維普資訊第“卷第4期龍巖學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vo1．14No．●199S年lo月Ⅱ，()OCT．100S動(dòng)量守恒’i摘要：本文從時(shí)空苘稱性的厚理出發(fā)，在精典熱學(xué)的范圍內(nèi)，討論了動(dòng)量守恒定理和角動(dòng)量守恒定理．并討論了系中動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒的閘是．美詞句t時(shí)空對(duì)稱性慣性參考系，剛體座標(biāo)秉．_—————～動(dòng)量定理在非慣性系，—————一1序言動(dòng)置守恒定理和角動(dòng)量守恒定理，因其特有的普遍性和重要性而與其他化學(xué)規(guī)律截然不同：它們既適用于宏觀客體，又適用于微觀世界，既適用于低速運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)臺(tái)，也適用于高速運(yùn)動(dòng)的情形。動(dòng)量守恒定理和角動(dòng)量守恒定理最初都是作為大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)的推廣通過(guò)實(shí)驗(yàn)選徑確立上去的，后來(lái)人們才對(duì)它們與時(shí)空對(duì)稱性(亦稱化學(xué)規(guī)律在時(shí)間、空間變換下的不變性)的相互聯(lián)系有所了解，因而除了了解了它們的普遍性，并且能夠預(yù)言這種守恒定理在什么條件下適應(yīng)，或改變?cè)械姆绞健１疚闹饕獜目臻g對(duì)稱性(具體說(shuō)來(lái)是從空間的均勻性和各向同性)出發(fā)，在經(jīng)典熱學(xué)的范圍內(nèi)，討論動(dòng)量守恒定理和角動(dòng)量守恒定理，因而認(rèn)識(shí)動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒與時(shí)空對(duì)稱性的密切關(guān)系。
最岳還要討論在非慣性參考系非常是剛體座標(biāo)中動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒的同題。2空聞的均勻性與動(dòng)量守’匣在討論動(dòng)量守恒與空間的均勻性(也稱作空間平移不變性)的聯(lián)系時(shí)，為防止過(guò)多的計(jì)算，我們只考慮由兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的封閉體系。一一以r(X，Y，，z)和r：(X，Y，Z：)表示兩質(zhì)點(diǎn)對(duì)稱座標(biāo)系k的位置矢量，而收稿時(shí)間ll993一o6—25維普資訊鼙關(guān)學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)舨)▲，．r；—尉1一一以u(píng)(r，r)表示它們之間的互相作用能。這時(shí)，空間的均勻性應(yīng)該表現(xiàn)為：把座標(biāo)系k變?yōu)閗，時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)對(duì)座標(biāo)系k，的位矢變換為：一：一一d，并不會(huì)導(dǎo)致它們之間的互相作用能的改變。鼴匣有：u(j，r2)：u(l，r1)(1)這樣，系統(tǒng)的互相作用能u作為矢徑的函數(shù)的一種可能的方式是u=u(r2一r1)：u(r)(2)式中r：r一rj=r(X，Y，Z)=r(X一Xl，Y一Y，Z一Z1)．這時(shí)，作用在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力分別為：案：一v一(。+。+壺)u：一(一+～熹+寺)u=(奇++寺)u…=：一V~u=-(未+)u=一一(蓑+_『+z—a籠z)u“=一(蠡++)u…式中p和p分別為兩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量。
于是得到你們熟悉的牛頓第三定理F-：一F：。將式(3)和式(4)相乘，又可得到+；0(5)dtt積分后得維普資訊第4期李戰(zhàn)：對(duì)稱性與動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒一一plPi=恒矢量Ml+M。=恒矢量前面所得到的結(jié)果對(duì)于由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的封閉體系也是正確的，鄙贏：++…+=恒矢量(i7)這就是封閉體系的動(dòng)置矩守恒定理·維普資訊第4期李戰(zhàn)：對(duì)稱性與動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒在以上的討論中，我們是以精典熱學(xué)的角度，說(shuō)明了動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒同時(shí)空對(duì)稱性是密切相關(guān)的。實(shí)際上，依據(jù)近代數(shù)學(xué)學(xué)的概念，所有守恒定理的來(lái)始于對(duì)稱性原理，挪空間平移不變性(即空間的均勻性)與動(dòng)量守恒，空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性(即空間的各向同性)與角動(dòng)量守恒，時(shí)間平移不變性(即時(shí)間的均勻性)與能量守恒，空間反射不變性與宇稱守恒等等。一種對(duì)稱性對(duì)應(yīng)著一條守恒定理，所以對(duì)稱性剖析已成為數(shù)學(xué)學(xué)研究的不可缺乏的思考方式。我們只有從對(duì)稱性的角度去認(rèn)識(shí)守恒定理，能夠更深刻地理解守恒定理的實(shí)質(zhì)。4動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒與參考系的選擇我們曉得：研究任何熱學(xué)現(xiàn)象，都必須選擇一定的參考系，參考系選取后，物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也就確定了。
