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1、會計學1學院數學角動量守恒定理學院數學角動量守恒定理第一頁，共55頁。1質點(zhdin)的角動量質點(zhdin)對O點的角動量：角動量的大小(dxio)：左手螺旋定則：左手四指由r經大于180角轉向p，伸開的手指的指向就是角動量的指向。必須指明是對那個點而言的第1頁/共55頁第二頁，共55頁。3(2)的大小在0之間變化，假如把動量分解為徑向份量和縱向份量，則僅縱向份量才對角動量有貢獻。sinp通常情形下，和都是變化的，所以沒有確定的方向，但任一時刻，總垂直于和所確定的平面。在直角座標系下，的三個份量為
2、：注意(zhy)兩點：L(1)質點的角動量是相對某一參考點而言的，因而對不同的參考點，角動量不同;第2頁/共55頁第三頁，共55頁。作圓周()運動質點對O點的角動量的方向垂直于圓周()平面，大小為把過O點并垂直于圓周平面的直線當成轉軸，上式表示(biosh)質點繞該軸轉動的角動量。xpyp第3頁/共55頁第四頁，共55頁。5直線運動的角動量若質點m沿直線運動，任一時刻相對于參考點o的矢徑為，動量為，如右圖。在估算其角動量時，注意有兩個特征：(1)o點
3、到方向的垂直距離不變;(2)方向不變;2sinro如果的大小也不變，其實的大小不變。這表明，自由質點對任意參考點的角動量保持不變。Lp第4頁/共55頁第五頁，共55頁。6質點(zhdin)角動量定律質點(zhdin)對慣性系中任一固定點的角動量對時間的變化率，等于這個質點(zhdin)所受合力對該固定點的扭矩tddlM扭力(lj)：frM方向用左手螺旋定則判定，大小為第5頁/共55頁第六頁，共55頁。7證明()：牛頓定理角動量定律tddpf因，則有0ddtddpr
4、)d(ddlM即第6頁/共55頁第七頁，共55頁。8質點(zhdin)角動量守恒定理：當質點(zhdin)不受力，或所受合轉矩M=0時，常矢量()質點角動量的大小和方向都保持不變。【例1.20】開普勒第二定理：行星相對太陽的位矢在相等的時間內掃過相等的面積。在微觀化學現象中，角動量守恒起到非常重要的作用。第7頁/共55頁第八頁，共55頁。9rrdr設t時刻，行星在點，時刻在點，矢徑掃過的面積為dA，因為dt很小，該面積近似為一三角形面積，即1ptdt2prpr12(sin)dArd
5、s式中，就是三角形的高，ds是三角形斜邊厚度，也就是行星在dt時間內運動的距離，這樣sinr第8頁/共55頁第九頁，共55頁。22(sin)rpmm而行星的角動量大小恒定，所以rpdAdt常量假如一個力的方向仍然()指向某一點，這力稱為有心力，這點，稱為力心。有心力對力心的扭矩恒為0，因而，在有心力作用下的質點對力心的角動量守恒。這就是開普勒第二(dr)定理。第9頁/共55頁第十頁，共55頁。11質點系角動量變化(binhu)定律和角動量守恒定理1.質點系角動量.質點系角動
6、量變化(binhu)定律質點系對慣性系中任一固定點的角動量對時間的變化率，等于這個(zhge)質點系所受對該固定點的合外扭力tddLM外外合外扭力：第10頁/共55頁第十一頁，共55頁。12證明()：對第i個質點應用角動量定律)()(對i求和(qih))(,)(0任意一對(ydu)內力的扭力之和為零：內力總成對出現，則質點系所受合內扭矩等于零，對弱冠動量沒有影響。第11頁/共55頁第十二頁，共55頁。133.角動
