以上剖析推論不計及分子總動能改變的其它過程,因而分子總動能的增量乙E=一二氧化碳對外界作的元功滲A,即岔A二Pdy。_這個簡單的例說明作功作為系統與外界交換能量的一種形式書與書重疊的摩擦力原理,是有序運動能量與不規則熱運動能量間的轉換。參考文獻c1〕李椿、章立源、錢尚武編,《熱學》,人民教育出版社(1978),50一54頁。〔2〕王竹溪著,《統計數學學概論》,高等教育出版社(1956),180一181頁。疊加原理上海交大化學系李平在普通數學中,有不少地方提到疊加原理。各類教材中對疊加原理有不同的理解,本文就疊加原理的意義、作用,以及在普通數學教學中怎樣處理等問題,初步地提出一種見解。并且是彼此獨立的。所以有時也把作用的疊加原理叫·做作用的獨立性原理。(3)任何一個線性系統的運動都可表示為一個線性微分等式。線性微分多項式的一個重要特征就是解的疊加性。諸如,彈簧振子的受迫震動的微分多項式為一、什么是盈加原理當一個系統遭到某種作用時,此系統便形成相應的響應。
通常說來響應可以是很復雜的。但在個別情況下,響應也可以呈十分簡單的方式,即當幾個性質相同的作用同時作用于系統時,所形成的響應是彼此獨立的。井且,合作用形成的合響應,等于各單獨響應的和。在這些情況下,我們就說作用是滿足疊加原理的。疊加原理是一個數學規律,是由化學系統的性質所決定的。下邊再補充幾點說明(1)我們把滿足疊加原理的響應嗎做線性響應;形成線性響應的系統嗎做線性系統。因為當響應與作用之間成正此的關系時,一定滿足疊加原理;而滿足疊加原理的響應與作用之間不一定是反比的關系。所以用響應與作用或反比的關系來定義線性系統,是一個狹義的定義。(2)因為各作用形成的響應是可加量砂xdx,。m而丁十r不+K’x=廠“)是一個線性二階常微分等式。引入一個算子L:一(爪黯二橇·“)后,此微分等式便可寫成Lx=F在上式中,策動力F是作用于系統的作、用量;x是系統的響應量;L表示系統的性質。由此式可以看出,作藥量與響應量之間是線性關系;L是一個線性算子,所以此系統是一個線性系統。
若作用為F:時的解為xl,作用為F:時的解為孔,則有Lxl=FIL耘=FZ相乘后得L(x;+孔)二F;十FZ即F:+FZ的解是x:+xZ。此結果就是解的疊加性。說明作用F是滿足疊加原理的。(4)既然滿足疊加原理時,作用的疊加等于響應的疊加,所以有時是作用的疊加原理,有時是響應的疊加原理。比如力的疊加原理就是作用的疊加原理;電場的疊加原理就是響應的疊加原理。因為這兒只是一個定義的間題,井不存在作用與響應之間是哪些關系的問題。井不是一個數學規律。所以按照我們的定義它不是一個原理。不宜將矢量性做為疊加原理而被提出。二、為什么要引入盈加原理引入疊加原理的目的,實際上就是從作用與響應的關系上把數學系統分成兩類:滿足疊加原理的是線性系統;不滿足疊加原理的是非線性系統。通常說來,線性現象所滿足的線性微分多項式通常都可以歸結為代數運算而得到解答。非線性現象所滿足的非線性微分多項式通常是很難求解的。至于什么系統是屬于線性的,什么系統是屬于非線性的,則取決于系統的物理性質。
必須直接地或間接地由實驗來確定。實際上可以分為兩種情況,一種情況是響應的規律與作用的強弱無關。即無論作用的強弱怎么,線性現象或非線性現象仍然不變。另一種情況是響應的規律隨作用的強弱而變。諸如,當作用很強時便表現出非線性現象;當作用很弱時便表現出線性現象。因為線性現象具有特殊規律和固有的處理方式,使人們在個別理論中,常常把滿足疊加原理做為基本出發點。下邊具體討論一下,在普通數學教學中各有關部份關于疊加原理的處理問題。三、運動的獨立性原理有些教材在質點運動學部份把機械運動的矢量性哄做運動的獨立性原理。實際上運動的矢量性來始于位矢的定義。黨參照系確定后,質點在空間的位置便可表示為自原點引向質點的一個有方向的線段,即用一個矢量來表示書與書重疊的摩擦力原理,哄做位矢。由位矢的定義便可導入位移、速度、加速度的矢量性。四、力的獨立性原理也畔做力的疊加原理。這個原理是在質點動力學部份關于牛頓第二定理的構建過程中引進的。在通常教材中牛頓第二定理是做為一個實驗定理引出的。井且是只從一維運動的實驗引出的。即首先從實驗證明了一個一維的表示式F二fna式中質量仇已知是一個標量。
有一種推理方式,覺得既然加速度為一矢量,則可以預期力也是一個矢量。很自然地把力的方向考慮為,當它獨立作用時所形成的加速度的方向。假如上式F=琳a是一個定義式,即從a來定義F的話,這些推理方式可以說是可以的。但實際上,式F=ma是一個實驗定理。所以這個推理方式是不可以的。對一于一個實驗定理來說,式中兩側的數學量必須是獨立檢測和確定的。所以力的性質必須通過實驗來確定。按照實驗發覺:幾個力同時作用于一物體上時,所形成的加速度,等于每位力分別作用時所形成的加速度的矢量和。所以力是滿足疊加原理的,這就確定了力的矢量性。有了疊加原理后便可獨立地研究一個分力的作用。在牛頓第二定理中,我們是以質點。為系統,以F為作藥量,以加速度a為響應量。五、振動的盈加原理在一些教材中,在述說震動的合成(疊加)時,首先述說了疊加原理。這些安排的目的,雖然是為了說明震動合成的基礎是疊加原理。依據這些觀點,就是說假如不滿足蠶加原理就不能合成了。
