從上一節(jié)我們學(xué)到了，估算信息科學(xué)中的一個(gè)量子比特，可以對應(yīng)于量子化學(xué)中一個(gè)粒子的疊加態(tài)。使用狄拉克的符號，單粒子疊加態(tài)（或量子比特）可以表示為：
|量子比特>=a|0>+b|1>，（14.1）
這兒的a、b，是滿足（|a|2+|b|2=1）的任意復(fù)數(shù)，它們對應(yīng)于兩個(gè)定態(tài)在疊加態(tài)中所占的比列系數(shù)。當(dāng)a=0，或則b=0時(shí)，疊加態(tài)就簡化成兩個(gè)定態(tài)|0>和|1>。兩個(gè)比列系數(shù)的平方：|a|2或|b|2，分別代表檢測時(shí)，測得粒子的狀態(tài)是每位定態(tài)的機(jī)率。
既然qubit是量子估算中的最基本的單元，我們對它稍稍研究得更詳盡一點(diǎn)。下邊圖中是比特和量子比特的幾何表示。圖中綠矢和藍(lán)矢，分別表示精典估算中所用的0和1兩種狀態(tài)。一側(cè)量子比特示意圖中的紅矢，表示量子世界中一個(gè)通常的疊加態(tài)，這種所有疊加態(tài)的端點(diǎn)，組成一個(gè)直徑為1的單位球面，稱之為Bloch球面。精典比特中的0和1也被包含在這個(gè)球面中。
表達(dá)式（14.1）中的比列系數(shù)a和b為復(fù)數(shù)，每位復(fù)數(shù)分別有一個(gè)實(shí)部，一個(gè)虛部，可以寫成：
a=areal+，（14.2）
b=breal+，（14.3）
這里的i=sqrt(-1)，-1的平方根。
從（14.2）和（14.3）初看上去，以為一個(gè)量子比特具有4個(gè)任意常數(shù)（areal、aimag、breal、bimag），也就是說，有4個(gè)自由度。但實(shí)際上，一個(gè)量子比特只有2個(gè)自由度。其緣由是由于在這4個(gè)任意常數(shù)之間，規(guī)定了如下2個(gè)約束：一是a、b須要滿足概率歸一化的條件：（|a|2+|b|2=1）。二是兩個(gè)復(fù)數(shù)a、b中，只有它們相對的相位差才有數(shù)學(xué)意義，量子疊加態(tài)的絕對相位是不可觀測的，沒有數(shù)學(xué)意義。為此，我們就干脆將a簡化表示成一個(gè)實(shí)數(shù)，即cos（q/2）的方式，而a、b之間的相位差記為f。這樣一來，兩個(gè)自由度以兩個(gè)實(shí)數(shù)角度q和f表示，（14.2）和（14.3）可寫成：
a=cos（q/2），（14.4）
b=exp（if）sin（q/2），（14.5）
因而，一個(gè)qubit用疊加態(tài)來表示：
|量子比特>=|y>=a|1>+b|0>，
上式中的a、b由（14.4）和（14.5）所決定。不難看出，將量子比特態(tài)|y>在三維極座標(biāo)中表示下來量子物理糾纏什么意思，就是前面圖中Bloch球面上的一個(gè)點(diǎn)。
綜上所述，一個(gè)qubit有無窮多個(gè)狀態(tài)，遍及整個(gè)球面。每位狀態(tài)對應(yīng)于Bloch單位球面上的一個(gè)點(diǎn)。在量子比特上進(jìn)行一個(gè)運(yùn)算，把qubit從一個(gè)狀態(tài)弄成另一個(gè)狀態(tài)，或則說，將球面上的一個(gè)點(diǎn)弄成另一個(gè)點(diǎn)。這些對應(yīng)于布洛赫球面旋轉(zhuǎn)的變換是一種幺正變換（n）。所以，對qubit作一系列運(yùn)算就相當(dāng)于進(jìn)行一連串的幺正變換。
從布洛赫球的圖中還可以見到，精典計(jì)算機(jī)中的bit兩個(gè)狀態(tài)：|1>和|0>，也早已被包含在布洛赫球面中，分別對應(yīng)于球面上北極和南極兩個(gè)點(diǎn)。所以，我們可以說，精典比特是量子比特的特例。或則說，量子計(jì)算機(jī)是精典計(jì)算機(jī)的推廣。
