第二章流體靜力學(xué)
提問：1、粘性
2、作用在流體上的力：
一、教學(xué)目的和任務(wù)
本次課是流體熱學(xué)的基礎(chǔ)，是流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的最基本理論。為此，必須組織好教學(xué)內(nèi)容，采用恰當(dāng)?shù)氖侄魏图记伞?span style="display:none">cE4物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
1、教學(xué)目的
（1）通過剖析流體靜力學(xué)多項(xiàng)式，使中學(xué)生構(gòu)建起水頭的概念，為流體動(dòng)力學(xué)完善基礎(chǔ)。
（2）通過實(shí)例剖析，說明流體對固體壁面斥力的估算和應(yīng)用。
2、教學(xué)任務(wù)
（1）理解和把握流體靜壓強(qiáng)及其特點(diǎn)；
（2）了解流體平衡微分方程式，理解其數(shù)學(xué)意義；
（3）把握流體的絕對和相對平衡；
（4）把握流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律及點(diǎn)浮力的估算（借助等壓面），把握流體靜壓強(qiáng)的量
測和表示方式；
（5）熟練把握作用于平面壁和曲面壁上流體總壓力的估算。
3、重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：靜壓強(qiáng)及其特點(diǎn)，點(diǎn)浮力的估算，靜壓強(qiáng)分布圖，壓力體圖，作用于平面上的流體總壓力，作用于曲面上的流體總壓力。
難點(diǎn)：復(fù)雜情況點(diǎn)浮力的估算（借助等壓面），壓力體圖，作用于曲面上的流體總壓力。1）你曉得有什么測壓儀表，它們的主要區(qū)別是哪些？
2）怎樣借助測壓管檢測靜止液體中任意一點(diǎn)的浮力？
p及基準(zhǔn)面改變時(shí)，對任意兩點(diǎn)的位3）結(jié)合掛圖及測壓儀表實(shí)物，當(dāng)液面壓力
置
水頭及浮力水頭各有哪些影響？
4）相對平衡浮力分布規(guī)律、等壓面形狀與靜平衡的優(yōu)缺點(diǎn)。
4、能力培養(yǎng)：
1、了解各類測壓儀表的構(gòu)造、原理、測壓范圍及應(yīng)用；
2、學(xué)會等壓面的判定及應(yīng)用。
3、了解相對平衡原理在工程中的應(yīng)用
4、培養(yǎng)中學(xué)生科學(xué)思維及動(dòng)手能力
過程：
班主任：提問、講解、示范、解答中學(xué)生提出的問題。
中學(xué)生：聽講、觀察、提問、操作、回答班主任提出的問題。
注意事項(xiàng)：
1、組織好中學(xué)生，要講的內(nèi)容集中講解，中學(xué)生動(dòng)手內(nèi)容分組進(jìn)行；
2、注意形式、方法，要機(jī)動(dòng)靈活，隨機(jī)應(yīng)變；
3、多用通感式語調(diào)，停頓一會兒，給中學(xué)生足夠的思索時(shí)間；
4、在回答中學(xué)生的問題時(shí)多向中學(xué)生反詰，讓中學(xué)生發(fā)散思維。
5、講解總時(shí)間控制在40分鐘左右。
二、本次課主要研究內(nèi)容
流體平衡時(shí)，(1)其內(nèi)部的浮力分布規(guī)律；
(2)流體與其它物體間的互相斥力。
推論：對理想流體或黏性流體都是適用的。在通常情況下，液體可以被看成是不可壓縮
的物質(zhì)，在討論中可覺得輕度γ或密度ρ為常量。
三、教學(xué)方式
本次課內(nèi)容是中學(xué)生學(xué)習(xí)前面流體動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)，曾經(jīng)在數(shù)學(xué)學(xué)中接觸到一些如壓力、總
