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圓周運動的速率

更新時間:2023-10-15 文章作者:佚名 信息來源:網(wǎng)絡(luò)整理 閱讀次數(shù):

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貢獻者:addiswIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

1.幾何法wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

預備知識小角極限,速率的定義wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

圖1:勻速圓周運動的速率wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

如圖設(shè)一個點$P$做直徑為$R$的圓周運動,角速率為$omega$(可以是時間的函數(shù)),這么在一段微小時間$Deltat$內(nèi),可以覺得$omega$是常量,點$P$轉(zhuǎn)過的角度為$Deltatheta=omegaDeltat$。這樣,依照小角極限,當$Deltatto0$時,點$P$在$Deltat$內(nèi)走過的位移厚度(線段的寬度)趨近于弧的寬度,即$leftlvertDelta{{s}}rightrverttoRomegaDeltat$。wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

按照速率的定義wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

圓周運動公式_圓周運動_圓周運動知識點總結(jié)wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

begin{}{{v}}=lim_{Deltatto0}frac{Delta{{s}}}{Deltat}~,end{}wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

速率的大小為wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

begin{}v=lim_{Deltatto0}frac{leftlvertDelta{{s}}rightrvert}{Deltat}=lim_{Deltatto0}frac{omegaRDeltat}{Deltat}=omegaR~,end{}wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

速率的方向似乎與過$A$點的圓的切線重合。wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

2.導數(shù)法wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

如圖圓周運動,在平面直角座標系(單位矢量分別為$hat{{{x}}}$,$hat{{{y}}}$)中,令一個繞原點做逆秒針勻速圓周運動的質(zhì)點的位矢為${{r}}$,與$hat{{{x}}}$的傾角是時間的函數(shù)$theta(t)$,圓周運動的直徑為$R$。這么任意時刻$t$將位矢${{r}}$順著$x$與$y$軸方向分解圓周運動,有wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

begin{}{{r}}(t)=Rcostheta(t),hat{{{x}}}+Rsintheta(t),hat{{{y}}}~,end{}wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

其中$hat{{{x}}}$是$x$軸正方向的單位矢量,$hat{{{y}}}$是$y$軸正方向的單位矢量。由速率的定義${{v}}=txrzbvzd{{{r}}}/txrzbvzd{t}$,即wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

圓周運動公式_圓周運動知識點總結(jié)_圓周運動wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

begin{}begin{}{{v}}&=frac{txrzbvzd}{txrzbvzd{t}}(Rcostheta,hat{{{x}}}+Rsintheta,hat{{{y}}})=-Rdotthetasintheta,hat{{{x}}}+Rdotthetacostheta,hat{{{y}}}\&=dotthetaR[cosleft(theta+pi/2right)hat{{{x}}}+sinleft(theta+pi/2right)hat{{{y}}}]~.end{}end{}wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

定義瞬時角速率(簡稱角速率)等于$theta$關(guān)于時間的行列式$omega=dottheta$,則速率大小為$v=omegaR$,方向為$hat{{{r}}}$逆秒針旋轉(zhuǎn)$pi/2$,即圓的切線方向。wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

3.三維空間的圓周運動wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

預備知識矢量叉乘wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

圖2:角速率矢量與線速率矢量wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

如,在三維空間中,圓周運動所在的平面可以任意選定,我們可以將角速率拓展成一個矢量${{omega}}$,其方向垂直于該平面并由左手定則確定。令座標系的原點在圓周運動的軸上,用位矢${{r}}$表示點$P$的位置,則圓周運動的直徑為$r_bot=rsintheta$,其中$theta$是${{r}}$與${{omega}}$的傾角。所以圓周運動速率的大小為$v=omegarsintheta$。按照矢量叉乘的幾何定義,有wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

begin{}{{v}}={{omega}}\times{{r}}~.end{}wIM物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

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