轉載中國科學化學輯中國科學刊物社
背景介紹
去年，三位化學學家Alain（阿斯佩），JohnF.（克勞瑟），Anton（塞林格）因“糾纏光子，貝爾不方程的違背和開創性量子信息科學實驗研究”而獲得諾貝爾化學學獎，這無疑將促進新的量子科技發展風潮。正如諾貝爾化學獎委員會主席A.(伊爾巴克)所強調的：“越來越顯著，新的量子技術早已出現，我們可以看見，得獎人關于糾纏態的工作十分重要，甚至趕超了量子熱學展現這樣的基本問題”，所以可以覺得，得獎工作的意義，更重要的是彰顯在其對量子信息科學的開創性和奠基性作用。事實上，量子估算和量子信息處理的基本機制和運行原理，是直接以去年諾獎工作為基礎的。
近年來，量子科技堪稱是世界科技競爭的制高點之一，各國紛紛就量子估算、量子精密檢測、量子通信等技術路線投入大量資源。而另一方面，量子熱學也越來越步入大眾的視野，筆者在網路上時常能發覺一些人將例如“量子糾纏”“薛定諤的貓”等量子力學概念用于吐槽與玩梗。這么量子糾纏的內涵到底是哪些呢？基于其的貝爾不方程實驗又為何能奪得數學學終極大獎？本文將對這種問題作出詳盡剖析。相信你們在了解其中來龍去脈后，會感覺比單純玩梗有趣多了。
量子糾纏與EPR佯謬
這一切都要從神秘的量子糾纏說起。1935年，薛定諤發覺在量子熱學的框架下會出現這樣一種量子態，即兩個粒子的波函數不能被寫成其對線個粒子波函數的直積方式，也就是兩個粒子的波函數不可分，我們只能用這些整體的波函數來描述粒子狀態。就這個性質來看其實也沒啥非常的，但若果考慮量子熱學關于檢測的敘述和空間定域性量子計算和量子通訊，才會形成連愛因斯坦都不能接受的EPR佯謬。考慮我們可以制備一個特殊的糾纏態，其中每位粒子可以被檢測到“+”“-”兩種狀態，按照檢測的波函數塌縮理論，當我們檢測第一個粒子為“+”時，第二個粒子的檢測結果一定為“-”，反之亦然。并且注意到，量子熱學中波函數的塌縮是瞬時的，雖然我們把兩個粒子分離到很遠時，一個粒子的檢測結果也會馬上影響到另一個，這樣就似乎存在趕超光速的超距作用。這個結果對于大多數人甚至是愛因斯坦都是愚蠢的，因而稱為“佯謬”。愛因斯坦覺得世界是定域且實在的，其中定域說的是不能有超過光速的影響形成，而實在性則描述一個化學元素的客觀存在，我們所做的檢測均是出自于這些數學實在而不能影響它。簡單地說，實在性是說一個數學量，不管我們檢測還是不檢測，其大小是確定的，并不由于我們是否檢測而改變，但量子熱學并不滿足這個性質，由于對量子態的檢測，單次檢測結果是隨機的，多次檢測的統計平均能夠反映其振幅信息。基于這種問題，愛因斯坦等人覺得量子熱學造成這些結果是由于其理論是不完備的。
圖1EPR糾纏粒子對
這些不完備性表現為后續1952年波姆提出的隱變量理論，該理論中量子熱學仍是定域且實在的，EPR佯謬的出現是我們對隱變量的無知所導致的。為了理解隱變量，舉個日常生活中我們就可以領略的反例。例如甲有一雙鞋，他會發給相隔很遠的兩個人乙和丙，并且告訴她們只有一雙鞋，但誰是雙腳誰是雙腳不確定。這么，當乙打開包裹的剎那間他就可以確定丙的鞋是雙腳還是左腳，這似乎和量子糾纏很像。但仔細想下，即便這不是哪些超距作用，只是由于我們曉得了一個蘊涵條件：只有一雙鞋，正是這個蘊涵條件導致了結果的關聯性。波姆的理論中量子熱學如同這樣，世界依然是定域實在的，只不過“只有一雙鞋”這樣的條件我們不曉得，其實EPR中兩個粒子分離時的狀態早已確定相反了，而不是檢測時因為超距作用才決定。到這兒問題就弄成了:怎樣曉得量子熱學是不是由隱變量描述的呢？這就是貝爾不方程所解決的問題。
貝爾不方程
貝爾不方程的意義在于將檢驗世界是否是定域實在性的這個問題轉化成了一個物理公式，我們可以通過實驗來驗證世界是否滿足這個公式。解決問題的關鍵在于，定域隱變量理論形成的關聯是有極限的。假如超過了這個極限，說明世界不是由定域隱變量描述，超距作用存在，量子熱學是完備的。第一個貝爾不方程由貝爾在1964年提出，后來基于此發展了好多相像的不方程，諾貝爾獎頒授給的是主要驗證了違背CHSH（,Horne,,andHolt）不方程的工作。