壓力等概念，為此，主要應(yīng)注意聯(lián)系生活中的實(shí)際，培養(yǎng)中學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，選擇合適的作業(yè)
題，培養(yǎng)中學(xué)生剖析實(shí)際問題，解決實(shí)際問題的能力，切勿“生搬硬套”。
先前課內(nèi)容回顧及本次課內(nèi)容引出：
§2-1靜止流體撓度特點(diǎn)
一、流體靜壓強(qiáng)
如圖2.1.1，在均質(zhì)的靜止流體中任取一分離體，將此分離體用一平面AB劈成Ⅰ、Ⅱ
兩部份,并拿走Ⅰ部分。去除后，要保持Ⅱ部分的平衡，在面AB上必須加上原來Ⅰ部分流
體對Ⅱ部分的斥力。
設(shè)作用在m點(diǎn)周圍微小面積A?上的合力為P?，依照
浮力的定義，其平均浮力為=pA
P??（N/m2）當(dāng)面積A?無限縮小到m點(diǎn)時(shí)，則得
pP???0Alim→=（N/m2或ap）圖2.1.1靜止液體中的分離體p——外部流體作用在流體內(nèi)部m點(diǎn)上而形成的壓力，稱流體靜壓力。流體靜壓強(qiáng)—
—作用在單位面積上的力。二、流體靜壓強(qiáng)的特點(diǎn)
流體靜壓強(qiáng)有兩個(gè)重要特點(diǎn)：
(1)流體靜壓強(qiáng)的方向必然重合于受力面的內(nèi)法線方向。
(2)平衡流體中任意點(diǎn)的靜壓強(qiáng)值只能由該點(diǎn)的座標(biāo)位置來決定，而與該浮力的作用方
向無關(guān)。即：平衡流體中各點(diǎn)的浮力p只是位置座標(biāo)(zyx,,)的連續(xù)函數(shù),與作用方向無關(guān)。
),,(zyxfp=證明略
§2-2流體平衡微分等式
一、流體平衡微分等式——?dú)W拉平衡多項(xiàng)式
在平衡液體中取一微元立方體，周長分別為，設(shè)中心點(diǎn)的浮力為
，對其進(jìn)行受力剖析：
由受力平衡得：
通分整理得：
同理對于x、z方向可推出類似結(jié)果，即
——液體平衡微分多項(xiàng)式（即歐拉平衡多項(xiàng)式）
上式表明：處于平衡狀態(tài)的液體，單位質(zhì)量液體所受的表面力份量與質(zhì)量力份量相等。因而在平衡液體中，若在某一方向有質(zhì)量力份量，該方向就一定有浮力的變化大氣壓強(qiáng)實(shí)例分析，反之亦然。
二、液體平衡微分多項(xiàng)式的積分
由于，液體的平衡微分方程式各項(xiàng)分別除以，得
則
－－－液體平衡等式的另一種方式，
稱為浮力差公式
令，則，
函數(shù)
稱為力勢函數(shù)，即－－－液體平衡微分等式的另一種
抒發(fā)方式
積分得：
其中C為積分常數(shù)，由邊界條件確定。由自由液面的邊界條件可得：
，
代回上式得
這是不可壓縮液體平衡微分方程式的普遍積多項(xiàng)式，即：在平衡液體中，當(dāng)值
有所改變時(shí)，液體中各點(diǎn)的浮力p也急劇有同樣大小的數(shù)值變化。
三、等壓面及其特點(diǎn)
等壓面多項(xiàng)式：0=++ZdzYdyXdx
等壓面的特點(diǎn)：1.等壓面是等勢面；2.等壓面與質(zhì)量力正交。
§2-3、重力場中流體靜壓強(qiáng)分布規(guī)律
研究質(zhì)量力只有重力，即絕對平衡流體中的浮力分布規(guī)律及其估算等問題。
1、靜止液體中浮力分布規(guī)律
如圖示。單位質(zhì)量力J在各軸上的投影為
0=X0=YgZ-=
代入式dzgdzdzgdpγρρ-=-=-=)(
或0=+dzdp
γ
積分得cpz=+γ（常數(shù)）
——靜止液體中浮力的分布規(guī)律，稱流體靜力學(xué)基本多項(xiàng)式。圖2.3.1重力平衡液體
對靜止流體中1、2兩點(diǎn)，可寫成如下方式γγ2
21
1pzpz+=+
由上式看出：
（1）當(dāng)21pp=時(shí)，則21zz=，即等壓面為水平面。
（2）當(dāng)2z>1z時(shí)，則1p>2p，即位置較高點(diǎn)處的浮力建業(yè)于位置較低點(diǎn)處的浮力。