其實這是從動力學的角度來考慮問題的。并且在震動合成這一部份所講的內容井沒有涉及策動力的問題。它只是從純運動學的角度來研究合震動中位移的合成問題。拜且,倘若不單獨來研究位移的合成,也就難以在位移的合成與策動力的合成之間做比較。由此可見,在震動的合成這一部份所講的內容,既然是從純運動學的角度來討論的,也就浚有必要先講疊加原理了。點。七、電勢的必加原理電場中一點p處的電勢U(p)定義為電場自p點到無窮遠處的線積分。拜按照電場的疊加原理得:U(p)一{:E·“六、電場的必加原理靜熱學中最基本的一個定理就是庫侖定理。設有兩個點電荷q。和q,相距為r,則庫侖定理的表示式為一{:(El+EZ+?+‘·,·“‘=Ui(P)+UZ(P)+?+U,(p)=習U‘(p),1qoq人矛=4元。。萬r庫侖定理只適用于兩個點電荷。但在許多情況下常有若干個電荷彼此同時互相作用。對于此類情況應怎樣解決就必須補充新的實驗事實。實驗證明,作用于某一電荷上的合力,等于各個電荷單獨作用時所造成的力的矢量和。
這一事實便是電力的疊加原理。此時的“作用”是源電荷q;“系統”是試探電荷q0,“響應”是電力F。有了疊加原理之后,當空間除了電荷q0之外尚存在電荷q:、qZ一q。時,則作用在q0上的力為即電場中某點的電勢,等于各個點電荷單獨存在時電場在該點電位的代數和。這就是電勢的疊加性。但因為井沒有補充新的實驗事實,所以電勢的疊加性可以不做為一個原理。、裁臀;‘一舒電場硬度的定義是單位正電荷所受的力。設q。為試探電荷,于是有_F‘石二二—二二成客升燕一郭‘由于電力是滿足疊加原理的,所以電場也滿足疊加原理。在靜電學中,把庫侖定理和疊加原理這兩個經驗事實做為解決問題的出發八、波的盈加原理波的疊加原理常見于機械波部份和光學部份。機械波是震動在介質中的傳播過程。各類機械波的共同特征是:在小振幅的情況下,波動多項式是線性的;在大振幅的情況下,波動等式便是非線性的。這是由于在小振幅的情況下做了一系列的線性近似的原故。做了近似之后,才得到線性波動多項式。
線性多項式說明,介質對于振源的響應是線性的。由此可見,機械波在小振幅的情況下是符合疊加原理的。當有兩個振源同時做小震動時,各自形成的波可在介質的同一區域中獨立傳播。在機械波的情況下,“作用”是振源,“系統”是介質,“響應”是振幅。電磁波的疊加原理則又是另一個特性。電磁波是電磁場的一種運動方式,它的傳播是不需耍介質的。在其空中電磁波的多項式是線性多項式,這歸根結蒂是來始于電場和磁場的疊加原理。當電磁波作用于物質時,比如電磁波在介質中的傳播,則交變電場將對介質中的原子系統發生作用,原子系統將形成響應,即形成電偶極矩,電偶極矩是一種場源,它形成極化場,極化場發射出次級輻射。假如入射波比原子內部的場強小得多,則介質中咸生的極化硬度與外加場強成反比P=aE由此可知,P的變化與E是相同的,次級輻射與入射波疊加后頻度不變。假如幾種不同頻度的波同時作用于該介質時,各類頻度的波都線性獨立地傳播,不會形成新的頻度。這就是通常所說的光的獨立性原理。此時的“作用”是電磁波,“系統”是介質,“響應”是次級輻射。
假如入射的電磁波很強,則介質對此入射波的響應便是非線性的,即P=aE+刀EZ+夕E3+?此時,因為出現了非線性項,所以不滿足疊加原理。因此形成非線性光學現象。保持滾動無滑動的條件長沙學院盧國生圓錐、圓筒或球體在曲面上滾動時,保持無滑動的條件是:滾動物體和曲面之間的最大靜磨擦力f,。要小于或等于維持滾動無滑動所需的靜磨擦力f。設f和f,。與剛體運動方向相同時為正,相反時為負,則這一條件可表示為If,。}》}fl.上式表示的保持滾動無滑動的條件很簡單,但卻常常被忽略。如今我們來剖析因為忽略這一條件,在處理有關滾動的熱學問題時,一些數學學教科書和習題集中出現的問題。一、質量均勻的小球在圓環軌道上滾動《物理學習題集》(上海學院化學系、中國科學技術學院數學教研室合編)第一冊P.190質心力學習題7一95全文如下“如圖7一95所示,直徑為r的均勻球在斜面上從靜止開始滾下,設球沒有滑動,軌道上部是一個直徑為R的圓環。
如不計阻力耗損,試問:(1)要使小球能滾到圓環最低點,問開始時它的剛體要比圓環的頂高多少?_二、__,_,、、__,_.__二,._.、._~_~.、“__,.?_,.,,_._~_‘l,(2)球沿圓軌道抵達最高處的最小速率是多少?”習題集給出的答案是:(1)六(7R、一‘f~‘曰~,“~一“~~’一J~”J~‘刁~~~~一.一刁~~‘目~曰子曰~~.、一10、’一17r),(2)側g(R一r)。觀察圖1可以構建小球無滑動滾到圓環軌道任意位置尸的運動多項式為f一mgsins=ma:,(1)N一m夕eoss=爪t)2(R一r)(2)‘一(普m獷2)二(3)