在數學學中，有一類特殊的實驗：它們不須要購置高昂的儀器，不須要大量的人力物力，須要的只是有邏輯的腦部；而這些實驗卻可以挑戰前人的推論，完善新的理論，甚至引起人們對世界認識的重新思索。這些實驗就是傳說中的思想實驗。歷史上的許多偉大數學學家，都曾設計過發人深思的思想實驗，伽利略、牛頓、愛因斯坦便是其中的代表，這種思想實驗除了對化學學的發展有著不可磨滅的作用，更是顛覆了人們對世界對宇宙的認識。這篇文章將從易到難地介紹一下數學學歷史上的幾個知名思想實驗。
慣性原理
自從亞里士多德時代以來，人們仍然以為力是運動的緣由，沒有力的作用物體的運動就會靜止。直至伽利略提出了下邊這一個家喻戶曉的思想實驗，人們才曉得了慣性原理——一個不受任何外力(或則合外力為0)的物體將保持靜止或勻速直線運動：
構想一個一個豎直放置的V字形光滑滑軌，一個小球可以在里面無磨擦的滾動。讓小球從上端往下滾動，小球將滾到左側的同樣高度。假如增加兩側滑軌的斜率，小球一直將滾動到同樣高度，此時小球在水平方向下將滾得更遠。斜率越小，則小球為了滾到相同高度就必須滾得越遠。此時再構想兩側滑軌斜率不斷增加以至于降為水平，則依照上面的經驗，倘若無磨擦力阻撓，小球將會仍然滾動下去，保持勻速直線運動。
在任何實際的實驗當中，由于磨擦力總是難以忽視，所以任何真實的實驗都未能嚴格地證明慣性原理，這也正是古人沒有得出慣性原理的誘因。但是思想實驗就可以做到，僅僅通過日常經驗的延展就可以讓任何一個理智的人相信慣性原理的正確性，這一最簡單的思想實驗足以彰顯出思想實驗的鋒芒！
兩個小球同時落地
仍是受亞里士多德的影響，伽利略之前的人們以為越重的物體下落越快，而越輕的物體下落越慢。伽利略在漢堡斜塔上的知名實驗人盡皆知，但是好多人不曉得的是，雖然在這之前伽利略早已通過一個思想實驗證明了兩個小球必須同時落地：
假如亞里士多德的論斷是對的話，這么不妨構想把一個重球和一個輕球綁在一起下落。因為重的落得快而輕的落得慢，輕球會拖放住重球給它一個阻力讓它減速，因而倆球的下落速率應當會介于重球和輕球下落速率之間。但是，假若把兩個球看成一個整體，則總重量小于重球，它應該下落得比重球單獨下落時更快的。于是這兩個結論之間自相矛盾，亞里士多德的論斷錯誤，兩個小球必須同時落地。
有了上述思想實驗，實際上兩個小球同時落地就早已除了是一個數學上創立的定理了，而是在邏輯上就必須這么。在這個事例中，思想實驗起到了真實實驗難以達到的作用：雖然在我們小學所學的牛頓引力理論不適用的情形，兩個小球同時落地仍然是創立的！前面我會提到廣義相對論中的等效原理，這個思想實驗在邏輯上的必然創立是愛因斯坦總結出等效原理的關鍵誘因。
牛頓的大炮
如圖，一門架在高山上的大炮以很高的速率向外水平地發射火箭彈，子彈速率越快，才會落到越遠的地方。一旦速率足夠快，則子彈就永遠也不會落地，而是會繞著地球作周期性的運動。
牛頓的這一簡單的思想實驗，第一次讓人們認識到，原先地球不會掉到地上來（也不會跑掉）的緣由，正是造成蘋果落地的引力！牛頓的引力理論促使了人們認識上的一個飛越：天上的東西并不“神圣”，她們遵守的規律和地上的普通物體完全一致。
水桶實驗
