拉德金斯卡婭（1922—2004）是20世紀俄羅斯最著名的女數學物理學家之一，她在偏微分方程的重要領域做出了杰出貢獻，尤其在雙曲型、橢圓型、拋物型偏微分方程、-方程和吸引子理論等領域的研究尤為突出，為俄羅斯的科技強國做出了突出貢獻。本文闡述了她的人生經歷、學術成就和深遠影響，展現了她執著的科學人生觀、追求科學卓越的精神和推動科學進步的動力。
原定于2022年7月6日至14日在俄羅斯圣彼得堡舉行的第29屆國際數學家大會，由于俄烏局勢原因，改以線上方式舉行。值得注意的是，本次國際數學家大會設立并頒發了一個新獎項——拉德金斯卡婭數學物理學獎，是為了紀念俄羅斯偉大的女數學物理學家奧爾加·亞歷山德羅夫娜·拉德金斯卡婭（Olga ）誕辰100周年，以表彰她在數學物理領域做出的杰出貢獻（圖1）。獎金為100萬盧布，不限性別、年齡，在每屆國際數學家大會上隆重頒發，獎勵在數學物理領域做出杰出貢獻的數學家。首屆拉德金斯卡婭獎頒給了吉托米爾斯卡婭教授（ ），以表彰她在準周期薛定諤算子譜理論方面的杰出貢獻。她是世界級的女性數學物理學家，但她坎坷的人生經歷和杰出的成就并不為人所知。
圖1 拉德金斯卡婭
傳
奧爾加·亞歷山德羅夫娜·拉德金斯卡婭1922年3月7日出生在莫斯科東北約300英里的科斯特羅姆地區偏遠小鎮科羅廖夫。她的父親亞歷山大（ ）是俄羅斯貴族后裔，在當地一所高中教數學。她的母親安娜來自愛沙尼亞，是一名家庭主婦。她的祖父根納迪（ ）是一名畫家。拉德金斯卡婭是三姐妹中最小的一個。她的父親雖然只是一名普通的高中老師，但他對女兒的教育非常用心。在拉德金斯卡婭8歲時，他就開始教她們數學。她天賦異稟，對數學有很強的好奇心。她非常熱情，成績進步很快，很快成為父親最優秀的學生。不久之后，父親又教她微積分。雖然家鄉偏遠，但她出生于知識分子家庭，對外界有著更廣泛和更深刻的文化理解。 1937年10月，不幸降臨到15歲的拉德金斯卡婭一家身上。她的父親在政治“大清洗”中被內務人民委員部（NKVD，克格勃前身）以“國家敵人”的罪名逮捕，隨后未經審判就被槍決。父親的政治動蕩讓這個家庭陷入了20多年的困境，只能靠母親和姐姐們親手制作衣服、鞋子、肥皂等生活用品。直到1956年，父親的冤案才因“缺乏犯罪證據”而被正式宣告無罪。那時，拉德金斯卡婭已經34歲了。
1939年，拉德金斯卡婭以優異的成績從科羅廖夫中學畢業，前往列寧格勒（現圣彼得堡）繼續學業。但由于父親的犯罪，她被禁止進入蘇聯最負盛名的大學，只好在二流的波克羅夫斯基師范學院學習了兩年，但因二戰被迫離開列寧格勒。1941年秋天，她來到戈羅德鎮的一家孤兒院任教，次年春天搬回家鄉接替父親的職位，她不僅在學校擔任數學老師，還在家里為對數學感興趣的學生免費輔導。
1943年，經過一番努力，拉德金斯卡婭終于得到了回報。她的事跡感動了一位學生的家長，在家長的熱情幫助下，她回到莫斯科，說服莫斯科大學校長讓她擔任數學力學系的教授。在那里，她獲得了斯大林獎學金和勞動配給卡。沒有這些，她根本活不下去。這時，拉德金斯卡婭的數學天賦終于發揮出來了。最初，她研究代數、數論，后來轉向偏微分方程，深受數學家伊萬·彼得羅夫斯基、大衛·希爾伯特和庫朗的經典著作《數學物理方法II》的影響。羅斯托夫斯基主要研究偏微分方程，對希爾伯特第19和第16問題做出了重大貢獻。當時莫斯科大學的數學討論會十分常見，拉德金斯卡婭是這些討論會的積極參與者，特別是數學家斯捷潘諾夫、彼得羅夫斯基、吉洪諾夫等人的討論會。其中，伊利亞·維庫亞組織的微分方程討論會和泛函分析大師蓋爾凡德組織的分析討論會最具影響力。20世紀80年代，她親自組織了一次關于偏微分方程理論的青年討論會，并說服彼得羅夫斯基的一名學生梅什基斯與她一同前往，邀請彼得羅夫斯基主持討論會。斯基不僅主持了這次討論會，后來還邀請自己的朋友和同事參加拉德金斯卡婭組織的常年討論會，并解答相關問題，提出一些建設性的建議。
