粒子碰撞在某種程度上與數(shù)學(xué)中的“主題”相關(guān)
20 世紀(jì) 40 年代，理查德·費(fèi)曼 ( ) 設(shè)計(jì)了費(fèi)曼圖。 費(fèi)曼圖中的線代表基本粒子，它們會(huì)聚在一個(gè)頂點(diǎn)（代表碰撞）英語作文，然后從那里分離，代表碰撞中產(chǎn)生的東西。 這些線路要么自行發(fā)射，要么再次相遇。 只要一位物理學(xué)家敢于思考，連鎖碰撞的長度就可以。
物理學(xué)家在圖中添加了代表相關(guān)粒子的質(zhì)量、動(dòng)量和方向的數(shù)字。 接下來，他們開始了一個(gè)費(fèi)力的計(jì)算過程——對(duì)這些數(shù)量進(jìn)行積分，將該數(shù)量相加，然后對(duì)該數(shù)量進(jìn)行平方。 最終結(jié)果是一個(gè)稱為費(fèi)曼概率的數(shù)字，它量化了粒子碰撞如圖所示進(jìn)行的概率。
加州理工學(xué)院理論物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家謝爾蓋·古科夫 ( Gukov) 表示：“在某種程度上，費(fèi)曼發(fā)明了這個(gè)原理圖，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)編碼成一種會(huì)計(jì)方法?！? ） 說。
費(fèi)曼圖多年來一直為物理學(xué)家提供了良好的服務(wù)，但它們也有其局限性。 第一個(gè)限制是它需要嚴(yán)格的程序。 物理學(xué)家正在追蹤能量越來越高的粒子的碰撞，這需要更高的測(cè)量精度——隨著精度的提高，計(jì)算預(yù)測(cè)所需的費(fèi)曼圖的復(fù)雜性也隨之增加。 增加。
第二個(gè)限制是費(fèi)曼圖的更基本性質(zhì)。 費(fèi)曼圖基于這樣的假設(shè)：包含的潛在粒子碰撞和子碰撞越多，其數(shù)值預(yù)測(cè)就越準(zhǔn)確。 這個(gè)計(jì)算步驟稱為“微擾展開”，它非常適合電子的粒子碰撞分析。 （在這種情況下，弱力和電磁力占主導(dǎo)地位。）它在分析高能碰撞方面效果較差，例如強(qiáng)核力占主導(dǎo)地位的質(zhì)子之間的碰撞。 好的。 在這些情況下，通過繪制更復(fù)雜的費(fèi)曼圖來包含更廣泛的碰撞實(shí)際上可能會(huì)讓物理學(xué)家誤入歧途。
“我們知道一個(gè)事實(shí)，在某個(gè)時(shí)刻，費(fèi)曼圖開始偏離（與現(xiàn)實(shí)世界的物理），”牛津大學(xué)數(shù)學(xué)家弗朗西斯·布朗說。 “我們不知道的是，如何估計(jì)在哪一點(diǎn)應(yīng)該停止計(jì)算的示意圖?！?span style="display:none">aJB物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
然而，我們有理由保持樂觀。 在過去的十年中，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家一直在探索一種令人驚訝的交流方法，這種方法可以給古老的費(fèi)曼圖帶來新的生命，在物理和數(shù)學(xué)方面產(chǎn)生深遠(yuǎn)的見解。 。 這與一個(gè)奇怪的事實(shí)有關(guān)，即從費(fèi)曼圖計(jì)算出的值似乎與代數(shù)幾何數(shù)學(xué)分支中出現(xiàn)的一些最重要的數(shù)字完全匹配。 這些值被稱為“主題周期”（ of ），并且沒有明顯的理由說明為什么相同的數(shù)字應(yīng)該出現(xiàn)在兩個(gè)背景中。 事實(shí)上，這就像假設(shè)的情況一樣奇怪，每次你測(cè)量一杯米時(shí)，你都會(huì)發(fā)現(xiàn)米的數(shù)量總是一個(gè)素?cái)?shù)。
