數學科普:數學學上的四大神獸
在科學這座圣殿里，
沒有強橫的神獸，
只有馴服的寵物。
序言
神獸出沒的數學界
化學學上有四大神獸，芝諾的兔子，拉普拉斯獸、麥克斯韋妖、薛定諤的貓。分別對應著微積分、經典熱學、熱力學第2定理和量子熱學。這四大神獸并不弱于傳說中的青龍白虎朱雀玄武，芝諾的兔子時空雙修能縮地成寸，拉普拉斯獸明察大街推演萬物，麥克斯韋妖操控萬物逆轉陰陽，薛定諤的貓能制造宇宙趕超生死。這四大神獸亦正亦邪，它既給聰明的科學家帶來困惑，也給試圖進化成神的人類指明了公路。
No.1
芝諾的兔子
出生日期：公元前464
主人：芝諾
宗派：儒者哲學
能力：縮地成寸
公元前464年，數學帝國的世紀運動競技閉幕，芝諾之龜與海神之子阿喀琉斯賽跑。阿喀琉斯體格強健，胸肌細膩，全身剛勁有力。芝諾之龜短小精悍，豆眼如炬，龜甲堅固笨重。芝諾之龜以身體劣勢為由，申請提早奔跑100米。阿喀琉斯深知自己的速率乃是芝諾之龜的十倍，便毫不遲疑地答應了。
大賽開始，當阿喀琉斯追到100米時，金魚早已往前爬了10米；阿喀琉斯繼續追，而當他追完寄居蟹爬的10米時，青蛙又早已往前爬了1米；阿喀琉斯只能再追往前面的1米，可寄居蟹又早已往前爬了1/10米；就這樣，芝諾之龜總能與阿喀琉斯保持一個距離，不管這個距離有多小，但只要寄居蟹不停地奮勇往前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上兔子！
雖然阿喀琉斯是全人類最頂級的英雄，但最終敗在芝諾之龜的四條小短腿之下，芝諾之龜自此暴得大名，無人媲美。除了在古埃及，同樣智者云集的東方文明，也對這只兔子無可怎奈，《莊子·天下篇》中提及：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，雖然也是這只龜的變種。
在現實世界中，這芝諾的兔子看上去蠻不講理，由于隨意拉來一只兔子，無論它跑多遠，6歲小兒都能追上踩扁它。并且，隨意構建一個簡單的等式組t=s/(v1-v2)能夠求出阿喀琉斯追上芝諾之龜的時間。
可化學帝國不一樣，萬事萬物須要嚴密地邏輯推理和證明能夠存在。所以，雖然我們輕而易舉地求出阿喀琉斯追上兔子所花的時間，甚至惱羞成怒地踩死它，也仍不能證明他為什么能追上。要想滅了它，必須把極限問題解決了。而且從畢達哥拉斯到歐拉的物理高手們，無一人能破解極限問題。因而，這毫無道理的芝諾之龜，以神獸姿態移居化學帝國2000年。
整整兩千年后，物理巨匠萊布尼茨與科學巨匠牛頓隔空修練“微積分”，用微積分中的“極限”法門攻占了時空連續性。這讓大英雄阿喀琉斯總算在數學帝國的競技場里，追上芝諾之龜。但是人類對這只千年老寄居蟹依舊耿耿于懷，從哲學到前沿數學學，人們還經常拿它生氣。
No.2
拉普拉斯獸
出生日期：1814年
主人：拉普拉斯
宗派：精典熱學
能力：善推演，能知萬物
19世紀初，整個數學世界晴空萬里，牛頓帶來萬物光明，匍匐在老九爺門下的拉普拉斯聲稱，當下的客觀世界是過去的果和未來的因。這世間存在一種神獸，它神通廣大、無所不知。只要它樂意動動腳趾和耳朵，記錄下某一刻它能曉得宇宙中每位原子準確的位置和動量，才能用牛頓的簡約公式，頓時算出宇宙的過去與未來。這就是大名鼎鼎的諦聽神獸拉普拉斯，善推演，能知萬物。