1947年，拉德金斯卡婭從莫斯科大學畢業后與同學安基謝列夫結婚，隨丈夫再次搬到列寧格勒，在莫斯科大學的大力推薦下，成為圣彼得堡國立大學數學和力學教授。她在數學系讀研究生，師從數學家索博列夫（ ）和斯米爾諾夫（ ）。從此她的數學生涯開始走上正軌。索博列夫是數學分析和偏微分方程方面的大師，奧爾加是數學物理方程邊界值問題討論會的核心成員，后來成為組織者直至逝世。斯米爾諾夫是地震學、流體力學和空氣動力學方面的專家，后來，拉德金斯卡婭一直與其在流體力學方面保持著合作關系。
1949年，拉德金斯卡婭獲得博士學位后，留在數學力學系任教。次年，她調至物理系擔任講師。1954年，她晉升為副教授，1956年，她晉升為正教授。她在微分方程、流體力學等領域做出了一系列創造性的貢獻。由于拉德金斯卡婭年輕時就決心將自己的一生獻給數學，因此她決定不要孩子，因為她覺得孩子可能會成為阻礙。這個想法導致她與丈夫發生了嚴重分歧，最終導致兩人婚姻破裂。她終身未婚，沒有留下孩子，將自己的一生奉獻給了她熱愛的數學。
由于語言、文化、政治體制等一系列復雜的原因，拉金斯卡婭直到晚年才被允許出國參加學術會議。1958年在英國愛丁堡舉行的國際數學家大會上，她首次出國，并被提名菲爾茲獎，但未能成為第一位獲此殊榮的女數學家，這在數學史上是一個遺憾。她再次出國，是30年后的事了。晚年的她與歐拉類似，患有嚴重的眼疾，需要借助帶燈的特殊鉛筆才能看清字跡。2004年初，她計劃去美國佛羅里達州參加學術會議，并為此準備了一篇水力學分析論文。但就在出發前兩天，她在圣彼得堡的家中睡夢中安詳離世，享年82歲。
學術成就
拉德金斯卡婭一生著作頗豐，有論文250余篇，著作7部，教材1部。她在偏微分方程方面的研究涉及許多重要領域，與她的老師和學生一起為偏微分方程領域做出了巨大貢獻，為微分方程的發展做出了基礎性貢獻，成為國際數學界一支非常重要的力量。她的數學成就主要體現在以下幾個方面。
有限差分法和雙曲偏微分方程
拉德金斯卡婭對雙曲偏微分方程的研究始于博士學習期間。在她1949年完成的博士論文中，她發展了線性和擬線性雙曲偏微分方程的有限差分算法。她在索博列夫空間網格上模擬了周期函數的傅里葉展開，并通過估計逼近誤差證明了當網格步長趨于零時算法的收斂性；她將有限差分法推廣到其他數學領域，并證明了包括具有時變系數的雙曲偏微分方程的穩定性。她還在擬線性雙曲偏微分方程組上找到了彼得羅夫斯基問題的局部唯一解的存在性，給出了全新的簡化證明。
博士畢業后，拉德金斯卡婭繼續研究二階線性雙曲偏微分方程的初邊值問題。她清晰地論證了傅氏方法，詳細研究了一般的對稱二階橢圓偏微分方程。她在索博列夫空間有界域上發展了特征函數的級數展開，找到了利用狄利克雷邊界條件描述橢圓偏微分方程閉包域的方法，該方法以她的名字命名。她的工作對偏微分方程，包括譜理論，產生了重要的影響，使初邊值問題的弱解成為數學物理中的一個重要概念。索博列夫空間中各類偏微分方程初邊值問題弱解的思想、理論和方法構成了數學物理方程數值算法最重要的理論基礎。此外，她在1951年的任教資格論文中研究了一般二階雙曲偏微分方程混合邊值問題解的規律性，并給出了此類方程古典解的嚴格公式。她出版了第一本俄語專著《雙曲方程的混合》，2008年總結了上述結果。