7、量守恒定理0外M假如質點系所受合外轉矩，則0ddtL，常矢量L實驗表明，對于不受外界影響的粒子系統所經歷的任意(rny)過程，包括不能用牛頓熱學描述的過程，都遵循角動量守恒定理。第12頁/共55頁第十三頁，共55頁。14【例1.21】光滑水平面上輕彈簧兩端各系一小球，開始彈簧處于自然寬度，兩小球靜止。今同時嚴打兩個小球，讓它們(tmen)沿垂直于彈簧軸線方向獲得等值反向的初速率v0。若果在之后的運動過程中彈簧的最大寬度為2l0，求初速率v0。k解剛體C點固定不動，相對()C點系統的角動量守恒。系統(xtng)：彈簧和小球初始時刻角動量：
8、lmvlL第13頁/共55頁第十四頁，共55頁。15彈簧達到最大厚度時，小球只能沿垂直于彈簧軸線方向運動(yndng)，則系統的角動量020vv機械能守恒(shuhn)：)2(第14頁/共55頁第十五頁，共55頁。16例1一直徑為R的光滑圓環放在豎直平面內.一質量為m的小球(xioqi)穿在圓環上,并可在圓環上滑動.小球(xioqi)開始時靜止于圓環上的點A(該點在通過環心O的水平面上)，之后從A點開始(kish)下降設小球與圓環間的摩
9、擦力略去不計求小球滑到點B時對環心O的角動量和角速率第15頁/共55頁第十六頁，共55頁。17解小球受力、作用(zuyng),的轉矩為零，重扭力垂直紙面向里由質點(zhdin)的角動量定律得：第16頁/共55頁第十七頁，共55頁。18考慮到,得21)sin2()sin2(gmRL第17頁/共55頁第十八頁，共55頁。左手螺旋質點：園周運動：22()
10、iirmrJ質點系：園周運動：角動量定律：dLMdt合外扭力(lj)為0，角動量守恒。第18頁/共55頁第十九頁，共55頁。20二質心(gngt)定軸轉動的角動量定律和角動量守恒定理1質心(gngt)定軸轉動的角動量)(2第19頁/共55頁第二十頁，共55頁。212質心(gngt)定軸轉動的角動量定律因為(yuy)質心轉動力矩為一常量所以即稱質心(gngt)定軸轉動的角動量定律第20頁/共55頁第二十一頁，共55頁。22非質心(gngt)定軸轉動的角動量定律
11、剛體(gngt)定軸轉動的角動量守恒定理0MJL，則若=常量對定軸轉的質心，受合外轉矩M，從到內，角速率從變為，積分可得：第21頁/共55頁第二十二頁，共55頁。23角動量守恒定理是自然界的一個(y)基本定理.內扭力(lj)不改變系統的角動量.守恒條件0M若不變，不變；若變，也變，但不變.JJLJ討論在沖擊等問題中L常量第22頁/共55頁第二十三頁，共55頁。24許多(xdu)現象都可以用角動量守恒來說明.花樣溜冰(huynhubn)跳水運動員跳水點擊(dinj)圖片播放第23頁/共55頁第二十四頁
12、，共55頁。25質心對轉軸的角動量守恒是常常()可以看到的，如人手持杠鈴的轉動,芭蕾舞藝人和花樣溜冰運動員作各類快速旋轉動作,都借助了對轉軸的角動量守恒定理。第24頁/共55頁第二十五頁，共55頁。26常量tJtJtJ第25頁/共55頁第二十六頁，共55頁。27第26頁/共55頁第二十七頁，共55頁。28自然界中存在(cnzi)多種守恒定理2動量()守恒定理2能量守恒定理2角動量()守恒定理2電荷守恒定理2質量()守恒定理2宇稱守恒定理等第27頁/共55頁第二十八頁，共55頁。29例1一均質棒，厚度為L，質量為M，現
13、有一炮彈在距軸為y處水平射入細棒，炮彈的質量為m,速率為v0。求炮彈細棒共同的角速率。其中(qzhng)子棒討論(toln)解炮彈、細棒系統的動量矩守恒ym0vJ水平()方向動量守恒第28頁/共55頁第二十九頁，共55頁。30例2：在光滑水平()桌面上放置一個靜止的質量為M、長為2l、可繞中心轉動的細桿，有一質量為m的小球以速率v0與桿的一端發生完全彈性碰撞，求小球的回調速率v及桿的轉動角速率。mo解：在水平面上，碰撞過程中系統(xtng)角動量守恒，mlml0（1）0v第29
