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在20世紀(jì)60年代，杰出的數(shù)學(xué)學(xué)家杰弗里·周（Chew）提出了一種研究數(shù)學(xué)學(xué)的新方式。哪個時代的理論家們正努力在一群新發(fā)覺的粒子中找尋秩序（規(guī)律）。她們想曉得什么是自然的基本組成部份，什么是那些基本成份復(fù)合物。并且，加洲學(xué)院伯克利校區(qū)的院長周反對這樣的分辨。
自德謨克利特（）以來，科學(xué)家們?nèi)匀徊捎煤喕姆绞絹砝斫庥钪妫X得宇宙中的一切都是由某種難以進(jìn)一步解釋的基本物質(zhì)構(gòu)成的。而且周推論每位粒子都是由其他粒子組成的，而那些其他的粒子是通過交換粒子（膠子）而結(jié)合在一起的，這個過程傳遞了一種力。為此，粒子的特點是由自洽反饋回路形成的。
周的方式被稱為法。初期，周用法預(yù)測了ρ介子的質(zhì)量。ρ介子是一種由π介子組成的粒子，通過交換ρ介子集聚在一起。
然而ρ介子是一種特殊的情況，法很快就喪失了優(yōu)勢。另一種有競爭的理論把質(zhì)子和中子等粒子作為基本粒子——夸克的復(fù)合物。這些夸克互相作用理論，被稱為量子色動力學(xué)，更好地匹配了實驗數(shù)據(jù)，并很快成為粒子化學(xué)學(xué)的三大支柱之一。
但單個夸克的性質(zhì)其實是任意的，在另一個宇宙中它們可能是不同的。化學(xué)學(xué)家們認(rèn)識到，這種粒子并不反映出一致的自然理論。相反，無數(shù)種可能的粒子可以想像在任意數(shù)目的空間維度中互相作用，每種情況都可以用自己的“量子場理論”來描述。
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幾六年來量子物理學(xué)家有哪些，在數(shù)學(xué)學(xué)界仍然沒有造成注重。隨著化學(xué)學(xué)家們發(fā)覺了雖然能解決許多問題的新技術(shù)，這一方式重新迸發(fā)了活力。雖然一致性條件對于梳理復(fù)雜的核粒子動力學(xué)一直沒有太大幫助。但被證明是理解更對稱、更完美理論的有力工具。按照專家們的說法，這種理論在所有可能的量子場理論空間中充當(dāng)“路標(biāo)”。
當(dāng)新一代的化學(xué)學(xué)家探求這個具象的理論空間時，她們其實正在驗證周在半個世紀(jì)前提出的愿景。她們的發(fā)覺表明，所有量子場理論的集合產(chǎn)生了一種奇特的物理結(jié)構(gòu)，。
化學(xué)學(xué)家們借助法來探求這一理論空間的幾何形態(tài)，在找尋“普適性”的癥結(jié)。“普適性”是一種非凡的現(xiàn)象，如在吸鐵石和水等不同的材料中，會出現(xiàn)相同的行為。她們還發(fā)覺了量子引力理論的通常特點，對我們自己的宇宙中引力的量子起源和時空本身的起源有著顯著的影響。
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從技術(shù)上講，法是一種估算“相關(guān)函數(shù)”的方式——這些函數(shù)編碼了量子場理論中描述的粒子之間的關(guān)系。考慮一塊鐵，這個系統(tǒng)的相關(guān)函數(shù)表示了鐵原子在磁性方向相同的可能性，作為它們之間的距離的函數(shù)。兩點相關(guān)函數(shù)給出任意兩個原子對齊的可能性，三點相關(guān)函數(shù)編碼任意三個原子之間的關(guān)聯(lián)，以這種推。這種函數(shù)基本上告訴你關(guān)于石塊的一切。但它們涉及無窮多項，參雜著未知指數(shù)和系數(shù)。通常來說，它們估算上去很麻煩。方式是企圖約束函數(shù)的項，希望能解出未知變量。
當(dāng)時還在美國朗道理論數(shù)學(xué)研究所（for）工作的波利亞科夫（）被普適性的奧秘所吸引，對這種特殊案例形成了興趣。正如匯聚態(tài)化學(xué)學(xué)家發(fā)覺的那樣，當(dāng)在微觀水平上完全不同的材料被調(diào)整到它們經(jīng)歷相變的臨界點時，它們忽然表現(xiàn)出相同的行為，而且可以用相同的數(shù)字來描述。諸如，將鐵加熱到不再被磁化的臨界體溫，它的原子之間的關(guān)聯(lián)由同樣的“臨界指數(shù)”來定義，水在其液體和蒸氣相相遇的臨界點時，其原子之間的關(guān)聯(lián)就是由同樣的“臨界指數(shù)”來定義的。那些關(guān)鍵指數(shù)顯然與這兩種材料的微觀細(xì)節(jié)無關(guān)，相反，它形成于兩個系統(tǒng)，以及它們的“普遍性類”中的其他系統(tǒng)的共同之處。波利亞科夫希望找到聯(lián)接這種系統(tǒng)的普遍規(guī)律。
