1.簡諧運動；2.簡諧運動的描述；3.簡諧運動的回復力和能量；4.單擺；5.實驗：用單擺檢測重力加速度；6.受迫震動、共振
1.簡諧運動
（1）彈簧振子
平衡位置()：振子原先靜止時的位置.
機械震動()：振子在平衡位置附近的往復運動，簡稱震動.
彈簧振子()：小球和彈簧構成的系統.
【彈簧振子的位移—時間圖像(x-t圖像)】
用橫座標表示振子運動的時間(t)，縱座標表示振子離開平衡位置的位移(x)2什么是機械運動，勾勒出的圖像就是位移隨時間變化的圖像，即x-t圖像，如右圖所示。
圖1
振子的位移：振子相對平衡位置的位移。
平衡位置：振子原先靜止時的位置。平衡位置不一定是中心位置，如圖2(a)所示物體的震動，物體經過平衡位置時不一定處于平衡狀態，如圖2(b)所示物體的震動。
圖2
彈簧振子是一種理想化模型。實際物體可看成彈簧振子的條件：①不計磨擦阻力和空氣阻力；②不計彈簧的質量；③物體可視為質點；④彈簧的形變在彈性限度內。
【彈簧振子的震動剖析】
①位移及其變化
位移指相對平衡位置的位移，由平衡位置指向振子所在的位置.當振子從平衡位置向最大位移處運動時，位移減小；當振子由最大位移處向平衡位置運動時，位移降低。
②速度及其變化
振子在平衡位置處速率最大，在最大位移處速率為零.振子由平衡位置向最大位移處運動時，速率增大；振子由最大位移處向平衡位置運動時，速率減小。
③加速度及其變化
水平彈簧振子所受彈簧的彈力是振子遭到的合力，豎直彈簧振子所受的重力與彈力之和是振子遭到的合力。不論是水平彈簧振子還是豎直彈簧振子，均滿足：在平衡位置處所受的合力為零，加速度為零；而在最大位移處所受的合力最大，加速度最大。
（2）簡諧運動及其圖像
簡諧運動()：質點的位移與時間的關系遵照余弦函數的規律，即它的震動圖像(x-t圖像)是一條余弦曲線。注意：x-t圖像不是振子的運動軌跡。
【x-t圖象的應用】
①可直接讀出不同時刻t的位移x值。坐落x軸上方的x值表示位移為正，坐落t軸下方的x值表示位移為負，如圖3甲所示。
②判斷任意時刻質點的震動方向。看下一相鄰時刻質點的位置，如圖乙中
點，下一相鄰時刻比
時刻離平衡位置遠，故
點此刻向
方向運動。
圖3
③速度的大小和方向可依照圖像上某點的切線的斜率判別。圖像上某點切線的斜率大小表示速率大小，斜率的正負表示運動的方向。在平衡位置，切線斜率最大，質點速率最大；在最大位移處，切線斜率為零，質點速率為0。在從平衡位置向最大位移處運動的過程中，速率降低；在從最大位移處向平衡位置運動的過程中，速率減小。
2.簡諧運動的描述
（1）描述簡諧運動的數學量
①振幅：震動物體離開平衡位置的最大距離。
振幅與位移的區別：（a）振幅等于最大位移的數值；（b）對于一個給定的震動，震動物體的位移是時刻變化的，但振幅是不變的；（c）位移是矢量，振幅是標量。
路程與振幅的關系：（a）震動物體在一個周期內的路程為四個振幅；（b）震動物體在半個周期內的路程為兩個振幅（c）震動物體在
個周期內的路程不一定等于一個振幅。
②全震動：震動物體以相同的速率陸續通過同一位置所經歷的過程，稱為一次全震動。如右圖所示，類似于O→B→O→C→O的一個完整的震動過程。
圖4
【全震動特點】
（a）數學量特點：位移(x)、加速度(a)、速度(v)兩者第一次同時與初始狀態相同。
（b）時間特點：長達一個周期。
（c）路程特點：振幅的4倍。
（d）相位特點：降低2π。
③周期和頻度
周期(T)定義：做簡諧運動的物體完成一次全震動所須要的時間。單位：國際單位是秒(s)。
頻度(f)定義：單位時間內完成全震動的次數。單位：赫茲(Hz)。
兩者關系：
。都是標量，反映了震動的快慢。
一個震動系統的周期、頻率由震動系統決定，與振幅無關。
④相位：描述周期性運動在各個時刻所處的不同狀態
