以上剖析推論不計及分子總動能改變的其它過程,因而分子總動能的增量乙E=一二氧化碳對外界作的元功滲A,即岔A二Pdy。_這個簡單的例說明作功作為系統(tǒng)與外界交換能量的一種形式書與書重疊的摩擦力原理,是有序運動能量與不規(guī)則熱運動能量間的轉(zhuǎn)換。參考文獻(xiàn)c1〕李椿、章立源、錢尚武編,《熱學(xué)》,人民教育出版社(1978),50一54頁?！?〕王竹溪著,《統(tǒng)計數(shù)學(xué)學(xué)概論》,高等教育出版社(1956),180一181頁。疊加原理上海交大化學(xué)系李平在普通數(shù)學(xué)中,有不少地方提到疊加原理。各類教材中對疊加原理有不同的理解,本文就疊加原理的意義、作用,以及在普通數(shù)學(xué)教學(xué)中怎樣處理等問題,初步地提出一種見解。并且是彼此獨立的。所以有時也把作用的疊加原理叫·做作用的獨立性原理。(3)任何一個線性系統(tǒng)的運動都可表示為一個線性微分等式。線性微分多項式的一個重要特征就是解的疊加性。諸如,彈簧振子的受迫震動的微分多項式為一、什么是盈加原理當(dāng)一個系統(tǒng)遭到某種作用時,此系統(tǒng)便形成相應(yīng)的響應(yīng)。
通常說來響應(yīng)可以是很復(fù)雜的。但在個別情況下,響應(yīng)也可以呈十分簡單的方式,即當(dāng)幾個性質(zhì)相同的作用同時作用于系統(tǒng)時,所形成的響應(yīng)是彼此獨立的。井且,合作用形成的合響應(yīng),等于各單獨響應(yīng)的和。在這些情況下,我們就說作用是滿足疊加原理的。疊加原理是一個數(shù)學(xué)規(guī)律,是由化學(xué)系統(tǒng)的性質(zhì)所決定的。下邊再補(bǔ)充幾點說明(1)我們把滿足疊加原理的響應(yīng)嗎做線性響應(yīng);形成線性響應(yīng)的系統(tǒng)嗎做線性系統(tǒng)。因為當(dāng)響應(yīng)與作用之間成正此的關(guān)系時,一定滿足疊加原理;而滿足疊加原理的響應(yīng)與作用之間不一定是反比的關(guān)系。所以用響應(yīng)與作用或反比的關(guān)系來定義線性系統(tǒng),是一個狹義的定義。(2)因為各作用形成的響應(yīng)是可加量砂xdx,。m而丁十r不+K’x=廠“)是一個線性二階常微分等式。引入一個算子L:一(爪黯二橇·“)后,此微分等式便可寫成Lx=F在上式中,策動力F是作用于系統(tǒng)的作、用量;x是系統(tǒng)的響應(yīng)量;L表示系統(tǒng)的性質(zhì)。由此式可以看出,作藥量與響應(yīng)量之間是線性關(guān)系;L是一個線性算子,所以此系統(tǒng)是一個線性系統(tǒng)。
若作用為F:時的解為xl,作用為F:時的解為孔,則有Lxl=FIL耘=FZ相乘后得L(x;+孔)二F;十FZ即F:+FZ的解是x:+xZ。此結(jié)果就是解的疊加性。說明作用F是滿足疊加原理的。(4)既然滿足疊加原理時,作用的疊加等于響應(yīng)的疊加,所以有時是作用的疊加原理,有時是響應(yīng)的疊加原理。比如力的疊加原理就是作用的疊加原理;電場的疊加原理就是響應(yīng)的疊加原理。因為這兒只是一個定義的間題,井不存在作用與響應(yīng)之間是哪些關(guān)系的問題。井不是一個數(shù)學(xué)規(guī)律。所以按照我們的定義它不是一個原理。不宜將矢量性做為疊加原理而被提出。二、為什么要引入盈加原理引入疊加原理的目的,實際上就是從作用與響應(yīng)的關(guān)系上把數(shù)學(xué)系統(tǒng)分成兩類:滿足疊加原理的是線性系統(tǒng);不滿足疊加原理的是非線性系統(tǒng)。通常說來,線性現(xiàn)象所滿足的線性微分多項式通常都可以歸結(jié)為代數(shù)運算而得到解答。非線性現(xiàn)象所滿足的非線性微分多項式通常是很難求解的。至于什么系統(tǒng)是屬于線性的,什么系統(tǒng)是屬于非線性的,則取決于系統(tǒng)的物理性質(zhì)。