波利亞科夫意識到，臨界點上的材料的共同之處是它們的對稱性——使這種系統(tǒng)保持不變的幾何變換的集合。他猜想，關(guān)鍵材料表現(xiàn)出一種稱為“共形對稱”的對稱，包括最重要的尺度對稱。放大或縮小，例如說，鐵的臨界點，你總會看見相同的模式：朝南向下的原子塊被朝下的原子塊包圍著，而這種原子則在更大的向下的原子團(tuán)中，以這種推，在所有放大范圍內(nèi)。尺度對稱意味著共形系統(tǒng)中沒有“近”和“遠(yuǎn)”的絕對概念。假如你翻轉(zhuǎn)其中一個鐵原子，這些效應(yīng)隨處可見。
整個世界似乎不符合常規(guī)。夸克和其他基本粒子的存在通過將基本質(zhì)量和距離尺度引入自然界而“打破”了尺度對稱性，而其他質(zhì)量和寬度可以通過這種尺度來檢測。為此，由大量粒子組成的行星比我們重得多、大得多，而我們比原子大得多，原子是夸克對面的龐然大物。對稱性的破壞使得自然具有層次，并在相關(guān)函數(shù)中注入任意變量——這些特點消弱了周的方式的力量。
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并且由“共形場論”（CFT）描述的共形系統(tǒng)在上下方向上都是一致的，波利亞科夫發(fā)覺，這促使它們很容易采用法。比如，在吸鐵石的臨界點處，尺度對稱性要求兩點相關(guān)函數(shù)在調(diào)整兩點之間的距離時必須保持不變，因而約束了兩點相關(guān)函數(shù)。另一種共形對稱是說，當(dāng)你顛倒這三個距離時，三點函數(shù)不能改變。1983年，亞歷山大·貝拉文（）、波利亞科夫（）和亞歷山大·薩莫洛奇科夫（）在一篇名為《BPZ》的里程碑式論文手指出，在二維空間中，有無數(shù)種共形對稱可以拿來約束二維共形場論的相關(guān)函數(shù)。作者借助這種對稱性來解決一個知名的CFT的臨界指數(shù)，即二維伊辛模型——本質(zhì)上是一個平面吸鐵石的理論。BPZ借助共形對稱的定做程序“共形”一舉成名。
“我基本上開始做其他事情，”波利亞科夫說，他后來對弦理論作出了開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，如今是耶魯學(xué)院（）的院長。與十多年前最初的法一樣，共形法也被廢棄了。這些闊別仍然持續(xù)到2008年，當(dāng)時一組研究人員發(fā)覺了一個強(qiáng)悍的方法，可以近似求解三維或三維以上的CFT的波利亞科夫多項式。“坦率地說，我沒有預(yù)想到這一點，我一開始就覺得這兒面有些錯誤，”波利亞科夫說。“在我看來，輸入方程式的信息太少，難以得到這樣的結(jié)果。”
意外的問題
2008年，小型強(qiáng)子對撞機(jī)正式開始找尋希格斯玻骰子（Higgsboson）。希格斯玻骰子是一種基本粒子，它的相關(guān)場會給其他粒子帶來質(zhì)量。化學(xué)學(xué)家們想要曉得是否有一種共形場理論是形成質(zhì)量的緣由，而不是希格斯粒子。她們寫下了這樣一個理論必須滿足的等式。由于這是一個四維共形場理論，描述了一個有四個時空維度的宇宙中的假想量子場，等式太復(fù)雜了，難以求解。但研究人員找到了一種方式，為該理論的可能性質(zhì)設(shè)定界限。最后，她們得出推論，不存在這樣的CFT（事實上，小型強(qiáng)子對撞機(jī)在2012年發(fā)覺了希格斯玻骰子）。但她們的新方式卻為她們發(fā)覺了一座錫礦。
將四點相關(guān)函數(shù)中的四點（它幾乎編碼了CFT的所有內(nèi)容）想像成圓形的角；按照等式，假如在角1和角2處擾動共形系統(tǒng)并檢測角3和角4的影響，或則你在角1和角3處擾動系統(tǒng)并檢測角2和角4，二者的相關(guān)函數(shù)是相同的。函數(shù)的兩種寫法都包含無窮項的級數(shù)；它們的等價性意味著第一個無窮級數(shù)除以第二個無窮級數(shù)等于零。為了找出什么項滿足這個約束條件，化學(xué)學(xué)家提出了另一個稱作“統(tǒng)一性”的一致性條件，要求多項式中的所有項都必須是正的系數(shù)。這促使她們可以把這種項看作向量，或則從一個中心點向無限多個方向延展的小箭頭。倘若能找到一個這樣的平面，在一個有限的維度子集中，所有的向量都指向平面的一邊，這么就存在不平衡；這組特殊的項的和不能為零，也不代表多項式的解。
