守恒量
在量子力學中，如果一個力學量的平均值不隨時間變化，則這個力學量被稱為“守恒量”。 守恒量有兩個特點：
守恒量的平均值不隨時間變化。 守恒量的概率分布不隨時間變化。
守恒量的特點是，對于守恒量A什么情況角動量守恒，其算符滿足
[帽子{A},帽子{H}]=0
即，A 用哈密頓算子交換。
有一個非常簡潔的證明，可以證明概率分布不變：
【證明】
由于 hat{A} 和 hat{H} 是交換，它們有一個共同的特征基，即
hat{H}phi_n=E_nphi_n, hat{A}phi_n=a_nphi_n
那么A的狀態(tài)函數(shù)可以表示為
|psi(bold{r},t)=sum _nc_n(t)|phi_n(bold{r})
那么 c_n(t)=\phi_n(bold{r})|psi(bold{r},t)
兩邊對時間的導數(shù)
fractxrzbvzd{dt}c_n(t)=\phi_n(bold{r})|frac{}{ t}psi(bold{r},t)
根據(jù)薛定諤方程，我們有
frac{}{ t}psi=frac{1}{ihbar}hat{H}psi 將其代入
fractxrzbvzd{dt}c_n(t)=frac{1}{ihbar}\phi_n(bold{r})|hat{H}psi(bold{r},t)
根據(jù)hat{H}之謎
fractxrzbvzd{dt}c_n(t)=frac{1}{ihbar}\hat{H}phi_n(bold{r})|psi(bold{r},t)
=frac{1}{ihbar} E_nphi_n|psi(bold{r},t)
=frac{E_n}{ihbar}\phi_n(bold{r})|psi(bold{r},t)
=frac{E}{ihbar}c_n(t)
這是cn關于t的一階微分方程，其解為
c_n(t)=c_n(0)e^{-i/hcdot E_nt}
因為 |c_n(t)|^2=|c_n(0)|^2
所以狀態(tài)函數(shù) psi 不隨時間變化。
對稱性和守恒定律
根據(jù)著名的諾特定理，每一個對稱性（時間、空間）都對應一個守恒量，也對應一個未知量。
[對稱性的定義]
對稱性可以簡單地理解為“不變性”。 量子力學中的對稱性定義為如果算子對波函數(shù)進行變換后仍然滿足薛定諤方程，則該變換是對稱的。
存在一個變換hat{Q}。 在hat{Q}的變換下，波函數(shù)psi變換為psi'，即
hat{Q}|psi=|psi'
有薛定諤方程
ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{H}|psi
所謂系統(tǒng)關于 hat{Q} 的變換對稱性就是要求
ihbarfrac{}{ t}|psi'=hat{H}|psi' (公式1)
這種對稱性的條件可以從上面的公式推導出來； 根據(jù)上面的公式，我們有
ihbarfrac{}{ t}|hat{Q}psi=hat{H}|hat{Q}psi
hat{Q}ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{H}hat{Q}|psi
兩邊同時乘以 hat{Q}^{-1} 得到
begin{align}hat{Q}^{-1}hat{Q}ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{Q}^{-1}hat{ H}hat{Q}|psi\ ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{Q}^{-1}hat{H}hat{Q} |psi\end{對齊}
將上式與薛定諤方程進行比較，我們可以得到
帽子{Q}^{-1}帽子{H}帽子{Q}=帽子{H}
現(xiàn)在
[帽子{Q},帽子{H}]=0
該式與式1等價。即只要Q和H可交換，則變換Q是對稱的。
【對稱變換對應一個守恒量】
下面解釋為什么每個對稱變換對應一個守恒量。假設變換 hat{Q} 是一個無窮小變換（例如系統(tǒng)旋轉無窮小角度；時間做無窮小平移等），則 hat{ Q}可以分解為以下形式
hat{Q}=hat{I}+i\hat{F}
I是恒等變換，是小量，F(xiàn)是某個機械量算子。 顯然，當Q無限接近恒等變換時。
那么只要[hat{Q},hat{H}]=0，那么[hat{F},hat{H}]=0。 力學量F是對應于變換Q的守恒量。
【證明】
有 [hat{Q},hat{H}]=0
begin{align}hat{Q}hat{H}-hat{H}hat{Q}&=0\ (hat{I}+i\hat{F})hat{H }-hat{H}( hat{I}+i\hat{F})&=0\ hat{I}hat{H}+i\hat{F}hat{H} -帽子{H}帽子{I}-i\帽子{H}帽子{F}&=0 \i\帽子{F}帽子{H}&=i\帽子{H} hat{F}\ [hat{F},hat{H}]&=0end{align}