（3）當(dāng)已知任一點(diǎn)的浮力及其位置標(biāo)高時(shí),便可求得液體內(nèi)其它點(diǎn)的浮力。
2、靜止液體中的浮力估算
cp
z=+γ?czp+-=γ
積分常數(shù)00zpcγ+=，因而)(00zzpp-+=γ
式中zz-0表示液體質(zhì)點(diǎn)在自由表面以下的深度，若用h表示，上式可寫成
hppγ+=0★
——為靜止液體中的浮力估算公式。該式表明：任意位置處，h↑、p↑
意義：靜止流體中任一點(diǎn)c處的浮力p等于表面浮力0p與液柱重量hγ之和：
課堂練習(xí)：1—8
3、靜止液體中的等壓面（自學(xué)）要點(diǎn)：1、靜止液體中等壓面的形狀？2、各種復(fù)雜情況下等壓面的判定？
4、絕對浮力、相對浮力和真空度
浮力p值的大小，從不同基準(zhǔn)估算就有不同的抒發(fā)方式。
(1)絕對浮力
——以構(gòu)想沒有大氣存在的絕對真空狀態(tài)作為零點(diǎn)（起量點(diǎn)）計(jì)量的浮力，它表示該點(diǎn)
浮力的全部值hppaγ+=
(2)相對浮力
——以當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)ap作為零點(diǎn)計(jì)量的浮力大氣壓強(qiáng)實(shí)例分析，亦稱為表壓強(qiáng)。
hpppaγ=-='
(3)真空度
真空度是該點(diǎn)絕對浮力p大于當(dāng)?shù)卮髿?span style="display:none">cE4物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
浮力ap的數(shù)值。
由于vappp-=
所以pppav-=
圖2.3.2絕對浮力、相對浮力和真空度的關(guān)系
可見，有真空存在的點(diǎn)，相對浮力為負(fù)值，真空度為正值。因此真空有時(shí)亦稱為負(fù)壓。
真空原理在日常生活中的應(yīng)用：滴管抽取液體、深井抽水等。
§2.4液體的相對平衡
相對平衡：相對平衡是指液體相對于月球是運(yùn)動(dòng)的，但液體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間以及
液體與容器之間無相對運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)。此時(shí)，在應(yīng)用液體平衡方程式時(shí)，液體所受
質(zhì)量力除重力外，還有慣性力。
1．相對于地面做水平方向的等加速直線運(yùn)動(dòng)：
液體所受單位質(zhì)量力，
代入液體平衡微分方程式得，，積分，則有：
)(zxgap--
=γ自由液面的等式為：xgazs-
=。1.等角速旋轉(zhuǎn)器皿中液體的相對平衡
液體所受單位質(zhì)量力:
代入液體平衡微分方程式，積分可得。
)2()2(2
22zg
rzgup-=-=ωγγ自由液面的等式:grzs22
2ω=
思索題1-9浮力單位；大氣壓與大氣浮力的區(qū)別；
1-10絕對浮力、相對浮力和真空度的圖示表示法；
先前課內(nèi)容回顧及本次課內(nèi)容引出：
§2-5靜止液體作用在壁面上的總壓力
應(yīng)用平衡流體中浮力的分布規(guī)律，解決工程上的實(shí)際估算問題，如估算水箱、密封容器、
管線、鍋爐、水池、路基、港口建筑物（水壩、水閘）、儲油設(shè)施（油箱、油罐）、液壓
油缸、活塞及各類形狀球閥以及液體中潛浮物體的受力等，液體對壁面的總壓力(total
)（包括力的大小、方向和作用點(diǎn)）。
壁面：平面壁、曲面壁
靜止液體作用在壁面上的總壓力
1993年輕海溝后水閘垮壩
1993年8月27日夜晚，庫容為330萬立方米的云南省云南彝族自治州溝后水閘在庫水
位高于設(shè)計(jì)水位0.75米的情況下忽然垮壩墜毀，導(dǎo)致288人死亡，40人失聯(lián)。直接經(jīng)濟(jì)損
