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1、會計學1學院數(shù)學角動量守恒定理學院數(shù)學角動量守恒定理第一頁，共55頁。1質(zhì)點(zhdin)的角動量質(zhì)點(zhdin)對O點的角動量：角動量的大小(dxio)：左手螺旋定則：左手四指由r經(jīng)大于180角轉(zhuǎn)向p，伸開的手指的指向就是角動量的指向。必須指明是對那個點而言的第1頁/共55頁第二頁，共55頁。3(2)的大小在0之間變化，假如把動量分解為徑向份量和縱向份量，則僅縱向份量才對角動量有貢獻。sinp通常情形下，和都是變化的，所以沒有確定的方向，但任一時刻，總垂直于和所確定的平面。在直角座標系下，的三個份量為
2、：注意(zhy)兩點：L(1)質(zhì)點的角動量是相對某一參考點而言的，因而對不同的參考點，角動量不同;第2頁/共55頁第三頁，共55頁。作圓周()運動質(zhì)點對O點的角動量的方向垂直于圓周()平面，大小為把過O點并垂直于圓周平面的直線當成轉(zhuǎn)軸，上式表示(biosh)質(zhì)點繞該軸轉(zhuǎn)動的角動量。xpyp第3頁/共55頁第四頁，共55頁。5直線運動的角動量若質(zhì)點m沿直線運動，任一時刻相對于參考點o的矢徑為，動量為，如右圖。在估算其角動量時，注意有兩個特征：(1)o點
3、到方向的垂直距離不變;(2)方向不變;2sinro如果的大小也不變，其實的大小不變。這表明，自由質(zhì)點對任意參考點的角動量保持不變。Lp第4頁/共55頁第五頁，共55頁。6質(zhì)點(zhdin)角動量定律質(zhì)點(zhdin)對慣性系中任一固定點的角動量對時間的變化率，等于這個質(zhì)點(zhdin)所受合力對該固定點的扭矩tddlM扭力(lj)：frM方向用左手螺旋定則判定，大小為第5頁/共55頁第六頁，共55頁。7證明()：牛頓定理角動量定律tddpf因，則有0ddtddpr
4、)d(ddlM即第6頁/共55頁第七頁，共55頁。8質(zhì)點(zhdin)角動量守恒定理：當質(zhì)點(zhdin)不受力，或所受合轉(zhuǎn)矩M=0時，常矢量()質(zhì)點角動量的大小和方向都保持不變。【例1.20】開普勒第二定理：行星相對太陽的位矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。在微觀化學現(xiàn)象中，角動量守恒起到非常重要的作用。第7頁/共55頁第八頁，共55頁。9rrdr設(shè)t時刻，行星在點，時刻在點，矢徑掃過的面積為dA，因為dt很小，該面積近似為一三角形面積，即1ptdt2prpr12(sin)dArd
5、s式中，就是三角形的高，ds是三角形斜邊厚度，也就是行星在dt時間內(nèi)運動的距離，這樣sinr第8頁/共55頁第九頁，共55頁。22(sin)rpmm而行星的角動量大小恒定，所以rpdAdt常量假如一個力的方向仍然()指向某一點，這力稱為有心力，這點，稱為力心。有心力對力心的扭矩恒為0，因而，在有心力作用下的質(zhì)點對力心的角動量守恒。這就是開普勒第二(dr)定理。第9頁/共55頁第十頁，共55頁。11質(zhì)點系角動量變化(binhu)定律和角動量守恒定理1.質(zhì)點系角動量.質(zhì)點系角動
6、量變化(binhu)定律質(zhì)點系對慣性系中任一固定點的角動量對時間的變化率，等于這個(zhge)質(zhì)點系所受對該固定點的合外扭力tddLM外外合外扭力：第10頁/共55頁第十一頁，共55頁。12證明()：對第i個質(zhì)點應(yīng)用角動量定律)()(對i求和(qih))(,)(0任意一對(ydu)內(nèi)力的扭力之和為零：內(nèi)力總成對出現(xiàn)，則質(zhì)點系所受合內(nèi)扭矩等于零，對弱冠動量沒有影響。第11頁/共55頁第十二頁，共55頁。133.角動
7、量守恒定理0外M假如質(zhì)點系所受合外轉(zhuǎn)矩，則0ddtL，常矢量L實驗表明，對于不受外界影響的粒子系統(tǒng)所經(jīng)歷的任意(rny)過程，包括不能用牛頓熱學描述的過程，都遵循角動量守恒定理。第12頁/共55頁第十三頁，共55頁。14【例1.21】光滑水平面上輕彈簧兩端各系一小球，開始彈簧處于自然寬度，兩小球靜止。今同時嚴打兩個小球，讓它們(tmen)沿垂直于彈簧軸線方向獲得等值反向的初速率v0。若果在之后的運動過程中彈簧的最大寬度為2l0，求初速率v0。k解剛體C點固定不動，相對()C點系統(tǒng)的角動量守恒。系統(tǒng)(xtng)：彈簧和小球初始時刻角動量：