這個(gè)推廣非同通常，從精典計(jì)算機(jī)推廣到量子計(jì)算機(jī)，致使估算能力成指數(shù)倍地下降。
使用量子比特，與使用精典比特的另一個(gè)不同之處，是當(dāng)我們有少于一個(gè)qubit連在一起時(shí)，能將它們互相關(guān)聯(lián)上去，構(gòu)成糾纏態(tài)。也就是說，精典計(jì)算機(jī)中，許多bit靠在一起組成寄存器時(shí)，每位bit獨(dú)立坐在自己的座位上，相互不關(guān)聯(lián)。而量子計(jì)算機(jī)里的qubit不但緊緊靠在一起，還手挽著手，變得格外親熱。其實(shí)，這種是以何種形式，怎么攜手的？是每兩個(gè)都牽著手呢，還是只是兩個(gè)相鄰的才攜手？它們攜手的方法，對我們的估算及通信，又有些哪些不同的作用和意義？對這種問題，科學(xué)家們也是極為考究的。
再以上一節(jié)中提及過的三粒子GHZ糾纏態(tài)和W糾纏態(tài)為例說明。首先，我們將這兩種糾纏態(tài)的表達(dá)式推廣到n個(gè)qubit的情形。那時(shí)，它們可以寫成：
|GHZ>n=|11…1>+|00…0>（14.6）
|W>n=|10…0>+|01…0>+…|00…1>（14.7）
上一節(jié)中我們還將GHZ糾纏態(tài)比喻為環(huán)，而將W糾纏態(tài)比喻為Hopf環(huán)。簡言之，GHZ糾纏態(tài)是斷掉一個(gè)就全部斷掉，而W糾纏態(tài)卻是斷掉一個(gè)不影響其余。對于n個(gè)qubit構(gòu)成的GHZ態(tài)和W態(tài)，這個(gè)描述依然適用。例如，拿W態(tài)來說吧，n個(gè)qubit構(gòu)成的W糾纏態(tài)，在其中一個(gè)糾纏斷掉了的情況下，其余n-1個(gè)qubit能夠繼續(xù)保持相互糾纏。這個(gè)性質(zhì)可以用到量子計(jì)算機(jī)的儲(chǔ)存器上，以保證儲(chǔ)存器在一個(gè)單元出了問題時(shí)，其余部份還有可能維持正常工作。GHZ糾纏態(tài)的性質(zhì)在量子通信中也有它的用武之地，它如同是有許多把鎖，全部套在一起，鎖住了一個(gè)共用的大臥室，每位人都只須要打開自己的那把鎖，臥室就開了。這可以類似于所有的合伙人共用一套密碼來傳遞信息的情況，你們都能用自己的鎖匙打開臥室，使用上去才比較便捷。
量子計(jì)算機(jī)的最初構(gòu)想，是日本化學(xué)學(xué)家理查德?費(fèi)曼提出來的。我們在此文中，當(dāng)初多次提及費(fèi)曼。費(fèi)曼1918年生于倫敦一個(gè)猶太人家庭。想必不少人都讀過那幾本頗為精采的、描寫費(fèi)曼軼事的自傳性的小圖冊：《別鬧了，費(fèi)曼先生》和《你干嗎在意他人如何想》等等。不同于通常理論化學(xué)學(xué)家在人們心目中的嚴(yán)謹(jǐn)刻板形象，費(fèi)曼被人譽(yù)為“一個(gè)智慧超凡的科學(xué)怪才”，其傳奇故事膾炙人口。他從小就是個(gè)科學(xué)頑童，后來除了是知名的化學(xué)學(xué)家，也是一位開保險(xiǎn)箱專家和常常表演的邦戈鼓手。據(jù)悉，他還以前像一位真正的作家一樣賣掉過自己的好幾幅油畫作品。分校結(jié)業(yè)后，他步入波士頓的麻省理工大學(xué)讀學(xué)院?？疲俸髞淼揭攲W(xué)院讀Ph.D.，師從約翰·惠勒。剛從研究生結(jié)業(yè)，他就出席了研發(fā)第一顆原子彈的知名曼哈頓計(jì)劃。以后，他開創(chuàng)路徑積分的看法，在量子場論中，用形象的費(fèi)曼圖，直觀地表示粒子散射、反應(yīng)和轉(zhuǎn)化等過程。由于他對量子電動(dòng)熱學(xué)的杰出貢獻(xiàn)，被授予1965年的諾貝爾化學(xué)學(xué)獎(jiǎng)。