失1.53萬元，水利部專家組調(diào)查認(rèn)定，溝后水閘在設(shè)計(jì)上有缺陷，施工中又存在嚴(yán)重的質(zhì)
量問題，運(yùn)行管理工作薄弱。此次垮壩屬于重大責(zé)任車禍，州縣有關(guān)領(lǐng)導(dǎo)黨員15人因此受
到黨紀(jì)政紀(jì)處分，省監(jiān)察院長在新聞發(fā)布會上強(qiáng)調(diào)：“有關(guān)人員確實(shí)經(jīng)驗(yàn)不足，欠缺有關(guān)專
業(yè)技術(shù)知識，”
朋友們：其實(shí)大家有人將來不做技術(shù)工作，而當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)黨員，不管你在哪些崗位，都應(yīng)當(dāng)
想到，你的責(zé)任心和專業(yè)技術(shù)素養(yǎng)或許會關(guān)系到千千人生命財(cái)產(chǎn)的安全！
應(yīng)用平衡流體中浮力的分布規(guī)律，解決工程上的實(shí)際估算問題，如估算水箱、密封容器、管道、鍋爐、水池、路基、港口建筑物（水壩、水閘）、儲油設(shè)施（油箱、油罐）、液壓
油缸、活塞及各類形狀球閥以及液體中潛浮物體的受力等，液體對壁面的總壓力（包括力
的大小、方向和作用點(diǎn)）。
壁面：平面壁、曲面壁
一、作用在平面壁上的總壓力
1、總壓力
設(shè)一大壩（平面壁CA）與水平面成夾角α，
將水?dāng)r蓄在其一側(cè)，見圖，其右邊受液體壓力，
右側(cè)及液體自由表面均有大氣浮力。
1、方向：平面壁上所受液體靜壓強(qiáng)的總和，
CAP⊥
2、總壓力大小
微元面積dA質(zhì)心處的浮力為
hppaγ+=
dA上總壓力圖2.5.1平面壁上的總壓力
dAhpdpa)(γ+=
將上式對整個(gè)受壓面積GBADH進(jìn)行積分，可得此平面壁上的總壓力為圖2.5.1平面壁上的總壓力
aAazdAApdAzpαγαγsin)sin(PAhApPcaγ+=
總壓力P的實(shí)際式子為AhPcγ=★★★
式中ch——受壓面積GBADH的質(zhì)心C在自由液面以下的深度。
靜止液體作用在任意形狀平面壁上的總壓力P為受壓面積A與其質(zhì)心處液體的靜壓強(qiáng)chγ的乘積。也可理解為一假想容積的液重，即以受壓面積A為底，其質(zhì)心處深度ch為高的這樣一個(gè)體積所包圍的液體重量。它的作用方向?yàn)槭軌好娴膬?nèi)法線方向。
2、總壓力的作用點(diǎn)
總壓力的作用點(diǎn)，又稱壓力中心，用D來表示。A
zJzzcccD+=★式中cJ——受壓面積GBADH對質(zhì)心軸（即通過C點(diǎn)且平行ox軸）的慣性矩。
討論：因?yàn)?≥c
czJ，故cDzz≥，即總壓力P的作用點(diǎn)D通常在受壓質(zhì)心C之下。只有當(dāng)受壓面為水平面,→∝cz時(shí),0→A
zJcc,作用點(diǎn)D才與受壓質(zhì)心C重合。即當(dāng)受壓面上浮力均勻分布時(shí)，其總壓力作用在質(zhì)心上。
實(shí)際工程中的受壓壁面大都是軸對稱面（此軸與z軸平行），P的作用點(diǎn)D必坐落此對稱軸上。
課堂練習(xí)：1、1—10，繪出復(fù)雜組合壁面上相對浮力分布圖。
2、幾個(gè)不同形狀但裝水深度和水平底面積相同的容器同時(shí)置于桌面上，試問各容器底面所受總壓力是否相等？桌面對容器頂部的反力是否等于液體對容器頂部的總壓力？為何？
二、作用在曲面壁上的總壓力
工程上常需估算各類曲面壁（比如圓錐形軸瓦、球形閥、連拱壩壩面等）上的液體總壓力。
對于二向曲面壁，研究方式：（總（體剖析）——分（解）——總（合成））
即dP→zyxdPdPdP、、→P
1、總壓力P的大小和方向
設(shè)有一連拱壩壩面（二向曲面壁）EFBC一側(cè)承受水壓，見圖
圖2.5.2二向曲面壁上的總壓力
1）微元面積dA的斥力
