第二章流體靜力學
提問：1、粘性
2、作用在流體上的力：
一、教學目的和任務
本次課是流體熱學的基礎，是流體運動學和動力學的最基本理論。為此，必須組織好教學內容，采用恰當的手段和技巧。
1、教學目的
（1）通過剖析流體靜力學多項式，使中學生構建起水頭的概念，為流體動力學完善基礎。
（2）通過實例剖析，說明流體對固體壁面斥力的估算和應用。
2、教學任務
（1）理解和把握流體靜壓強及其特點；
（2）了解流體平衡微分方程式，理解其數學意義；
（3）把握流體的絕對和相對平衡；
（4）把握流體靜壓強的分布規律及點浮力的估算（借助等壓面），把握流體靜壓強的量
測和表示方式；
（5）熟練把握作用于平面壁和曲面壁上流體總壓力的估算。
3、重點、難點
重點：靜壓強及其特點，點浮力的估算，靜壓強分布圖，壓力體圖，作用于平面上的流體總壓力，作用于曲面上的流體總壓力。
難點：復雜情況點浮力的估算（借助等壓面），壓力體圖，作用于曲面上的流體總壓力。1）你曉得有什么測壓儀表，它們的主要區別是哪些？
2）怎樣借助測壓管檢測靜止液體中任意一點的浮力？
p及基準面改變時，對任意兩點的位3）結合掛圖及測壓儀表實物，當液面壓力
置
水頭及浮力水頭各有哪些影響？
4）相對平衡浮力分布規律、等壓面形狀與靜平衡的優缺點。
4、能力培養：
1、了解各類測壓儀表的構造、原理、測壓范圍及應用；
2、學會等壓面的判定及應用。
3、了解相對平衡原理在工程中的應用
4、培養中學生科學思維及動手能力
過程：
班主任：提問、講解、示范、解答中學生提出的問題。
中學生：聽講、觀察、提問、操作、回答班主任提出的問題。
注意事項：
1、組織好中學生，要講的內容集中講解，中學生動手內容分組進行；
2、注意形式、方法，要機動靈活，隨機應變；
3、多用通感式語調，停頓一會兒，給中學生足夠的思索時間；
4、在回答中學生的問題時多向中學生反詰，讓中學生發散思維。
5、講解總時間控制在40分鐘左右。
二、本次課主要研究內容
流體平衡時，(1)其內部的浮力分布規律；
(2)流體與其它物體間的互相斥力。
推論：對理想流體或黏性流體都是適用的。在通常情況下，液體可以被看成是不可壓縮
的物質，在討論中可覺得輕度γ或密度ρ為常量。
三、教學方式
本次課內容是中學生學習前面流體動力學的基礎，曾經在數學學中接觸到一些如壓力、總
壓力等概念，為此，主要應注意聯系生活中的實際，培養中學生的學習興趣，選擇合適的作業
題，培養中學生剖析實際問題，解決實際問題的能力，切勿“生搬硬套”。
先前課內容回顧及本次課內容引出：
§2-1靜止流體撓度特點
一、流體靜壓強
如圖2.1.1，在均質的靜止流體中任取一分離體，將此分離體用一平面AB劈成Ⅰ、Ⅱ
兩部份,并拿走Ⅰ部分。去除后，要保持Ⅱ部分的平衡，在面AB上必須加上原來Ⅰ部分流
體對Ⅱ部分的斥力。
設作用在m點周圍微小面積A?上的合力為P?，依照
浮力的定義，其平均浮力為=pA
P??（N/m2）當面積A?無限縮小到m點時，則得
pP???0Alim→=（N/m2或ap）圖2.1.1靜止液體中的分離體p——外部流體作用在流體內部m點上而形成的壓力，稱流體靜壓力。流體靜壓強—
—作用在單位面積上的力。二、流體靜壓強的特點
流體靜壓強有兩個重要特點：
(1)流體靜壓強的方向必然重合于受力面的內法線方向。
(2)平衡流體中任意點的靜壓強值只能由該點的座標位置來決定，而與該浮力的作用方
向無關。即：平衡流體中各點的浮力p只是位置座標(zyx,,)的連續函數,與作用方向無關。
),,(zyxfp=證明略
§2-2流體平衡微分等式
一、流體平衡微分等式——歐拉平衡多項式
在平衡液體中取一微元立方體，周長分別為，設中心點的浮力為
，對其進行受力剖析：
