圖 4. 列奧納多·達·芬奇的湍流草圖，顯示了不同尺度渦流之間的相互作用 [來源：]
在羅馬時代，盧克萊修就已經對空氣和水中的湍流運動之間的共性感興趣。 如圖4所示，16世紀初，達芬奇研究了河流中渦流的衰減。 上述事實表明，湍流是科學中最古老的未解決問題之一。
我們首先介紹一下這個領域最早的成果，這些成果與 的研究直接相關，是AN （AN，1941）的研究，簡稱K41。 該研究的重點是“充分發展的湍流”，這意味著渦流可以在大范圍內自由相互作用。 這些相互作用將能量傳遞給粘性阻尼的較小渦流。 這個級聯過程會導致特定的大尺度流動特性受到這種相互作用的顯著影響，從而導致“阻力危機”（詳見“對移動物體的阻力”）（詳見“對移動物體的阻力”）。 柯爾莫哥洛夫隨后發現，完全忽略粘性效應會產生一個動力學方程，其中較小的渦旋在統計上與占主導地位的大渦旋相似。 當粘度接近0時，相似程度由有限的能量耗散率決定。 這個自相似圖像（圖 5a）取得了驚人的成功。
圖 5. 左： (1941) 提出的大小渦級數圖。 空間尺度形成一個具有公共比率r的幾何級數。 右圖：、Sulem 和 (1978) 提出的分形模型中的間歇級聯。
盡管柯爾莫哥洛夫主修數學，并且是20世紀最偉大的數學家之一，但他仍然想利用從莫斯科實驗室（ ）及周邊地區收集的實驗數據來證實他的物理理論。 這些數據有力地表明，湍流與上述自相似圖像相去甚遠：小渦流所占據的空間比大渦流少得多，并且表現出間歇性（圖 5b）。 因此，柯爾莫哥洛夫和他的合作者于1961年提出了間歇模型。
GK (GK) 和 AA (AA) (1949) 也發現了間歇現象。 問題是他們發現的現象是否與K41的自相似圖像兼容。 為了描述柯爾莫哥洛夫的間歇性，B. (B., 1974) 提出使用“分形 ()”模型，該模型是通過在越來越小的尺度上迭代插入相似的模式而創建的。 得到的幾何對象。 數學家自19世紀末以來就提出了這個概念。 1950年，湍流和大氣動力學研究的另一位巨頭LF理查森（LF）在完全不同的背景下使用分形，研究如何避免國家之間的沖突。 國家之間復雜的分形邊界確實比直線邊界更容易引發沖突。
圖 6. 動蕩（上）和金融市場（下）的多重分形信號示例。 信號分析基于直方圖，其中水平軸表示曲線上兩個不同點之間的高度差。 對于湍流，差值的尺度可以表示為柯爾莫哥洛夫尺度（即最小渦流的尺度）的倍數； 而對于金融市場（這里是兩種貨幣之間的匯率），時間間隔以小時表示。 （直方圖取自 S.、W.、J.、P. &Y. (1996), 381）
回到湍流，穿過湍流場的速度探頭將產生典型的“噪聲”切口，如圖 6（頂部）所示。 在許多復雜系統中都會遇到類似的噪聲信號，圖 6（下）所示的金融市場就是其中之一。 這些信號令數學家著迷，他們對此非常感興趣，因為曲線到處都是粗糙的（斜率未定義）。
掌握信號多尺度結構的一種自然方法是研究相距給定距離 Δr 的兩點之間的速度差 Δv。 方差（|Δv|2的平均值）代表能量在不同尺度之間的分布。
但這種方法并不全面，沒有區分稀有強烈的渦流和具有相同全局能量但充滿空間的大渦流（相關信息參見圖6右側的概率分布直方圖）。 這些直方圖的“長尾”代表罕見且強烈的渦流。 隨著距離Δr減小，頻率繼續增加，表明小渦非常稀疏。 這就是間歇性的本質。 在直方圖中，如果橫軸考慮時間間隔Δt而不是距離，則可以對任何時間序列進行類似的分析，如圖6所示的金融市場。 圖表尾部代表給定時間間隔內急劇下跌或上漲的概率，與風險管理直接相關。
回到湍流問題，可以使用|Δv|p（p 階矩）的平均值來評估這些尾部。 p 階越高，該值對大波動越敏感。 其對間距Δr的依賴關系稱為結構函數，可以反映渦旋間歇性的特征。 在 K41 描述的真自相似級數中，p 階結構函數表現為冪律 Δrp/3（圖 7）。 實驗表明，對于冪律|Δr| z(p)，指數z(p)小于p/3：在小間距Δr的極限下，高階矩相對較強，這實際上量化了間歇性。
()于1961年提出的模型更接近實驗結果，但該模型會導致指數p較大時，z(p)的值減小，這在數學上是不一致的。 因此，作為替代方案，以（）、蘇勒姆（Sulem）、（1978）等為代表的科學家引入了與湍流動力學方程有一定聯系的分形模型。 在該模型下，z(p)隨p線性增加，且斜率小于1/3。 斜率取決于單個參數，例如分形維數，從而量化了活動渦旋在較小尺度上變得稀疏的現象。 然而實驗結果是如圖7所示的凸曲線。