CHSH不方程——考慮Alice和Bob相隔了一定距離，且分別有一個粒子，這兩個粒子處于的狀態可能是由量子熱學描述的，也可能由隱變量理論描述。假定Alice可以有兩種方法檢測該粒子，我們標記為x,其值可以為x0或x1。同樣Bob也有兩種檢測方法y，標記為y0或y1。且假定檢測的結果均只有兩種情況-1或+1，用a代表Alice的檢測結果，b代表Bob的結果。經過多次檢測后我們會發覺兩個事實：（1）檢測基固定時結果可以呈現一定的機率分布，比如Alice檢測x0，Bob檢測y0時a和b總是相反，當Alice檢測x1，Bob檢測y0時則沒有這些關聯且b的結果總是一半+1,一半-1。其實通常情況下我們可以定義某種機率分布，這兒用p(ab|xy)代表兩個人檢測方法為x,y時結果的機率分布。（2）無論Alice，Bob距離多遠，二人檢測結果總是表現出關聯性，即
在上節我們談到過若檢測過程依賴于某種隱變量，則結果會表現出關聯。現考慮我們這兒不僅變量x,y還存在一個變量λ。因為個別數學緣由我們觀測不到它，且每次檢測λ的值可以變化，設其同樣滿足一個機率分布q(λ)。這時Alice和Bob的檢測的機率分布實際由兩個變量決定，分別為p(a|x,λ),p(b|y,λ)。這么聯合機率應當長哪些樣子呢？假如我們引入定域條件，Alice和Bob的結果互不影響，則聯合機率一定為乘積方式。
注意在這些假定下因為對隱變量λ的無知，我們的觀測結果實際是對λ平均以后的結果，因而觀測的結果是可以出現關聯的，即
公式（2）是在定域隱變量理論下得到的聯合機率分布，可以見到Alice(Bob)的檢測結果只依賴于局域變量x(y)和隱變量λ。而量子熱學不是定域實在的，這時Alice的檢測結果可以以某種形式影響Bob,因而量子熱學的聯合機率有可能超出公式（2）的抒發范圍。下邊我們就來找在定域隱變量理論下這個抒發能力的界限在哪，也就是貝爾不方程。
考慮個別檢測方法在聯合機率下的平均值的關系。定義關聯函數
定義可觀測量
。因為公式(2)的存在,公式(4)可以寫成局域平均值的乘積再對隱變量求和，
。局域平均值
在區間[-1,1]中,對
也一樣。這時有
至此我們就得到了知名的CHSH型貝爾不方程
它是原始貝爾不方程的一個變形。即在定域隱變量假定得到的機率分布下，關聯函數S的值一定滿足這個不方程。假如說實際檢測結果違背了這個不方程，說明實際世界是不能用定域隱變量理論描述的。這么量子熱學是否違背這個不方程呢？確實是的，例如我們將Alice和Bob的粒子對制備為載流子單態()這樣的量子態
。其中,
為Pauli算符
的本征矢量。對任意一個粒子，在實驗中我們可以檢測其量子化方向
的本征值，設Alice檢測方向為
,Bob的檢測方向為
。則由量子熱學估算可得其關聯函數的值為
。如今我們用這種結果來檢驗CHSH不方程，設Alice的兩個檢測方向為兩個正交的方向
。Bob的兩個檢測方向也是正交的，但與Alice存在一個傾角。若Bob將這兩個方向選為
，借助簡單的矢量加法可以給出CHSH中關聯函數的值
,得到
。因而量子力學會遵守貝爾不方程。
實驗驗證
貝爾不方程似乎是這樣簡單的一個物理公式，但對其進行實驗驗證是特別具有挑戰性的。首先，它要求實驗上應當能制備較高精度的糾纏態，但是要將其分離一定距離。由于貝爾不方程是對定域性的檢驗，實驗者須要保證對兩個粒子的檢測可以排除光速以下的信息傳遞。其次是須要實現對粒子在不同方向的檢測，由于只有在個別檢測方向，量子熱學能夠遵守貝爾不方程。據悉偵測器的粒子測量效率也會對貝爾不方程的驗證導致影響。因此歷史上對貝爾不方程的驗證也是在不斷彌補漏洞中進行[1,3]。