在§2和§3中，我們是以空間平移不變性和空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性的假設(shè)動(dòng)量定理在非慣性系，得出了動(dòng)量守恒定理和角動(dòng)量守恒定理。同樣，我們還可以以時(shí)間平移不變性導(dǎo)入能量守恒定理。在完善這些定理時(shí)，我們基本上采用了這樣一種參考系，其中空間是均勻性的和各向同性的，時(shí)間也是均勻性的，即具有時(shí)空對(duì)稱性。這樣的參考系，就是我們常說(shuō)的慣性參考系，簡(jiǎn)稱慣性系。其它的參考系，因?yàn)椴痪哂袝r(shí)空對(duì)稱性，我們把它稱作非慣性參考系，簡(jiǎn)稱非慣性系。下邊我們就來(lái)討論在非慣性系中的動(dòng)置守恒和角動(dòng)置守恒問(wèn)題。首先，我們來(lái)看動(dòng)量定律和角動(dòng)置定律在慣性系的方式旦蘭=xF．(18)dt—一：×xF．(1g)nt式中。P和M分別是系統(tǒng)的總動(dòng)量和對(duì)某一參考點(diǎn)的總動(dòng)量矩，r．和F．分別為系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一參考點(diǎn)的位矢及其所受的外力。對(duì)于非慣性系，在考慮了慣性力后，假如上兩式改為如下的方式dpt=∑+∑(20)dtdMt=∑一I"／×+∑×(21)．dt動(dòng)量定律和角動(dòng)量定律照樣可以適用。式中為質(zhì)點(diǎn)所受的慣性力，撒號(hào)是表示這種量是相對(duì)于非慣性系而言的。對(duì)于一個(gè)封閉體系，對(duì)于E．：0矗，x=0，所以有維普資訊龍巖學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)—一(2Z)dt一厶f訾dt=一厶∑r．×f．(23)上兩式表明：在非慣性系中，封閉體系納動(dòng)量和角動(dòng)最不一定守恒。
這和慣性系中得到的結(jié)果不一樣。現(xiàn)今來(lái)瞧瞧在剛體座標(biāo)系下的情況。一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的剛體在慣性系中的位矢可由下式?jīng)Q定∑m．r(24)∑m．對(duì)上式求時(shí)間的一階求導(dǎo)，并把質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)置記為m=∑m，可以得到mVd=∑m．v．=P(25)式中=一為剛體運(yùn)動(dòng)的速率，p=∑m．-為系統(tǒng)的總動(dòng)量。上式表明：質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)星等于質(zhì)點(diǎn)組的總質(zhì)量全部集中到剛體時(shí)剛體的動(dòng)量。對(duì)式(24)求時(shí)間的二階行列式。再根據(jù)牛頓第二定理，并以a表示剛體加速度，又可得到一一d。r，三ma=∑(F+G．)=∑F．+∑G．式中和宣分剮表示系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)所受的外力和內(nèi)力。由予系統(tǒng)內(nèi)力∑i=o，因此ma=∑F‘(26)這就是剛體運(yùn)動(dòng)定律。假如我們選取質(zhì)點(diǎn)組的剛體為座標(biāo)原點(diǎn)，剛系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的位矢為“這樣構(gòu)建上去的座標(biāo)系稱作剛體座標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為質(zhì)情系。在質(zhì)情系中∑f．=∑(一m．a(chǎn))=一ma(27)E—ri"×：E×(一m)維普資訊第4期李戰(zhàn)：對(duì)稱性與動(dòng)量守恒和角動(dòng)置守恒l一(￡m。-／．)xa。2‘8)因?yàn)閯傮w相對(duì)于自己座標(biāo)系的位矢—主一0，即有z皿．=o．所以有∑r．×f．=0(29)將式(26)式(27)和式(29)分別代入式(2O)和式(21)．得到(3O)=0'dM∑×(31)：．式(30)表明t質(zhì)點(diǎn)組對(duì)質(zhì)情系的總動(dòng)量P是無(wú)條件守恒的。
式(31)則表明t若果系統(tǒng)所受外力對(duì)剛體的合扭力為零，系統(tǒng)對(duì)力偶的角動(dòng)量守恒也就是說(shuō)，只要以剛體作為參考點(diǎn)，角動(dòng)量守恒定理照樣適用。從以上的討論中我們可以看見，動(dòng)量守恒定理和角動(dòng)量守恒定理只是在慣性系中適用。對(duì)于非慣性系，動(dòng)量守恒定理和角動(dòng)量守恒定理通常來(lái)說(shuō)是不適用的。但對(duì)于剛體座標(biāo)系來(lái)說(shuō)，不管它是慣性系還是非慣性系，系統(tǒng)的總動(dòng)量總是守恒的，角動(dòng)量守恒定理也與在慣性系中一樣適用。為此，借助質(zhì)情系來(lái)研究問(wèn)題是我們常常都要使用的一種方式。參考文獻(xiàn)(t]周衍柏：理論熱學(xué)教程，上海高等教育出版社1986(2]粱華南：熱學(xué)寺題研究1983(3]卓崇培、劉文杰：時(shí)空對(duì)稱性與守恒定理，上海高等教育出版社andthelawandt：A,1hasbeenmadeonthe1awototandtheliawlsothasedmetryspace．0tthelewandn／ess，inthe--'s．