橢圓和拋物型擬線性偏微分方程
拉德金斯卡婭長期從事線性和擬線性橢圓型和拋物型偏微分方程解的存在性和唯一性的研究，并在此領域取得了一系列重大研究成果，這些成果基本都是和她的合作者一起完成的。1964年，她與學生尼娜·烏拉爾采娃出版了《線性和擬線性橢圓方程》（《和》）；1967年，她與烏拉爾采娃和索洛尼科夫（ ）及其兩名學生合作出版了《線性和擬線性拋物型方程》（《和》）。這兩本書提供了發散形式的擬線性方程的完整理論，特別是解決了自然界中的線性方程問題。它們展示了增長約束下經典邊值問題的全局可解性，這些內容現在已成為《偏微分方程》等教科書的標準內容。特別是，他們證明了自然增長約束下高維變分弱極值的正則化，被積函數的性質完全由被積函數的光滑性決定。這個結論在某種意義上結束了希爾伯特19、20世紀二階方程問題的研究。此外，他們還研究了幾類具有對角主成分和平方梯度的擬線性系統，證明了標量散度系統的性質，為流形調和映射的研究提供了新的方向。2005年，阿貝爾獎獲得者、諾貝爾獎獲得者美國數學家彼得·拉克斯評價兩本書“包含了許多關于橢圓和拋物方程解的估計的深刻結果。作者大大拓展了伯恩斯坦（）和喬治·（恩尼奧·德·）、莫澤、約翰·納什的思想，他們是該領域基礎知識的源泉。”
拉德金斯卡婭還在一大類非均勻橢圓算子（如平均曲率算子）方程的解方面給出了一系列重要的研究結果，同時她還與伊沃金娜（Nina）合作，在幾何領域做出了巨大的成就。1994-1997年他們發表了一系列關于拋物型非線性方程第一初邊值問題的整體經典可解性的重要結果，這些方程描述了由未知曲面或其主曲率的對稱函數生成的方程流。
流體力學和納維-斯托克斯方程
拉德金斯卡婭是現代流體力學數學理論的奠基人之一，他的研究范圍包括彈性力學方程、薛定諤方程、線性化的納維-斯托克斯方程以及麥克斯韋方程。他尤其在納維-斯托克斯方程的研究中取得了巨大成就，發表了一系列重要成果。納維-斯托克斯方程是由物理學家路易斯·納維和斯托克斯分別在1921年和1945年提出的留學之路，該問題以他們分別推導出來的亞歷克斯爵士的名字命名。2000年5月24日，美國克雷數學研究所把它列為千禧年七大數學難題之一。給定一個空間和時間中的起始速度場，存在一個矢量速度場和一個標量壓力場，它們是納維-斯托克斯方程的解，其中速度場和壓力場必須滿足光滑和全局定義。科學家們希望找到-方程的通解，也就是證明方程總有一個解存在。一組難以用數學理論解釋的方程，而且還要證明這個方程的解總存在，使得很多科學家絞盡腦汁，被稱為最難的數學物理公式。任斯卡婭從二維穩態斯托克斯方程開始研究，取得了一系列的研究成果，1958年她在蘇聯科學院院刊上發表了一篇非常重要的論文，證明了二維-方程初邊值問題的全局唯一可解性。同時，她還給出了-方程的數值解和算法收斂性的證明。為力學領域引入了很多新穎、有趣的課題，這些重大成果都總結在她于1961年出版的專著《粘性不可壓縮流的數學理論》（The of Flow）中，這本書后來成為該領域的經典之作。
三維-方程研究起來非常困難，現為七大千年難題之一。1967年，拉德金斯卡婭證明了在Leray-Hopf意義下可以解的弱解的唯一性條件和正則性。這一結論為尋找合適的泛函類使得-方程初值問題全局唯一可解奠定了重要基礎。此外，她還研究了對三維-速度場進行修改，允許在某些區域有較大的波動。這個修改后的方程后來被稱為“拉德金斯卡婭方程”。她證明了這個方程，并應邀在1966年的莫斯科世界數學家大會上報告了這個“漂亮”的結果。