8、lmvlL第13頁/共55頁第十四頁，共55頁。15彈簧達到最大厚度時，小球只能沿垂直于彈簧軸線方向運動(yndng)，則系統(tǒng)的角動量020vv機械能守恒(shuhn)：)2(第14頁/共55頁第十五頁，共55頁。16例1一直徑為R的光滑圓環(huán)放在豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m的小球(xioqi)穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動.小球(xioqi)開始時靜止于圓環(huán)上的點A(該點在通過環(huán)心O的水平面上)，之后從A點開始(kish)下降設(shè)小球與圓環(huán)間的摩
9、擦力略去不計求小球滑到點B時對環(huán)心O的角動量和角速率第15頁/共55頁第十六頁，共55頁。17解小球受力、作用(zuyng),的轉(zhuǎn)矩為零，重扭力垂直紙面向里由質(zhì)點(zhdin)的角動量定律得：第16頁/共55頁第十七頁，共55頁。18考慮到,得21)sin2()sin2(gmRL第17頁/共55頁第十八頁，共55頁。左手螺旋質(zhì)點：園周運動：22()
10、iirmrJ質(zhì)點系：園周運動：角動量定律：dLMdt合外扭力(lj)為0，角動量守恒。第18頁/共55頁第十九頁，共55頁。20二質(zhì)心(gngt)定軸轉(zhuǎn)動的角動量定律和角動量守恒定理1質(zhì)心(gngt)定軸轉(zhuǎn)動的角動量)(2第19頁/共55頁第二十頁，共55頁。212質(zhì)心(gngt)定軸轉(zhuǎn)動的角動量定律因為(yuy)質(zhì)心轉(zhuǎn)動力矩為一常量所以即稱質(zhì)心(gngt)定軸轉(zhuǎn)動的角動量定律第20頁/共55頁第二十一頁，共55頁。22非質(zhì)心(gngt)定軸轉(zhuǎn)動的角動量定律
11、剛體(gngt)定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定理0MJL，則若=常量對定軸轉(zhuǎn)的質(zhì)心，受合外轉(zhuǎn)矩M，從到內(nèi)，角速率從變?yōu)椋e分可得：第21頁/共55頁第二十二頁，共55頁。23角動量守恒定理是自然界的一個(y)基本定理.內(nèi)扭力(lj)不改變系統(tǒng)的角動量.守恒條件0M若不變，不變；若變，也變，但不變.JJLJ討論在沖擊等問題中L常量第22頁/共55頁第二十三頁，共55頁。24許多(xdu)現(xiàn)象都可以用角動量守恒來說明.花樣溜冰(huynhubn)跳水運動員跳水點擊(dinj)圖片播放第23頁/共55頁第二十四頁
12、，共55頁。25質(zhì)心對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒是常常()可以看到的，如人手持杠鈴的轉(zhuǎn)動,芭蕾舞藝人和花樣溜冰運動員作各類快速旋轉(zhuǎn)動作,都借助了對轉(zhuǎn)軸的角動量守恒定理。第24頁/共55頁第二十五頁，共55頁。26常量tJtJtJ第25頁/共55頁第二十六頁，共55頁。27第26頁/共55頁第二十七頁，共55頁。28自然界中存在(cnzi)多種守恒定理2動量()守恒定理2能量守恒定理2角動量()守恒定理2電荷守恒定理2質(zhì)量()守恒定理2宇稱守恒定理等第27頁/共55頁第二十八頁，共55頁。29例1一均質(zhì)棒，厚度為L，質(zhì)量為M，現(xiàn)
13、有一炮彈在距軸為y處水平射入細棒，炮彈的質(zhì)量為m,速率為v0。求炮彈細棒共同的角速率。其中(qzhng)子棒討論(toln)解炮彈、細棒系統(tǒng)的動量矩守恒ym0vJ水平()方向動量守恒第28頁/共55頁第二十九頁，共55頁。30例2：在光滑水平()桌面上放置一個靜止的質(zhì)量為M、長為2l、可繞中心轉(zhuǎn)動的細桿，有一質(zhì)量為m的小球以速率v0與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞，求小球的回調(diào)速率v及桿的轉(zhuǎn)動角速率。mo解：在水平面上，碰撞過程中系統(tǒng)(xtng)角動量守恒，mlml0（1）0v第29
