印度出生的傳奇統(tǒng)計(jì)學(xué)家 CR Rao 于 2023 年 8 月 22 日去世。1987 年拉馬努金誕辰 100 周年之際，他就統(tǒng)計(jì)學(xué)的歷史和發(fā)展發(fā)表了三場(chǎng)演講，每次演講前都提到了拉馬努金的生平和工作。 這些講座最終被編入了他的代表作《統(tǒng)計(jì)與真理：如何利用機(jī)會(huì)》（and Truth, to Work），而拉馬努金的這段記憶被放在了附錄中，以紀(jì)念這位偉大的印度天才數(shù)學(xué)家。 。
撰寫(xiě)者 | 饒華潤(rùn)
我很榮幸受邀擔(dān)任拉馬努金講座的演講者。 我非常高興地接受了這個(gè)邀請(qǐng)，特別是因?yàn)槔R努金的一生對(duì)我那個(gè)時(shí)代的學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)巨大的靈感源泉。 在這位偉大天才誕辰100周年之際，我們的紀(jì)念活動(dòng)在很多方面都具有深遠(yuǎn)的意義。 它提醒我們，從發(fā)現(xiàn)基本零和負(fù)數(shù)開(kāi)始的印度數(shù)學(xué)傳統(tǒng)仍然存在。 它還提醒年輕一代，他們可以通過(guò)創(chuàng)造性思維來(lái)豐富自己的生活。 最后，我希望這次紀(jì)念活動(dòng)能夠產(chǎn)生全國(guó)性的影響，提高公眾對(duì)數(shù)學(xué)作為科學(xué)和藝術(shù)進(jìn)步的關(guān)鍵因素的重要性的認(rèn)識(shí)，并提醒我們應(yīng)該盡一切努力鼓勵(lì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展我們的國(guó)家。 數(shù)學(xué)研究。
1986年，美國(guó)總統(tǒng)宣布每年4月14日至4月20日為全國(guó)數(shù)學(xué)宣傳周（Week），目的是讓美國(guó)學(xué)生保持學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。 蘇聯(lián)人造衛(wèi)星的幽靈仍然縈繞在美國(guó)上空，任何忽視數(shù)學(xué)的傾向都被認(rèn)為是國(guó)家科技進(jìn)步的障礙。 在印度，除了宣布全國(guó)數(shù)學(xué)宣傳周之外，我們更需要的是公開(kāi)承認(rèn)我們還沒(méi)有意識(shí)到我們?cè)跀?shù)學(xué)方面的薄弱程度。 讓我們通過(guò)紀(jì)念拉馬努金誕辰100周年來(lái)推動(dòng)印度數(shù)學(xué)的發(fā)展。 我們不應(yīng)該讓世界說(shuō)：印度數(shù)學(xué)以零開(kāi)始和結(jié)束。
由于拉馬努金的一生與他的工作和我演講的主題有關(guān)，我想借此機(jī)會(huì)簡(jiǎn)單介紹一下他。 拉馬努金的出現(xiàn)就像數(shù)學(xué)空間中的一顆流星，穿過(guò)他短暫的一生，在32歲時(shí)突然消失。在這個(gè)過(guò)程中，他將印度置于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的版圖上。 拉馬努金在許多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是深遠(yuǎn)而永恒的。 他是世界上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。 拉馬努金并沒(méi)有像普通數(shù)學(xué)家那樣研究數(shù)學(xué)，而是發(fā)現(xiàn)并創(chuàng)造了數(shù)學(xué)。 這使他成為一個(gè)現(xiàn)象，一個(gè)神秘的天才，他的創(chuàng)作過(guò)程就像一個(gè)小說(shuō)和一個(gè)神話(huà)。
