強化基礎培育卓越專項訓練3
物體動力學
時長：2小時 滿分：150分
1、在一傾斜角為a的斜坡上，有兩點A、B在同一水平線上，兩點間的距離為/，如下圖所示。一汽車從A點出發，要求不偏離直線AB行駛到B點。車輪與斜坡間的動摩擦系數為μ>tana。設汽車的質量均勻分布在車輪之間，每個車輪都是驅動輪。汽車完成此要求所需的最短時間為（）。
2、如圖所示，有一小車在傾斜角為α的斜面上向下運動，車上懸掛有一小球，當懸掛線與鉛垂方向的夾角分別為圖中α、β（β>a）值時，小車所受加速度的比值為（ ）。
A.sinαsinβ/cos(β-α)
B. sinα/cos(β-α) sinβ
C. sinβcos(β-α)/ sinα
D. sinαcos(β-α)/sinβ
3、根據高中學到的知識，自由落體的小球會落在正下方的位置。但實際上，在赤道上空200米處無初速度下落的小球，會落在正下方位置以東約6厘米處。這一現象可以這樣解釋：除了重力之外，由于地球自轉，小球在下落過程中還受到一個向東的水平“力”，這個“力”與垂直速度的大小成正比。現在把小球從赤道地面垂直拋出，考慮對稱性，在上升過程中受到的“力”是向西水平的，所以小球（ ）
A.到達最高點時，水平加速度和速度都為零。
B.到達最高點時，水平加速度和速度不為零。
C. 落點在投擲點的東側
D. 落點在投擲點西側
4、在無風環境下，有人從高處拋出一個靜止的籃球，籃球垂直下落；若先將籃球繞球心橫軸以一定的角速度旋轉（如圖所示）后拋出，籃球在向下下落過程中，會偏離垂直方向，呈曲線運動。其原因是旋轉的籃球在運動過程中，除受到重力外，還受到空氣施加的阻力f1和偏轉力f2。這兩個力與籃球的速度v的關系大致為：f1=k1v2，方向與籃球運動方向相反；f2=k2v，方向與籃球運動方向垂直。下列說法中正確的是（ ）。
A.k1和k2是常數，與籃球的角速度無關。
B.籃球能回到原來的高度，并且角速度與出手時相同。
C. 如果人站得足夠高，籃球可能會在落地前向上移動。
D.如果投擲條件正確，籃球可能會在空中繼續水平移動一段時間。
5、如圖所示，一質量為M的軌道架停放在一粗糙的水平面上，中間有一垂直的圓形軌道，內壁光滑，半徑為R。一質量為m的小球在垂直軌道內作圓周運動。當小球運動到最高點A時，軌道所受的壓強恰好為mg。在整個過程中，M始終處于靜止狀態。小球可看作一個點質量。下列說法中，哪一個是正確的？（ ）。
A、當球通過最高點A時，球處于完全失重狀態。
B、當球通過最高點A時，地面受到的壓強M最小，取最小值F1=Mg-mg
C.當球通過最低點C時，地面受到的壓強M最大，最大值為F2=Mg+6mg
D、當小球經過點D（相當于圓心）時，地面對M的摩擦力最大，且方向向左。
6.如圖所示，滑輪系統。物體1、2分別有向下的加速度a1、a2，物體3有向上的加速度a3。a1、a2、a3之間的關系為（ ）。
A.a1+a2=a3 B.a1+a2=2a3
C.a1-a2=2a3 D.a1=a2-a3
2. 多項選擇題（6 分 x 4 = 24 分）：
7、發射地球同步衛星時，先將衛星發射到近地圓形軌道1，然后點火使衛星沿橢圓軌道2運行，隨后再次點火將衛星送入同步軌道3。如圖所示，軌道1、2相切于Q點，軌道2、3相切于P點。當衛星分別在軌道1、2、3上正常運動時，下列說法正確的是（ ）。
A.衛星在軌道 3 上的速度大于在軌道 1 上的速度。
B. 軌道 3 上的衛星角速度小于軌道 1 上的衛星角速度。
C.衛星通過軌道1上Q點時的加速度大于通過軌道2上Q點時的加速度。
D.衛星通過軌道2上P點時的加速度等于它通過軌道3上P點時的加速度。
8、如圖所示，在勻速上升的電梯上固定一光滑斜面，兩質量相等的物體A、B用輕彈簧連接，B的上端用一根與斜面平行的細導線綁在斜面上的固定裝置上，斜面的傾斜角為θ=30°。當細導線突然剪斷時，物體A、B相對于地面的瞬時加速度分別記為aA、aB；當電梯突然處于完全失重狀態時，物體A、B相對于地面的瞬時加速度分別記為aA′、aB′。則（ ）。
