【標題】論剛體與剛體參考系【作者】晏【關鍵詞】質心剛體參考系慣性力剛體座標系【指導老師】王英勇【專業】物理學【正文】引言我們對質點組運用動力學基本定律時,我們能找到一個特殊點-----剛體,隨后以這個特殊點作為參考點,我們又能簡化動力中許多問題.除了這么我們能夠找到一種叫剛體參考系的參考系因而又簡化了熱學中三個基本定律在非慣性系中的表達式及其相關守恒律,由此就引出了如下一系列關于剛體與剛體參考系相關問題的討1．剛體及其重要意義1.1剛體的定義在對質點組運用動力學基本定律時，我們不難發覺：在質點組中恒存在一特殊點，它的運動很容易被確定，假若以這個特殊點作為參考點，又常能使問題簡化。我們把這個特殊點稱作質點組的質量中心，簡稱剛體。現今來說明這個特殊點的位置是怎樣定義的。假設有n個質點，她們的質量是m1,m2,m3,-----mn,坐落P1,P2,-----Pn些點對某一指定的參考點O的位矢是r1,r2----rn，則剛體C對此同一點的位失（1.1—1）從式（1.1—1）可以看出：將各質點的質量乘其位矢并求和，之后減去總質量。似乎仍代表一個位矢。這個位矢末端所確定的一點，定義為質點組的剛體。在某種意義上，可以把它看做是諸質點位矢的平均值。
只是這些平均并不是簡單的算術平均，而是帶有權重的平均，這兒的質量相當于權重。所以剛體位矢是質點組內所有質點的“加權”平均位矢。[1]1.2剛體的重要意義1.2.1剛體的運動似乎就代表了整個質點組的運動總趨勢.依據位失滿足的式（1.1—1），我們有下述關系：是質點組的總質量，是剛體的位失，假如求上式兩邊對時間t是質點組剛體的速率，于是我們由質點的動量改寫的多項式可以得到：是剛體的加速度。多項式（1.2.1—1）表明，質點組剛體的運動，就好象一個質點的運動一樣，作用在此質點上的力，等于作用在質點組上所有諸外力的矢量和，這就是剛體運動定律。故質點組受已知外力作用時，每一質點到底將怎樣運動盡管未能曉得，但此整個質點組和質點組剛體的運動，卻可由（1.2.1—1）完全確外，力偶就與一個在力作用下質量為m的質點作相同的運動。這就是說，在動力學上剛體是整個質點組的代表點。整個質點組可以是個不能發生形變的質心（如一把鐵錘），也可以是形變的柔體（如跳水運動員），可以旋轉，也可以爆燃，力偶運動定律都組建。對于剛體的運動來說，系統的內力永遠不起作用，內力其實可使質點組中某些質點改變動量，但卻不能改變整個質點組動量的總和。
1.2.2柯尼西定律如圖(1.2.2—甲)系的原點固著在質點組的剛體C上,并隨剛體C在慣性系中平動.由圖可以看出:1.2.2—1)故質點組的動能T是相對于剛體的位失,故,這樣(1.2.1—2)式簡化為(1.2.2—3)為質點組全部質量集中剛體而運動時的動能,可稱之為剛體的動能,而則為質點組中各質點對質情系運動時的動能.故質點組的動能為剛體的動能與各質點對質心動能之和.這個關系叫柯尼西定律.1.2.3平行軸定律我們曉得物體的轉動力矩,一方面決定與物體的形狀(或質量分布的情況),另一方面又決定與轉動軸的位置,即對之求轉動力矩的那條軸線的位置.所以轉動軸不同,雖然是同一物體,轉動力矩也不同.并且對兩條平行軸而言,倘若其中有一條通過物體的剛體,這么物體對某一軸線的轉動力矩,等于對通過剛體的平行軸的轉動力矩,加上物體的質量與兩軸間垂直距離平方的乘積,即是對某軸線的轉動力矩,為對通過剛體并與上述軸線平行的軸線的轉動慣為兩平行軸線間的垂直距離.這個關系,稱作平行軸定律.1.2.4剛體座標系在散射和碰撞中的應用假如定系是慣性系，我們就把原點與質點組剛體重合的平動座標系稱為對該質點組而言的剛體座標系（簡稱質情系）。
質情系通常不是慣性系，在通常非慣性系中，熱學定理不再保持有在慣性系中所表示的簡單方式。并且，質情系是一個特殊的非慣性系。在質情系中，質點組的基本定律依然有比較簡單的表示方式，但是其表示方式與在慣性系中的簡單表示方式基本相同。散射和碰撞這一類問題，都屬于兩體問題。在散射（或碰撞）前后，兩質點都有運動。按照上邊的討論看來動量定理轉換參考系，我可以把它化為單體問題，即覺得其中一個不動，而把另一個的質量改為折合質量。并且，事情并不簡單，由于在上述兩種考慮情況下，散射角不相同。后者（兩體問題）是兩質點間相對位矢r在散射前后所偏轉的角度（圖1.2.4—甲的）。而前者（單體問題）則系被散射的質點在散射前后所偏轉的角度（圖1.2.4—甲的可在實驗室觀察下來，而則要等值單體問題估算下來。只有當散射主（比如原子核）在散射過程中一直靜止不動時，三者才相等。為此，在研究散射或碰撞問題時，人們常運用兩種不同的座標系。一種叫實驗室座標系，這時觀察者在靜止座標系中觀測散射問題，常為實驗工作者所采用。另一種是隨剛體運動的座標系來觀察，稱作剛體座標系，常為理論工作者所采用。圖1.2.4就是在實驗室座標系中所觀測下來的散射角，而則是在剛體座標系中的散射角，通常只能由估算得出。