14、頁/共55頁第三十頁，共55頁。31mo彈性碰撞(pnzhun)動能守恒，（2）2231)2(其中(qzhng)0v聯立(1)、(2)式求解(qiji)3mMM)v-()l(M6mv0第30頁/共55頁第三十一頁，共55頁。32例3磨擦離合器飛輪(filn)1：J1、w1磨擦輪2：J2靜止，三輪沿軸向結合，結合后三輪達到的共同角速率。三輪對共同轉軸()的角動量守恒解：試與下例的蝸桿漸開線(nih)過程比較。21第31頁/共55頁第三十二頁，共55頁。33三輪繞不同軸轉動(zhun
15、dng)，故對兩軸分別用角動量定律：211rr解：例4兩圓盤形蝸桿直徑r1、r2，對通過盤心垂直于大盤轉軸的轉動力矩為J1、J2，開始1輪以轉動，之后三輪正交漸開線，求漸開線后三輪的角速率。0第32頁/共55頁第三十三頁，共55頁。34得：第33頁/共55頁第三十四頁，共55頁。35例5質量很小寬度為l的均勻細桿，可繞開其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動當細桿靜止于水平位置時，有一只
16、小蟲以速度垂直落在距點O為l/4處，并背離點O向細桿的端點A爬行設蟲子與細桿的質量均為m問：欲使細桿以恒定的角速率轉動，蟲子應以多大速度向細桿端點爬行?0vl/4O第34頁/共55頁第三十五頁，共55頁。36220)4(v解蟲與桿的碰撞前后，系統(xtng)角動量守恒第35頁/共55頁第三十六頁，共55頁。v由角動量定律(dngl))()121(考慮到t)(g第36頁/共55頁第三十七頁，共55頁。38例6一雜技
17、演員M由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺板的一端(ydun)A，并把蹺板另一端(ydun)的藝人N彈了上去問藝人N可彈起多高?ll/第37頁/共55頁第三十八頁，共55頁。39設蹺板是勻質的，厚度為l，質量為，蹺板可繞中部支撐點C在豎直平面內轉動，藝人(ynyun)的質量均為m假設藝人(ynyun)M落在蹺板上，與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞m解碰撞(pnzhun)前M落在A點的速率21M)2(ghv碰撞后的頓時(shnjin)，M、N具有相同的線速率2lu第38頁/共55頁第三十九頁，共55頁。40M、N和蹺板組成的系統(xtng)，角動量守恒
18、/第39頁/共55頁第四十頁，共55頁。)6()2(解得藝人N以u起跳，達到的高度：)63(Jlmv第40頁/共55頁第四十一頁，共55頁。420v解：碰撞(pnzhun)前的頓時桿對點的角動量為.求：桿在碰撞前后的瞬時繞點轉動的角速率。(細桿繞通過其端點且與其垂直的軸轉動時轉動力矩為)例7：一勻質細桿長為質量為，以與桿長垂直的速率在光滑水平面內平動時與前方一固定光滑支點發生完全非彈性碰撞，碰撞點坐落桿中心的一方處如圖所示2
19、Lm0vo/式中為桿的線密度32LLvxdxvxdxvLmvL第41頁/共55頁第四十二頁，共55頁。43碰撞后頓時桿對點的角動量為o2221331137()()3423因碰撞(pnzhun)前后角動量守恒，所以=22007/12/LvL第42頁/共55頁第四十三頁，共55頁。44Rv/2R例8：在直徑為R的具有光滑豎直軸的水平園盤上，有一人靜止躺臥在距轉軸處剛體的角動量定理，人的質量是園盤質量的，開始時盤載人相對地以角速率勻速轉動，倘若此人垂直園盤直徑相對于盤以速