（2）簡諧運動的表達式
簡諧運動的通常表達式為
。x表示震動物體相對于平衡位置的位移；t表示時間；A表示簡諧運動的振幅；
稱作簡諧運動的“圓頻度”，表示簡諧運動的快慢，
(與周期T和頻度f的關系)。
代表簡諧運動的相位，
表示時的t=0相位，稱作初相位(或初相)。
圖5
【相位差】
若兩個簡諧運動的表達式為
，則相位差為
。
【特殊點】
當
時(n為任意整數)，
，即
；
當
時(n為任意整數)，
，即
；
當
時(n為任意整數)，
，即
。
（3）簡諧運動的周期性和對稱性
如右圖所示
圖6
【時間的對稱】
①物體來回通過相同兩點間的時間相等，即
。
②物體經過關于平衡位置對稱的等長的兩線段的時間相等，圖中
。
【速度的對稱】
①物體連續兩次經過同一點(如D點)的速率大小相等，方向相反。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C與D)時，速率大小相等，方向可能相同，也可能相反。
【位移的對稱】
①物體經過同一點(如C點)時，位移相同。
②物體經過關于O點對稱的兩點(如C與D)時，位移大小相等、方向相反。
3.簡諧運動的回復力和能量
（1）簡諧運動的回復力
①簡諧運動：假若質點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成反比，而且總是指向平衡位置，質點的運動就是簡諧運動。
②回復力
定義：使震動物體回到平衡位置的力。
方向：總是指向平衡位置。回復力為零的位置就是平衡位置。
表達式：
。k是比列系數，其值由震動系統決定，與振幅無關。只有水平彈簧振子，回復力僅由彈力提供，k為勁度系數。“－”號表示回復力的方向與偏離平衡位置的位移的方向相反。
簡諧運動的加速度：由
及牛頓第二定理
可知，
，加速度
與位
的大小成反比，方向與位移方向相反。
回復力的性質：回復力是按照力的療效命名的，可能由合力、某個力或某個力的分力提供。它一定等于震動物體在震動方向上所受的合力，剖析物體受力時不能再加上回復力。
比如：如圖7甲所示，水平方向的彈簧振子，彈力充當回復力；如圖乙所示，豎直方向的彈簧振子，彈力和重力的合力充當回復力；如圖丙所示，m隨M一起震動，m的回復力由靜磨擦力提供。
圖7
物體做簡諧運動的判定方式：簡諧運動的回復力滿足
；簡諧運動的震動圖像是余弦曲線。
（2）簡諧運動的能量
①能量轉化
彈簧振子運動的過程就是動能和勢能相互轉化的過程。
特征：在最大位移處，勢能最大，動能為零；在平衡位置處，動能最大，勢能最小。對于同一個震動系統，振幅越大，震動的能量越大。
簡諧運動是一種無能量損失的震動，所以其振幅保持不變，又稱為等幅震動。
在簡諧運動中，震動系統的機械能守恒，而在實際運動中都有一定的能量耗損，因而簡諧運動是一種理想化的模型。
4.單擺
（1）單擺及單擺的回復力
單擺：假如細線的質量與小球相比可以忽視，球的半徑與線的寬度相比也可以忽視，這樣的裝置就稱作單擺。單擺是實際擺的理想化模型。
單擺的平衡位置：擺球靜止時所在的位置。
單擺向心力來源：細線拉力和重力沿徑向的分力的合力。
單擺的回復力來源：如右圖所示，擺球的重力沿弧形切線方向的分力提供回復力。
圖8
回復力的特征：在偏角很小時，
，
所以單擺的回復力為
，即小球所受的回復力與它偏離平衡位置的位移成反比，方向總是指向平衡位置，單擺的運動可看成是簡諧運動。
回復力的大小：在偏角很小時，擺球的回復力滿足
，此時擺球的運動可看成是簡諧運動。
注意：單擺經過平衡位置時，回復力為零，但合外力不為零；單擺的回復力為小球遭到的重力沿弧形切線方向的分力，而不是小球遭到的合外力。
（2）單擺的周期
伽利略發覺了單擺運動的等時性，惠更斯得出了單擺的周期公式并發明了擺鐘。