在曲面上沿曲面母線方向取微元面積dA，其質(zhì)心在液面以下的深度為h，則此微元面積上所承受的壓力為hdAdPγ=
2）總壓力在分解
設(shè)α為微元面積dA法線與水平線傾角。則可將dP分解為
??====αγααγαcoscossinsinhdAdPdPhdAdPdPxz由于αsindA=zdA——dA在xoy面上的投影面積（即垂直于z軸的微元投影面積）；αcosdA=xdA——dA在yoz面上的投影面積（即垂直于x軸的微元投影面積）。則
??==xxzzhdAdPhdAdPγγ將上式沿曲面ABCD相應(yīng)的投影面積積分，得作用在曲面上總壓力P的垂直分力和水平分力為
???====????xxzzAAxxxAzAzzhdAhdAPhdAhdAPγγγγ
式中?zAzhdA——為曲面ABCD以上的液體容積，即容積ABCD5678，稱為“實(shí)壓
力體”，，用V表示之。故總壓力P的垂直分力為VPzγ=
zP的方向取決于液體及壓力體與受壓曲面之間的互相位置，見掛圖。
“實(shí)壓力體”或“正壓力體”——液體和壓力體坐落曲面同側(cè)，zP方向向上。
“虛壓力體”或“負(fù)壓力體”——液體和壓力體坐落曲面異側(cè)，zP方向向下。
積多項(xiàng)式
?=xAxxAhhdA0——曲面ABCD的垂直投影面積（即面積1234）繞y軸的靜轉(zhuǎn)矩。
0h——投影面積xA的質(zhì)心在海面下的深度。
所以，總壓力P的水平分力為xxAhP0γ=
可以看出：曲面ABCD所承受的垂直壓力zP恰為容積ABCD5678內(nèi)的液體重量，其作用點(diǎn)為壓力體ABCD5678的重心。曲面ABCD所承受的水平壓力xP為該曲面的垂直投影面積xA上所承受的壓力，其作用點(diǎn)為這個(gè)投影面積xA的壓力中心。
3）總壓力
a)液體作用在曲面上的總壓力為22yxPPP+=
b)總壓力的傾斜角為xzPParctg
=αc)總壓力P的作用點(diǎn)：作出xP及zP的作用線，得交點(diǎn)，過此交點(diǎn)，按傾斜角α作總壓力P的作用線，與曲面壁ABCD相交的點(diǎn)，即為總壓力P的作用點(diǎn)。zPxPx圖2.5.3(a)實(shí)壓力體b)虛壓力體
Ax
Ax
)(2
1221-?HHgHρ例2.5.3如圖2.5.4所示的貯水容器，其壁面上有三個(gè)半球狀的蓋。設(shè)5.0=dm,0.2=hm,5.2=Hm。試求作用在每位球蓋上的液體總壓力。
解底蓋：由于作用在底蓋的左、右兩半部份的壓力大小相等，而方向相反，故水平分力為零。其總壓力就等于總壓力的垂直分力。
3211dhHdVPpzππγγ＝.0)0.15.2(45.=??
艙蓋：與底蓋一樣，總壓力的水平分力為零。其總壓力也等圖2.5.4貯水容器于曲面總壓力的垂直分力，即
2dhHdVPpzππγγ＝??
?????--???125.0)0.15.2(45.ππ＝2564N(方向向下)
側(cè)蓋：其液體總壓力為垂直分力與水平分力的合成。其總壓力的水平分力為半球體在垂直平面上投影面積的液體總壓力
.05.
3=???===ππγγdHAhPxcxN（方向向左）
其總壓力的垂直分力應(yīng)等于側(cè)蓋的下半部實(shí)壓力體與下半部份虛壓力體之差的水重，亦既半球容積水重。既
5..
33=??===πγπγdVPpzN（方向向上）故側(cè)蓋上總壓力的大小和方向?yàn)?span style="display:none">cE4物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
48195.
323=+=+=zxzPPP
067.04808
5.32033===xzPPtgα053'?=α
由于總壓力的作用線一定與蓋的球手相垂直，故一定通過球心。課堂練習(xí)：習(xí)題1-10，繪出二向曲面壁上的壓力體。
思索題：1-11、受壓壁面垂直時(shí)，其總壓力作用點(diǎn)的估算有何特征。1-12、平面壁上浮力分布曲線的形狀。
作業(yè)：習(xí)題1-11、1-12、1-13、1-16單元測驗(yàn)：