守恒量
在量子力學(xué)中，如果一個(gè)力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間變化，則這個(gè)力學(xué)量被稱(chēng)為“守恒量”。 守恒量有兩個(gè)特點(diǎn)：
守恒量的平均值不隨時(shí)間變化。 守恒量的概率分布不隨時(shí)間變化。
守恒量的特點(diǎn)是，對(duì)于守恒量A什么情況角動(dòng)量守恒，其算符滿(mǎn)足
[帽子{A},帽子{H}]=0
即，A 用哈密頓算子交換。
有一個(gè)非常簡(jiǎn)潔的證明，可以證明概率分布不變：
【證明】
由于 hat{A} 和 hat{H} 是交換，它們有一個(gè)共同的特征基，即
hat{H}phi_n=E_nphi_n, hat{A}phi_n=a_nphi_n
那么A的狀態(tài)函數(shù)可以表示為
|psi(bold{r},t)=sum _nc_n(t)|phi_n(bold{r})
那么 c_n(t)=\phi_n(bold{r})|psi(bold{r},t)
兩邊對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)
fractxrzbvzd{dt}c_n(t)=\phi_n(bold{r})|frac{}{ t}psi(bold{r},t)
根據(jù)薛定諤方程，我們有
frac{}{ t}psi=frac{1}{ihbar}hat{H}psi 將其代入
fractxrzbvzd{dt}c_n(t)=frac{1}{ihbar}\phi_n(bold{r})|hat{H}psi(bold{r},t)
根據(jù)hat{H}之謎
fractxrzbvzd{dt}c_n(t)=frac{1}{ihbar}\hat{H}phi_n(bold{r})|psi(bold{r},t)
=frac{1}{ihbar} E_nphi_n|psi(bold{r},t)
=frac{E_n}{ihbar}\phi_n(bold{r})|psi(bold{r},t)
=frac{E}{ihbar}c_n(t)
這是cn關(guān)于t的一階微分方程，其解為
c_n(t)=c_n(0)e^{-i/hcdot E_nt}
因?yàn)?|c_n(t)|^2=|c_n(0)|^2
所以狀態(tài)函數(shù) psi 不隨時(shí)間變化。
對(duì)稱(chēng)性和守恒定律
根據(jù)著名的諾特定理，每一個(gè)對(duì)稱(chēng)性（時(shí)間、空間）都對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒量，也對(duì)應(yīng)一個(gè)未知量。
[對(duì)稱(chēng)性的定義]
對(duì)稱(chēng)性可以簡(jiǎn)單地理解為“不變性”。 量子力學(xué)中的對(duì)稱(chēng)性定義為如果算子對(duì)波函數(shù)進(jìn)行變換后仍然滿(mǎn)足薛定諤方程，則該變換是對(duì)稱(chēng)的。
存在一個(gè)變換hat{Q}。 在hat{Q}的變換下，波函數(shù)psi變換為psi'，即
hat{Q}|psi=|psi'
有薛定諤方程
ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{H}|psi
所謂系統(tǒng)關(guān)于 hat{Q} 的變換對(duì)稱(chēng)性就是要求
ihbarfrac{}{ t}|psi'=hat{H}|psi' (公式1)
這種對(duì)稱(chēng)性的條件可以從上面的公式推導(dǎo)出來(lái)； 根據(jù)上面的公式，我們有
ihbarfrac{}{ t}|hat{Q}psi=hat{H}|hat{Q}psi
hat{Q}ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{H}hat{Q}|psi
兩邊同時(shí)乘以 hat{Q}^{-1} 得到
begin{align}hat{Q}^{-1}hat{Q}ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{Q}^{-1}hat{ H}hat{Q}|psi\ ihbarfrac{}{ t}|psi=hat{Q}^{-1}hat{H}hat{Q} |psi\end{對(duì)齊}
將上式與薛定諤方程進(jìn)行比較，我們可以得到
帽子{Q}^{-1}帽子{H}帽子{Q}=帽子{H}
現(xiàn)在
[帽子{Q},帽子{H}]=0
該式與式1等價(jià)。即只要Q和H可交換，則變換Q是對(duì)稱(chēng)的。
