師范大學(xué)理學(xué)院學(xué)報(bào) 第35卷第10期 2015年10月 文章號(hào)：1007-9831 (2015) 10-0041-04 萬有引力定律的積分形式及其應(yīng)用 潘云文 (重慶交通大學(xué)河海學(xué)院，重慶) 摘要：萬有引力定律是建立在粒子理想模型上的，因此在應(yīng)用于計(jì)算時(shí)，通常要求施力物體和受力物體都能看作是粒子，這不僅給實(shí)際物體上引力的計(jì)算帶來困難，而且難以滿足理論認(rèn)識(shí)的需要。通過對(duì)引力場和靜電場的類比分析，引入引力強(qiáng)度和引力線的概念，提出應(yīng)用范圍更廣的萬有引力定律的積分形式，并給出其相應(yīng)的應(yīng)用實(shí)例。關(guān)鍵詞：萬有引力定律；類比分析；積分形式 中圖分類號(hào)：O413.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：Adoi: 10.3969/j. issn. 1007-9831. 2015. 10. -wen(,,,中國):,． ,'.
，，e，。 ：；；庫侖定律與萬有引力定律的相似性早已被人們注意到[1-7]，但通常的認(rèn)識(shí)只是對(duì)它們的表現(xiàn)形式、適用條件、計(jì)算方法等進(jìn)行描述性比較，這不僅阻礙了學(xué)科的發(fā)展，也阻礙了認(rèn)識(shí)的深化。因此，有必要對(duì)萬有引力場與靜電場的相似性進(jìn)行更深入的研究。 1 類比分析 對(duì)于靜電場，目前已建立了完整的理論，其中包括庫侖定理（1）高斯定律（2）靜電場環(huán)路定律 收稿日期：2015-08-27 作者簡介：潘云文(1989-)，男，云南曲靖人萬有引力定律公式，碩士生，主要從事水力學(xué)、河流動(dòng)力學(xué)研究。 E-mail:@高師科學(xué)雜志第35卷d0LEl（3）式充分表述了靜電場的性質(zhì)。式中：eF為電場力；1q、2q為點(diǎn)電荷的電荷數(shù)；r為徑向矢量；iq為封閉曲面S內(nèi)所有電荷的代數(shù)和；0為真空的介電常數(shù)；E為電場強(qiáng)度。萬有引力定律g與公式（1）不僅在形式上十分相似，而且適用對(duì)象和計(jì)算方法也很相似。在物理學(xué)中，質(zhì)量m和電荷q是不同的物理量，但質(zhì)量m之于萬有引力場的位置就如同電荷q之于靜電場的位置一樣。由于萬有引力Fg與電場力Fe屬于同一概念，都是物質(zhì)的相互作用，且滿足gFam，eFEq，引力強(qiáng)度a與電場強(qiáng)度E處于同一位置。基于場的思想[8]（把物理量看作空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)），在引力場中引入引力強(qiáng)度（空間某點(diǎn)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)所受到的引力）和引力線（引力線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)引力強(qiáng)度方向一致）的概念，并規(guī)定：在引力場中，任一點(diǎn)附近穿過單位面積的引力線數(shù)目等于該點(diǎn)引力強(qiáng)度的大小（即引力線密度Δ0limΔsNaS，其中N為穿過該點(diǎn)附近單位面積的引力線數(shù)目）。然后，用與靜電場的研究方法[9]同樣的方式來研究引力場，將引力定律(4)式中：有向閉合曲面S的外法線方向取正；G為引力常數(shù)；im為閉合曲面S內(nèi)部物質(zhì)的質(zhì)量；“”表示引力強(qiáng)度方向與閉合曲面外法線方向相反。同時(shí)，引出引力場環(huán)路定律0dLa l(5)。至此，萬有引力定律、萬有引力定律積分形式（4）和引力場環(huán)路定律（5）可以積分形成一組類似于靜電場基本定律（1）、（2）、（3）的方程組（6）來描述萬有引力場的性質(zhì)。萬有引力場基本方程1 23id 4πd 0LSm mF G rra S Gma l g (6)2 萬有引力定律積分形式的應(yīng)用實(shí)例2。