由受力平衡得：
通分整理得：
同理對于x、z方向可推出類似結果，即
——液體平衡微分多項式（即歐拉平衡多項式）
上式表明：處于平衡狀態的液體，單位質量液體所受的表面力份量與質量力份量相等。因而在平衡液體中，若在某一方向有質量力份量，該方向就一定有浮力的變化大氣壓強實例分析，反之亦然。
二、液體平衡微分多項式的積分
由于，液體的平衡微分方程式各項分別除以，得
則
－－－液體平衡等式的另一種方式，
稱為浮力差公式
令，則，
函數
稱為力勢函數，即－－－液體平衡微分等式的另一種
抒發方式
積分得：
其中C為積分常數，由邊界條件確定。由自由液面的邊界條件可得：
，
代回上式得
這是不可壓縮液體平衡微分方程式的普遍積多項式，即：在平衡液體中，當值
有所改變時，液體中各點的浮力p也急劇有同樣大小的數值變化。
三、等壓面及其特點
等壓面多項式：0=++ZdzYdyXdx
等壓面的特點：1.等壓面是等勢面；2.等壓面與質量力正交。
§2-3、重力場中流體靜壓強分布規律
研究質量力只有重力，即絕對平衡流體中的浮力分布規律及其估算等問題。
1、靜止液體中浮力分布規律
如圖示。單位質量力J在各軸上的投影為
0=X0=YgZ-=
代入式dzgdzdzgdpγρρ-=-=-=)(
或0=+dzdp
γ
積分得cpz=+γ（常數）
——靜止液體中浮力的分布規律，稱流體靜力學基本多項式。圖2.3.1重力平衡液體
對靜止流體中1、2兩點，可寫成如下方式γγ2
21
1pzpz+=+
由上式看出：
（1）當21pp=時，則21zz=，即等壓面為水平面。
（2）當2z>1z時，則1p>2p，即位置較高點處的浮力建業于位置較低點處的浮力。
（3）當已知任一點的浮力及其位置標高時,便可求得液體內其它點的浮力。
2、靜止液體中的浮力估算
cp
z=+γ?czp+-=γ
積分常數00zpcγ+=，因而)(00zzpp-+=γ
式中zz-0表示液體質點在自由表面以下的深度，若用h表示，上式可寫成
hppγ+=0★
——為靜止液體中的浮力估算公式。該式表明：任意位置處，h↑、p↑
意義：靜止流體中任一點c處的浮力p等于表面浮力0p與液柱重量hγ之和：
課堂練習：1—8
3、靜止液體中的等壓面（自學）要點：1、靜止液體中等壓面的形狀？2、各種復雜情況下等壓面的判定？
4、絕對浮力、相對浮力和真空度
浮力p值的大小，從不同基準估算就有不同的抒發方式。
(1)絕對浮力
——以構想沒有大氣存在的絕對真空狀態作為零點（起量點）計量的浮力，它表示該點
浮力的全部值hppaγ+=
(2)相對浮力
——以當時當地大氣壓強ap作為零點計量的浮力大氣壓強實例分析，亦稱為表壓強。
hpppaγ=-='
(3)真空度
真空度是該點絕對浮力p大于當地大氣
浮力ap的數值。
由于vappp-=
所以pppav-=
圖2.3.2絕對浮力、相對浮力和真空度的關系
可見，有真空存在的點，相對浮力為負值，真空度為正值。因此真空有時亦稱為負壓。
真空原理在日常生活中的應用：滴管抽取液體、深井抽水等。
§2.4液體的相對平衡
相對平衡：相對平衡是指液體相對于月球是運動的，但液體內部各質點之間以及
液體與容器之間無相對運動的狀態。此時，在應用液體平衡方程式時，液體所受
質量力除重力外，還有慣性力。
1．相對于地面做水平方向的等加速直線運動：
液體所受單位質量力，
代入液體平衡微分方程式得，，積分，則有：
)(zxgap--
=γ自由液面的等式為：xgazs-
=。1.等角速旋轉器皿中液體的相對平衡
液體所受單位質量力:
代入液體平衡微分方程式，積分可得。
)2()2(2
22zg
rzgup-=-=ωγγ自由液面的等式:grzs22
2ω=
思索題1-9浮力單位；大氣壓與大氣浮力的區別；