由于三維非穩態-方程過于困難，自之后研究進展幾乎停滯，直到2015年，美籍華人 Tao發表了一篇關于三維-方程的文章，該文主要目的是形式化-方程全局正則性問題的超臨界態勢壘，簡單來說就是抽象地建立-方程。由于方程的全局正則性是不可能的，因此構造了一個類似于-方程的反例，但不是原始的-方程。
偏微分方程的吸引子理論
拉德金斯卡婭在研究二維-方程的初邊值問題時推導出半群的概念，她證明了解算子在每個固定時刻在相空間中都是緊致算子，她對無限維相空間取一個交點，并證明了這個交點是非空的、緊致的、并且是相空間的任意有界子集，她把這個交點稱為全局最小吸引子，她發現這個交點具有許多有趣的有限維性質，如一定的不變性和有限維數、時間在負方向上的可逆性，特別是拋物線型耗散問題，從而開辟了偏微分方程理論的新方向，即大尺度穩定性理論和偏微分方程的吸引子理論。她建立了算子半群和二維-方程的聯系，并給出了吸引子維數和分數維的精確估計。這些結果總結在她1991年出版的專著《半群的吸引子和發展方程》（“for and”）中。
深遠影響
拉德金斯卡婭是現代偏微分方程理論的創始人，她與她的老師和學生一起創建了自己的偏微分方程學派，成為國際數學界一股重要而強大的力量。真正的數學大師不僅要能解決數學問題，而且要能提出新的問題和方法。她提出了廣義解、弱解和廣義模擬等著名的基本概念，微分算子的譜理論、衍射理論、雙曲函數，她和她的合作者在擬線性橢圓和拋物方程邊值問題的發展方面取得了重要進展，發展了二階拋物和橢圓擬線性方程一大類邊值問題解的正則性理論女性物理學家論文，從而解決了希爾伯特著名的19和20世紀問題。
拉德任斯卡婭還是現代流體力學理論的奠基人。她于1961年出版的專著《粘性不可壓縮流的數學理論》是該領域必讀的經典著作女性物理學家論文，已被譯成多種文字。她是流體力學中偏微分方程，尤其是-方程的“寵兒”，是第一個證明二維-方程初邊值問題全局唯一性的人，還給出了一系列三維解的唯一定理，是最接近解決這一千年數學難題的人。直到現在，三維空間中的全局可解性仍然是一個懸而未決的問題。德任斯卡婭還在二維-方程系統中引入了吸引子的概念并證明了它們的存在性，從而開辟了演化偏微分方程理論的一個新領域，即大尺度穩定性理論。
在做出杰出貢獻的同時，拉德金斯卡婭還十分注重年輕人的培養和學術組織的發展。她天生具有人格魅力，講課清晰精妙，內容嫻熟通俗易懂。她幫助初學者，善于以明珠暗投的方式甄別珍珠，并討論他們感興趣的問題。從1947年開始，她和蘇聯科學院院士斯米爾諾夫組織了每周一次的數學物理研討會，一直延續至今，參加者包括許多著名數學家。她一直領導這個研討會直到生命的最后幾天，培養了一大批非常優秀的科學家，如烏拉爾佐娃、索洛尼科夫等，他們如今都是圣彼得堡國立大學乃至世界數學物理學術界的領軍人物和中堅力量。
正如國際數學聯合會在設立拉德金斯卡婭數學物理學獎的理由中所說：“拉德金斯卡婭在圣彼得堡、俄羅斯乃至世界數學和數學物理史上占有十分重要的地位。她奠定了現代數學物理學偏微分方程理論的基礎。通過她的講座、研討會和學生，她激發了數學物理學許多其他分支的非凡進步，包括量子場論和統計物理學。”
作者簡介：程小紅，首都師范大學小學教育學院副教授，研究領域為世界數學史。