力的正交分解【高中數(shù)學(xué)】

2023-10-07 10:23:38信息公告56

主要內(nèi)容

最通用的力的正交分解步驟。適用于合外力=0（平衡多項(xiàng)式）。也適用于合外力≠0（牛頓第二定理多項(xiàng)式）。

求合力的兩種形式：”矢量三角形“和”正交分解“

通過(guò)例題的這兩種形式，來(lái)對(duì)比感受正交分解的意義和使用

三步驟

正交分解用途很廣，受力平衡、牛頓第二定理、平拋圓周、運(yùn)動(dòng)的分解、動(dòng)量，可以說(shuō)只要是矢量及矢量多項(xiàng)式，都可能會(huì)用正交分解，所以很重要很重要很重要。

但又很簡(jiǎn)單，由于正交分解沒(méi)哪些靈活多變的地方，只要依照下邊三步

①建系，平面直角座標(biāo)系

②分解，把所有力分解到x軸和y軸

舉個(gè)反例，力F，沿x和y軸分解，分別是F_{x}和F_{y}

也是物理上【線段的平行投影】，如右圖。

平移F_{x}或F_{y}，構(gòu)成矢量三角形。【矢量加減運(yùn)算】

由【力的合成與分解】可知

F是F_{x}、F_{y}的合力。

正交分解的“正交”意思就是兩個(gè)分力垂直

思索：一個(gè)力的正交分解是否惟一？

圖中三角形某角度為theta

依據(jù)直角三角形的

余弦（對(duì)邊比底邊）：sintheta=frac{F_{y}}{F}

正弦（鄰邊比底邊）：costheta=frac{F_{x}}{F}

就可以表示出F_{x}和F_{y}

這是其優(yōu)勢(shì)之一：便捷利用余弦正弦表示

③合成：x軸（y軸）的所有力合成（帶正負(fù)號(hào)）

【一維直線上的矢量加減】

我們通過(guò)例題來(lái)理解這三步

例題1

對(duì)物塊受力剖析:

物塊遭到的所有力

外力F重力G物塊與地面接觸，所以可能遭到地面對(duì)物塊的彈力N地面對(duì)物塊的磨擦力f

有些朋友能一眼看出磨擦力方向向左，由于往右這四個(gè)力無(wú)論怎樣都不可能平衡

而且有些受力復(fù)雜的題目不容易一眼看出來(lái)，這兒重點(diǎn)講通法，通過(guò)正交分解列多項(xiàng)式解出力的方向和大小

我這兒先用實(shí)線表示，代表不確定彈力和磨擦力有沒(méi)有，也不確定大小和方向

所以這道題都會(huì)涉及到一個(gè)知識(shí)點(diǎn)：

求“【彈力】方向和大小”

求“【靜磨擦力】方向和大小”

我們先不用正交分解，試試能不能做

二維平面矢量硬核相乘法

這方式一看名子就不走尋常路

思路呢，保持靜止，受力平衡，也就是合外力=0

求合力，最直接的辦法其實(shí)是“不管三七二十一高中物理力的正交分解畫(huà)圖，直接相乘”

力的分解正交分解_高中物理力的正交分解畫(huà)圖_力的分解正交分解法視頻

“F+G+N+f=0”

二維平面矢量相減須要作圖，來(lái)練習(xí)一下吧，鞏固【矢量加減運(yùn)算】

先算前兩個(gè)相乘F+G=F_{1}，如右圖所示

F+G+N+f=0就弄成F_{1}+N+f=0

那這個(gè)等式作圖可以畫(huà)在一個(gè)三角形中，如右圖

注意這兩個(gè)矢量三角形的區(qū)別。

第一個(gè)是兩個(gè)矢量首尾相連，所以是“兩個(gè)矢量相減＝第三個(gè)矢量”。如右圖

第二個(gè)是三個(gè)矢量首尾相連，所以是“三個(gè)矢量相乘＝第四個(gè)矢量”。而第四個(gè)矢量沒(méi)有＝0。如右圖

這兩類(lèi)矢量三角形都常常遇見(jiàn)，千萬(wàn)不要搞混了

ok，這樣就可以確定彈力和磨擦力都存在，且彈力向下，磨擦力向左。

大小就是求線段寬度。如右圖。

對(duì)線段F做平行投影即可。

但這些技巧對(duì)二維平面的矢量加減運(yùn)算要求很高，還要湊三角形，思維難度有些大，不容易理解。

換一種思路，正餐來(lái)啦

正交分解

先正交分解再求合力

①建系

為何這樣建系？由于只分解F，簡(jiǎn)單

②分解

這樣就把所有的力分解到了座標(biāo)軸上

③合成。x軸（y軸）的所有力合成（帶正負(fù)號(hào)）

后面【矢量加減運(yùn)算】講過(guò)，一維直線上的矢量相乘就是帶正負(fù)號(hào)的數(shù)字相乘，正負(fù)號(hào)代表方向。

F_{x}沿x軸正方向，所以F_{x}=+4

同理，F(xiàn)_{y}=+3

重力G沿y軸負(fù)方向，所以G=-10

x軸（y軸）所有力合成

x軸：F_{x}+f=0

y軸：F_{y}+N+G=0

解得

f=-4

N=+7

說(shuō)明

磨擦力大小等于4，方向沿x軸負(fù)方向

彈力大小等于7，方向沿y軸正方向

例題1總結(jié)