如果機械量算子 hat{F} 和 hat{H} 交換，則機械量 F 守恒。
而且，F(xiàn)是災難，Q是酉算子，這是可以證明的。
[各種對稱性]
1、空間均勻性和動量守恒：
當整個系統(tǒng)在空間平移一定距離時，其哈密頓量H保持不變（滿足薛定諤方程），即僅取決于系統(tǒng)粒子的相對位置而不是絕對位置； 空間中不存在特殊點的情況稱為空間具有“均勻性”。 此時，平移變換對應的動量p守恒（[hat{p},hat{H}]=0）。 ,
2. 空間各向同性和角動量守恒：
假設有一個軸定義系統(tǒng)的角動量，那么整個系統(tǒng)繞該軸進行旋轉變換對稱，其角動量守恒。 該系統(tǒng)不特定于該空間中的任何方向，并且該空間被稱為“各向同性”。
3、時間均勻、能量守恒：
對系統(tǒng)進行時間平移變換（讓波函數(shù)滯后一段時間hat{Q}psi(bold{r},t)=psi(bold{r},t-Delta t )) 對于對稱系統(tǒng) 具有時間均勻性，此時能量守恒。
4.交換對稱性和相同粒子多重系統(tǒng)：
假設多粒子系統(tǒng)中有兩個相同的粒子（靜質量、電荷、自旋、壽命等相同的粒子），則交換變換 hat{P}_{ij} (hat{P}_ {ij }psi(bold{r}_1,…,bold{r}_i,…,bold{r}_j,…,bold{r}_n)= psi(bold{r}_1 ,… ,bold{r}_j,…,bold{r}_i,…,bold{r}_n) psi 是系統(tǒng)的波函??數(shù)) 對稱系統(tǒng)具有“交換對稱性”。 其中，變換Pij只有兩個特征值pm 1，交換不變性不會隨時間變化。
這個相同粒子系統(tǒng)由自旋為 hbar 整數(shù)倍的玻色子組成，適用于玻色-愛因斯坦統(tǒng)計。 自旋為 frac{1}{2}hbar 整數(shù)倍的費米子不可能相同（泡利不相容原理），并且它們符合費米-狄拉克統(tǒng)計。 由于量子力學中無法區(qū)分兩個相同的粒子，即波函數(shù)和內蘊值完全相同的兩個粒子，無法區(qū)分也沒有必要區(qū)分，因此它們的描述在數(shù)學上可以更簡單（參考二次量化）。
5、空間反射不變性和宇稱守恒：
定義反射變換（ hat{P}psi(x,y,z)=psi(-x,-y,-z) ）。 如果 P 是對稱的（即 [hat{P},hat{H}]=0），則“奇偶性守恒”。 則任意守恒量F（[hat{F},hat{H}]=0）與P和H具有相同的恒等式，則F可以用P的基（宇稱基）來表示。P的特征值ispm 1。對于一維，兩個基是
|phi_+=cos kx （偶校驗）
|phi_-=sin kx（奇校驗）
系統(tǒng)波函數(shù)
對于n個費米子系統(tǒng)，系統(tǒng)波函數(shù)可表示為
psi(bold{r}_1,…,bold{r}_n)=frac{1}{sqrt{n!}}begin{}phi_1(bold{r}_1)&…& ...&phi_1(bold{r_n})\ phi_2(bold{r}_1)&...&...&phi_2(bold{r_n})\...&...&...&...\ phi_n (bold{r}_1)&…&…&phi_n(bold{r_n})end{}
phi_n 是系統(tǒng)哈密頓量的 n 個特征函數(shù)，分別是 n 個粒子的狀態(tài)函數(shù)（可證明），1/sqrt n 是歸一化因子。 上面的公式稱為公式，其正確性可以通過變分法或薛定諤方程來證明。 它已經是一個很好的近似，更準確的近似是多個行列式的線性組合。
對于 n 個玻色子系統(tǒng)有
psi_{k_1,…,k_n}(bold{r_1},…,bold{r}_n)=sqrt{frac{Pi_{i=1}^n k_i}{n!}}[ phi_{k_1}(bold{r_1})…phi_{k_n}(bold{r}_n)]
psi 是玻色子系統(tǒng)。 其中，kn個粒子處于n態(tài)（這些粒子是相同的）。 P是替代符號。
旋轉
一些實驗現(xiàn)象的無法解釋導致了粒子“自旋”理論的提出。 著名的斯特恩-表明粒子具有磁矩，而這個磁矩并非來自軌道角動量，而是由粒子本身的性質引起的，因此就有了自旋角動量和自旋磁矩的假說。 這個磁矩的大小稱為玻爾磁子（ mu_B=frac{ehbar}{2m} ）。
【自旋假說】
根據(jù)斯特恩實驗，一束原子（對外呈電中性）穿過磁場，有的原子向下偏轉，有的原子向上偏轉； 這說明原子本身具有磁矩，并且磁矩有兩種（不同方向）。 方向），使一些原子向上移動，一些原子向下移動。
假設原子具有某種稱為“自旋”的內在屬性，可以將其與圍繞粒子中心軸旋轉的電荷進行比較（實際上并不存在，只是理解這種現(xiàn)象的類比。），產生類似的現(xiàn)象到軌道磁矩，使粒子具有磁矩。
