維普資訊第“卷第4期龍巖學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)Vo1．14No．●199S年lo月Ⅱ，()OCT．100S動量守恒’i摘要：本文從時空苘稱性的厚理出發(fā)，在精典熱學(xué)的范圍內(nèi)，討論了動量守恒定理和角動量守恒定理．并討論了系中動量守恒和角動量守恒的閘是．美詞句t時空對稱性慣性參考系，剛體座標秉．_—————～動量定理在非慣性系，—————一1序言動置守恒定理和角動量守恒定理，因其特有的普遍性和重要性而與其他化學(xué)規(guī)律截然不同：它們既適用于宏觀客體，又適用于微觀世界，既適用于低速運動的場臺，也適用于高速運動的情形。動量守恒定理和角動量守恒定理最初都是作為大量實驗事實的推廣通過實驗選徑確立上去的，后來人們才對它們與時空對稱性(亦稱化學(xué)規(guī)律在時間、空間變換下的不變性)的相互聯(lián)系有所了解，因而除了了解了它們的普遍性，并且能夠預(yù)言這種守恒定理在什么條件下適應(yīng)，或改變原有的方式。本文主要從空間對稱性(具體說來是從空間的均勻性和各向同性)出發(fā)，在經(jīng)典熱學(xué)的范圍內(nèi)，討論動量守恒定理和角動量守恒定理，因而認識動量守恒和角動量守恒與時空對稱性的密切關(guān)系。
最岳還要討論在非慣性參考系非常是剛體座標中動量守恒和角動量守恒的同題。2空聞的均勻性與動量守’匣在討論動量守恒與空間的均勻性(也稱作空間平移不變性)的聯(lián)系時，為防止過多的計算，我們只考慮由兩個質(zhì)點組成的封閉體系。一一以r(X，Y，，z)和r：(X，Y，Z：)表示兩質(zhì)點對稱座標系k的位置矢量，而收稿時間ll993一o6—25維普資訊鼙關(guān)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)舨)▲，．r；—尉1一一以u(r，r)表示它們之間的互相作用能。這時，空間的均勻性應(yīng)該表現(xiàn)為：把座標系k變?yōu)閗，時，兩質(zhì)點對座標系k，的位矢變換為：一：一一d，并不會導(dǎo)致它們之間的互相作用能的改變。鼴匣有：u(j，r2)：u(l，r1)(1)這樣，系統(tǒng)的互相作用能u作為矢徑的函數(shù)的一種可能的方式是u=u(r2一r1)：u(r)(2)式中r：r一rj=r(X，Y，Z)=r(X一Xl，Y一Y，Z一Z1)．這時，作用在每個質(zhì)點的力分別為：案：一v一(。+。+壺)u：一(一+～熹+寺)u=(奇++寺)u…=：一V~u=-(未+)u=一一(蓑+_『+z—a籠z)u“=一(蠡++)u…式中p和p分別為兩質(zhì)點的動量。
于是得到你們熟悉的牛頓第三定理F-：一F：。將式(3)和式(4)相乘，又可得到+；0(5)dtt積分后得維普資訊第4期李戰(zhàn)：對稱性與動量守恒和角動量守恒一一plPi=恒矢量Ml+M。=恒矢量前面所得到的結(jié)果對于由N個質(zhì)點組成的封閉體系也是正確的，鄙贏：++…+=恒矢量(i7)這就是封閉體系的動置矩守恒定理·維普資訊第4期李戰(zhàn)：對稱性與動量守恒和角動量守恒在以上的討論中，我們是以精典熱學(xué)的角度，說明了動量守恒和角動量守恒同時空對稱性是密切相關(guān)的。實際上，依據(jù)近代數(shù)學(xué)學(xué)的概念，所有守恒定理的來始于對稱性原理，挪空間平移不變性(即空間的均勻性)與動量守恒，空間轉(zhuǎn)動不變性(即空間的各向同性)與角動量守恒，時間平移不變性(即時間的均勻性)與能量守恒，空間反射不變性與宇稱守恒等等。一種對稱性對應(yīng)著一條守恒定理，所以對稱性剖析已成為數(shù)學(xué)學(xué)研究的不可缺乏的思考方式。我們只有從對稱性的角度去認識守恒定理，能夠更深刻地理解守恒定理的實質(zhì)。4動量守恒和角動量守恒與參考系的選擇我們曉得：研究任何熱學(xué)現(xiàn)象，都必須選擇一定的參考系，參考系選取后，物體的運動規(guī)律也就確定了。