設質量為的質點1以速率被另一質量為的靜止質點2散射。此兩質點的剛體在散射前后都沿方向以速率運動。在散射前，此時質點1相對于剛體的速率的量值為圖1.2.4—甲而質點2相對于剛體的速率的量值為散射后的速率與散射前的速率之間的傾角就是，如圖1.2.4—乙1.2.4—乙2．熱學中三個重要定律及其守恒律在剛體參照系中的表示2.1剛體參考系的概述選一個質點組作為我們考慮的系統。令，-----代表各質點的動量，系統的總動量為每位質點的動量以及系統的總動量在各不相同的參考系中是不同的。適當地選定參考系可以使系統的總動量為0，這樣的參考系就稱為系統的零動量系或動量中心系。動量中心系即可理解為隨剛體一起運動的參考系。所以動量中心系又叫剛體參2.2對力偶的動量定律和動量守恒律假定我們有一個由n個質點所組成的質點組，是這個質點組中的任一質點，它的質量是是此質點組的剛體，假定對固定點O據討論，我們曉得，在剛體參考系下的動力多項式為（2.2—1）是質點組所受的外力，是質點組所受的內力，（）是質點組所受的慣性力。我們可以對質點組中每一質點寫出這樣的微分等式，一共得到n個微分等式。假如把這n個等式加上去，則得（2.2—2）而由牛頓運動第三定理，可知內力的總和為零，于是式（2.2—2）變為（2.2—3）上述推論我們可以來理解：在非慣性的剛體參考系中，對每位質點均須引入與質量成正比列的慣性力；若慣性力不能與作用于質點組上的外力相抵消，使質點組受外力或外力的矢量和不為零，因而促使動量不守恒。
若慣性力能與作用于質點組上的外力相抵消動量定理轉換參考系，使質點組受外力或外力的矢量和為零，因而促使動量守恒。即此時動量守恒律創立。2.3對力偶的動量矩定律和動量矩定律守恒律假定我們有一個由n個質點所組成的質點組是這個質點組中的任一質點，它的質是此質點組的剛體（圖2.3—甲），假定對固定點O的位矢則為，圖中O——XYZ是固定座標系。另有一組動坐它的原點在剛體C上O，并隨著C相對于O——xyz平動（圖中末給出），根據討論，我們曉得：對隨C平動的參照系來講，的動力多項式為（2.3—1）式中慣性力（）這兒應視作為外力看待。因是質點組中任一質點，故對質點組來講，一共有n個像式（2.3—1）這樣的等式。如今，用從左邊矢乘這種方程式，求和，則內扭力仍相互抵消，故得（2.3—2）為剛體，故，而式（2.3—2）簡化為（2.3—3）式中右側是質點組對力偶C的動量矩對時間的微商，即而右邊則是諸外力對剛體的慣量之和，可以表示。這樣，式（2.3—3）就簡化為這就是質點組對剛體的動量矩定律，即質點組對力偶C的動量矩對時間的微商等于所有外力對剛體的慣量之和，跟對固定點的動量矩定律方式相同只多一瞥號。
這時各質點的慣性扭力互相抵消，不起作用。事實上，因為座標系以加速度平動，每一質點都遭到有慣性力的作用，這種力都是互相平行的，它們的合力通過剛體組的剛體，故對剛體的慣量其實等于零。為此，即使力偶是動點，但對力偶可以和對固點一樣寫出動量矩定律。如外力（包括慣性力）對力偶的扭矩的矢量和為零，則對力偶的動量矩也必然守恒。但對于其通常則不能，令是質點的位矢，于是（2.3—2）中的則應改為的加速度，這是式（2.3—2）可知，僅當的加速度共線或平行，相對于動量矩定律才和相對于O的動量矩定律方式相同。2.4對力偶的動能定律和機械能守恒律現今來求相對于剛體的動能定律，用相對于質情系的位移各項，并對i求和，得（2.4—1）由于：故（2.4—1）式就簡化為即質點組對質心動能的微分，等于質點組相對于質情系位移時內力及外力所作元功之和與質點組的動能定律相應表達式方式相同。假如作用在質點組上的所有外力及內力和慣性力都是保守力（或其中只有保守力作功）時，才有質點組機械能守恒;若剛體參考系作平動或勻速轉動時，這么在剛體參考系下，我們就引入了慣性力這個外力，其實此時慣性力是保守力，雖然有慣性力的作用，質點組的機械能一直守恒。3．剛體參照系中慣性力與重力的比較3.1慣性力3.1.1對慣性力的認識在非慣性系中，假如我們覺得不僅原先所說過的物體間互相作用的力之外，還有一種非互相斥力，這些力是因為參照系本身相對于慣性參照系作加速運動所造成的，這些力就是（-），它的大小等于質點的質量和牽涉加速度的乘積，方向和