9、如圖（a）所示，水平地面上放有一塊質量為m1的長木板，木板左端放有一質量為m2的木塊。木塊上作用有水平向右的拉力F，F與時間t的關系如圖（b）所示，其中F1、F2分別為t1、t2時刻F的大小。木板的加速度a1與時間t的關系如圖（c）所示。已知木板與地面之間的動摩擦系數為μ1，木塊與木板之間的動摩擦系數為μ2。設最大靜摩擦力等于對應的滑動摩擦力，重力加速度為g，則（ ）。
答:F1=m1m1g
B.F2=m2(m1+m2)(m2-μ1)g/m1
C.μ2>(m1+m2)μ1/m2
D.在0-t2時間段內，物塊和木板的加速度相等
10、如圖所示，一個半徑為R的半球形容器固定在水平轉盤上，轉盤繞容器中心O的豎直軸線以恒定角速度ω旋轉。不同質量的小塊A、B隨容器旋轉，相對于容器壁保持靜止。A、B與中心O的連線與豎直方向的夾角分別為α、β，且α>β。則（ ）。
A. A 和 B 上的摩擦力可能同時為零
B.若B不受摩擦力，則A會沿容器壁向上受到摩擦力。
C.若A不受摩擦力，則B會沿容器壁向上受到摩擦力。
D.如果ω增加，A和B上的摩擦力可能會增加。
11.（8分）【瞬時問題】一根長度為3L的輕桿上固定著兩個質量分別為m1和m2的重物。兩重物視為點質量，它們之間的距離與到桿兩端的距離相等。兩根垂直的輕繩分別系在桿兩端，使桿水平平衡，如下圖所示。試計算剪斷右繩時，左繩所受的拉力T。
12.（8分）【天體題】據歐洲航天局介紹，銀河系中有一顆類地行星，半徑為，其表面覆蓋著10公里深的海水，現發現水面與水底的重力是相等的，這顆行星上的水密度與地球相同。試計算這顆行星的重力加速度值。
13.（8分）【連體物體】如圖所示，兩木楔A、B的質量m均為8.0kg。B被一塊垂直的板擋住，A可在地面上自由滑動。物體C的質量M為384kg。壓在A、B身上的接觸面與平面的夾角為45度。已知水平推力F=2920N，可忽略一切摩擦力。試求：
（1）A、C 的加速度是多??少？
（2）B對C施加的力的大小和方向是多少？
14.（8分）【兩類題型】梯桿AB長L，A端未掛在墻上，沿垂直墻面以勻速v0向下運動，B端作水平運動。此時有一名質量為m的士兵在距B端L/4處緊緊抓住梯桿，如圖中P點所示。試計算當AB梯桿滑到與垂線成角度θ時，作用在士兵身上的力F。
15.（10分）【連接體】如圖所示，兩塊木塊A、B并排放置在水平桌面上，質量分別為mA、mB。已知木塊A、B接觸面垂直于紙面并與水平方桌面成夾角θ，木塊A、B接觸面光滑。開始時，木塊A、B均靜止，現在有水平推力F作用在木塊A上，為使木塊A、B不發生相對滑動，一起向右加速運動，求下列問題的解決方案：
（1）若兩木塊與水平桌面的接觸面光滑，推力F的最大值是多少？
（2）若兩木塊接觸面與水平桌面之間的動摩擦系數μ相等，且等于靜摩擦系數μ，則μ應滿足什么條件？
（3）當μ滿足條件（2）時，推力F的最大值是多少？（已知重力加速度g）
16.（10分）【圓周運動】圖中為“S”形單向蜿蜒山路示意圖。曲線1、曲線2可看作同一水平面上的圓弧，圓心分別為O1、O2，曲線中心線半徑分別為r1=12m、r2=27m。曲線1、曲線2兩圓弧與一條直路相切。一輛質量為m=的汽車在通過曲線時作勻速圓周運動。路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力為汽車重量的1.2倍。要求汽車在行駛過程中不打滑。（=0.6，g=10/s2）
（1）設一汽車沿曲線中心和直路中心線（圖中虛線所示）勻速行駛，求通過彎曲山路的最大速度v；
（2）一輛車從A點進入彎道1一質點在xoy平面內運動的軌跡如圖所示，從B點離開，兩者直徑相同。有經驗的駕駛員會利用道路寬度，以最短時間勻速安全通過彎道。假設道路寬度d=12m。求最短時間（A、B點均在賽道中心線上，計算時將車輛視為質點，結果四舍五入到兩位顯著數字）