拉馬努金去世后，留下了一份奇怪而罕見(jiàn)的遺產(chǎn)：大約 4000 個(gè)公式寫(xiě)在三本筆記本和紙片上。 假設(shè)拉馬努金的研究時(shí)間是12年，他每天都會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)新公式或者一個(gè)新定理。 這是任何從事創(chuàng)造性活動(dòng)的人都無(wú)法比擬的。 這些不是普通的定理； 它們中的每一個(gè)都是一個(gè)全新理論的核心。 這些公式和定理并不是憑空想象出來(lái)的一系列孤立的神奇公式。 其中一些對(duì)當(dāng)今的數(shù)學(xué)研究仍然產(chǎn)生著深遠(yuǎn)的影響。 此外，在理論物理學(xué)中，從宇宙學(xué)的超越理論到復(fù)雜分子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)，這些公式和定理在新概念的發(fā)展中同樣意義深遠(yuǎn)。 1976年，人們?cè)趧蛉粚W(xué)院的圖書(shū)館發(fā)現(xiàn)了他在健康狀況逐漸惡化時(shí)留下的130頁(yè)未編號(hào)的手寫(xiě)手稿，這些手稿是在他生命的最后一年完成的。 僅僅在《迷失》中給出的結(jié)果就被認(rèn)為“相當(dāng)于一位偉大數(shù)學(xué)家一生的工作”。 威斯康星大學(xué)的阿斯基教授在評(píng)價(jià)拉馬努金的貢獻(xiàn)的獨(dú)創(chuàng)性、深刻性和持久性時(shí)表示：
乍一看，他的作品幾乎難以預(yù)測(cè)。 了解其內(nèi)容后，仍然可以保守地?cái)嘌裕淖髌分猩婕暗拇蟛糠謨?nèi)容不太可能被生活在本世紀(jì)的任何人發(fā)現(xiàn)。 此外，拉馬努金發(fā)現(xiàn)的一些公式尚未被任何人理解或證明。 我們可能永遠(yuǎn)不會(huì)知道拉馬努金是如何發(fā)現(xiàn)這些公式的。
理解拉馬努金的創(chuàng)造力很困難； 科學(xué)研究或藝術(shù)創(chuàng)作記錄中均無(wú)類(lèi)似記載。 拉馬努金發(fā)現(xiàn)的能夠支配無(wú)限整數(shù)集的神秘法則和相關(guān)關(guān)系，就像科學(xué)家試圖發(fā)現(xiàn)宇宙中控制自然事物的隱藏法則一樣。 這是讓幾乎所有科學(xué)家都感到敬畏和頭疼的事情。我們來(lái)看看拉馬努金生前1919年所做的一個(gè)關(guān)于函數(shù)的猜想：如果一個(gè)整數(shù)可以表示為幾個(gè)與階數(shù)無(wú)關(guān)的非負(fù)整數(shù)之和，那么可定義的組合形式為
這個(gè)公式中蘊(yùn)含著偉大的思想，其結(jié)果的形式是一個(gè)美麗的發(fā)現(xiàn)，因?yàn)橐粋€(gè)世紀(jì)以來(lái)，橢圓函數(shù)或模函數(shù)的一般理論中還沒(méi)有產(chǎn)生過(guò)此類(lèi)結(jié)果。 另一位印度數(shù)學(xué)家喬拉證明了這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的，因?yàn)樗诋?dāng)時(shí)并不成立。 Atkin (1967) [Math.J.,Vol.8,p.14-32.]證明上述公式只需稍加修改即可：
即，將式(1)右半部分的指數(shù)替換為 。 如果拉馬努金用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的話(huà)，也許他能得到正確的結(jié)果物理學(xué)家喬，但他沒(méi)有得到正確的公式相對(duì)來(lái)說(shuō)并不重要； 他的想象力形成了這種性質(zhì)的結(jié)構(gòu)，證實(shí)了他是這一發(fā)現(xiàn)的幕后黑手。 思維過(guò)程無(wú)法解釋。