圖 7. 柯爾莫哥洛夫將“結構函數”Sp(Δr) 的標度指數 ζ(p) 定義為距離 Δr（沿 Δr 方向投影）上速度增量的 p 階（統計）矩。 這里假設湍流是均勻的（平移不變）和各向同性（旋轉不變）。 結構函數 Sp(Δr) 大致是冪律 |Δr|ze(p)。 K41是第一柯爾莫哥洛夫理論，其中Sp(Δr)與|Δr|p/3成正比。 beta 模型顯示了 -Sulem- (-Sulem-) (1978) 的結果，該模型具有單一分形維數。 黑色三角形是等人的實驗數據。 （1984）。 這些數據仍然作為多重分形建模的基準。 對數正態模型 (K61) 提供了確定間歇性的第一種方法，但大指數 p 的 ζ(p) 的減少與數學情況不一致。
1983 年夏天，和 Uriel 參加了意大利瓦倫納的暑期學校物理學家分析，主題為“地球物理流體動力學和氣候動力學中的湍流和可預測性”。 F.、Y. Gagne、EJ、RA的實驗數據很難與單一分形兼容（如圖7所示）。 喬治·帕里西以其非凡的物理直覺，提出了多重分形模型來解釋它。 這種一致性取決于擬合參數，但其背后的分析揭示了深刻的數學特性。
擁有多個甚至無限分形維數的想法源于一個非常困難的主題：評估巨大風險或財務損失。 瑞典數學家哈拉爾德·克拉梅爾（ Cramér，1938）擁有金融背景，在該領域做出了一些開創性工作。 在克萊默的研究之前，普遍的觀點是，通過添加n個獨立的均勻分布的隨機變量，可以得到兩個主要性質（在適當的條件下）：平均值會趨于平均值（大數定律）； 將與平均值的偏差除以n1/2，結果將趨于高斯定律（中心極限定理）。
如果我們將變量相乘而不是相加（或者等效地，將變量相加并取它們的指數），會發生什么？ 這正是柯爾莫哥洛夫（）研究的巖石破碎問題。 給定粒度的概率實際上是連續獨立破碎事件的概率的乘積。 因此，獲得高斯極限的情況非常罕見。 所有這些問題都涉及到一個奇怪的函數，稱為大偏差函數，它代表了對大數定律的偏差。 該函數的名稱在不同領域有所不同：“速率函數”、“克拉梅爾函數”或“熵”。 是的，玻爾茲曼熵只是一個特例； 在沒有任何先進概率論的情況下理解熵是一項很難完成的壯舉，除非你是玻爾茲曼本人。
以下是關于多重分形的一些主要參考文獻。 第一次提到多重分形實際上是 和 在 1983 年 會議論文集上發表的一篇論文的 2.5 頁附錄。 隨后 Benzi、 ()、 和 () 發表了一篇更詳細的論文。 本文討論了混沌動力系統中從充分發展的湍流到奇異吸引子的重要方面。 這些 20 世紀 80 年代的論文使用勒讓德變換（與統計熱力學中定義熵時發生的變換相同）作為關鍵論點，但沒有提及克萊默的大偏差。 （1995）的書重點介紹了大偏差的基本介紹，并提供了更詳細的解釋。 最后，Yves Meyer (2021) 在網上發表了一篇文章物理學家分析，最初是為數學家撰寫的，但沒有高級數學知識的人也可以閱讀。
圖 8.從 Swift 的跳蚤級聯到湍流和多重分形。 [來源：作者]
回想一下，Louis Frye (LF) 早在 20 年代就已經意識到分形，當時他引入級聯來描述湍流。 LF 借用了 Swift 的一首詩（圖 8，Jérémie Bec 插圖）。 除非左右跳蚤頭部之間的距離變小，否則跳蚤模型是明顯分形的，并且很容易是多重分形的。 正如 （）所指出的，分形在自然現象中相當普遍，這正是我們希望看到的。 他反對那些把一切都簡單化的人。
最后，我們想強調一個悖論。 毫無疑問，湍流測量變得越來越精確，推動了多重分形分析的發展。 關于模型方程中出現的多重分形奇點，存在一些可靠的定理。 然而，我們還沒有找到適用于描述三維強湍流方程的經過驗證的定理。 盡管數學基礎并不扎實，但多重分形分析仍然是當今常用的工具，用于定量分析環境中觀察到的各種復雜的混沌或湍流現象，例如氣候時間記錄、陣風、云形狀和太陽風。
4. 總結
參考資料和說明
封面圖片：2021年諾貝爾物理學獎三位獲得者，從左到右分別是真鍋周郎（ ）、克勞斯·哈塞爾曼（ ）和喬治·帕里西（ ）【來源：?諾貝爾獎宣傳部插圖】
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引用這篇文章：BENZI, Uriel（2024 年 3 月 13 日），2021 年諾貝爾獎獲得者 對統計物理學的貢獻，環境百科全書，于 2024 年 3 月 23 日查閱 [ISSN 2555-0950] 網站：
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