師范大學理學院學報 第35卷第10期 2015年10月 文章號：1007-9831 (2015) 10-0041-04 萬有引力定律的積分形式及其應用 潘云文 (重慶交通大學河海學院，重慶) 摘要：萬有引力定律是建立在粒子理想模型上的，因此在應用于計算時，通常要求施力物體和受力物體都能看作是粒子，這不僅給實際物體上引力的計算帶來困難，而且難以滿足理論認識的需要。通過對引力場和靜電場的類比分析，引入引力強度和引力線的概念，提出應用范圍更廣的萬有引力定律的積分形式，并給出其相應的應用實例。關鍵詞：萬有引力定律；類比分析；積分形式 中圖分類號：O413.2 文獻標識碼：Adoi: 10.3969/j. issn. 1007-9831. 2015. 10. -wen(,,,中國):,． ,'.
，，e，。 ：；；庫侖定律與萬有引力定律的相似性早已被人們注意到[1-7]，但通常的認識只是對它們的表現形式、適用條件、計算方法等進行描述性比較，這不僅阻礙了學科的發展，也阻礙了認識的深化。因此，有必要對萬有引力場與靜電場的相似性進行更深入的研究。 1 類比分析 對于靜電場，目前已建立了完整的理論，其中包括庫侖定理（1）高斯定律（2）靜電場環路定律 收稿日期：2015-08-27 作者簡介：潘云文(1989-)，男，云南曲靖人萬有引力定律公式，碩士生，主要從事水力學、河流動力學研究。 E-mail:@高師科學雜志第35卷d0LEl（3）式充分表述了靜電場的性質。式中：eF為電場力；1q、2q為點電荷的電荷數；r為徑向矢量；iq為封閉曲面S內所有電荷的代數和；0為真空的介電常數；E為電場強度。萬有引力定律g與公式（1）不僅在形式上十分相似，而且適用對象和計算方法也很相似。在物理學中，質量m和電荷q是不同的物理量，但質量m之于萬有引力場的位置就如同電荷q之于靜電場的位置一樣。由于萬有引力Fg與電場力Fe屬于同一概念，都是物質的相互作用，且滿足gFam，eFEq，引力強度a與電場強度E處于同一位置。基于場的思想[8]（把物理量看作空間坐標的連續函數），在引力場中引入引力強度（空間某點處單位質量的質點所受到的引力）和引力線（引力線上任一點的切線方向與該點引力強度方向一致）的概念，并規定：在引力場中，任一點附近穿過單位面積的引力線數目等于該點引力強度的大小（即引力線密度Δ0limΔsNaS，其中N為穿過該點附近單位面積的引力線數目）。然后，用與靜電場的研究方法[9]同樣的方式來研究引力場，將引力定律(4)式中：有向閉合曲面S的外法線方向取正；G為引力常數；im為閉合曲面S內部物質的質量；“”表示引力強度方向與閉合曲面外法線方向相反。同時，引出引力場環路定律0dLa l(5)。至此，萬有引力定律、萬有引力定律積分形式（4）和引力場環路定律（5）可以積分形成一組類似于靜電場基本定律（1）、（2）、（3）的方程組（6）來描述萬有引力場的性質。萬有引力場基本方程1 23id 4πd 0LSm mF G rra S Gma l g (6)2 萬有引力定律積分形式的應用實例2。
1 應用例1 設粒子A、B的質量分別為1M、2M，距離為R，求粒子A對粒子B的引力（見圖1）。過點A、過點B作一個球體S，由球體的對稱性可知，球面上任一點的引力大小相等，且方向沿半徑指向球心。由萬有引力定律的積分形式id4πSaSGm可得214π4πaRGM所以，方向是由B點到A點。圖1例1計算示意圖第10期潘韻文：萬有引力定律的積分形式及其應用43又因為2FMag，所以，方向是由B點到A點。2.2應用例2設一個質量分布均勻的球體的密度為，半徑為0R。計算球內外某點的引力強度（見圖2）。首先計算球內A點的引力強度。取O點為球心，作一個過A點，半徑為1R的球面1S。由球的對稱性可知萬有引力定律公式，球上任一點的引力強度都是相等的，方向沿半徑指向球心。由萬有引力定律的積分形式id4πSaSGm可得π4ππ3aRGR所以14π3aRG，方向沿半徑指向球心O。然后計算球外B點的引力強度。以點O為圓心，以2R為半徑，過B點作一個球面2S，同理可得2 32 044π 4π π3a RGR 因此有30224π3Ra GR ，且方向沿半徑指向球心點O點。2.
3 應用例3 設質量分布均勻的無限大平面S的面密度為，計算該平面對其外某一粒子C的萬有引力（見圖3）。構造一個通過C、關于平面對稱的封閉圓柱面；圓柱左、右底面的面積分別為1S和3S（其中1S=3S），側面的面積為2S。由對稱性可知，左、右底面上任一點的引力強度大小相等，且方向與對應底面內法線方向一致；側面上任一點的引力強度方向與側面外法線方向垂直。由萬有引力定律的積分形式id4πSaSGm可得1124πaSGS所以2πaG網校頭條，方向與右底面C點內法線方向一致。所以有g2πFmamG，其方向與右底面C點內法線方向一致。2.4 應用例4 設一根質量分布均勻的無限長細桿的線密度為，計算細桿對其外部一個質量為m的粒子D的引力（見圖4）。以細桿為軸，作一個過點D的封閉圓柱面；圓柱面長度為L，左、右底面面積分別為1S和3S（其中1S=3S），側面面積為2S。由對稱性可知，左、右底面上任一點的引力強度都垂直于底面外法線方向；側面上任一點的引力強度都與側面內法線大小相等、方向一致。由萬有引力定律的積分形式id4πSaSGm可得2π4πaRLGL，方向與側面D點處內法線方向一致。因此，g2mGF maR ，方向與邊上D點內部法線方向一致。（轉第47頁）圖3 例3計算圖圖2 例2計算圖圖4 例4計算圖第十期寧先平：BIM技術助力工程項目精細化管理實證研究47 復雜建模的工作量大大提升。3 BIM技術應用效果在建設方主導下，將建設方工作前移，打破設計與施工界限，參與建設的各方運用BIM技術開展項目管理，取得顯著成效。通過優化設計方案，與基線方案相比，年能耗降低18.2%；通過提前進行碰撞檢查，設計變更量大大減少，變更結算費僅占合同價的6.6%，與傳統管理模式相比，減少了40%的設計變更量。