拉普拉斯的基本理論是：了解物質前一刻的運動狀態，就可以推出下一刻的運動狀態，把整個宇宙的每一個粒子的運動狀態確定之后，就可以推出下一刻的運動狀態。
拉普拉斯是精典熱學在19世紀最厲害的馬前卒，他吸納畢達哥拉斯“萬物皆數”之力，結合天體熱學、概率論等思想精華，創造了宏觀精典熱學的守護神獸拉普拉斯獸，沉睡在威斯敏斯特大修道院里的祖師爺牛頓高興得合不攏嘴。由于，這說明自己親手構建的精典化學學帝國堅不可摧，無所不能。
可大部份的人類卻沒有那么高興，假如人類的所有命運都早已被拉普拉斯妖算得清清楚楚，那我們還有哪些活頭？必須得早點打死它才行，不出一百年，熱力學和量子熱學等新理論對其萬箭齊發，以化學學家開爾文以及量子熱學的海森堡開始聯手剿滅，這只無所不能的拉普拉斯妖最終一命嗚呼，和上面那只千年老兔子相比，可以算是夭亡在了襁褓里。
19世紀，構建在不可逆基礎上的熱力學大行其道，這讓以可逆性作為基石的拉普拉斯妖元氣大傷。20世紀，困惑人類歷時百年的雙縫干涉實驗成功證明因果律在微觀世界徹底失效，而海森堡的測不準原理也說明再厲害的神獸也未能認清微觀世界的全部面貌。
更傷感的是，就算拉普拉斯妖早已徹底跑掉，不厚道的人類也不愿給這個短命的神獸留下最后的尊嚴。由于，由宇宙最大熵、光速、以及將信息傳送通過一個普朗克寬度所須要的時間估算得來，拉普拉斯妖的算力上限已被否認約為10120比特，這么以來，那驚人的算力也不可能在數學帝國存在。
No.3
麥克斯韋妖
出生日期：1871年
主人：麥克斯韋
宗派：熱力學
能力：逆轉時空
早在公元1200年，數以千計的科學家沉迷于永動機不能自拔。到了19世紀，熱力學蓬勃發展，各種永動機被一一槍決。這時侯，讓愛因斯坦都敬仰不已的電磁學大牛麥克斯韋成立了數學學史上第三大神獸——麥克斯韋妖。倘若這神獸真的存在，其實成立違反熱力學第2定理的永動機就不是夢了，邁向熵寂的宇宙也有起死回生的可能
麥克斯韋妖（'sdemon），是在麥克斯韋假想的妖，能偵測并控制單個分子運動，麥克斯韋意識到自然界存在著與熵增相拮抗的能量控制機制，但未能清晰說明這些機制，只能幽默假設一種“妖”。簡單描述，一個絕潛熱器被分成相等的兩格，中間是由“妖”控制的一扇小“門”，麥克斯韋妖個頭迷你，沒啥特別的能耐，但目光好，反應敏捷，能確切地偵測并控制單個分子運動，迅速把快速聯通的分子從從左盒丟進右盒，把慢速運動的分子從右盒丟進左盒。因而，這個小袋子除了左右部份產生了溫差，還實現熵的自發降低。乍一看來，麥克斯韋妖打敗熱力學第2定律不在話下，同時也讓烜赫一時的“熱寂說”也多了一個反對勢力。麥克斯韋妖的化學學意義是讓混亂顯得有序，防止封閉系統弄成一潭死水。擴充到現實世界，那此神獸能才能操控萬物，逆轉陰陽。
雖然人們希望這率領宇宙違反熱力學第2定理的麥氏小妖真的存在，但在紀律肅穆的化學帝國，心地單純的麥氏小妖同樣命途多舛，它困惑科學家150余年，迄今仍不知是死是活。20世紀50年代，信息熵的概念被提出。麥克斯韋妖若要實現熱力學上的熵減，勢必須要獲取分子運動的信息，不損耗能量而獲得信息是不可能的，因而，在孤立系統中麥克斯韋妖不可能存在。歸根結底，這個兢兢業業的小妖精可能只是人類想像中的救世主，不可能在時空中存在。