【對(duì)稱(chēng)變換對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒量】
下面解釋為什么每個(gè)對(duì)稱(chēng)變換對(duì)應(yīng)一個(gè)守恒量。假設(shè)變換 hat{Q} 是一個(gè)無(wú)窮小變換（例如系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)無(wú)窮小角度；時(shí)間做無(wú)窮小平移等），則 hat{ Q}可以分解為以下形式
hat{Q}=hat{I}+i\hat{F}
I是恒等變換，是小量，F(xiàn)是某個(gè)機(jī)械量算子。 顯然，當(dāng)Q無(wú)限接近恒等變換時(shí)。
那么只要[hat{Q},hat{H}]=0，那么[hat{F},hat{H}]=0。 力學(xué)量F是對(duì)應(yīng)于變換Q的守恒量。
【證明】
有 [hat{Q},hat{H}]=0
begin{align}hat{Q}hat{H}-hat{H}hat{Q}&=0\ (hat{I}+i\hat{F})hat{H }-hat{H}( hat{I}+i\hat{F})&=0\ hat{I}hat{H}+i\hat{F}hat{H} -帽子{H}帽子{I}-i\帽子{H}帽子{F}&=0 \i\帽子{F}帽子{H}&=i\帽子{H} hat{F}\ [hat{F},hat{H}]&=0end{align}
如果機(jī)械量算子 hat{F} 和 hat{H} 交換，則機(jī)械量 F 守恒。
而且，F(xiàn)是災(zāi)難，Q是酉算子，這是可以證明的。
[各種對(duì)稱(chēng)性]
1、空間均勻性和動(dòng)量守恒：
當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)在空間平移一定距離時(shí)，其哈密頓量H保持不變（滿(mǎn)足薛定諤方程），即僅取決于系統(tǒng)粒子的相對(duì)位置而不是絕對(duì)位置； 空間中不存在特殊點(diǎn)的情況稱(chēng)為空間具有“均勻性”。 此時(shí)，平移變換對(duì)應(yīng)的動(dòng)量p守恒（[hat{p},hat{H}]=0）。 ,
2. 空間各向同性和角動(dòng)量守恒：
假設(shè)有一個(gè)軸定義系統(tǒng)的角動(dòng)量，那么整個(gè)系統(tǒng)繞該軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換對(duì)稱(chēng)，其角動(dòng)量守恒。 該系統(tǒng)不特定于該空間中的任何方向，并且該空間被稱(chēng)為“各向同性”。
3、時(shí)間均勻、能量守恒：
對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行時(shí)間平移變換（讓波函數(shù)滯后一段時(shí)間hat{Q}psi(bold{r},t)=psi(bold{r},t-Delta t )) 對(duì)于對(duì)稱(chēng)系統(tǒng) 具有時(shí)間均勻性，此時(shí)能量守恒。
4.交換對(duì)稱(chēng)性和相同粒子多重系統(tǒng)：
假設(shè)多粒子系統(tǒng)中有兩個(gè)相同的粒子（靜質(zhì)量、電荷、自旋、壽命等相同的粒子），則交換變換 hat{P}_{ij} (hat{P}_ {ij }psi(bold{r}_1,…,bold{r}_i,…,bold{r}_j,…,bold{r}_n)= psi(bold{r}_1 ,… ,bold{r}_j,…,bold{r}_i,…,bold{r}_n) psi 是系統(tǒng)的波函??數(shù)) 對(duì)稱(chēng)系統(tǒng)具有“交換對(duì)稱(chēng)性”。 其中，變換Pij只有兩個(gè)特征值pm 1，交換不變性不會(huì)隨時(shí)間變化。
這個(gè)相同粒子系統(tǒng)由自旋為 hbar 整數(shù)倍的玻色子組成，適用于玻色-愛(ài)因斯坦統(tǒng)計(jì)。 自旋為 frac{1}{2}hbar 整數(shù)倍的費(fèi)米子不可能相同（泡利不相容原理），并且它們符合費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)。 由于量子力學(xué)中無(wú)法區(qū)分兩個(gè)相同的粒子，即波函數(shù)和內(nèi)蘊(yùn)值完全相同的兩個(gè)粒子，無(wú)法區(qū)分也沒(méi)有必要區(qū)分，因此它們的描述在數(shù)學(xué)上可以更簡(jiǎn)單（參考二次量化）。