必須直接地或間接地由實驗來確定。實際上可以分為兩種情況,一種情況是響應(yīng)的規(guī)律與作用的強(qiáng)弱無關(guān)。即無論作用的強(qiáng)弱怎么,線性現(xiàn)象或非線性現(xiàn)象仍然不變。另一種情況是響應(yīng)的規(guī)律隨作用的強(qiáng)弱而變。諸如,當(dāng)作用很強(qiáng)時便表現(xiàn)出非線性現(xiàn)象;當(dāng)作用很弱時便表現(xiàn)出線性現(xiàn)象。因為線性現(xiàn)象具有特殊規(guī)律和固有的處理方式,使人們在個別理論中,常常把滿足疊加原理做為基本出發(fā)點。下邊具體討論一下,在普通數(shù)學(xué)教學(xué)中各有關(guān)部份關(guān)于疊加原理的處理問題。三、運動的獨立性原理有些教材在質(zhì)點運動學(xué)部份把機(jī)械運動的矢量性哄做運動的獨立性原理。實際上運動的矢量性來始于位矢的定義。黨參照系確定后,質(zhì)點在空間的位置便可表示為自原點引向質(zhì)點的一個有方向的線段,即用一個矢量來表示書與書重疊的摩擦力原理,哄做位矢。由位矢的定義便可導(dǎo)入位移、速度、加速度的矢量性。四、力的獨立性原理也畔做力的疊加原理。這個原理是在質(zhì)點動力學(xué)部份關(guān)于牛頓第二定理的構(gòu)建過程中引進(jìn)的。在通常教材中牛頓第二定理是做為一個實驗定理引出的。井且是只從一維運動的實驗引出的。即首先從實驗證明了一個一維的表示式F二fna式中質(zhì)量仇已知是一個標(biāo)量。
有一種推理方式,覺得既然加速度為一矢量,則可以預(yù)期力也是一個矢量。很自然地把力的方向考慮為,當(dāng)它獨立作用時所形成的加速度的方向。假如上式F=琳a是一個定義式,即從a來定義F的話,這些推理方式可以說是可以的。但實際上,式F=ma是一個實驗定理。所以這個推理方式是不可以的。對一于一個實驗定理來說,式中兩側(cè)的數(shù)學(xué)量必須是獨立檢測和確定的。所以力的性質(zhì)必須通過實驗來確定。按照實驗發(fā)覺:幾個力同時作用于一物體上時,所形成的加速度,等于每位力分別作用時所形成的加速度的矢量和。所以力是滿足疊加原理的,這就確定了力的矢量性。有了疊加原理后便可獨立地研究一個分力的作用。在牛頓第二定理中,我們是以質(zhì)點。為系統(tǒng),以F為作藥量,以加速度a為響應(yīng)量。五、振動的盈加原理在一些教材中,在述說震動的合成(疊加)時,首先述說了疊加原理。這些安排的目的,雖然是為了說明震動合成的基礎(chǔ)是疊加原理。依據(jù)這些觀點,就是說假如不滿足蠶加原理就不能合成了。
其實這是從動力學(xué)的角度來考慮問題的。并且在震動合成這一部份所講的內(nèi)容井沒有涉及策動力的問題。它只是從純運動學(xué)的角度來研究合震動中位移的合成問題。拜且,倘若不單獨來研究位移的合成,也就難以在位移的合成與策動力的合成之間做比較。由此可見,在震動的合成這一部份所講的內(nèi)容,既然是從純運動學(xué)的角度來討論的,也就浚有必要先講疊加原理了。點。七、電勢的必加原理電場中一點p處的電勢U(p)定義為電場自p點到無窮遠(yuǎn)處的線積分。拜按照電場的疊加原理得:U(p)一{:E·“六、電場的必加原理靜熱學(xué)中最基本的一個定理就是庫侖定理。設(shè)有兩個點電荷q。和q,相距為r,則庫侖定理的表示式為一{:(El+EZ+?+‘·,·“‘=Ui(P)+UZ(P)+?+U,(p)=習(xí)U‘(p),1qoq人矛=4元。。萬r庫侖定理只適用于兩個點電荷。但在許多情況下常有若干個電荷彼此同時互相作用。對于此類情況應(yīng)怎樣解決就必須補(bǔ)充新的實驗事實。實驗證明,作用于某一電荷上的合力,等于各個電荷單獨作用時所造成的力的矢量和。