1 應(yīng)用例1 設(shè)粒子A、B的質(zhì)量分別為1M、2M，距離為R，求粒子A對(duì)粒子B的引力（見圖1）。過點(diǎn)A、過點(diǎn)B作一個(gè)球體S，由球體的對(duì)稱性可知，球面上任一點(diǎn)的引力大小相等，且方向沿半徑指向球心。由萬有引力定律的積分形式id4πSaSGm可得214π4πaRGM所以，方向是由B點(diǎn)到A點(diǎn)。圖1例1計(jì)算示意圖第10期潘韻文：萬有引力定律的積分形式及其應(yīng)用43又因?yàn)?FMag，所以，方向是由B點(diǎn)到A點(diǎn)。2.2應(yīng)用例2設(shè)一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體的密度為，半徑為0R。計(jì)算球內(nèi)外某點(diǎn)的引力強(qiáng)度（見圖2）。首先計(jì)算球內(nèi)A點(diǎn)的引力強(qiáng)度。取O點(diǎn)為球心，作一個(gè)過A點(diǎn)，半徑為1R的球面1S。由球的對(duì)稱性可知萬有引力定律公式，球上任一點(diǎn)的引力強(qiáng)度都是相等的，方向沿半徑指向球心。由萬有引力定律的積分形式id4πSaSGm可得π4ππ3aRGR所以14π3aRG，方向沿半徑指向球心O。然后計(jì)算球外B點(diǎn)的引力強(qiáng)度。以點(diǎn)O為圓心，以2R為半徑，過B點(diǎn)作一個(gè)球面2S，同理可得2 32 044π 4π π3a RGR 因此有30224π3Ra GR ，且方向沿半徑指向球心點(diǎn)O點(diǎn)。2.
3 應(yīng)用例3 設(shè)質(zhì)量分布均勻的無限大平面S的面密度為，計(jì)算該平面對(duì)其外某一粒子C的萬有引力（見圖3）。構(gòu)造一個(gè)通過C、關(guān)于平面對(duì)稱的封閉圓柱面；圓柱左、右底面的面積分別為1S和3S（其中1S=3S），側(cè)面的面積為2S。由對(duì)稱性可知，左、右底面上任一點(diǎn)的引力強(qiáng)度大小相等，且方向與對(duì)應(yīng)底面內(nèi)法線方向一致；側(cè)面上任一點(diǎn)的引力強(qiáng)度方向與側(cè)面外法線方向垂直。由萬有引力定律的積分形式id4πSaSGm可得1124πaSGS所以2πaG網(wǎng)校頭條，方向與右底面C點(diǎn)內(nèi)法線方向一致。所以有g(shù)2πFmamG，其方向與右底面C點(diǎn)內(nèi)法線方向一致。2.4 應(yīng)用例4 設(shè)一根質(zhì)量分布均勻的無限長細(xì)桿的線密度為，計(jì)算細(xì)桿對(duì)其外部一個(gè)質(zhì)量為m的粒子D的引力（見圖4）。以細(xì)桿為軸，作一個(gè)過點(diǎn)D的封閉圓柱面；圓柱面長度為L，左、右底面面積分別為1S和3S（其中1S=3S），側(cè)面面積為2S。由對(duì)稱性可知，左、右底面上任一點(diǎn)的引力強(qiáng)度都垂直于底面外法線方向；側(cè)面上任一點(diǎn)的引力強(qiáng)度都與側(cè)面內(nèi)法線大小相等、方向一致。由萬有引力定律的積分形式id4πSaSGm可得2π4πaRLGL，方向與側(cè)面D點(diǎn)處內(nèi)法線方向一致。因此，g2mGF maR ，方向與邊上D點(diǎn)內(nèi)部法線方向一致。（轉(zhuǎn)第47頁）圖3 例3計(jì)算圖圖2 例2計(jì)算圖圖4 例4計(jì)算圖第十期寧先平：BIM技術(shù)助力工程項(xiàng)目精細(xì)化管理實(shí)證研究47 復(fù)雜建模的工作量大大提升。3 BIM技術(shù)應(yīng)用效果在建設(shè)方主導(dǎo)下，將建設(shè)方工作前移，打破設(shè)計(jì)與施工界限，參與建設(shè)的各方運(yùn)用BIM技術(shù)開展項(xiàng)目管理，取得顯著成效。通過優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，與基線方案相比，年能耗降低18.2%；通過提前進(jìn)行碰撞檢查，設(shè)計(jì)變更量大大減少，變更結(jié)算費(fèi)僅占合同價(jià)的6.6%，與傳統(tǒng)管理模式相比，減少了40%的設(shè)計(jì)變更量。