通過所有坐標變換獲得的。 這種觀點可視為物理學的等效原理。 這一事實成為愛因斯坦廣義相對論的基礎。
愛因斯坦方程 1915年愛因斯坦成功完成廣義相對論方程之后，他希望將所有物質置于廣義相對論的框架內。 許多幾何學家參與了這項工作，其中列維-奇維塔（Levi-，1873-1941）是其中重要的一位。 他推廣了黎曼幾何中平行運動的概念，并允許扭轉（）。
基本上，從幾何角度來看，他已經向通用規范場邁出了一步。 1918年，外爾在其著作《空間、時間、物質》（Raum，Zeit，）中正式引入了規范場的概念，但他的規范群是正實數群。 愛因斯坦非常喜歡他的建議，但他也指出，這個群使得平行移動時長度無法保證，不符合物理學的要求。
量子力學誕生后，倫敦（Fritz，1900-1954）等人于1926年將規范群改為圓形。長度得到了保證，韋爾由此推導出麥克斯韋方程組。 韋爾聲稱規范場與重力沒有直接關系，但卻是物質世界的主宰。 具有物理意義的量必須是規范不變量。 因此，他建立了管理各種物理力的規范理論。 由于當時發現的粒子不多，因此沒有必要將規范群推廣到非交換的情況。
從幾何的角度來看，嘉當早在1926年就開始了非交換群規范場論的研究，他的學生查爾斯·埃雷斯曼（ ，1905-1979）和陳省身將這些理論發揚光大。 當規范群是酉群時，陳省身定義了影響現代幾何和物理學的聲明類（Chern，1946）。
埃雷斯曼·外爾-嘉當( Weyl-)的規范場理論被用于所謂的同位旋( )理論上。 然而，直到十幾年后，經過一群物理學家提出了對稱破缺（）、重正化（）等幾個重要理論后，這些經典理論才成為我們現在看到的標準模型。
泡利和吳健雄
標準模型凝聚了一大群物理學家、數學家數百年的智慧，可以說是人類的瑰寶。
標準規范場的對稱群就是規范群，它像廣義相對論一樣是無限維的，但與李群密切相關。 直到 20 世紀 90 年代，物理學家還假設李群是相連的物理學家修真，并沒有考慮李群的離散部分。
當物理學家發現非微擾宏觀物理時，他們很快就發現了規范群離散部分的重要性。 當然，宏觀幾何和拓撲開始大規模進入非微擾物理學。 物理學中存在三種重要的離散對稱性（不是從連續群導出的）：
電荷共軛對稱性或C對稱性（ ），與物質和反物質的對稱性有關；
宇稱或 P 對稱性 ( )，空間離散對稱性；
時間反演對稱性或T對稱性（時間），時間離散對稱性。
當它們放在一起時，可以證明一般量子場論中的守恒性 - 稱為 CPT 定理。
李、楊的著名著作指出，宇稱不守恒可能會產生某種物理現象。 他們建議的實驗是由吳健雄領導的一個小組完成的。 但直到今天，物理學家仍然無法解釋為什么宇稱在弱相互作用中不守恒，而在強相互作用中卻守恒。
近年來，物理學家考慮了另外兩種重要的離散對稱性：
費米性質對稱性 (
), 區分玻色子 ((+1)) 和費米子 ((-1))
-結構。
BL對稱性，重子數()減去輕子數()也可以具有離散對稱性（從U(1)分解為
）。
這些對稱性有不同的組合，可以形成相對較大的動作群。 它們在非微擾量子物理中發揮著重要作用，并與宏觀幾何相結合。 預計流行了五十年的基礎物理標準模型將會有新的突破！ 我在哈佛大學的博士后Juven Wang正在朝這個方向進行探索，并取得了一些成果。
標準模型方程
數學是所有學科中最嚴謹的，但它必須有豐富的內容才能成為一門有趣的學科。 它還描述了自然，所以必須要做實驗！ 要做實驗，你需要儀器。
如果你問數學家做了什么實驗，古希臘數學家喜歡用圓規和尺子來畫幾何圖形。 事實上，平面幾何中的一個重要問題就是研究哪些幾何圖形可以用圓規和尺子構造出來。 這個問題困擾了學者近兩千多年，直到十九世紀初才得到徹底解決。 在這一探索過程中，代數和群論得到了極大的發展，可以說是儀器儀表影響理論科學的第一個重要例子。
至于古代數學中最常見的工具，大概是紙和筆，其次是黑板和粉筆。 當然，很多人也會提到算盤。 事實上，數學家很少使用算盤。 一般來說，能用算盤算的數學，也能用筆算。 同時，你可以通過書面計算對數字有更深入的了解。 歐拉、卡爾·高斯（1777-1855）、黎曼等偉大的數學家都是通過大量的書面計算發現了重要的定理。 歐拉和高斯甚至發明了各種快速算法，奠定了現代計算科學的基礎。
到了20世紀，許多復雜的自然現象，例如湍流、天氣預報等，已經無法使用筆計算以期望的精度進行計算，因此數學家開始使用計算機進行大規模計算。 第一臺重要的大型計算機在第二次世界大戰期間用于原子彈的研制。 電腦很大。 據說IBM的崛起與這款計算機有關。
80多年前的計算機的指令周期和存儲容量遠遠不如我們今天擁有的智能手機。 除了解方程之外，計算機還廣泛應用于其他學科，甚至被用來證明數學定理。 圖論中四色問題的解決就是一個突出的例子。 這是一個著名的組合問題，其證明依賴于機器。 直到今天，數學家們仍然對此感到擔憂，希望找到不依賴機器的證明。 造成這種情況的原因當然有很多，其中之一就是計算機計算程序可能存在錯誤。 這種現象在計算方程的解時尤其明顯。 畢竟機器只能存儲有限數量的數字，因此錯誤是不可避免的。 經過數十億次乘法和除法運算后，錯誤會累積并變得越來越大，從而導致錯誤的答案。 也就是說，即使計算機顯示的數字是收斂的，但得到的答案并不意味著它是正確的。 這是一個嚴重的問題，并催生了一門稱為數值分析的學科，該學科研究最終答案中的錯誤。 該分析的有效性基于對方程本身的透徹理解。 無論如何，電子計算機已經成為科學家最重要的工具，尤其是在無法進行實驗的情況下。
現代計算機的基本原理是由英國數學家艾倫·圖靈（1912-1954）發明的。 圖靈一直說“我們想要的是一臺能夠從經驗中學習的機器”，“讓機器改變自己的指令的可能性為此提供了一種機制”。 他在1936年提出了存儲程序的概念（-），后來大家把這臺機器稱為“通用圖靈機”（下）。 他還表示，希望打造一個像人腦一樣運作的人造大腦，而不僅僅是知道如何計算； 他對生成大腦活動模型的可能性比對計算的實際應用更感興趣。 可見圖靈很早就注意到了人工智能。
從1938年到1939年，英國工程師托馬斯·弗勞爾斯（ ，1905-1998）開始使用真空管來傳輸數字數據，美國人約翰·阿塔納索夫（John ，1903-1995）也開始使用真空管做簡單的事情。 計算。 戰后，英國人馬克斯·諾伊曼（Max，1897-1984）在曼徹斯特大學建立了英國皇家學會計算實驗室（Royal）。 他與圖靈以及美國人約翰·馮·諾依曼（1903-1957）都有密切的交流。 美國第一臺計算機出現在賓夕法尼亞大學摩爾電氣工程學院，與陸軍有關。
摩爾電氣工程學院操作 ENIAC 主控制面板的程序員