14、頁/共55頁第三十頁，共55頁。31mo彈性碰撞(pnzhun)動能守恒，（2）2231)2(其中(qzhng)0v聯(lián)立(1)、(2)式求解(qiji)3mMM)v-()l(M6mv0第30頁/共55頁第三十一頁，共55頁。32例3磨擦離合器飛輪(filn)1：J1、w1磨擦輪2：J2靜止，三輪沿軸向結(jié)合，結(jié)合后三輪達到的共同角速率。三輪對共同轉(zhuǎn)軸()的角動量守恒解：試與下例的蝸桿漸開線(nih)過程比較。21第31頁/共55頁第三十二頁，共55頁。33三輪繞不同軸轉(zhuǎn)動(zhun
15、dng)，故對兩軸分別用角動量定律：211rr解：例4兩圓盤形蝸桿直徑r1、r2，對通過盤心垂直于大盤轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動力矩為J1、J2，開始1輪以轉(zhuǎn)動，之后三輪正交漸開線，求漸開線后三輪的角速率。0第32頁/共55頁第三十三頁，共55頁。34得：第33頁/共55頁第三十四頁，共55頁。35例5質(zhì)量很小寬度為l的均勻細桿，可繞開其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動當細桿靜止于水平位置時，有一只
16、小蟲以速度垂直落在距點O為l/4處，并背離點O向細桿的端點A爬行設(shè)蟲子與細桿的質(zhì)量均為m問：欲使細桿以恒定的角速率轉(zhuǎn)動，蟲子應(yīng)以多大速度向細桿端點爬行?0vl/4O第34頁/共55頁第三十五頁，共55頁。36220)4(v解蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)(xtng)角動量守恒第35頁/共55頁第三十六頁，共55頁。v由角動量定律(dngl))()121(考慮到t)(g第36頁/共55頁第三十七頁，共55頁。38例6一雜技
17、演員M由距水平蹺板高為h處自由下落到蹺板的一端(ydun)A，并把蹺板另一端(ydun)的藝人N彈了上去問藝人N可彈起多高?ll/第37頁/共55頁第三十八頁，共55頁。39設(shè)蹺板是勻質(zhì)的，厚度為l，質(zhì)量為，蹺板可繞中部支撐點C在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，藝人(ynyun)的質(zhì)量均為m假設(shè)藝人(ynyun)M落在蹺板上，與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞m解碰撞(pnzhun)前M落在A點的速率21M)2(ghv碰撞后的頓時(shnjin)，M、N具有相同的線速率2lu第38頁/共55頁第三十九頁，共55頁。40M、N和蹺板組成的系統(tǒng)(xtng)，角動量守恒
18、/第39頁/共55頁第四十頁，共55頁。)6()2(解得藝人N以u起跳，達到的高度：)63(Jlmv第40頁/共55頁第四十一頁，共55頁。420v解：碰撞(pnzhun)前的頓時桿對點的角動量為.求：桿在碰撞前后的瞬時繞點轉(zhuǎn)動的角速率。(細桿繞通過其端點且與其垂直的軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動力矩為)例7：一勻質(zhì)細桿長為質(zhì)量為，以與桿長垂直的速率在光滑水平面內(nèi)平動時與前方一固定光滑支點發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞點坐落桿中心的一方處如圖所示2
19、Lm0vo/式中為桿的線密度32LLvxdxvxdxvLmvL第41頁/共55頁第四十二頁，共55頁。43碰撞后頓時桿對點的角動量為o2221331137()()3423因碰撞(pnzhun)前后角動量守恒，所以=22007/12/LvL第42頁/共55頁第四十三頁，共55頁。44Rv/2R例8：在直徑為R的具有光滑豎直軸的水平園盤上，有一人靜止躺臥在距轉(zhuǎn)軸處剛體的角動量定理，人的質(zhì)量是園盤質(zhì)量的，開始時盤載人相對地以角速率勻速轉(zhuǎn)動，倘若此人垂直園盤直徑相對于盤以速