1981年的六月，法國波士頓MIT的校園里，花束綻放，碧草繁茂?？茖W(xué)家們在這里舉行了化學(xué)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的第一次大會(huì)，費(fèi)曼博士在會(huì)上作了一個(gè)“With”的報(bào)告，自此揭露了研究發(fā)展量子計(jì)算機(jī)的新篇章。
像許多科學(xué)家一樣，費(fèi)曼先生試圖用估算的方法來模擬這個(gè)數(shù)學(xué)世界。他在報(bào)告中提出了一連串令人深思的問題。首要問題是：精典的圖靈計(jì)算機(jī)可以拿來模擬量子化學(xué)嗎？答案是否定的，如同現(xiàn)今的精典計(jì)算機(jī)難以在足夠短的時(shí)間內(nèi)破解保密通信的密碼一樣，當(dāng)我們企圖用計(jì)算機(jī)來模擬量子熱學(xué)時(shí)，估算量將隨著系統(tǒng)（微觀粒子數(shù)）的減小而指數(shù)降低。這么，既然精典的計(jì)算機(jī)不行，是否有其他的估算模式可以模擬量子世界呢？費(fèi)曼的看法別出一格，卻又合情合理：他覺得微觀世界的本質(zhì)是量子的，想要模擬它，就得用和自然界的工作原理一樣的方法，也就是量子的方式才行。對此，費(fèi)曼直率地表示，既然這個(gè)可惡的大自然不是精典的，你最好是“模擬它的方式來模擬它”，以其人之道量子物理糾纏什么意思，還治其人之身嘛！我們得做到和大自然做的一模一樣。那就是說，我們要想模擬這個(gè)量子行為的世界，就得研究微觀世界的量子是怎樣工作的，之后，建造一個(gè)根據(jù)量子力學(xué)的規(guī)律來運(yùn)行的計(jì)算機(jī)，最后才會(huì)模擬它。不過，費(fèi)曼最后又感慨地說：“天哪，這是一個(gè)十分精彩的問題，但卻不是這么容易解決的！”
是甜美的費(fèi)曼先生首先將數(shù)學(xué)學(xué)和計(jì)算機(jī)理論聯(lián)系到一起，是他在MIT會(huì)上精彩的講演，致使計(jì)算機(jī)科學(xué)家開始用熱情的眼神關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)的進(jìn)展，關(guān)注量子熱學(xué)。于是，這才有了后來種種有關(guān)“qubit”及其算法的研究，以及量子信息、量子估算、量子通信、量子傳輸等等各個(gè)技術(shù)領(lǐng)域的重大發(fā)展和突破。
難能可貴的是，費(fèi)曼還是一個(gè)孜孜不倦的數(shù)學(xué)教育家，他為學(xué)院生們所寫的《費(fèi)曼數(shù)學(xué)學(xué)課件》，是由費(fèi)曼的課上錄音記錄整理而成的，有趣的是，聽說費(fèi)曼真正去課堂上課時(shí)，每次只帶一張紙！這三大冊化學(xué)課件，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不同于通常的教科書，非常是書中融入了費(fèi)曼的個(gè)人思維方法和對物理學(xué)的觀點(diǎn)，至今依然被視為學(xué)院數(shù)學(xué)教材中的精典。
理查德?費(fèi)曼于1988年69歲時(shí)離世。一代灰熊自此歸葬地下，留給我們他對化學(xué)學(xué)，對計(jì)算機(jī)科學(xué)，對藝術(shù)，對生活的超凡理解和無限熱忱。還有他在病床上去世前的最后一句話，現(xiàn)在聽上去，是否也頗具費(fèi)曼先生活躍詼諧的影子潛藏其中呢？費(fèi)曼最后的話是：
“還好，人只須要死一次！否則很厭惡，由于它是這么地呆板……”
別了，費(fèi)曼先生！