單擺震動的周期與擺球質量無關，在振幅較小時與振幅無關，但與擺長有關，擺長越長，周期越長。
單擺的周期公式：
。
單擺的周期公式在單擺偏角很小時創立，偏角為5°時，由周期公式算出的周期和確切值相差0.01%。
公式中
是擺長，即懸點到擺球球心的距離
。
公式中
是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。
周期
只與
和
有關，與擺球質量m及振幅無關，所以單擺的周期也叫固有周期。
5.實驗：用單擺檢測重力加速度
（1）實驗原理
由
，可得
，則測出單擺的擺長
和周期
，即可求出當地的重力加速度。
（2）實驗器材
鐵架臺及鐵夾，金屬小球(有孔)、秒表、細線(1m左右)、刻度尺、游標千分尺。
（3）實驗步驟
①讓細線穿過小球上的小孔，在細線的穿出端打一個稍大一些的線結，制成一個單擺。
②將鐵夾固定在鐵架臺下端，鐵架臺置于實驗桌邊，把單擺下端固定在鐵夾上，使擺球自由下垂.在單擺平衡位置處做上標記。
③用刻度尺量出懸線長
(確切到mm)，用游標千分尺測出擺球的半徑d，則擺長
。
④把單擺拉開一個角度，角度不小于5°，釋放擺球。擺球經過最高位置時，用秒表開始計時，測出單擺完成30次(或50次)全震動的時間，求出一次全震動的時間，即為單擺的震動周期。
⑤改變擺長，反復檢測幾次，將數據填入表格。
（4）數據處理
公式法：每改變一次擺長，將相應的
和
代入公式
中求出
值，求出
的平均值。
設計如下實驗表格
表1
圖象法：由
得
，以
為縱座標，以
為橫座標做出
圖象（如右圖所示）。其斜率
，由圖象的斜率即可求出重力加速度
。
圖9
【注意事項】
①選擇細而不易伸長的線，厚度通常不應短于1m；擺球應選用密度較大、直徑較小的金屬球。
②擺動時控制擺線偏離豎直方向的角度應很小。
③擺球擺動時，要使之保持在同一豎直平面內，不要產生圓柱擺。
④計算單擺的全震動次數時，應從擺球通過最高位置時開始計時，要測n次全震動的時間t。
6.受迫震動、共振
（1）固有震動、阻尼震動
固有震動：震動系統在不受外力作用下的震動。固有頻度：固有震動的頻度。
減振：當震動系統遭到阻力的作用時，震動遭到了減振。
減振震動：振幅逐步減少的震動，如右圖所示。
圖10
（2）受迫震動
驅動力：作用于震動系統的周期性的外力。
受迫震動：系統在驅動力作用下的震動。
受迫震動的頻度：做受迫震動的物體，其震動頻度總等于驅動力的頻度，與系統的固有頻度無關。
【三種震動的理解】
①簡諧運動：一種理想化的模型，物體運動過程中的一切阻力都不考慮.
②阻尼震動：考慮阻力的影響，是更實際的一種運動.
③受迫震動：物體做減振震動時遭到周期性驅動力作用下的震動.
【三種震動的比較】
表2
（3）共振
定義：驅動力的頻度f等于系統的固有頻度
時，受迫震動的振幅最大，這些現象稱作共振。
共振曲線，橫座標為驅動力的頻度，縱座標為受迫震動的振幅，如右圖所示。
圖11
從受力角度看：當驅動力的頻度等于物體的固有頻度時，它的每一次作用都使物體的振幅降低，直至振幅達到最大。
從功能關系看：當驅動力的頻度等于物體的固有頻度時，驅動力仍然對物體做正功，使震動能量不斷降低2什么是機械運動，振幅不斷減小，直至降低的能量等于克服減振作用耗損的能量，振幅才不再降低。震動能量最大，振幅最大。
認識曲線的形狀：
，共振；
或
，振幅較小。
與
相差越大，振幅越小。
【共振的借助與避免】
借助：要借助共振，就應盡量使驅動力的頻度與物體的固有頻度一致.如共振篩、共振怠速計等。
避免：在須要避免共振害處時，要盡量使驅動力的頻度和固有頻度不相等，并且相差越多越好。如：軍隊過橋應便步走。
說明：共振是物體做受迫震動時的一種特殊現象。
本章思維導圖
圖12思維導圖