1-10絕對浮力、相對浮力和真空度的圖示表示法；
先前課內容回顧及本次課內容引出：
§2-5靜止液體作用在壁面上的總壓力
應用平衡流體中浮力的分布規律，解決工程上的實際估算問題，如估算水箱、密封容器、
管線、鍋爐、水池、路基、港口建筑物（水壩、水閘）、儲油設施（油箱、油罐）、液壓
油缸、活塞及各類形狀球閥以及液體中潛浮物體的受力等，液體對壁面的總壓力(total
)（包括力的大小、方向和作用點）。
壁面：平面壁、曲面壁
靜止液體作用在壁面上的總壓力
1993年輕海溝后水閘垮壩
1993年8月27日夜晚，庫容為330萬立方米的云南省云南彝族自治州溝后水閘在庫水
位高于設計水位0.75米的情況下忽然垮壩墜毀，導致288人死亡，40人失聯。直接經濟損
失1.53萬元，水利部專家組調查認定，溝后水閘在設計上有缺陷，施工中又存在嚴重的質
量問題，運行管理工作薄弱。此次垮壩屬于重大責任車禍，州縣有關領導黨員15人因此受
到黨紀政紀處分，省監察院長在新聞發布會上強調：“有關人員確實經驗不足，欠缺有關專
業技術知識，”
朋友們：其實大家有人將來不做技術工作，而當領導黨員，不管你在哪些崗位，都應當
想到，你的責任心和專業技術素養或許會關系到千千人生命財產的安全！
應用平衡流體中浮力的分布規律，解決工程上的實際估算問題，如估算水箱、密封容器、管道、鍋爐、水池、路基、港口建筑物（水壩、水閘）、儲油設施（油箱、油罐）、液壓
油缸、活塞及各類形狀球閥以及液體中潛浮物體的受力等，液體對壁面的總壓力（包括力
的大小、方向和作用點）。
壁面：平面壁、曲面壁
一、作用在平面壁上的總壓力
1、總壓力
設一大壩（平面壁CA）與水平面成夾角α，
將水攔蓄在其一側，見圖，其右邊受液體壓力，
右側及液體自由表面均有大氣浮力。
1、方向：平面壁上所受液體靜壓強的總和，
CAP⊥
2、總壓力大小
微元面積dA質心處的浮力為
hppaγ+=
dA上總壓力圖2.5.1平面壁上的總壓力
dAhpdpa)(γ+=
將上式對整個受壓面積GBADH進行積分，可得此平面壁上的總壓力為圖2.5.1平面壁上的總壓力
aAazdAApdAzpαγαγsin)sin(PAhApPcaγ+=
總壓力P的實際式子為AhPcγ=★★★
式中ch——受壓面積GBADH的質心C在自由液面以下的深度。
靜止液體作用在任意形狀平面壁上的總壓力P為受壓面積A與其質心處液體的靜壓強chγ的乘積。也可理解為一假想容積的液重，即以受壓面積A為底，其質心處深度ch為高的這樣一個體積所包圍的液體重量。它的作用方向為受壓面的內法線方向。
2、總壓力的作用點
總壓力的作用點，又稱壓力中心，用D來表示。A
zJzzcccD+=★式中cJ——受壓面積GBADH對質心軸（即通過C點且平行ox軸）的慣性矩。
討論：因為0≥c
czJ，故cDzz≥，即總壓力P的作用點D通常在受壓質心C之下。只有當受壓面為水平面,→∝cz時,0→A
zJcc,作用點D才與受壓質心C重合。即當受壓面上浮力均勻分布時，其總壓力作用在質心上。
實際工程中的受壓壁面大都是軸對稱面（此軸與z軸平行），P的作用點D必坐落此對稱軸上。
課堂練習：1、1—10，繪出復雜組合壁面上相對浮力分布圖。
2、幾個不同形狀但裝水深度和水平底面積相同的容器同時置于桌面上，試問各容器底面所受總壓力是否相等？桌面對容器頂部的反力是否等于液體對容器頂部的總壓力？為何？
二、作用在曲面壁上的總壓力
工程上常需估算各類曲面壁（比如圓錐形軸瓦、球形閥、連拱壩壩面等）上的液體總壓力。
對于二向曲面壁，研究方式：（總（體剖析）——分（解）——總（合成））
即dP→zyxdPdPdP、、→P
1、總壓力P的大小和方向