柏林洪堡大學(xué)的物理學(xué)家德克·克萊默 (Dirk ) 表示：“從自然到代數(shù)幾何再到循環(huán)之間存在著某種聯(lián)系，事后看來這并非巧合?！?span style="display:none">aJB物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家正在共同努力揭開這一巧合的謎團(tuán)。 對(duì)于數(shù)學(xué)家來說，物理學(xué)將他們的注意力吸引到了特定類型的數(shù)字上，他們想知道物理學(xué)中發(fā)生的這些循環(huán)是否具有隱藏的結(jié)構(gòu)。 這些數(shù)字可能有什么特殊性質(zhì)？ 對(duì)于物理學(xué)家來說，這種數(shù)學(xué)理解的回報(bào)是一種新的遠(yuǎn)見，有助于預(yù)測(cè)某些事件在混沌量子世界中的表現(xiàn)。
反復(fù)出現(xiàn)的主題
如今，周期是數(shù)學(xué)研究中最抽象的主題之一，但它們最初是出于更具體的興趣而誕生的。 17 世紀(jì)初，伽利略等科學(xué)家對(duì)如何計(jì)算鐘擺完成一次擺動(dòng)所需的時(shí)間很感興趣。 他們意識(shí)到，計(jì)算歸結(jié)為對(duì)包含擺長度和釋放角度信息的函數(shù)進(jìn)行積分（一種無限項(xiàng)之和）。 與此同時(shí)，約翰內(nèi)斯·開普勒使用類似的計(jì)算來確定行星繞太陽運(yùn)行需要多長時(shí)間。 他們將這些測(cè)量稱為“周期”，并將其視為與運(yùn)動(dòng)相關(guān)的最重要的測(cè)量之一。
在 18 世紀(jì)和 19 世紀(jì)，數(shù)學(xué)家普遍對(duì)研究周期產(chǎn)生了興趣 - 不僅因?yàn)樗鼈兣c鐘擺或行星有關(guān)，還因?yàn)槎囗?xiàng)式 x2+2x-6 和 3x3-4x2-2x+6 生成的一類數(shù)字集成一個(gè)函數(shù)。 一個(gè)多世紀(jì)以來，卡爾·弗里德里希·高斯和萊昂哈德·歐拉等著名數(shù)學(xué)家探索了循環(huán)領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)它包含許多指向某些潛在順序的特征。 從某種意義上說，代數(shù)幾何（研究多項(xiàng)式方程的幾何形式）在 20 世紀(jì)發(fā)展起來，作為追蹤隱藏結(jié)構(gòu)的一種方法。
20 世紀(jì) 60 年代，這一努力獲得了迅速發(fā)展。 那時(shí)，數(shù)學(xué)家做了他們經(jīng)常做的事情：他們將方程等相對(duì)具體的對(duì)象轉(zhuǎn)換為更抽象的對(duì)象，他們希望這能讓他們識(shí)別出最初并不明顯的關(guān)系。
此步驟首先研究由多項(xiàng)式函數(shù)類型的解定義的幾何對(duì)象（也稱為代數(shù)簇），而不是研究函數(shù)本身。 接下來，數(shù)學(xué)家試圖理解這些幾何對(duì)象的基本屬性。 為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，他們開發(fā)了一種稱為上同調(diào)理論的工具 - 一種確定幾何對(duì)象的結(jié)構(gòu)特征的方法，而無需考慮用于生成對(duì)象的特定多項(xiàng)式方程。
到了 20 世紀(jì) 60 年代，上同調(diào)理論已經(jīng)發(fā)展到了分支的程度——奇異上同調(diào)、Drumm 上同調(diào)、平坦上同調(diào)等等。 似乎每個(gè)人對(duì)于代數(shù)簇最重要的特性都有不同的看法。
在這個(gè)令人困惑的研究領(lǐng)域中，2014 年去世的尖端數(shù)學(xué)家 意識(shí)到所有上同調(diào)理論都是同一事物的不同版本。
“格洛騰迪克觀察到，就代數(shù)簇而言，無論你如何計(jì)算這些不同的上同調(diào)理論，你總是會(huì)以某種方式找到相同的答案，”弗朗西斯·布朗說。
同樣的答案是所有這些上同調(diào)理論核心的獨(dú)特之處，即格洛騰迪克所說的“”。 “在音樂中粒子物理學(xué)家，主題意味著重復(fù)出現(xiàn)的主題。對(duì)于格洛騰迪克來說，主題是以不同形式重復(fù)出現(xiàn)，但實(shí)際上是同一件事?！?格洛騰迪克的前同事、《法國高等科學(xué)研究所的數(shù)學(xué)家》一書的作者皮埃爾·卡地亞 ( ) 說道。