關(guān)于這道題有幾點(diǎn)要說(shuō)明

為何沒(méi)有列平衡多項(xiàng)式

有的同學(xué)會(huì)說(shuō)，這道列平衡多項(xiàng)式，向左的力=往右的力，向下的力=向上的力，不須要帶正負(fù)號(hào)。

這道題其實(shí)可以，略微簡(jiǎn)單這么一丟丟。但有些局限性。

力的分解正交分解法視頻_高中物理力的正交分解畫(huà)圖_力的分解正交分解

復(fù)雜的題目，如前面例題2，磨擦力的方向不能一眼看出來(lái)，就不好用

包括前面【牛頓第二定理】正交分解，平衡多項(xiàng)式也不行。而我講的這個(gè)方式這種情況都通用

實(shí)際上，平衡等式就是“一維直線的矢量相減=0”去掉正負(fù)號(hào)的方式

第二點(diǎn)：矢量三角形和正交分解的難易對(duì)比

這道題用了兩種方式都可以做，思路如右圖

一種是矢量三角形，直接求合力

一種是先正交分解再分別求x方向的合力和y方向的合力

這道題為何第二種方式更簡(jiǎn)單呢

你們觀察方式一的這兩個(gè)矢量三角形，都不是那個(gè)特別好估算的矢量三角形，所以才用的投影估算。并且由于磨擦力彈力方向大小不確定，矢量三角形還要湊，對(duì)二維平面矢量加減要求很高

而正交分解后只用到了一個(gè)矢量三角形，是37°的直角三角形，周長(zhǎng)3、4、5，十分特殊好算。還用到高中加減運(yùn)算以及列多項(xiàng)式解多項(xiàng)式

這兒有意思的一點(diǎn)是

你們可能會(huì)由于字面意思“分解”是求合力的反向操作，所以認(rèn)為正交分解目的是求分力。

但實(shí)際上，正交分解是“先分解再合成”，“曲線救國(guó)”了屬于是

所以矢量三角形和正交分解在這道題中是并列的，目的都是求合力

當(dāng)我們做題，須要求合力的時(shí)侯，就有兩個(gè)工具可以選擇高中物理力的正交分解畫(huà)圖，矢量三角形和正交分解

有時(shí)侯矢量三角形簡(jiǎn)單，有時(shí)侯正交分解簡(jiǎn)單，有時(shí)侯差不多，這個(gè)做一些題就有感受了

再看一道例題

例題2

很類(lèi)似的例題

對(duì)物塊受力剖析

物塊可能遭到的所有力

外力F重力G垂直于斜面的彈力N沿斜面的磨擦力f

這兒磨擦力就不能一眼看出方向了。先用實(shí)線表示。（可能沿斜面向上、向上或沒(méi)有）

①建系

還是沿水平方向和豎直方向嗎？這樣的話(huà)，要分解外力F、彈力N、摩擦力f，三個(gè)力

而假如沿斜面和垂直于斜面建系，只須要分解重力G

那個(gè)簡(jiǎn)單呢？假如有時(shí)間的話(huà)，最好自己動(dòng)手做一做

由于彎路只有自己親自走，才長(zhǎng)記性

其實(shí)，沿斜面建系更簡(jiǎn)單

這兒就告訴我們合適的建系會(huì)降低估算量，通常是盡量少分解力

②分解重力G

③合成

和例題1一樣的，就不詳盡說(shuō)了。如右圖

解下來(lái)磨擦力＝0，說(shuō)明沒(méi)有磨擦力

這道題假如更改外力F的大小，磨擦力方向就有三種情況，取決于你解下來(lái)的是正值還是負(fù)值還是0

最后簡(jiǎn)單討論一下

正交分解的優(yōu)勢(shì)

這道題，大約能彰顯三點(diǎn)

優(yōu)勢(shì)①：矢量分解容易估算，由于垂直，一定是直角三角形。可以用sintheta、costheta

優(yōu)勢(shì)②：矢量合成容易估算，一維直線上的矢量相減就是帶正負(fù)號(hào)的數(shù)字相乘

優(yōu)勢(shì)③：通常彈力和磨擦力是垂直的，這么沿彈力和磨擦力方向正交分解，這倆力不用分解，便捷

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