化學(xué)學(xué)家開發(fā)了算法來搜索這樣的平面，并將可行的CFT的空間限定在極高的精度。該程序最簡單的版本是兩條曲線相交于一個稱為“扭折”的點。這種圖排除了曲線范圍外具有臨界指數(shù)的CFT。
2012年，研究人員鎖定了三維Ising模型的臨界指數(shù)值，這是一種眾所周知的復(fù)雜CFT，它與真正的吸鐵石、水、液體混和物和許多其他材料在臨界點處的通用性相同。到2016年，摩爾多瓦和西蒙斯-達(dá)芬早已將該理論的兩個主要關(guān)鍵指數(shù)估算到了小數(shù)點后六位。但比這些精確度更驚人的是，3D伊辛模型在所有可能的3DCFT中所占的位置。它的臨界指數(shù)可以落在3DCFT排除圖容許區(qū)域的任何地方，但超乎預(yù)料的是，這種值剛好落在圖的拐點處。從某種程度上說，通用估算是為了找出現(xiàn)實世界中出現(xiàn)的重要理論。
研究人員正在向各個方向推動。一些人正在應(yīng)用法來處理一個非常對稱的“超共形”場論，它在弦理論中發(fā)揮作用，并被推論存在于六維空間中。并且，探求CFT的努力將使化學(xué)學(xué)家們趕超這種特殊的理論。
康奈爾學(xué)院的專家湯姆·哈特曼說，勾畫量子場論空間是項目的宏偉目。
揭露代表所有可能量子場理論的四面體結(jié)構(gòu)，在某種意義上，將夸克互相作用、磁體以及所有觀察和想像的現(xiàn)象統(tǒng)一在一個單一的、不可防止的結(jié)構(gòu)中。并且，當(dāng)研究人員追求這個具象概念時，她們也在利拿來開發(fā)CFT和許多化學(xué)學(xué)家最關(guān)心的理論之間的直接聯(lián)系。探求可能的共形場論也在探求量子引力的可能理論。
量子引力
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共形法正在成為量子引力研究的有力工具。加納裔英國理論家胡安·馬爾達(dá)塞納（Juan）在1997年發(fā)表的一篇論文中，論證了CFT與起碼具有一個額外空間維度的引力時空環(huán)境之間的物理等價性。這篇論文目前是數(shù)學(xué)學(xué)史上被引用最多的論文之一。馬爾達(dá)塞納的排比性，被稱為“AdS/CFT對應(yīng)”，將CFT與相應(yīng)的“反德西特空間”聯(lián)系在一起，這個空間帶有額外維度，像全息圖一樣從共形系統(tǒng)中跳下來。AdS空間的魚眼幾何形狀與我們自己宇宙中的時空幾何形狀不同量子物理學(xué)家有哪些，但引力在哪里的作用形式與在這兒差不多。諸如，這兩種幾何結(jié)構(gòu)都形成了黑洞。
現(xiàn)有的理論不適用于黑洞；假如你企圖將量子理論與阿爾伯特·愛因斯坦的引力理論結(jié)合上去，悖論都會出現(xiàn)。一個主要的問題是，雖然愛因斯坦的理論說量子信息會蒸發(fā)，黑洞是怎樣設(shè)法保存量子信息的。要解決這個悖論，化學(xué)學(xué)家須要找到引力的量子理論——一種更基本的概念化理論，在低能量的情況下，例如在黑洞外，時空圖還會出現(xiàn)。AdS/CFT的驚人之處在于，它給出了量子引力的一個可行的事例，其中一切都是定義明晰的，我們所要做的就是研究它并找到這種悖論的答案。
假如說AdS/CFT對應(yīng)為理論化學(xué)學(xué)家提供了量子引力理論的顯微鏡，這么共形就是讓顯微鏡工作的光。2009年，理論學(xué)家借助自助法找到了證據(jù)，證明在AdS空間中，每一個滿足特定條件的CFT都有一個近似的雙重引力理論。從那時起，她們就仍然在編撰一個精確的字典，在CFT的關(guān)鍵指數(shù)和其他特點以及ads空間全息圖的等效特點之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。
我們自己的宇宙是否像AdS宇宙一樣，從共形場理論中全息地出現(xiàn)，或則這是否是正確的思索形式，還遠(yuǎn)未明晰。她們希望，通過方式來統(tǒng)一可能的數(shù)學(xué)現(xiàn)實的幾何結(jié)構(gòu)，化學(xué)學(xué)家將更好地了解我們的宇宙在宇宙的大格局中所處的位置，以及這個大格局是哪些。