貢獻者：addis
1.幾何法
預備知識小角極限，速率的定義
如圖設一個點$P$做直徑為$R$的圓周運動，角速率為$omega$（可以是時間的函數），這么在一段微小時間$Deltat$內，可以覺得$omega$是常量，點$P$轉過的角度為$Deltatheta=omegaDeltat$。這樣，依照小角極限，當$Deltatto0$時，點$P$在$Deltat$內走過的位移厚度（線段的寬度）趨近于弧的寬度，即$leftlvertDelta{{s}}rightrverttoRomegaDeltat$。
按照速率的定義
begin{}{{v}}=lim_{Deltatto0}frac{Delta{{s}}}{Deltat}~,end{}
速率的大小為
begin{}v=lim_{Deltatto0}frac{leftlvertDelta{{s}}rightrvert}{Deltat}=lim_{Deltatto0}frac{omegaRDeltat}{Deltat}=omegaR~,end{}
速率的方向似乎與過$A$點的圓的切線重合。
2.導數法
如圖圓周運動，在平面直角座標系（單位矢量分別為$hat{{{x}}}$，$hat{{{y}}}$）中，令一個繞原點做逆秒針勻速圓周運動的質點的位矢為${{r}}$，與$hat{{{x}}}$的傾角是時間的函數$theta(t)$，圓周運動的直徑為$R$。這么任意時刻$t$將位矢${{r}}$順著$x$與$y$軸方向分解圓周運動，有
begin{}{{r}}(t)=Rcostheta(t),hat{{{x}}}+Rsintheta(t),hat{{{y}}}~,end{}
其中$hat{{{x}}}$是$x$軸正方向的單位矢量，$hat{{{y}}}$是$y$軸正方向的單位矢量。由速率的定義${{v}}=txrzbvzd{{{r}}}/txrzbvzd{t}$，即
begin{}begin{}{{v}}&=frac{txrzbvzd}{txrzbvzd{t}}(Rcostheta,hat{{{x}}}+Rsintheta,hat{{{y}}})=-Rdotthetasintheta,hat{{{x}}}+Rdotthetacostheta,hat{{{y}}}\&=dotthetaR[cosleft(theta+pi/2right)hat{{{x}}}+sinleft(theta+pi/2right)hat{{{y}}}]~.end{}end{}
定義瞬時角速率（簡稱角速率）等于$theta$關于時間的行列式$omega=dottheta$，則速率大小為$v=omegaR$，方向為$hat{{{r}}}$逆秒針旋轉$pi/2$，即圓的切線方向。
3.三維空間的圓周運動
預備知識矢量叉乘
圖2：角速率矢量與線速率矢量
如，在三維空間中，圓周運動所在的平面可以任意選定，我們可以將角速率拓展成一個矢量${{omega}}$，其方向垂直于該平面并由左手定則確定。令座標系的原點在圓周運動的軸上，用位矢${{r}}$表示點$P$的位置，則圓周運動的直徑為$r_bot=rsintheta$，其中$theta$是${{r}}$與${{omega}}$的傾角。所以圓周運動速率的大小為$v=omegarsintheta$。按照矢量叉乘的幾何定義，有
begin{}{{v}}={{omega}}\times{{r}}~.end{}