對于這個假設，有以下定義：
自旋角動量： S_i=pmfrac{hbar}{2} ，(i=x,y,z){S} 是自旋角動量
自旋磁矩： {mu_s}=g_s{S} , g_s=-frac{e}{m}
粒子的自旋角動量只能取兩個值，即+-h/2； 并且自旋磁矩的定義與經典軌道磁矩不同（對于軌道磁矩 g_l=-frac{e}{2m} ），即 gs 是 gl 的兩倍。
加上自旋假設并代入哈密頓量后，SG實驗現(xiàn)象就可以得到完美的解釋。 然而，認為這種自旋完全等同于經典軌道旋轉是完全不合理的。 如果粒子的磁矩要達到玻爾磁子，那么繞粒子中心軸旋轉的虛電荷的線速度將遠遠超過光速（超過光速的300倍），這顯然違反狹義相對論； 而且，從經典的角動量概念中無法推導出g等于兩倍的結論。 因此，自旋必須單獨理解。 它是粒子的固有屬性，并不是真正的角動量或旋轉。
事實上，在量子場論中，狹義相對論可以用來解釋自旋效應，這完全是一種相對論電磁效應。
【自旋態(tài)與泡利矩陣】
量子力學中對自旋粒子的描述使用“自旋態(tài)函數(shù)”。
自旋狀態(tài)函數(shù)： |Psi(r,S_i)=begin{}psi(r,hbar/2)\psi(r,-hbar/2)end{}
為了便于理解，討論了自旋 z 軸的自旋狀態(tài)函數(shù) |Psi(r,S_z)。 其含義是：
|psi(r,hbar/2)|^2 是粒子在位置 r 處沿 z 軸正方向（向上）旋轉的概率密度。
|psi(r,-hbar/2)|^2 是粒子在位置 r 處沿 z 軸相反方向（向下）旋轉的概率密度。
歸一化條件為：
\Psi|Psi=int d^3r |psi(r,hbar/2)|^2+ |psi(r,-hbar/2)|^2=1
自旋態(tài)函數(shù)可以分解為： Psi(r,S_z)=phi(r)chi(S_z)
其中，chi(S_z)=begin{}a\bend{}稱為“旋量”。 它可以等效于 Psi 來描述自旋的屬性（不包括粒子位置屬性）。 自旋量X的所有值的空間稱為粒子的“自旋態(tài)空間”，它可以由一組標準基來跨越。
泡利矩陣：
假設自旋角動量算子 hat{S} 滿足 \psi(r)|hat{S_i}|psi(r)=pmhbar/2。 波函數(shù)psi經過變換即可得到對應i方向的自旋角動量。其分量算子hat{S_i}與軌道角動量算子類似。 有
[hat{S_i},hat{S_j}]=ihbarhat{S_k} ( i,j,kin{x,y,z};ine jne k )
任意 hat{S_i} 的特征值為 pmhbar/2，即
S_i=m_shbar;(m_s=pmfrac{1}{2})
ms 稱為“自旋量子數(shù)”。
為了方便起見，引入泡利算子 hat{S_i}=frac{hbar}{2}hat{}； 泡利算子具有以下性質：
[hat{},hat{}]=ihat{} ( i,j,kin{x,y,z};ine jne k )
帽子{}^2=帽子{I}
運算符的矩陣是“泡利矩陣”，其中 hat{} 具有相對于系統(tǒng)公共特征基的對角矩陣：
泡利矩陣： hat{}=begin{}0&1\1&0end{},space hat{}=begin{}0&-i\i&0end{},space hat { }=begin{}1&0\0&-1end{}
[總角動量算子的本征態(tài)]
粒子的總角動量算子定義為
hat{J_i}=hat{L_i}+hat{S_i}
也滿足類似的交換關系。
存在完整的守恒量集合（H，L^2，J^2，J_z），并且可以找到它們的共同特征值和特征函數(shù)。
特征值是：
begin{align}特征值 (L^2)&=l(l+1)hbar^2;space l=0,1,2,...\特征值(J^2)&=j(j+1) )hbar^2;space j=lpmfrac{1}{2}\ eigen(J_z)&=m_jhbar;space m_j=-j,-j+1,…,j-1 ,j end{對齊}
[泡利方程]
泡利方程（泡利-薛定諤方程）是描述自旋為 1/2 的粒子系統(tǒng)的運動方程。 它將粒子自旋融入其中。 它是介于薛定諤方程和狄拉克方程之間的方程，適合處理粒子。 電磁場下的運動是薛定諤方程的修改版本。
泡利方程： [frac{1}{2m}(hat{{sigma}}cdot(hat{{p}}-q{A}))^2+qphi]| Psi=ihbarfrac{}{ t}|Psi
hat{{sigma}} 是泡利算子，p 是動量算子，A 是矢量勢，phi 是標量勢，q 是粒子電荷，Psi 是自旋狀態(tài)函數(shù)。 顯然什么情況角動量守恒，哈密頓量的左項包含磁勢、自旋磁勢和動能，右項是電勢。
（書：《量子力學（上）》，曾金燕著）