從某種意義上說，主題是多項(xiàng)式方程的基本構(gòu)建塊，就像質(zhì)因數(shù)是較大數(shù)字的基本構(gòu)建塊一樣。 主題也有與其相關(guān)的數(shù)據(jù)。 正如你可以將物質(zhì)分解成元素，指定每個(gè)元素的特征——原子數(shù)量、原子質(zhì)量等——數(shù)學(xué)家也將本質(zhì)的度量歸因于一個(gè)主題。 在這些措施中，最重要的是主題的周期性。 您知道，如果多項(xiàng)式方程組中產(chǎn)生的對(duì)象的周期等于不同系統(tǒng)中產(chǎn)生的對(duì)象的周期，則這兩個(gè)對(duì)象是相同的。
“一旦你知道了周期（這是一個(gè)特定的數(shù)字），你幾乎就知道了這個(gè)問題本身，”牛津大學(xué)數(shù)學(xué)家金說。
要查看在意外情況下發(fā)生的相同循環(huán)的一個(gè)直接方法是查看 π 的情況。 “這是購買自行車最著名的例子，”卡地亞說。 π 在幾何中以多種形式出現(xiàn)：在定義一維圓的函數(shù)積分中、在定義二維圓的函數(shù)積分中、在定義球體的函數(shù)積分中。 對(duì)于古代思想家來說，相同的值會(huì)在看起來如此不同的積分中重復(fù)出現(xiàn)，這很可能是一個(gè)謎。 布朗在一封電子郵件中寫道：“現(xiàn)代的解釋是，球體和實(shí)心圓具有相同的主題，因此必須具有基本相同的周期?！?span style="display:none">aJB物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
費(fèi)曼的旅程
如果很久以前好奇的人想知道為什么像 π 這樣的值會(huì)出現(xiàn)在圓和球的計(jì)算中，那么今天的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家想知道為什么這些值會(huì)出現(xiàn)在圓和球的計(jì)算中。 物體（費(fèi)曼圖）出現(xiàn)。
費(fèi)曼圖具有基本的幾何特征，由線段、射線和頂點(diǎn)組成。 要了解它們的構(gòu)造方式以及它們?yōu)楹卧谖锢韺W(xué)中有用，請(qǐng)想象一個(gè)簡單的實(shí)驗(yàn)裝置，其中電子與正電子碰撞，產(chǎn)生μ子和反μ子。 為了計(jì)算這種結(jié)果的概率，物理學(xué)家需要知道每個(gè)進(jìn)入粒子的質(zhì)量和動(dòng)量，以及粒子所經(jīng)過的路徑的一些想法。 在量子力學(xué)中，粒子所走的路徑可以被認(rèn)為是它可能遵循的所有可能路徑的平均值。 計(jì)算該路徑對(duì)所有路徑的集合進(jìn)行積分，該積分稱為費(fèi)曼路徑積分。
粒子碰撞從開始到結(jié)束所遵循的每條可能的路徑都可以用費(fèi)曼圖表示，并且每個(gè)費(fèi)曼圖都有與其相關(guān)的積分。 （費(fèi)曼圖相當(dāng)于它的積分。）為了計(jì)算一組特定起始情況產(chǎn)生特定結(jié)果的概率，我們需要考慮所有可能描述碰撞過程的費(fèi)曼圖，找到每個(gè)點(diǎn)的分?jǐn)?shù)并將這些點(diǎn)相加點(diǎn)在一起。 這個(gè)數(shù)字就是費(fèi)曼圖的振幅。 然后物理學(xué)家將這個(gè)數(shù)字平方以獲得概率。
對(duì)于電子和正電子入射并且發(fā)射μ子和反μ子的情況，該計(jì)算步驟很容易執(zhí)行。 但這是無聊的物理學(xué)。 物理學(xué)家真正關(guān)心的實(shí)驗(yàn)是那些涉及帶有圓圈的費(fèi)曼圖的實(shí)驗(yàn)。 所謂的圓圈代表粒子被噴射然后其他粒子被重新吸收的情況。 當(dāng)電子與正電子碰撞時(shí)，在最后一對(duì)μ子和反μ子出現(xiàn)之前可能會(huì)發(fā)生無數(shù)次中間碰撞。 在這些中間碰撞中，會(huì)產(chǎn)生新的粒子（例如光子），這些粒子在被觀察到之前就被湮滅了。 傳入和傳出的粒子與之前的描述相同，但事實(shí)是那些未觀察到的碰撞仍然對(duì)最終產(chǎn)品產(chǎn)生微妙的影響。
