均質(zhì)圓輪的半徑為R，質(zhì)量為m，圓輪繞旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO。 圓輪在重物P的帶動(dòng)下繞固定軸O旋轉(zhuǎn)，已知重物的重量為W。 FOy?FOxO 應(yīng)用動(dòng)量定理PvWmg例11-1求：重物下落的加速度。 解：以系統(tǒng)abdc為研究對象。 水流通過固定導(dǎo)葉進(jìn)入葉輪。 入口和出口處的流速分別為v1和v2。 兩者等于 葉輪外周和內(nèi)周切線之間的夾角分別為θ1和θ2。 水的體積流量為qV，密度為ρ。 葉輪進(jìn)水口和出水口半徑分別為r1和r2。 葉輪水平放置。 求：水流作用在葉輪上的驅(qū)動(dòng)力矩。 例11-2 重力——由于渦輪機(jī)水平放置，O軸上的重力矩等于0； 鄰近水流的壓力——忽略； 解：在dt時(shí)間間隔內(nèi)，當(dāng)水流ABCD截面的水流運(yùn)動(dòng)到abcd時(shí)，所以 葉輪所受的力及其在O軸上的力矩： 葉輪的反作用力矩大小相等與水流作用在葉輪上的驅(qū)動(dòng)力矩相反。 假設(shè)總共有兩個(gè)葉片，每個(gè)相鄰葉片之間的體積流量為？oDACB？mgmg？DC。球通過繩子連接，系統(tǒng)繞z軸旋轉(zhuǎn)。 求去掉琴弦后系統(tǒng)的速度（如右圖所示）。 例11-3的解法：以系統(tǒng)為研究對象，是否存在強(qiáng)弱之分？ - 剛體在 z 軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 §11-3 剛體繞定軸旋轉(zhuǎn)的微分方程★ 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 與角加速度的乘積等于作用在軸上剛體上的主動(dòng)力的力矩代數(shù)和。
★ 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量- 是剛體旋轉(zhuǎn)時(shí)慣性的量度。 Oa?C 擺進(jìn)行小幅擺動(dòng)，期間為：mg。 該方程的通解已知：m、a、JO。 例 11-4：求小振蕩的周期。 解：以擺為研究對象FFNO？ 0.已知：JO，？ 0、FN、f。 例11-5：求制動(dòng)所需的時(shí)間。 解：以飛輪為研究對象，解為ⅡM2ⅠM2M1?′F′?1M1。 已知：J1、J2、R1、R2、i12 = R2/R1 M1、M2。 例11-6：求I軸的角加速度。 解：分別以I軸和II軸為研究對象。 解：§11-4 剛體繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 剛體繞旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體旋轉(zhuǎn)時(shí)慣性的量度。 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小不僅與質(zhì)量的大小有關(guān)，還與質(zhì)量的分布有關(guān)。 它在國際單位制中的單位是kg·。 簡單形狀物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 (1) 均質(zhì)細(xì)直桿 (2) 均質(zhì)環(huán) d??OR (3) 均質(zhì)圓板 2. 慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑） 2. 平行軸定理★兩軸必須相互平行★ JZC 必須通過質(zhì)心？ 解：已知：m什么時(shí)候用動(dòng)量矩定理，R。例11-7：求O處的動(dòng)態(tài)約束反力。解：以圓輪為研究對象，利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理例11-8。 已知滑輪的半徑為r，重量為G，將其視為一個(gè)環(huán)。
物體A的重量為P，物體B的重量為Q，并且P>Q。 求：兩個(gè)重物的加速度和輪子的角加速度。 解：研究對象是輪子，物體A和B。？將粒子系統(tǒng)的動(dòng)量矩定理應(yīng)用到O點(diǎn)？ 分析力，并分析運(yùn)動(dòng) OGB。 然后我們有 AQP。 由例11-9可知，均質(zhì)圓柱體的半徑為r，質(zhì)量為m。 圓柱體放置在墻角處。 初始角速度為θ0，由于摩擦阻力，旋轉(zhuǎn)速度減慢。 求摩擦因數(shù)f：氣缸停止所需的時(shí)間。 ?應(yīng)用剛體定軸旋轉(zhuǎn)微分方程的解： ?受力分析？運(yùn)動(dòng)分析：繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)，質(zhì)心不移動(dòng)。 數(shù)量未知？ 補(bǔ)充方程，利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解代入方程（1）即可得到未知量的積分。 例11-10 已知桿OA的長度為l，重量為P。可繞過O點(diǎn)的水平軸在垂直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)。 桿的 A 端鉸接到一個(gè)半徑為 R、重量為 Q 的均勻圓盤。如果 OA 桿在初始時(shí)刻處于水平位置，則系統(tǒng)是靜止的。 忽略各處的摩擦力，求角速度 ? OA桿旋轉(zhuǎn)到任意位置時(shí)的角加速度a（用θ角表示）。 P解決方案： ? 受力分析？ 運(yùn)動(dòng)分析 P 研究整體，將動(dòng)量矩定理應(yīng)用到 O 點(diǎn) 以圓輪為研究對象，受力如圖所示，JAa=0，故 ?=?0=0，式中桿向下擺動(dòng)的過程中，圓盤是否平移？ 求桿 OA 的角加速度 a。 寫出系統(tǒng)在 O 點(diǎn)的動(dòng)量矩。應(yīng)用上式中的動(dòng)量矩定理 P 來求解 Q？ 求桿 OA 的角速度 w。 分離變量并積分以獲得 miC。 根據(jù)動(dòng)量矩定理，§11-5 粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理——關(guān)于任意點(diǎn) O 的動(dòng)量矩與關(guān)于質(zhì)心的動(dòng)量矩之間的關(guān)系。
miCO 粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量有兩種定義。 這說明計(jì)算粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩的結(jié)果等于粒子系統(tǒng)的相對速度或絕對速度。 獲得了 miCO 粒子系統(tǒng)相對于任意點(diǎn)的動(dòng)量矩。 這說明粒子系統(tǒng)相對于任意O點(diǎn)的動(dòng)量矩等于粒子系統(tǒng)以質(zhì)心平移時(shí)粒子系統(tǒng)相對于O點(diǎn)的動(dòng)量矩加上粒子系統(tǒng)的動(dòng)量矩相對于質(zhì)心。 粒子系統(tǒng)相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理。 最后，對于在平面上運(yùn)動(dòng)的剛體，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，我們得到 或 - 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程§11-6 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程解： 1、考慮第一種情況，進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，如圖所示。 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程的應(yīng)用實(shí)例11-114kg的均質(zhì)板靜止懸掛。 求：B點(diǎn)繩子或彈簧被切斷瞬間質(zhì)心加速度為多少。 初始瞬間？ = 0，則由(??1)可知acx = 0，故(4)聯(lián)立解 (2) (3) (4) 方程2。考慮第二種情況，受力分析如下，初始瞬時(shí)彈簧仍為在沒有變形的情況下，根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程m/s2，由式(2)求得彈簧力為τCaCmgτFN。 已知：m、R、f、?。 例11-12分析了以下情況下圓盤的運(yùn)動(dòng)和力。 (a) 斜面光滑解：以圓輪為研究對象什么時(shí)候用動(dòng)量矩定理，進(jìn)行圓盤平移運(yùn)動(dòng)??FN： (b) 斜面足夠粗糙，滿足純滾動(dòng)條件：??FN (c) 斜面位于上述兩者之間 圓盤既滾動(dòng)又滑移 CF。 對于板： ? 對于圓輪：′′ 解：FN1 已知：m1、m2、R、f、F。求：板的加速度。例11-13解：以板和圓輪為研究對象