在§2和§3中，我們是以空間平移不變性和空間轉(zhuǎn)動不變性的假設(shè)動量定理在非慣性系，得出了動量守恒定理和角動量守恒定理。同樣，我們還可以以時間平移不變性導(dǎo)入能量守恒定理。在完善這些定理時，我們基本上采用了這樣一種參考系，其中空間是均勻性的和各向同性的，時間也是均勻性的，即具有時空對稱性。這樣的參考系，就是我們常說的慣性參考系，簡稱慣性系。其它的參考系，因為不具有時空對稱性，我們把它稱作非慣性參考系，簡稱非慣性系。下邊我們就來討論在非慣性系中的動置守恒和角動置守恒問題。首先，我們來看動量定律和角動置定律在慣性系的方式旦蘭=xF．(18)dt—一：×xF．(1g)nt式中。P和M分別是系統(tǒng)的總動量和對某一參考點的總動量矩，r．和F．分別為系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點對同一參考點的位矢及其所受的外力。對于非慣性系，在考慮了慣性力后，假如上兩式改為如下的方式dpt=∑+∑(20)dtdMt=∑一I"／×+∑×(21)．dt動量定律和角動量定律照樣可以適用。式中為質(zhì)點所受的慣性力，撒號是表示這種量是相對于非慣性系而言的。對于一個封閉體系，對于E．：0矗，x=0，所以有維普資訊龍巖學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)—一(2Z)dt一厶f訾dt=一厶∑r．×f．(23)上兩式表明：在非慣性系中，封閉體系納動量和角動最不一定守恒。
這和慣性系中得到的結(jié)果不一樣。現(xiàn)今來瞧瞧在剛體座標系下的情況。一個質(zhì)點系的剛體在慣性系中的位矢可由下式?jīng)Q定∑m．r(24)∑m．對上式求時間的一階求導(dǎo)，并把質(zhì)點系的總質(zhì)置記為m=∑m，可以得到mVd=∑m．v．=P(25)式中=一為剛體運動的速率，p=∑m．-為系統(tǒng)的總動量。上式表明：質(zhì)點組的總動星等于質(zhì)點組的總質(zhì)量全部集中到剛體時剛體的動量。對式(24)求時間的二階行列式。再根據(jù)牛頓第二定理，并以a表示剛體加速度，又可得到一一d。r，三ma=∑(F+G．)=∑F．+∑G．式中和宣分剮表示系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點所受的外力和內(nèi)力。由予系統(tǒng)內(nèi)力∑i=o，因此ma=∑F‘(26)這就是剛體運動定律。假如我們選取質(zhì)點組的剛體為座標原點，剛系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的位矢為“這樣構(gòu)建上去的座標系稱作剛體座標系，簡稱為質(zhì)情系。在質(zhì)情系中∑f．=∑(一m．a(chǎn))=一ma(27)E—ri"×：E×(一m)維普資訊第4期李戰(zhàn)：對稱性與動量守恒和角動置守恒l一(￡m。-／．)xa。2‘8)因為剛體相對于自己座標系的位矢—主一0，即有z皿．=o．所以有∑r．×f．=0(29)將式(26)式(27)和式(29)分別代入式(2O)和式(21)．得到(3O)=0'dM∑×(31)：．式(30)表明t質(zhì)點組對質(zhì)情系的總動量P是無條件守恒的。
式(31)則表明t若果系統(tǒng)所受外力對剛體的合扭力為零，系統(tǒng)對力偶的角動量守恒也就是說，只要以剛體作為參考點，角動量守恒定理照樣適用。從以上的討論中我們可以看見，動量守恒定理和角動量守恒定理只是在慣性系中適用。對于非慣性系，動量守恒定理和角動量守恒定理通常來說是不適用的。但對于剛體座標系來說，不管它是慣性系還是非慣性系，系統(tǒng)的總動量總是守恒的，角動量守恒定理也與在慣性系中一樣適用。為此，借助質(zhì)情系來研究問題是我們常常都要使用的一種方式。參考文獻(t]周衍柏：理論熱學(xué)教程，上海高等教育出版社1986(2]粱華南：熱學(xué)寺題研究1983(3]卓崇培、劉文杰：時空對稱性與守恒定理，上海高等教育出版社andthelawandt：A,1hasbeenmadeonthe1awototandtheliawlsothasedmetryspace．0tthelewandn／ess，inthe--'s．