“它就像一個(gè)玩具。一旦你畫出了費(fèi)曼圖，你就可以根據(jù)理論規(guī)則連接更多的線，”加州大學(xué)河濱分校教授 Flip 說。 一位物理學(xué)家說：“你可以連接更多的棍子、更多的節(jié)點(diǎn)，并使其變得更加復(fù)雜?！?span style="display:none">aJB物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
通過考慮圓圈，物理學(xué)家提高了實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。 （增加一個(gè)圓就像將一個(gè)值計(jì)算到相當(dāng)多的位數(shù)。）但是每次添加一個(gè)圓，需要考慮的費(fèi)曼圖的數(shù)量以及相應(yīng)的積分難度都會(huì)急劇增加。 例如，簡單系統(tǒng)的 2 環(huán)版本可能只需要 1 個(gè)費(fèi)曼圖。 同一系統(tǒng)的兩圈版本需要 7 個(gè)費(fèi)曼圖。 3 環(huán)版本需要 72 個(gè)費(fèi)曼圖。 將圈數(shù)增加到五圈需要計(jì)算大約 12,000 個(gè)點(diǎn) - 這一計(jì)算需要幾年時(shí)間才能完成。
物理學(xué)家不想費(fèi)力地研究這么多繁瑣的積分，而是希望能夠通過查看給定的費(fèi)曼圖的結(jié)構(gòu)來了解所得的振幅，就像數(shù)學(xué)家可以將周期與主題進(jìn)行比較一樣，建立聯(lián)系。
布朗說：“這一步非常復(fù)雜，積分也非常困難，所以我們要做的就是看一下費(fèi)曼圖，看看最終的答案，即最終的周期積分。”
令人驚訝的相關(guān)性
1994 年，Dilke 和英國開放大學(xué)物理學(xué)家 David 于 1995 年合作，首次將周期和振幅同時(shí)提出。當(dāng)年發(fā)表了一篇論文。 這項(xiàng)工作使數(shù)學(xué)家推斷出所有振幅都是與泰特主題混合的循環(huán)，這是一個(gè)以哈佛大學(xué)名譽(yù)教授約翰·泰特命名的特定主題，其中所有循環(huán)都是數(shù)論中最具影響力的多值黎曼 zeta 函數(shù)。 在入射電子-正電子對(duì)和發(fā)射μ子和反μ子對(duì)的情況下，振幅結(jié)果的主要部分是黎曼zeta函數(shù)在賦值為3時(shí)計(jì)算結(jié)果的6倍。
如果所有振幅都乘以 z 值，這就為物理學(xué)家提供了一個(gè)明確定義的數(shù)字類別來進(jìn)行研究。 但 2012 年，布朗和他的合作者奧利弗·施內(nèi)茨證明了事實(shí)并非如此。 雖然物理學(xué)家今天遇到的所有振幅可能都是與泰特主題混合的周期，但“陰影中潛伏著可能阻礙研究的怪物?！?布朗說，這些怪物“絕對(duì)是循環(huán)，但它們并不是人們所希望的美好而簡單的循環(huán)。”
物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家確實(shí)知道，費(fèi)曼圖中的圓數(shù)與數(shù)學(xué)中稱為“重量”的概念之間似乎存在聯(lián)系。 權(quán)重是與被積分空間的維數(shù)相關(guān)的數(shù)字：一維周期積分的權(quán)重可以為 0、1 或 2； 二維空間中的周期積分的權(quán)重最大可達(dá) 4，依此類推。 。 權(quán)重還可以用于將周期分為不同類型：權(quán)重為 0 的周期被推測(cè)為代數(shù)數(shù)，可能是多項(xiàng)式方程的解（這尚未得到證明）； 擺周期的權(quán)重始終為 1； π 是權(quán)重周期 2； 黎曼 zeta 函數(shù)值的權(quán)重始終是輸入值的 2 倍（因此，當(dāng)指定值 3 時(shí)，zeta 函數(shù)的權(quán)重為 6）。