一個(gè)人如何得出卓越的概念？ 需要什么樣的準(zhǔn)備才能讓頭腦具有創(chuàng)造力？ 天才是天生的還是后天培養(yǎng)的？ 也許這些問(wèn)題都沒(méi)有明確的答案。 然而，即使有答案，我們也可能無(wú)法解釋為什么拉馬努金的大腦能夠如此迅速地產(chǎn)生如此多絕妙的想法。 更有趣的是，拉馬努金沒(méi)有接受過(guò)正規(guī)的數(shù)學(xué)高等教育，從未從事過(guò)（現(xiàn)代）數(shù)學(xué)研究，也不知道現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究問(wèn)題的領(lǐng)域或方向。 他陳述了該定理，但沒(méi)有給出證明或具體說(shuō)明動(dòng)機(jī)。 拉馬努金無(wú)法解釋他是如何得出這些結(jié)果的。 他常說(shuō)這些口訣是那摩差女神在夢(mèng)中賜予他的。 他常常會(huì)一起床就把這些結(jié)果記錄下來(lái)，并迅速驗(yàn)證物理學(xué)家喬，盡管有時(shí)他無(wú)法提供嚴(yán)格的證明。 拉馬努金提出的許多定理已被證明是正確的。 創(chuàng)造力是否發(fā)生在潛意識(shí)層面？
馬哈拉諾比斯教授（PC）與拉馬努金同時(shí)在英國(guó)劍橋。 他總是講述有關(guān)拉馬努金的軼事，這些軼事被蘭加納金（SE）記錄在傳記《拉馬努金，人與數(shù)學(xué)家》中。 在這里我想引用馬哈拉諾比斯教授收藏的書(shū)中記載的一則軼事。
有一次，我去了他（拉馬努金）的房間。 那是第一次世界大戰(zhàn)剛剛開(kāi)始，我手里拿著一本叫《海邊雜志》的月刊，當(dāng)時(shí)總是刊登一些難以回答的問(wèn)題。 拉馬努金正在爐子上的鍋里攪拌東西，準(zhǔn)備我們的午餐。 我靠著桌子坐下，翻閱一本雜志。 一個(gè)關(guān)于兩個(gè)數(shù)字之間關(guān)系的問(wèn)題引起了我的興趣。 我不記得問(wèn)題的具體細(xì)節(jié)，但我記得問(wèn)題的類(lèi)型。 兩名英國(guó)官員住在同一條街上的兩棟不同的房子里。 他們?cè)趹?zhàn)爭(zhēng)中被殺。 他們家的門(mén)牌號(hào)之間有著特殊的關(guān)系。 問(wèn)題是找到這些數(shù)字。 這個(gè)問(wèn)題并不難。 使用試錯(cuò)法，我在幾分鐘內(nèi)得到了答案。
我（開(kāi)玩笑地）說(shuō)：現(xiàn)在我問(wèn)你一個(gè)問(wèn)題。
拉馬努金：告訴我問(wèn)題是什么。 （同時(shí)繼續(xù)攪拌鍋。）
我讀了《海濱雜志》上的一期。
拉馬努金：請(qǐng)寫(xiě)下答案。 （他給出了一個(gè)連分?jǐn)?shù)。）
第一項(xiàng)是我得到的答案。 其余的項(xiàng)就像街道上無(wú)限增加的門(mén)牌號(hào)一樣。 它們表示為具有相同關(guān)系的兩個(gè)數(shù)字之間逐漸增加的連續(xù)解。 我很驚訝，問(wèn)道：“你一會(huì)兒就得到這個(gè)答案了嗎？”
拉馬努金：當(dāng)我聽(tīng)到這個(gè)問(wèn)題時(shí)，我立刻就明白它的解顯然是一個(gè)連分?jǐn)?shù)； 我想：“這是什么樣的連分?jǐn)?shù)？” 然后答案就出來(lái)了。 就是這么簡(jiǎn)單。