17.（10 分）兩個小球 A 和 B貝語網校，質量均為 m，半徑均為 R，垂直放置在一堵垂直墻上。如果球、墻和地面之間的摩擦力可以忽略不計，則雙球裝置很容易從墻上滑落。假設球 A 和 B 只在同一垂直平面上沿墻和地面滑動，則：
（1）球 A 在什么時候開始脫離墻壁？
（2）此時球A、B的速度分別為多少？
18.（10分）如圖所示，一個質量為m的圓環上固定有一根細桿，圓環上方放置兩個質量為m的小環，大環與小環之間無摩擦，若兩個小環同時由靜止狀態開始下滑，則；
（1）證明當m大于一定值時，大環會趨于上升；
（2）解釋當m取不同值時，大環的運動趨勢。
19.（15分）【拋物運動】2022年2月，我國在北京成功舉辦了國際冬奧會，自由式滑雪空中技巧項目的驚險難度令人驚嘆，中國選手齊廣普在本次比賽中憑借精彩表現奪得冠軍。我們從物理角度回顧一下他的運動過程：設齊廣普從左側高坡滑下，經過半徑R=10m的圓形滑道最低點A，滑上平臺B，斜向上飛行，在空中完成規定動作后落于坡面BE的D點。設齊廣普起跳后離臺最大高度h=12.8m，圓弧AB對應的圓心角θ=530，坡面BDE的傾斜角α=370，忽略一切阻力。為研究問題方便，不妨將齊廣普看作一個m=60kg的質點，則問：
（1）齊光普對A點的壓力是多少？
（2）齊光普的降落點D在哪里？
（3）齊光普在落地點D處的速度與坡度所成的夾角β為多少？
20.（15分） 如下圖所示，某軍車所受重力為G，其重心到前輪和后輪的距離分別為l1和l2，重心距地面的高度為h。 （設該車后輪采用制動，即只在后輪與路面之間產生滑動摩擦） 求：
（1）當加速度a1為多少時，前輪與后輪的壓力才相等？
（2）當加速度a2為多少時，前輪對地面的壓力達到零？
（3）汽車以加速度a3制動時，前輪和后輪上的壓力分別為多少？
（4）設后輪與路面的摩擦系數為m，則汽車制動時的加速度a4 是多少？
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參考答案及解答
1.單項選擇題：
1.A 2.D3.D 4.C 5.D 6.B
2. 多項選擇題：
7.BD 8.ACD 9.BCD 10.BD
3.非多項選擇題：
11、分析：剪斷右繩，設m1、m2對桿施加的垂直力分別為F1、F2，以m1為轉軸，輕桿受力平衡得F2=T…①方向垂直向上。
若以m2為轉軸，光桿所受力矩平衡為F1=2T…②方向垂直向下。
然后，對于 m1 和 m2，我們可以利用牛頓第二定律得到
m1g-2T=m1a1…③m2g+T=m2a2…④且a2=2a1…⑤
合并后的解為：T=m1m2g/(m1+4m2)。
12.分析如圖所示，R表示行星的半徑（包括水層），M表示行星的質量，h表示行星表面海洋的深度，r表示海洋中任意一點A到行星中心0的距離，R0表示行星內層除表面海洋外的半徑。則R>r>Ro，且R0+h=R。ρ表示水的密度，該行星表面海洋中水的總質量為：
m = 4ρπ(R3-R03)/3= 4ρπ(3R2h-3Rh2 +h3)/3 … ①
由于R>>h，公式①中h的高階項可以省略，可近似寫為：m=4πρR2h…②
根據牛頓第二定律，對于行星上的物體 m'，FN=m'an 且 N=m'g，因此 F=m'g+m'an，
由于 an 近似為 0，代入 F = GMm'/R2，我們得到均勻球體表面重力加速度的公式：g = GM/R2。因此，該行星表面海洋底部和表面的重力加速度為
GM = g 表 R2，G (Mm) = g 基 R02
根據題目，我們有 g table = g base，可以得到
M=mR2/(2Rh-h2)…③
由于R>>h，可近似認為2Rh-h2≈2Rh，則公式③可寫為：
M=mR/2h… ④