這種根據(jù)權(quán)重對(duì)周期進(jìn)行的分類可以延續(xù)到費(fèi)曼圖，其中周期的數(shù)量在某種程度上與其振幅的權(quán)重相關(guān)。 沒有環(huán)路的費(fèi)曼圖的幅值權(quán)重為 0； 具有 1 個(gè)周期的費(fèi)曼圖的振幅是混合泰特主題的周期，權(quán)重最多為 4。對(duì)于具有更多圓圈數(shù)的費(fèi)曼圖，數(shù)學(xué)家懷疑這種關(guān)系將繼續(xù)存在，盡管他們還無法看到其中的秘密。
“我們進(jìn)行了更多的周期，并且看到了更一般的周期類型，”克萊默說。 “數(shù)學(xué)家對(duì)此非常感興趣，因?yàn)樗麄儗?duì)不屬于混合泰特主題的主題了解不多。 ”
數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家目前正在前后研究，試圖確定問題的范圍并找到優(yōu)雅的答案。 數(shù)學(xué)家向物理學(xué)家推薦使用函數(shù)（及其積分）來描述費(fèi)曼圖。 物理學(xué)家設(shè)想的粒子碰撞構(gòu)型超出了數(shù)學(xué)家必須提供的方程。 “看到他們?nèi)绱搜杆俚匚占夹g(shù)性的數(shù)學(xué)思想，真是令人驚訝，”布朗說。 “我們已經(jīng)用完了經(jīng)典的數(shù)字和方程粒子物理學(xué)家，對(duì)于物理學(xué)家來說已經(jīng)沒有什么了?！?span style="display:none">aJB物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
自然群體
自 17 世紀(jì)微積分誕生以來，物理世界中數(shù)字的出現(xiàn)推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步。 今天也是如此。 事實(shí)上，源自物理學(xué)的周期“有一點(diǎn)上帝賦予的感覺，來自物理理論，這意味著它們有許多結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)家不會(huì)想到或試圖創(chuàng)造的結(jié)構(gòu)，”布朗說。
克萊默補(bǔ)充說：“大自然似乎想要比數(shù)學(xué)家可以定義的更小的周期集，但我們無法非常清楚地定義這個(gè)子集實(shí)際上是什么?！?span style="display:none">aJB物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
布朗希望證明數(shù)學(xué)群（伽羅瓦群）會(huì)影響費(fèi)曼圖的周期集。 他說：“在迄今為止計(jì)算的每種情況下，這個(gè)解決方案看起來都是正確的，”但證明這種關(guān)系絕對(duì)正確仍然難以捉摸。 布朗說：“如果這是真的，并且有一個(gè)群體對(duì)物理學(xué)中的數(shù)字產(chǎn)生影響，那就意味著你正在尋找一大類對(duì)稱性?！? “如果這是真的，下一步就是要問為什么存在如此大的對(duì)稱群，以及它可能具有什么潛在的物理意義?！?span style="display:none">aJB物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
此外，它將加深兩個(gè)截然不同背景下的基本幾何構(gòu)造之間已經(jīng)存在的刺激關(guān)系：數(shù)學(xué)家在 50 年前設(shè)計(jì)的主題，用于理解多項(xiàng)式方程的解； 費(fèi)曼圖，它是粒子碰撞如何發(fā)生的圖形表示。 每個(gè)費(fèi)曼圖都有一個(gè)附加的主題，但某個(gè)主題的結(jié)構(gòu)能夠告訴我們相關(guān)費(fèi)曼圖的結(jié)構(gòu)什么仍然是未知的，有待大家猜測(cè)。
思語/世界科學(xué)編譯
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