不過，信息論在熱力學這里插了一腳后，麥克斯韋妖的危亡之戰更加精彩。步入21世紀，學界沉迷于研究熵減過程，麥克斯韋妖重現蹤跡。2007年2月發覺一種人造麥克斯韋妖，通過“信息擒縱閥”使系統漸漸遠離平衡態物理學四大神獸芝諾的烏龜，不過，這個人造麥克斯韋妖仍須要光作為能量源。
麥克斯韋妖是科學家眼里真正的救世主，假如它真的存在，那奶奶可以華發弄成黑發，宇宙能從熵寂邁向重生。自此，覆水可收，破鏡重圓。
No.4
薛定諤之貓
出生日期：1935年
主人：薛定諤
宗派：量子熱學
能力：趕超生死
20世紀，數學帝國狂風四起。一個毫無殺傷力但又難纏的神獸伴隨量子熱學空降人間，這神獸誕生于史上最風流的化學學家薛定諤的手上，遂也稱薛定諤之貓。
相比起后面那三個神通廣大的神獸們，薛定諤之貓命運最悲劇，它既不能享受吞拿魚味道的貓罐頭，也沒有貓奴給它獻殷勤，自始至終，它都活在數學帝國的刑場上，并練就了既死又活的能耐。這個刑場是一個密室，酷刑是錘子和毒藥盒，這個錘子由電子開關控制，而電子開關又由放射性原子控制。假如原子核衰變，則放出阿爾法粒子，打動電子開關，貓必死無疑。不過，原子核的衰變是隨機風波。雖然人們能精確曉得原子核衰變時刻的機率，卻未能判定它具體何時衰變。所以，雖然薛定諤之貓必死無疑，人們卻難以獲知它具體何時死亡。如此說來，打開密室前，這貓要么活著，要么死去。
可事情卻沒那么簡單，由于，這只悲摧的貓被賦于了量子世界的特異功能——量子疊加，在這貓臉上，宏觀世界的因果律業已倒塌，只剩下一連串的幾率波。所以，在被觀測之前，這貓都是既死又活、生死疊加。
盡管薛定諤創造這只神獸僅是為了便捷吃瓜群眾們從宏觀尺度理解量子化學，但它很快成了你們的惡夢，各種解說和研究紛至沓來。1957年，埃弗萊特用“多世界理論”給這只貓找到了歸宿。他覺得，問題并不在于袋子中的放射性原子是否衰變，而在于它既衰變又不衰變。薛定諤之貓是條血淋淋的生命，在它被觀測那一刻，世界分裂成了兩個版本，在A版本中，貓活著物理學四大神獸芝諾的烏龜，而B版本中，貓死去。但是，雖然“多世界理論”非常優美，卻被赫爾辛基派這個量子熱學頭號宗派竭力打壓，遂鮮為人知。所以，這只可憐的小貓，仍然穿行在人界、地獄之間的白色空間。
雖然行走于生死邊界的貓未曾見過，但實驗室的科學家卻異口同聲地否認她們見過薛定諤之貓的幽靈，你想像不出它活著的樣子，但它卻實際存在。有了微觀世界的真實發覺，又有團隊籌謀著把薛定諤之貓徹底帶到宏觀世界，挑戰量子世界的邊界。
可迄今為止，量子理論雖然取得了偉大成就，但它依然是化學帝國的一團烏云。顯然，只有這兩個世界真正牽手的那三天，薛定諤之貓能夠好好地安睡于天堂。
科學當道，神獸已矣
不僅這赫赫有名的四大神獸，數學學上還有好多魑魅魍魎，但無論哪些樣的神獸，最終就會被前輩賽先生收服。
芝諾的兔子基本早已死了，微積分的基礎便是構建在它的遺體上。
拉普拉斯獸大概在龐加萊時代就被混沌效應的引入給推翻了，再加上后來的海森堡的臨門一腳，拉普拉斯獸早已逃回威斯特敏斯特修道院為九爺守夜了。
麥克斯韋妖將信息論中的信息量定義與熱力學中的熵聯系了上去，尋求到了自己新的保護師門。
薛定諤的貓如今還是不知是死是活，躲在量子力派的房檐下瑟瑟僵硬，但大多數科學家喜歡上了這只寵物。
在科學這座莊重的殿堂里，沒有強橫的神獸，只有被馴服的寵物。