這一事實便是電力的疊加原理。此時的“作用”是源電荷q;“系統(tǒng)”是試探電荷q0,“響應(yīng)”是電力F。有了疊加原理之后,當(dāng)空間除了電荷q0之外尚存在電荷q:、qZ一q。時,則作用在q0上的力為即電場中某點的電勢,等于各個點電荷單獨存在時電場在該點電位的代數(shù)和。這就是電勢的疊加性。但因為井沒有補(bǔ)充新的實驗事實,所以電勢的疊加性可以不做為一個原理。、裁臀;‘一舒電場硬度的定義是單位正電荷所受的力。設(shè)q。為試探電荷,于是有_F‘石二二—二二成客升燕一郭‘由于電力是滿足疊加原理的,所以電場也滿足疊加原理。在靜電學(xué)中,把庫侖定理和疊加原理這兩個經(jīng)驗事實做為解決問題的出發(fā)八、波的盈加原理波的疊加原理常見于機(jī)械波部份和光學(xué)部份。機(jī)械波是震動在介質(zhì)中的傳播過程。各類機(jī)械波的共同特征是:在小振幅的情況下,波動多項式是線性的;在大振幅的情況下,波動等式便是非線性的。這是由于在小振幅的情況下做了一系列的線性近似的原故。做了近似之后,才得到線性波動多項式。
線性多項式說明,介質(zhì)對于振源的響應(yīng)是線性的。由此可見,機(jī)械波在小振幅的情況下是符合疊加原理的。當(dāng)有兩個振源同時做小震動時,各自形成的波可在介質(zhì)的同一區(qū)域中獨立傳播。在機(jī)械波的情況下,“作用”是振源,“系統(tǒng)”是介質(zhì),“響應(yīng)”是振幅。電磁波的疊加原理則又是另一個特性。電磁波是電磁場的一種運動方式,它的傳播是不需耍介質(zhì)的。在其空中電磁波的多項式是線性多項式,這歸根結(jié)蒂是來始于電場和磁場的疊加原理。當(dāng)電磁波作用于物質(zhì)時,比如電磁波在介質(zhì)中的傳播,則交變電場將對介質(zhì)中的原子系統(tǒng)發(fā)生作用,原子系統(tǒng)將形成響應(yīng),即形成電偶極矩,電偶極矩是一種場源,它形成極化場,極化場發(fā)射出次級輻射。假如入射波比原子內(nèi)部的場強(qiáng)小得多,則介質(zhì)中咸生的極化硬度與外加場強(qiáng)成反比P=aE由此可知,P的變化與E是相同的,次級輻射與入射波疊加后頻度不變。假如幾種不同頻度的波同時作用于該介質(zhì)時,各類頻度的波都線性獨立地傳播,不會形成新的頻度。這就是通常所說的光的獨立性原理。此時的“作用”是電磁波,“系統(tǒng)”是介質(zhì),“響應(yīng)”是次級輻射。
假如入射的電磁波很強(qiáng),則介質(zhì)對此入射波的響應(yīng)便是非線性的,即P=aE+刀EZ+夕E3+?此時,因為出現(xiàn)了非線性項,所以不滿足疊加原理。因此形成非線性光學(xué)現(xiàn)象。保持滾動無滑動的條件長沙學(xué)院盧國生圓錐、圓筒或球體在曲面上滾動時,保持無滑動的條件是:滾動物體和曲面之間的最大靜磨擦力f,。要小于或等于維持滾動無滑動所需的靜磨擦力f。設(shè)f和f,。與剛體運動方向相同時為正,相反時為負(fù),則這一條件可表示為If,。}》}fl.上式表示的保持滾動無滑動的條件很簡單,但卻常常被忽略。如今我們來剖析因為忽略這一條件,在處理有關(guān)滾動的熱學(xué)問題時,一些數(shù)學(xué)學(xué)教科書和習(xí)題集中出現(xiàn)的問題。一、質(zhì)量均勻的小球在圓環(huán)軌道上滾動《物理學(xué)習(xí)題集》(上海學(xué)院化學(xué)系、中國科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室合編)第一冊P.190質(zhì)心力學(xué)習(xí)題7一95全文如下“如圖7一95所示,直徑為r的均勻球在斜面上從靜止開始滾下,設(shè)球沒有滑動,軌道上部是一個直徑為R的圓環(huán)。
如不計阻力耗損,試問:(1)要使小球能滾到圓環(huán)最低點,問開始時它的剛體要比圓環(huán)的頂高多少?_二、__,_,、、__,_.__二,._.、._~_~.、“__,.?_,.,,_._~_‘l,(2)球沿圓軌道抵達(dá)最高處的最小速率是多少?”習(xí)題集給出的答案是:(1)六(7R、一‘f~‘曰~,“~一“~~’一J~”J~‘刁~~~~一.一刁~~‘目~曰子曰~~.、一10、’一17r),(2)側(cè)g(R一r)。觀察圖1可以構(gòu)建小球無滑動滾到圓環(huán)軌道任意位置尸的運動多項式為f一mgsins=ma:,(1)N一m夕eoss=爪t)2(R一r)(2)‘一(普m獷2)二(3)