設有一連拱壩壩面（二向曲面壁）EFBC一側承受水壓，見圖
圖2.5.2二向曲面壁上的總壓力
1）微元面積dA的斥力
在曲面上沿曲面母線方向取微元面積dA，其質心在液面以下的深度為h，則此微元面積上所承受的壓力為hdAdPγ=
2）總壓力在分解
設α為微元面積dA法線與水平線傾角。則可將dP分解為
??====αγααγαcoscossinsinhdAdPdPhdAdPdPxz由于αsindA=zdA——dA在xoy面上的投影面積（即垂直于z軸的微元投影面積）；αcosdA=xdA——dA在yoz面上的投影面積（即垂直于x軸的微元投影面積）。則
??==xxzzhdAdPhdAdPγγ將上式沿曲面ABCD相應的投影面積積分，得作用在曲面上總壓力P的垂直分力和水平分力為
???====????xxzzAAxxxAzAzzhdAhdAPhdAhdAPγγγγ
式中?zAzhdA——為曲面ABCD以上的液體容積，即容積ABCD5678，稱為“實壓
力體”，，用V表示之。故總壓力P的垂直分力為VPzγ=
zP的方向取決于液體及壓力體與受壓曲面之間的互相位置，見掛圖。
“實壓力體”或“正壓力體”——液體和壓力體坐落曲面同側，zP方向向上。
“虛壓力體”或“負壓力體”——液體和壓力體坐落曲面異側，zP方向向下。
積多項式
?=xAxxAhhdA0——曲面ABCD的垂直投影面積（即面積1234）繞y軸的靜轉矩。
0h——投影面積xA的質心在海面下的深度。
所以，總壓力P的水平分力為xxAhP0γ=
可以看出：曲面ABCD所承受的垂直壓力zP恰為容積ABCD5678內的液體重量，其作用點為壓力體ABCD5678的重心。曲面ABCD所承受的水平壓力xP為該曲面的垂直投影面積xA上所承受的壓力，其作用點為這個投影面積xA的壓力中心。
3）總壓力
a)液體作用在曲面上的總壓力為22yxPPP+=
b)總壓力的傾斜角為xzPParctg
=αc)總壓力P的作用點：作出xP及zP的作用線，得交點，過此交點，按傾斜角α作總壓力P的作用線，與曲面壁ABCD相交的點，即為總壓力P的作用點。zPxPx圖2.5.3(a)實壓力體b)虛壓力體
Ax
Ax
)(2
1221-?HHgHρ例2.5.3如圖2.5.4所示的貯水容器，其壁面上有三個半球狀的蓋。設5.0=dm,0.2=hm,5.2=Hm。試求作用在每位球蓋上的液體總壓力。
解底蓋：由于作用在底蓋的左、右兩半部份的壓力大小相等，而方向相反，故水平分力為零。其總壓力就等于總壓力的垂直分力。
3211dhHdVPpzππγγ＝.0)0.15.2(45.=??
艙蓋：與底蓋一樣，總壓力的水平分力為零。其總壓力也等圖2.5.4貯水容器于曲面總壓力的垂直分力，即
2dhHdVPpzππγγ＝??
?????--???125.0)0.15.2(45.ππ＝2564N(方向向下)
側蓋：其液體總壓力為垂直分力與水平分力的合成。其總壓力的水平分力為半球體在垂直平面上投影面積的液體總壓力
.05.
3=???===ππγγdHAhPxcxN（方向向左）
其總壓力的垂直分力應等于側蓋的下半部實壓力體與下半部份虛壓力體之差的水重，亦既半球容積水重。既
5..
33=??===πγπγdVPpzN（方向向上）故側蓋上總壓力的大小和方向為
48195.
323=+=+=zxzPPP
067.04808
5.32033===xzPPtgα053'?=α
由于總壓力的作用線一定與蓋的球手相垂直，故一定通過球心。課堂練習：習題1-10，繪出二向曲面壁上的壓力體。
思索題：1-11、受壓壁面垂直時，其總壓力作用點的估算有何特征。1-12、平面壁上浮力分布曲線的形狀。
作業：習題1-11、1-12、1-13、1-16單元測驗：