用長繩吊一水桶，讓它旋轉至繩扭緊，之后將水注入，水與桶暫時都處于靜止中，這時其實液面水平。再猛然使桶反方向旋轉，剛開始的時侯海面并未跟隨著運動，此時海面一直水平。并且后來，桶逐步把運動傳遞給水，使水也開始旋轉，就可以看見水逐漸離開其中心而沿桶壁上升產生凹面。運動越快，水升的越高。如果此時忽然讓桶靜止，水因為慣性仍將旋轉，此時的液面仍為凹面。牛頓覺得，湖面的下凹，不是由水對周圍的相對運動導致的，而是由水的絕對的、真正的圓周運動導致的，因而由海面的下凹就可以判定絕對運動的存在。
這一思想實驗，是牛頓為了論證絕對空間的存在而設計下來的。但是，眾所周知，牛頓的絕對時空觀雖然是錯誤的，也就是說這一思想實驗似乎是個失敗的反例。這一謬論，在100多年以后才被哲學家兼數學學家馬赫所強調。馬赫覺得，湖面的凹坑，并不是因為水相對于“絕對空間”的運動，而是因為相對宇宙間的所有其他物體的運動，這種其他所有物體通過引力對水施加了作用。其中起決定性作用的物體則是遙遠的天體，正是遙遠的天體的“參考系拖放”作用使得相對于它們旋轉的液面發生了凹坑。馬赫覺得并不存在絕對空間，所有參考系等價。如果才能使海面保持靜止，而讓所有遙遠天體一齊旋轉，根據馬赫的觀點，靜止海面將形成凹液面。我們或許難以做這樣的實驗，而且假如用幾公里厚的水桶做前面的水桶實驗，則人們便不能肯定牛頓對液面的平凹的判定了。。后來，馬赫的觀點對愛因斯坦發明廣義相對論形成了決定性的影響，馬赫原理本身也隨著廣義相對論的逐步否認而得到了廣泛認可。
奧伯斯佯謬
在20世紀的宇宙大爆燃理論提出之前，人們對于宇宙的認識是樸實的：宇宙無限大、存在的時間無限長、宇宙處于穩恒態、宇宙中的星系分布在大尺度上均勻。但是那時的人們不曉得的是，從這四條基本假定卻可以邏輯地推出與事實顯著偏頗的推論——奧伯斯佯謬：
假如宇宙是穩恒，無限大，時空平直的，其中均勻分布著同樣的發光體，因為發光體的亮度與距離的平方成正比，而一定距離上球殼內的發光體數量和距離的平方成反比，這樣就促使對全部發光體的亮度的積分不收斂，黑夜的天空應該是無限亮的。
但是每晚的黑夜總是如期降臨，天空并不是始終無限亮著。這就說明先前我們對宇宙的認識存在問題。奧伯斯本人給出了一個解釋，他覺得宇宙中存在的塵埃、不發光的恒星吸收了一部份光線。但是這個解釋是錯誤的，由于依據熱力學第一定理，能量必將守恒，甚或中間的阻隔物會變熱而開始放出幅射，結果造成天上有均勻的幅射，氣溫應該等于發光體表面的氣溫，也即天空和恒星一樣亮，但是事實上沒有觀察到這些現象。直至宇宙大爆燃理論的提出，奧伯斯佯謬才迎刃而解。按照大爆燃理論，宇宙誕生于150億年前的一個大爆燃，到現今宇宙仍處在膨脹的過程當中，為此，宇宙的存在時間便是有限的，但是并非處在穩恒態。四條基本假定的兩條早已不再創立，因而奧伯斯佯謬也自然被擊潰。
拉普拉斯妖
牛頓然后的時代，精典熱學在描述世界上形成了巨大的成功，人們漸漸的相信世界是可以用數學定理機械地描述的。比較極端地，拉普拉斯就相信機械決定論，覺得世間萬物（包括人類、社會）都逃不過確定的數學定理的掌控。
“我們可以把宇宙如今的狀態視為其過去果以及未來的因。假如一個智能曉得某一刻所有自然運動的力和所有自然構成的物件的位置，如果他也就能對那些數據進行剖析，那宇宙里最大的物體到最小的粒子的運動就會包含在一條簡單公式中。對于這智者來說沒有事物會是含混的，而未來只會像過去般出現在他面前?！薄绽?span style="display:none">cAX物理好資源網(原物理ok網)