20、率沿與盤轉動相反方向作園周運動如圖所示。巳知園盤對中心軸的轉動力矩為，求：(1)園盤對地角速率;(2)欲使園盤對地靜止,人順著園周對園盤的速率的大小及方向？1/10,R/202/2MRv第43頁/共55頁第四十四頁，共55頁。45解(1)設當人以速率沿相對園盤轉動相反的方向走動時，園盤對地轉動的角速率為，則人對與地固聯的轉軸的角速率為v人與盤視為一個系統，對轉軸合外扭力為零，系統的角動量守恒。設盤的質量為，則人的質量為,M10/M22/vvRR(1)2222()()MRMRMRMR(2)將(1)式代入(2)式得：(3)第44頁/共5
21、5頁第四十五頁，共55頁。46(2)欲使盤對地靜止(jngzh)則(3)式必為零即,.得：2/210Rv(式中減號表示(biosh)人的走動方向與上一問中人的走動方向相反,即與盤的轉動方向一致)。第45頁/共55頁第四十六頁，共55頁。例:一質量均勻分布的園盤，質量為M,直徑為R,置于一粗糙水平面上,園盤可繞開其中心O的豎直固定光滑軸轉動.開始時,園盤靜止,一質量為m的炮彈以水平速率垂直于園盤直徑攻入園盤邊沿并嵌在盤邊上,求(1)炮彈擊中園盤后,園盤獲得的角速率；(2)經過多少時間后,園盤停止轉動？(忽視炮彈重力引起的磨擦阻轉矩)0v第46頁/共55
22、頁第四十七頁，共55頁。48(1)以炮彈和園盤為系統，在炮彈擊中園盤的過程中對軸的角動量守恒O(2)設為園盤單位面積的質量，可求出園盤所受水平面的磨擦扭矩的大小為()mvRMRmR012()mvMmR03222ssss第47頁/共55頁第四十八頁，共55頁。2()R根椐角動量定律(dngl)，有Rmv解得,設經過時間園盤停止轉動,t第48頁/共55頁第四十九頁，共55頁。例3.2.3重力有一特性，月球上任一物體遭到的重力都指向地心;同樣，在點電荷產
23、生的靜電場中，其他點電荷遭到的斥力都指向場源電荷。人們把物體所受的指向一固定點的力稱為有心力，把對應的力場稱為有心力場。證明：(1)在有心力作用下運動的物體，角動量守恒;(2)所有有心力都是保守力，因此有心力場中運動質點機械能守恒;(3)在與距離成平方正比的有心力場中剛體的角動量定理，龍格-楞次矢量守恒;(4)平方反比力場中質點的運動一定滿足開普勒運動。第49頁/共55頁第五十頁，共55頁。51證明()：(1)在有心力場中，質點只遭到有心力作用(zuyng)，有心力對力心的扭矩一直為0，故質點角動量守恒;(2)如圖所示，質點遭到的有心力指向(zhxin)坐
24、標原點，于是有心力可表示為質點在有心力作用下沿任意路徑運動過程中，有心力所做功為0FFr(1)()()()()()drFrrdrrdrnFrrdrrUrUr(2)第50頁/共55頁第五十一頁，共55頁。52由式(2)可知，有心力是保守力，它做功只與質點(zhdin)始末位置有關，因而，也可以引入相應勢能0()rrrUrFdr(3)將形成有心力場的場源和受有心力作用的質點看作一個系統，這么，該質點只遭到保守力-有心力作用，按照質點系的功能原理，系統的機械能應該()守恒。(3)若果有心力是平
25、方()反比力，令(4)第51頁/共55頁第五十二頁，共55頁。53式中，k為常數()，考察()()()()()()()1()vrvrvrrrrkrdrdrv11()()rkdtrrdtdtr有心力作用(zuyng)，角動量守恒()()()ABCACBABC第52頁/共55頁第五十三頁，共55頁。54()即或(常量)(4)為證明平方正比有心力場中質點的運動一定(ydng)滿足開普勒運動，考察2()()LrBrB聯解以上兩式，得(10)()()()第53頁/共55頁第五十四頁，共55頁。55式中，常數常數式(10)表明，質點運動正是極座標下的圓柱曲線多項式(當時，為橢圓多項式，當時，為雙曲線多項式;當時，為拋物線多項式)111第54頁/共55頁第五十五頁，共55頁。