我們從 Rang的記錄中得知，拉馬努金在12歲時(shí)就表現(xiàn)出了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。 據(jù)說(shuō)，拉馬努金曾問(wèn)他在昆巴庫(kù)納城市高中高年級(jí)就讀的一位朋友，數(shù)學(xué)的“最高真理”是什么。 據(jù)說(shuō)這位朋友曾向他提到畢達(dá)哥拉斯定理和股票問(wèn)題是“最高真理”。 畢達(dá)哥拉斯定理屬于正統(tǒng)數(shù)學(xué)，因?yàn)榻Y(jié)論是在給定前提下通過(guò)一系列演繹推理得出的，并且結(jié)論不存在不確定性。 股票和股票發(fā)行都是概率，這里得到的結(jié)論不一定需要準(zhǔn)確，但對(duì)投機(jī)者有幫助。 這兩個(gè)問(wèn)題都是具有智力挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)和研究領(lǐng)域。 也許拉馬努金比股票和股票更熟悉畢達(dá)哥拉斯問(wèn)題，這讓他對(duì)數(shù)學(xué)著迷。
拉馬努金在筆記本中記錄的大部分結(jié)果都未經(jīng)證實(shí)。 據(jù)說(shuō)，他用石筆在石板上進(jìn)行推導(dǎo)，只將最終結(jié)果記錄在紙上。 當(dāng)被問(wèn)到為什么不用紙時(shí)，拉馬努金回答說(shuō)，他每周需要三令紙（譯者注：令是紙張計(jì)量單位，一令等于480或500張），而他沒(méi)有有錢(qián)買(mǎi)那個(gè)。 很多紙。
1914年拉馬努金赴英國(guó)與著名劍橋數(shù)學(xué)家GH Hardy共事之前，他在印度雜志上總共發(fā)表了五篇論文。 他一生中單獨(dú)或與哈代合作共發(fā)表論文37篇。 在他短暫的研究生涯中，這些論文的分布如下：
拉馬努金于 1920 年去世，享年 33 歲。在他生命的最后兩三年里，他的健康狀況每況愈下，但他繼續(xù)進(jìn)行研究，并將許多結(jié)果記錄在一本筆記本中，直到幾年前才被發(fā)現(xiàn)。 這部被稱(chēng)為“補(bǔ)充筆記”的筆記本包含了許多新定理，開(kāi)辟了數(shù)論研究的新領(lǐng)域。
當(dāng)然，拉馬努金是一個(gè)罕見(jiàn)的現(xiàn)象，他在或多或少的惡劣環(huán)境中開(kāi)花結(jié)果——正規(guī)教育系統(tǒng)中的環(huán)境，旨在培養(yǎng)行政工作所需的文職人員； 貧困 迫使有天賦的學(xué)生放棄學(xué)術(shù)追求并尋找謀生的工作，缺乏機(jī)構(gòu)支持或其他研究機(jī)會(huì)。 對(duì)于拉馬努金在數(shù)學(xué)方面的成就，尼赫魯在他的《發(fā)現(xiàn)印度》一書(shū)中寫(xiě)道：
拉馬努金的短暫一生和他的去世代表了印度的現(xiàn)狀。 數(shù)以百萬(wàn)計(jì)的人中有多少人接受過(guò)充分的教育？ 有多少人生活在饑餓的邊緣？ 如果我們向他們敞開(kāi)生命之門(mén)，為他們提供食物、健康的生活條件、教育和成長(zhǎng)的機(jī)會(huì)，這千百萬(wàn)人口中將會(huì)產(chǎn)生多少優(yōu)秀的科學(xué)家、教育家、技術(shù)工人、企業(yè)家、作家等？ 藝術(shù)家們?nèi)绾螏椭ㄔO(shè)新印度和新世界呢？
尼赫魯是一位理想主義者。 事實(shí)上，印度的情況近年來(lái)有了很大改善。 印度的平均科學(xué)水平現(xiàn)在可以與任何發(fā)達(dá)國(guó)家相媲美。 但總的感覺(jué)是，我們還沒(méi)有達(dá)到完美和理想的程度。 我希望我們的政府和研究機(jī)構(gòu)（在統(tǒng)計(jì)學(xué)家的幫助下！）進(jìn)行必要的研究，使印度處于創(chuàng)新和科學(xué)發(fā)展的前沿。
本文轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“和樂(lè)數(shù)學(xué)”，原文摘自《統(tǒng)計(jì)與真理：如何利用機(jī)會(huì)》（科學(xué)出版社，2004）。 《回歸基礎(chǔ)》出版時(shí)略有修改。