由公式④和公式②可得該行星表面的重力加速度：g = GM/R2 = 2πGρR
將G = 6.67×10-11 N·m2/kg ρ = 1./m2、R = 6.4 x106m代入公式⑤，可得
g 米 = 2.7m/s2。
解決這個問題的關鍵在于應用如下結論：對于一個均勻的球殼，其內部的物體不存在萬有引力；對于球殼外部的物體，球殼的質量可以看作集中在球心。
13.分析：設A、B對C的彈力分別為NA、NB，A、C的加速度分別為aA、aC，其中aC的兩個分量為acx、acy。
根據各物體受力分析，依據牛頓定律，可分別得出A，C。
A）F-=maA…①
B)-=MaCX…②
+–Mg=MaCy…③
由于AB的傾斜角為450，且關于C的質心對稱，B靜止不動，根據A、C之間的水平位移關系可知
aA=2aCy，aCx=aCy…④
將數值m = 8.0kg，M = 384kg，F = 2920 N代入方程組并求解：
（1）.aA=5m/s2，aC=√(aCy2 + aCy2)=3.54 m/s2。
（2）.NB=2916N，方向垂直于斜面B，指向上方。
14.
15.分析：（1）為了使物塊A、B能一起向右加速而不發生相對滑動，它們必定有一個共同的加速度a，故總的值為F=（mA+mB）a…①
設A、B之間的彈力為N，則物塊A所受的垂直力為
Ncosθ≤mAg…②
對于水平方向的B塊，Nsinθ=mBa…③
結合①②③，可求得F≤θ/mB。
即，Fm = mA(mA+mB)gtanθ/mB
（2）設塊體A、B的共同加速度為a，兩塊體間彈力的大小為N，對A、B進行臨界狀態分析，得出在A的垂直方向上Ncosθ≤mAg……④
對于水平方向的B，Nsinθ - μN0 = mBa >0 …⑤
在垂直于B方向上，N0=mBg+Ncosθ=0...⑥
結合④⑤⑥，可解出μAtanθ/(mA+mB)。
（3）當A即將離開水平面時，推力最大。根據牛頓第二運動定律，
對于 A Ncosθ=mAg …⑦
對于 BNsinθ - μ(mBg + Ncosθ ) = mBa…⑧
對于整個AB，Fm-μ(mA+mB)g=(mA+mB)a…⑨
由⑦⑧⑨可解：Fm=mA(mA+mB)g(tanθ-μ)/mB。
16.分析：（1）根據力的分析和牛頓第二運動定律，曲線1、2處的動力學方程為：
曲線 1：kmg = mv12/r1 => v1 = √kgr1 = 12m/s
第二個轉彎：kmg = mv22/r2 => v2 = √kgr2 = 18 m /s
比較v1與v2的大小，通過蜿蜒山路的最大速度為v1==12米/秒。
（2）最短路線應為過A、B點并與道路內側相切的一條圓弧，如圖所示；
設其半徑為R，則R2=r12+[R-(r1-d/2)]2，解得R=15m
新的軌道方程 kmg = mvm2/R => vm =√kgR=6√5m/s = 13.4 m/s，
又由于幾何關系 sinθ = r1/R = 0.8，可得 θ = 530，
因此，最短線路長度為 S = 2Rθ·π/1800 = 27.7 m。代入 tm = S/Vm
解答為：tm=S/Vm≈2.1s。
17
18、解析：本題類似于一個光滑的塊體從靜止狀態從一個半球的頂端滑落下來的問題。當光滑的塊體從某一位置即將離開半球時，相當于小環從這個位置對大環施加一個向上的力。設小環和大環中心連線與鉛垂線的夾角為?，則它與大環之間的彈力為N，如下圖所示。
對于小環，根據機械能守恒定律和牛頓第二定律，我們有
mgR(1-cos?)=mv2/2 …①
mgcos?-N=mv2/R…②
由①②可得N=mg(3cos?-2)…③
知道 cos??-4mcos?+M=0
解得cos?=1/3±√(1-3M/2m)…④由此式可知，當m≥3M/2時?有解，即大環有上升趨勢。證明完畢。相應有上升趨勢的大環起始位置為：?=[1/3±√(1-3M/2m)].…⑤