5、空間反射不變性和宇稱(chēng)守恒：
定義反射變換（ hat{P}psi(x,y,z)=psi(-x,-y,-z) ）。 如果 P 是對(duì)稱(chēng)的（即 [hat{P},hat{H}]=0），則“奇偶性守恒”。 則任意守恒量F（[hat{F},hat{H}]=0）與P和H具有相同的恒等式，則F可以用P的基（宇稱(chēng)基）來(lái)表示。P的特征值ispm 1。對(duì)于一維，兩個(gè)基是
|phi_+=cos kx （偶校驗(yàn)）
|phi_-=sin kx（奇校驗(yàn)）
系統(tǒng)波函數(shù)
對(duì)于n個(gè)費(fèi)米子系統(tǒng)，系統(tǒng)波函數(shù)可表示為
psi(bold{r}_1,…,bold{r}_n)=frac{1}{sqrt{n!}}begin{}phi_1(bold{r}_1)&…& ...&phi_1(bold{r_n})\ phi_2(bold{r}_1)&...&...&phi_2(bold{r_n})\...&...&...&...\ phi_n (bold{r}_1)&…&…&phi_n(bold{r_n})end{}
phi_n 是系統(tǒng)哈密頓量的 n 個(gè)特征函數(shù)，分別是 n 個(gè)粒子的狀態(tài)函數(shù)（可證明），1/sqrt n 是歸一化因子。 上面的公式稱(chēng)為公式，其正確性可以通過(guò)變分法或薛定諤方程來(lái)證明。 它已經(jīng)是一個(gè)很好的近似，更準(zhǔn)確的近似是多個(gè)行列式的線性組合。
對(duì)于 n 個(gè)玻色子系統(tǒng)有
psi_{k_1,…,k_n}(bold{r_1},…,bold{r}_n)=sqrt{frac{Pi_{i=1}^n k_i}{n!}}[ phi_{k_1}(bold{r_1})…phi_{k_n}(bold{r}_n)]
psi 是玻色子系統(tǒng)。 其中，kn個(gè)粒子處于n態(tài)（這些粒子是相同的）。 P是替代符號(hào)。
旋轉(zhuǎn)
一些實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的無(wú)法解釋導(dǎo)致了粒子“自旋”理論的提出。 著名的斯特恩-表明粒子具有磁矩，而這個(gè)磁矩并非來(lái)自軌道角動(dòng)量，而是由粒子本身的性質(zhì)引起的，因此就有了自旋角動(dòng)量和自旋磁矩的假說(shuō)。 這個(gè)磁矩的大小稱(chēng)為玻爾磁子（ mu_B=frac{ehbar}{2m} ）。
【自旋假說(shuō)】
根據(jù)斯特恩實(shí)驗(yàn)，一束原子（對(duì)外呈電中性）穿過(guò)磁場(chǎng)，有的原子向下偏轉(zhuǎn)，有的原子向上偏轉(zhuǎn)； 這說(shuō)明原子本身具有磁矩，并且磁矩有兩種（不同方向）。 方向），使一些原子向上移動(dòng)，一些原子向下移動(dòng)。
假設(shè)原子具有某種稱(chēng)為“自旋”的內(nèi)在屬性，可以將其與圍繞粒子中心軸旋轉(zhuǎn)的電荷進(jìn)行比較（實(shí)際上并不存在，只是理解這種現(xiàn)象的類(lèi)比。），產(chǎn)生類(lèi)似的現(xiàn)象到軌道磁矩，使粒子具有磁矩。
對(duì)于這個(gè)假設(shè)，有以下定義：
自旋角動(dòng)量： S_i=pmfrac{hbar}{2} ，(i=x,y,z){S} 是自旋角動(dòng)量
自旋磁矩： {mu_s}=g_s{S} , g_s=-frac{e}{m}
粒子的自旋角動(dòng)量只能取兩個(gè)值，即+-h/2； 并且自旋磁矩的定義與經(jīng)典軌道磁矩不同（對(duì)于軌道磁矩 g_l=-frac{e}{2m} ），即 gs 是 gl 的兩倍。
加上自旋假設(shè)并代入哈密頓量后，SG實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象就可以得到完美的解釋。 然而，認(rèn)為這種自旋完全等同于經(jīng)典軌道旋轉(zhuǎn)是完全不合理的。 如果粒子的磁矩要達(dá)到玻爾磁子，那么繞粒子中心軸旋轉(zhuǎn)的虛電荷的線速度將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)光速（超過(guò)光速的300倍），這顯然違反狹義相對(duì)論； 而且，從經(jīng)典的角動(dòng)量概念中無(wú)法推導(dǎo)出g等于兩倍的結(jié)論。 因此，自旋必須單獨(dú)理解。 它是粒子的固有屬性，并不是真正的角動(dòng)量或旋轉(zhuǎn)。