拉普拉斯提及的“智能”，便是后人所稱的“拉普拉斯妖”。如果拉普拉斯妖是存在的，那這個世界也太可怕了：你我的行為全部都可以通過估算得出，我們的命運也全都被數學定理+初始條件嚴格的定出了，沒有哪些會是估算之外的，那生活還有哪些樂趣可言！辛運的是，混沌理論和量子熱學的發展，讓拉普拉斯妖永遠也不可能存在了。量子熱學告訴我們，數學量都是有不確定性的，不可能無偏差地精確檢測。而混沌理論則表明，只要涉及3個及更多的物體，初始條件的非常微小的差異將造成最后結果的千差萬別。從另一個角度來說，拉普拉斯妖是基于精典熱學可逆過程的，但是真實的系統確實滿足熱力學第二定理（熵增原理）的不可逆過程。因而世界仍是充溢不確定性飽含了驚喜的，人也可以憑著自己的主觀努力去改變自己的命運。
麥克斯韋妖
高中時我們都曾學過熱熱學第二定理（熵增原理）：孤立系統的不可逆過程熵總是在降低?！奥淙~永離，覆水難收；欲死灰之復燃，艱乎其力；愿破鏡之重圓，冀也無端；人生易老，返老還童只是幻想；生米煮成熟飯，無可挽回...”這些都是熵增原理在實際生活中的反應，它如今也早已成為了數學學中最牢不可破的原理之一。可是當初麥克斯韋卻曾提出過一個對熵增原理的詰難，十分令人困擾：
一個絕潛熱器被分成相等的兩格，中間是由“麥克斯韋妖”控制的一扇小“門”，容器中的空氣分子作無規則熱運動時會向門上撞擊，“門”可以選擇性的將速率較快的分子裝入一格，而較慢的分子倒入另一格，這樣，其中的一格都會比另外一格濕度高，系統的熵增加了?？梢越柚藴夭?，驅動熱機做功，而這是與熱力學第二定理相矛盾的。
對于這個詰難的指責，可并不是一件輕松的事情。有人可能以為麥克斯韋妖在打開、關閉門的時侯須要消耗能量，這兒形成的熵增會抵消掉系統熵的增加。但是開關門消耗的能量卻不是本質的，它可以任意增加到足夠小。對于麥克斯韋妖的真正解釋，直至20世紀才被揭露。關于熵的問題向來比較難懂，因而我直接引用趙凱華先生在《新概念熱學·熱學》中的話：“麥克斯韋妖有獲得和儲存分子運動信息的能力nb物理實驗，它靠信息來干預系統，使它逆著自然界的方向進行。按現代的觀點，信息就是負熵，麥克斯韋妖將負熵輸入給系統，增加了它的熵。這么，麥克斯韋妖如何能夠獲得所需的信息呢？它必須有一個氣溫與環境不同的微型光源去點亮分子，這就須要花費一定的能量，形成額外的熵。麥克斯韋妖正是借此為代價才獲得了所需的信息（即負熵）的，這額外熵的形成補償了系統里熵的降低?？偵先フf，雖然真有麥克斯韋妖存在，它的工作方法也不違背熱力學第二定理。”
雙生子佯謬
愛因斯坦的狹義相對論構建了全新的時空觀，對于當時的人們來說無法接受。因而自從提出以來，狹義相對論就遭到了各類詰難，其中最知名的當屬雙生子佯謬。并且無論怎樣詰難，狹義相對論都可以很完美的給出解釋，所有的佯謬都被一一化解，研究這種佯謬可以愈發深刻的理解狹義相對論的時空觀。
在狹義相對論中，運動的參考系時間會變緩，即所謂的動鐘變慢效應?，F今構想這樣一個情境：有一對胞胎A和B，A留在月球上，B搭乘接近光速的飛船向宇宙深處飛去。飛船在飛出一段距離以后調頭往前飛，最終降落回月球，兩兄弟碰面?，F今問題來了：A覺得B在運動的時侯時間變慢，B應該比A年青；而同樣地，在B看來，是A仍然在運動，是A的時間變慢了，A應該比B年青才是。這么兄弟倆到底誰更年青呢？狹義相對論是否自相矛盾了？