20、率沿與盤轉(zhuǎn)動相反方向作園周運動如圖所示。巳知園盤對中心軸的轉(zhuǎn)動力矩為，求：(1)園盤對地角速率;(2)欲使園盤對地靜止,人順著園周對園盤的速率的大小及方向？1/10,R/202/2MRv第43頁/共55頁第四十四頁，共55頁。45解(1)設(shè)當人以速率沿相對園盤轉(zhuǎn)動相反的方向走動時，園盤對地轉(zhuǎn)動的角速率為，則人對與地固聯(lián)的轉(zhuǎn)軸的角速率為v人與盤視為一個系統(tǒng)，對轉(zhuǎn)軸合外扭力為零，系統(tǒng)的角動量守恒。設(shè)盤的質(zhì)量為，則人的質(zhì)量為,M10/M22/vvRR(1)2222()()MRMRMRMR(2)將(1)式代入(2)式得：(3)第44頁/共5
21、5頁第四十五頁，共55頁。46(2)欲使盤對地靜止(jngzh)則(3)式必為零即,.得：2/210Rv(式中減號表示(biosh)人的走動方向與上一問中人的走動方向相反,即與盤的轉(zhuǎn)動方向一致)。第45頁/共55頁第四十六頁，共55頁。例:一質(zhì)量均勻分布的園盤，質(zhì)量為M,直徑為R,置于一粗糙水平面上,園盤可繞開其中心O的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動.開始時,園盤靜止,一質(zhì)量為m的炮彈以水平速率垂直于園盤直徑攻入園盤邊沿并嵌在盤邊上,求(1)炮彈擊中園盤后,園盤獲得的角速率；(2)經(jīng)過多少時間后,園盤停止轉(zhuǎn)動？(忽視炮彈重力引起的磨擦阻轉(zhuǎn)矩)0v第46頁/共55
22、頁第四十七頁，共55頁。48(1)以炮彈和園盤為系統(tǒng)，在炮彈擊中園盤的過程中對軸的角動量守恒O(2)設(shè)為園盤單位面積的質(zhì)量，可求出園盤所受水平面的磨擦扭矩的大小為()mvRMRmR012()mvMmR03222ssss第47頁/共55頁第四十八頁，共55頁。2()R根椐角動量定律(dngl)，有Rmv解得,設(shè)經(jīng)過時間園盤停止轉(zhuǎn)動,t第48頁/共55頁第四十九頁，共55頁。例3.2.3重力有一特性，月球上任一物體遭到的重力都指向地心;同樣，在點電荷產(chǎn)
23、生的靜電場中，其他點電荷遭到的斥力都指向場源電荷。人們把物體所受的指向一固定點的力稱為有心力，把對應(yīng)的力場稱為有心力場。證明：(1)在有心力作用下運動的物體，角動量守恒;(2)所有有心力都是保守力，因此有心力場中運動質(zhì)點機械能守恒;(3)在與距離成平方正比的有心力場中剛體的角動量定理，龍格-楞次矢量守恒;(4)平方反比力場中質(zhì)點的運動一定滿足開普勒運動。第49頁/共55頁第五十頁，共55頁。51證明()：(1)在有心力場中，質(zhì)點只遭到有心力作用(zuyng)，有心力對力心的扭矩一直為0，故質(zhì)點角動量守恒;(2)如圖所示，質(zhì)點遭到的有心力指向(zhxin)坐
24、標原點，于是有心力可表示為質(zhì)點在有心力作用下沿任意路徑運動過程中，有心力所做功為0FFr(1)()()()()()drFrrdrrdrnFrrdrrUrUr(2)第50頁/共55頁第五十一頁，共55頁。52由式(2)可知，有心力是保守力，它做功只與質(zhì)點(zhdin)始末位置有關(guān)，因而，也可以引入相應(yīng)勢能0()rrrUrFdr(3)將形成有心力場的場源和受有心力作用的質(zhì)點看作一個系統(tǒng)，這么，該質(zhì)點只遭到保守力-有心力作用，按照質(zhì)點系的功能原理，系統(tǒng)的機械能應(yīng)該()守恒。(3)若果有心力是平
25、方()反比力，令(4)第51頁/共55頁第五十二頁，共55頁。53式中，k為常數(shù)()，考察()()()()()()()1()vrvrvrrrrkrdrdrv11()()rkdtrrdtdtr有心力作用(zuyng)，角動量守恒()()()ABCACBABC第52頁/共55頁第五十三頁，共55頁。54()即或(常量)(4)為證明平方正比有心力場中質(zhì)點的運動一定(ydng)滿足開普勒運動，考察2()()LrBrB聯(lián)解以上兩式，得(10)()()()第53頁/共55頁第五十四頁，共55頁。55式中，常數(shù)常數(shù)式(10)表明，質(zhì)點運動正是極座標下的圓柱曲線多項式(當時，為橢圓多項式，當時，為雙曲線多項式;當時，為拋物線多項式)111第54頁/共55頁第五十五頁，共55頁。