事實(shí)上，在量子場(chǎng)論中，狹義相對(duì)論可以用來(lái)解釋自旋效應(yīng)，這完全是一種相對(duì)論電磁效應(yīng)。
【自旋態(tài)與泡利矩陣】
量子力學(xué)中對(duì)自旋粒子的描述使用“自旋態(tài)函數(shù)”。
自旋狀態(tài)函數(shù)： |Psi(r,S_i)=begin{}psi(r,hbar/2)\psi(r,-hbar/2)end{}
為了便于理解，討論了自旋 z 軸的自旋狀態(tài)函數(shù) |Psi(r,S_z)。 其含義是：
|psi(r,hbar/2)|^2 是粒子在位置 r 處沿 z 軸正方向（向上）旋轉(zhuǎn)的概率密度。
|psi(r,-hbar/2)|^2 是粒子在位置 r 處沿 z 軸相反方向（向下）旋轉(zhuǎn)的概率密度。
歸一化條件為：
\Psi|Psi=int d^3r |psi(r,hbar/2)|^2+ |psi(r,-hbar/2)|^2=1
自旋態(tài)函數(shù)可以分解為： Psi(r,S_z)=phi(r)chi(S_z)
其中，chi(S_z)=begin{}a\bend{}稱(chēng)為“旋量”。 它可以等效于 Psi 來(lái)描述自旋的屬性（不包括粒子位置屬性）。 自旋量X的所有值的空間稱(chēng)為粒子的“自旋態(tài)空間”，它可以由一組標(biāo)準(zhǔn)基來(lái)跨越。
泡利矩陣：
假設(shè)自旋角動(dòng)量算子 hat{S} 滿(mǎn)足 \psi(r)|hat{S_i}|psi(r)=pmhbar/2。 波函數(shù)psi經(jīng)過(guò)變換即可得到對(duì)應(yīng)i方向的自旋角動(dòng)量。其分量算子hat{S_i}與軌道角動(dòng)量算子類(lèi)似。 有
[hat{S_i},hat{S_j}]=ihbarhat{S_k} ( i,j,kin{x,y,z};ine jne k )
任意 hat{S_i} 的特征值為 pmhbar/2，即
S_i=m_shbar;(m_s=pmfrac{1}{2})
ms 稱(chēng)為“自旋量子數(shù)”。
為了方便起見(jiàn)，引入泡利算子 hat{S_i}=frac{hbar}{2}hat{}； 泡利算子具有以下性質(zhì)：
[hat{},hat{}]=ihat{} ( i,j,kin{x,y,z};ine jne k )
帽子{}^2=帽子{I}
運(yùn)算符的矩陣是“泡利矩陣”，其中 hat{} 具有相對(duì)于系統(tǒng)公共特征基的對(duì)角矩陣：
泡利矩陣： hat{}=begin{}0&1\1&0end{},space hat{}=begin{}0&-i\i&0end{},space hat { }=begin{}1&0\0&-1end{}
[總角動(dòng)量算子的本征態(tài)]
粒子的總角動(dòng)量算子定義為
hat{J_i}=hat{L_i}+hat{S_i}
也滿(mǎn)足類(lèi)似的交換關(guān)系。
存在完整的守恒量集合（H，L^2，J^2，J_z），并且可以找到它們的共同特征值和特征函數(shù)。
特征值是：
begin{align}特征值 (L^2)&=l(l+1)hbar^2;space l=0,1,2,...\特征值(J^2)&=j(j+1) )hbar^2;space j=lpmfrac{1}{2}\ eigen(J_z)&=m_jhbar;space m_j=-j,-j+1,…,j-1 ,j end{對(duì)齊}
[泡利方程]
泡利方程（泡利-薛定諤方程）是描述自旋為 1/2 的粒子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。 它將粒子自旋融入其中。 它是介于薛定諤方程和狄拉克方程之間的方程，適合處理粒子。 電磁場(chǎng)下的運(yùn)動(dòng)是薛定諤方程的修改版本。
泡利方程： [frac{1}{2m}(hat{{sigma}}cdot(hat{{p}}-q{A}))^2+qphi]| Psi=ihbarfrac{}{ t}|Psi
hat{{sigma}} 是泡利算子，p 是動(dòng)量算子，A 是矢量勢(shì)，phi 是標(biāo)量勢(shì)，q 是粒子電荷，Psi 是自旋狀態(tài)函數(shù)。 顯然什么情況角動(dòng)量守恒，哈密頓量的左項(xiàng)包含磁勢(shì)、自旋磁勢(shì)和動(dòng)能，右項(xiàng)是電勢(shì)。
（書(shū)：《量子力學(xué)（上）》，曾金燕著）