（2）討論：①當m=3M/2時，小環只在一個位置，由⑤可知，當?=/3=70°時，小環有向上的趨勢。
②當m>3M/2時，小環位置在一個范圍內，大環有上升趨勢，例如m=2M時，可解公式⑤為?1=/2=60o，?2=/6=80.40，即當小環滑動到?在60o與80.40之間時，大環有上升趨勢。
③當m>>M時。由公式⑤亦可求解?1=/3=48.2°，?2==900，即當?在48.2°~90°范圍內時，環有上升趨勢。
19.答：（1）設運動員在B點起跳速度為v0，由斜上拋的知識可知
θ=2gh=> v0 =20 m/s。根據機械能守恒定律，
vA2= v02 +2gR(1-cosθ) => vA = √480米/秒=4√30米/秒
運動員在A點，根據牛頓定律，NA-mg=mvA2/R=>NA =3480 N。
（2）以B點為原點，建立xoy坐標系。
軌跡方程為：y = 4x/3 - 5x2/144 …①
斜坡軌跡方程為：y = - 3x/4 … ②
結合①②，解算出著陸點坐標：
xD= 60 米；yD= -45 米。
（3）設運動員在D點的速度為vD，根據機械能守恒定律，
vD2= v02 +2g(-y) => vD= √1300米/秒=36.0米/秒
由于水平速度 v0x=v0cosθ=12 m/s 保持不變，
所以 vD 的方向為 cosΦ=v0x/vD≈ 1/3 =>Φ=/3，
=>所需β=Φ-α=/3-α。 （注：tanβ=2/3）
后記：針對問題（2）中的落點坐標（xD，yD）和問題（3）中的角度β，也可以分解討論B點的初運動。將B點沿斜坡BE方向和垂直于斜坡的方向分解初運動，則運動員沿BE方向做初速度為0的勻加速運動：a1=gsinα=6 m/s2，v1=a1t，s1=a1t2/2；沿垂直于斜坡的方向做垂直拋擲類運動：a2=gcosα=8 m/s2，v2=v0 - a2t，s2=v0t-a2t2/2；運動員空中運動時間T=2t=2v0/a2=5s，=>v1=a1T=30m/s，v2=v0-a2T=-20m/s，s1=a1T2/2=75m；因此，要求tanβ=-v2/v1=2/3；xD=s1cosα=60m，yD=-s1sinα=-45m。另外，該運動也可看作勻速v0與自由落體運動的合成，可利用矢量Δ的知識求解。
20、分析：（1）以汽車為參考系，可以簡化問題，但對于非慣性系，必須引入一個慣性力，其大小為f0=Ga1/g，方向與加速度相反。則汽車所受的力如圖A所示，
取兩輪中點為旋轉軸，SM=0，得G[(l1+l2)/2-l1]= Ga1h/g …①
解 a1 =g(l2-l1)/2h。
注：此結果說明，只有當l2>l1時，汽車加速時，前輪與后輪對地面的壓力才能一致。
（2）此時慣性力f0=Ga2/g，方向仍為水平向后。以后輪為軸，SM rear=0，得N1(l1+l2)+fh = Gl2。令N1==0一質點在xoy平面內運動的軌跡如圖所示，解得此時a3=gl2/h。
注：研究結果表明，汽車重心越高，前輪越容易離地，這不僅是卡車重心不能太高的原因，也是賽車重心做得很低的原因之一。
（3）此時慣性力水平向前，汽車受力如圖B所示，以后輪為軸，SM rear = 0，得
N1(l1+l2)=Gl2+f0h …② 將f0=Ga3/g代入②可得
N1=G（gl2+ a3 h）/g(l1+l2)…③
對于汽車，SFy=0，所以N1+N2=G，…… ④將③代入④，可得
N2 =G（gl1-a3h）/g(l1+l2),…⑤
（4）設汽車的加速度為a4，此時慣性力f0=Ga4/g，方向仍為水平向前。則根據牛頓運動定律，可得
mN2=ma4=G a4/g…⑥
結合⑤⑥，可解=> a4=mgl1/(mh+l1+l2 )。
注意：如果本題選擇地面作為參考系，那么只能選擇質心處的旋轉軸，這樣顯得比較牽強。
……超過……