事實上，理解雙生子佯謬的關鍵，是要清楚A和B的地位并不對等：三人中只有B經歷了加速過程，B在飛船調頭的時侯不可防止的要經歷一次加速。為此，只有A才是處在狹義相對論創立的慣性系當中，只有A的想法是正確的：當兄弟倆碰面時，B比A更年青。類似的效應早已被精密實驗所否認了。雖然只要用狹義相對論做詳細的估算，也才能從B的角度理解為何B比A更年青，然而這不得不做繁雜的估算，這兒就不給出了。至此我們可以放心地說，狹義相對論在這個問題上是沒有包含矛盾的。并且出去旅游一圈的胞胎兄弟竟然回去就比較年青了，這一點而且顛覆了大多數人的世界觀的...而且這是事實，不信也得信呀！
等效原理
在學校里你們都學了質量的概念，但是事實上是有兩種不同的質量的：慣性質量和引力質量。慣性質量是F=ma中的m，它是慣性大小的量度；引力質量是F=GMm/r^2中的m，它是引力大小的量度。之所以學校里并不對這兩者進行分辨，是由于這兩者精確地相等。這一事實并不是理所其實的，而愛因斯坦正是通過這一神奇的事實，歸納出了廣義相對論的一個基本假定：等效原理。
構想一個處于自由空間（沒有引力作用）中的宇宙飛船，它以a=9.8m/s^2的加速度做加速直線運動。如果上面的人扔出一個小球，小球因為慣性，將以9.8m/s^2的加速度落地；而這正如一個處于引力場中的慣性系所表現的那樣。非慣性系中的慣性力反比于慣性質量，而引力則反比于引力質量。慣性質量與引力質量相等這一事實，引起了慣性力與引力這兩種效應難以分辨，這就是弱等效原理。愛因斯坦進一步推廣，對于一切化學過程（不僅僅是力學過程）nb物理實驗，自由空間中的加速運動參考系，與引力作用下的慣性系，這兩者在原則上完全不可分辨，這就是強等效原理。
“引力場中一切物體都具有同一的加速度，這條定理也可敘述為慣性質量同引力質量相等，它當時就使我認識到它的全部重要性。我為它的存在倍感極為驚奇，但是推測其中必有一把可以更深入了解慣性和引力的鎖匙?！薄獝垡蛩固埂?span style="display:none">cAX物理好資源網(原物理ok網)
薛定鍔的貓
薛定諤的貓顯然是數學界最知名的一只虛構小昆蟲了，它是量子熱學的創始人之一——薛定諤為了說明量子熱學并不完備而提出的：
把一只貓放進一個封閉的袋子里，之后把這個袋子聯接到一個包含一個放射性原子核和一個裝有有毒二氧化碳的容器的實驗裝置。構想這個放射性原子核在一個小時內有50％的可能性發生衰變。倘若發生衰變，它將會發射出一個粒子，而發射出的這個粒子將會觸發這個實驗裝置，打開裝有毒氣的容器，因而殺害這只貓。依照量子熱學，未進行觀察時，這個原子核處于已衰變和未衰變的疊加態，貓則處在死和活的疊加態，即“既死又活”（而不是好多人誤會的“半死不活”、“要么死要么活”）。并且，假如在一個小時后把袋子打開，實驗者只能聽到“衰變的原子核和死貓”或者“未衰變的原子核和活貓”兩種情況。現今的問題是：這個系統從哪些時侯開始不再處于兩種不同狀態的疊加態而成為其中的一種？在打開袋子觀察曾經，這只貓是死了還是活著甚或既死又活？這個實驗的本意是想說明，假若不能對波函數塌縮以及對這只貓所處的狀態給出一個合理解釋的話，量子熱學本身是不完備的。
薛定諤的貓是化學學家的一個惡夢，它把微觀的量子熱學效應放大到了宏觀的日常生活，致使一切都顯得非常奇特。對于薛定諤的貓的解釋，涉及到了多種對量子熱學的深刻哲學理解，本文就不深究了。