概述
“開普勒第三定律”是德國天文學家開普勒提出的行星運動三定律之一。文字表述為：對每顆繞太陽以橢圓軌道運行的行星，其軌道半長軸的立方與公轉(zhuǎn)周期的平方成正比，這個比值稱為開普勒常數(shù)。開普勒借助同事第谷·布拉赫觀測到的數(shù)據(jù)，總結(jié)出了行星運動的三定律。其中第三定律是開普勒在1618年專著《世界的和諧》中首次提出的，又稱“和諧定律”，是三定律中最晚提出的。開普勒的三定律分別稱為軌道定律、等面積定律和周期定律。第三定律就是周期定律。這條定律為后來英國物理學家牛頓提出萬有引力定律奠定了非常重要的實驗觀測基礎(chǔ)。
發(fā)現(xiàn)背景
1600年開普勒第三定律推導，開普勒成為天文學家第谷·布拉赫的助手，在布拉格天文臺工作。次年，第谷去世，開普勒繼任他，成為神圣羅馬帝國的皇家數(shù)學家。同時，開普勒還接管了第谷留下的天文觀測資料。數(shù)學天才開普勒把第谷精確的天文觀測數(shù)據(jù)總結(jié)成三條簡單的定律，即開普勒三定律。前兩條定律是開普勒在1609年發(fā)表的《新天文學》中提出的。近十年后，他在1618年發(fā)表的《世界的和諧》中提出了第三條定律。[1]
開普勒第一定律指出，行星繞太陽運行的軌道是一個接近于圓的封閉橢圓，太陽位于橢圓的一個焦點上。
第二定律指出，行星和太陽的連線在單位時間內(nèi)掃過一個恒定的面積。
第三定律指出，對于每個繞太陽運行的橢圓軌道的行星，軌道半長軸的立方與軌道周期的平方成正比。
行星運動三大定律雖然都是開普勒總結(jié)提出的，但也離不開第谷精確的觀測數(shù)據(jù)，準確的實驗觀測是獲得正確定律的基礎(chǔ)。
數(shù)學表達式
行星繞太陽運轉(zhuǎn)的橢圓軌道半長軸為a，公轉(zhuǎn)周期為T。則對于每顆行星，
這里的K是一個常數(shù)，稱為開普勒常數(shù)，與太陽的質(zhì)量有關(guān)。
萬有引力定律的基礎(chǔ)
開普勒第三定律是描述太陽與行星之間相對運動規(guī)律的實驗定律，從這個定律我們可以找到其背后太陽與行星之間相互作用的定律，也就是萬有引力定律。
當行星繞太陽公轉(zhuǎn)時，向心力
其中m為行星質(zhì)量，r為行星半徑，T為運動周期。圓形軌道是一種特殊的橢圓軌道，也滿足開普勒第三定律，因此上式為
這個向心力是由重力提供的，所以重力也符合上面的公式，即與質(zhì)量成正比，與距離的平方成反比。
由牛頓第三定律可知，引力也應與另一物體的質(zhì)量m'成比例，比例系數(shù)設(shè)為G。這就是牛頓萬有引力定律的表達。
現(xiàn)在我們可以看出，開普勒第三定律是萬有引力定律獲得過程中的重要一步。牛頓在這一過程中的工作是得到向心力公式，并將地球表面附近的引力與太陽和恒星之間的引力聯(lián)系起來。
法律證明
同樣，開普勒第三定律作為行星的運動定律，是行星與太陽引力作用的結(jié)果，也應該由萬有引力定律推導出來。但與3不同，必須得到開普勒第三定律的一般情況，即橢圓軌道，而不是僅僅討論圓形軌道的情況。
根據(jù)開普勒第二定律，太陽與行星連線單位時間內(nèi)掃過的面積是恒定的。因此行星運動的周期為
其中S為軌道橢圓面積，a、b分別為軌道半長軸和半短軸開普勒第三定律推導，r、v、L分別為行星以太陽為參考點的位置矢量、速度、角動量。由于L與T或a有關(guān)，因此通過近日點和遠日點的角動量和能量守恒，可以得到包含L的能量守恒方程，并解出L與a或T的關(guān)系。
從萬有引力公式網(wǎng)校頭條，我們可以得到引力勢
近日點為r=ac，c為橢圓焦距。勢能為
動能
v 的方向垂直于 r，因此可以寫成
機械能是動能與勢能的總和
類似地，寫出遠日點的機械能。根據(jù)機械能守恒定律
解決方案必須
利用橢圓的性質(zhì)
將 L 的表達式代入周期公式，我們得到
等號右邊只與太陽的質(zhì)量有關(guān)，也就是開普勒常數(shù)，證明了開普勒第三定律。
適用范圍
開普勒定律的原始表述都是描述太陽系中行星的運動，因為當時開普勒所掌握的實驗數(shù)據(jù)主要針對這些行星。但在知道萬有引力定律之后，人們才意識到這三條定律是普適的，與太陽本身的性質(zhì)無關(guān)，也適用于其他恒星系統(tǒng)。只不過第三定律中的比例系數(shù)——開普勒常數(shù)中的質(zhì)量需要修正為對應的恒星質(zhì)量。
開普勒定律是二體問題的結(jié)果，即忽略其他天體對行星運動的影響。事實上，行星附近的其他天體會對行星的運動產(chǎn)生影響，這與開普勒定律不一致。
另外，開普勒定律并不是在所有天體系統(tǒng)中都適用，只有當兩個天體的質(zhì)量相差很大，運動速度較小時，質(zhì)量較大的天體才可以近似認為是靜止的，開普勒定律才適用。如果兩個天體的質(zhì)量相近，即雙星系統(tǒng)，各行星運動的軌跡并不是橢圓，但用分析力學中的約化質(zhì)量法可以得到符合開普勒定律的抽象質(zhì)點運動。如果質(zhì)量較小的天體運動速度過快，可能會出現(xiàn)拋物線甚至雙曲線軌道，這仍然符合牛頓萬有引力定律，但不符合開普勒定律。 如果速度進一步增大，或者天體的質(zhì)量和密度很大，就必須考慮相對論效應，牛頓萬有引力定律就失效了，開普勒定律自然也不適用。
參考文獻，的定律，/wiki/%，最后修訂于2018年8月15日 趙開華等，《新概念物理教程.力學》，高等教育出版社，2004年7月 梁昆淼，《力學.第2卷，理論力學》，高等教育出版社，2009年7月