1972年，JohnF.和一起完成了第一次Bell實驗。她們使用鈣原子級聯躍遷形成糾纏光子對進行實驗。但因為光子對形成效率極低，檢測時間歷時200小時，而兩個光子之間的距離又較短量子計算和量子通訊，因而存在定域性“漏洞”。另外檢測基固定也是遭到非議的誘因之一。
圖2JohnF.和的實驗示意圖
1981年和1982年，Alain及其合作者進行了一系列實驗，增強了檢測精度，降低了貝爾不方程驗證的漏洞。在第一個實驗中，她們使用雙激光系統迸發鈣原子，形成糾纏光子對，改善了糾纏光子源。在第二個實驗中，使用雙通道方式，增強光子借助率。檢測精度大大增強。第三個實驗最為重要。關掉了定域性“漏洞”。兩個糾纏光子相隔約12米遠，訊號以光速在它們之間傳播，要花40毫秒的時間。光子到每位偏振光片的距離為6米。偏振光片旋轉的時間不超過20毫秒。而借助聲光元件甚至可以在更短的時間尺度上，將光子切換到兩組檢測基上。檢測時間遠大于訊號以光速在兩光子之間傳遞的時間，從而關掉了定域性漏洞。
1998年，Anton團隊在嚴格的定域性條件下測試了Bell不方程，觀測者之寬度離達到400米，徹底關掉了定域性“漏洞”，直至這時，我們能夠挺起肩膀說到，量子熱學“基本”是對的了。后續，也有好多關于貝爾不方程驗證的實驗進行，她們都是為了從各個方面來填補驗證量子熱學的漏洞，讓我們越來越自信地藥量子力學來描述世界。其中一個比較有趣的實驗是2016年的大貝爾實驗（theBigBellTest），該實驗的目的是為了清除偽隨機性對貝爾不方程驗證的影響。我們曉得，無論做估算還是實驗，隨機數都是由計算機生成的，而計算機的隨機數是偽隨機數，它原則上可以由某種方式估算下來，只要我們給一個確定的種子，這么接出來一系列的隨機數都是確定的。這會造成用這些技巧測出的實驗結果的關聯性有超出貝爾不方程所代表的極限的可能。
這么怎樣得到“真”隨機數呢？大貝爾的出發點是借助自由意志形成實驗形成的隨機數，假如你相信一個人的意志是自由的、隨機的話。好的不相信，我也不相信，雖然可能實驗人員有逼迫癥之類的。那好多個人的自由意志總是隨機吧，研究人員召集了世界各地超過10萬名志愿者，讓她們在過關游戲中快速隨機地按下0或則1，之后把這種選擇結果上傳到云端，隨機發給各地的實驗者作為其實驗的隨機數生成器。通過大量參與者的自由意志，大貝爾實驗在更廣泛的范圍三陰交閉自由選擇漏洞，強烈否定了定域隱變量理論。至此，量子熱學幾乎被完美地證明了其完備性。
這種實驗都是以量子熱學有可能不正確為出發點的，假如我們承認量子熱學是正確的，是否能便捷地體驗貝爾不方程的違背呢？我們可以考慮借助量子估算云平臺[4]，首先借助邏輯門操作制備量子糾纏態，之后對兩個量子比特進行不同基下的檢測，對檢測結果進行統計平均，我們可以很容易地發覺貝爾不方程可以被違背，不過這兒我們就不考慮隨機和信息傳遞等問題了。
第二次量子革命
量子熱學已被驗證是對的，在這兒其中的非定域性帶來的問題須要解釋下。例如量子糾纏能夠超光速傳遞信息？答案是否定的，雖然看起來超距作用趕超光速，但實際并沒有傳遞信息。以EPR粒子對為例，第一，因為檢測的塌縮是隨機的，Alice和Bob任何一方都未能將信息編碼到EPR中并通過檢測解碼（不通過精典手段的幫助）。第二，因為二者間沒有精典通信，無論Bob檢測不檢測，也就是無論Alice的粒子是否因為超距作用塌縮，她測得結果的機率分布都不會改變，因而Bob的檢測操作不會對Alice傳遞任何信息。在量子熱學中，這表現為描述Alice粒子的密度矩陣并沒有改變。這么量子糾纏是否有用呢？其實，貝爾不方程的違背顯示，糾纏是一種趕超精典的資源，它喻示著雖然我們用無限的精典資源也難以模擬量子糾纏所得到的結果。我們如今只是開掘了其中一點點并用在解決個別特定問題上。
對種種這種問題的討論促生了以量子信息處理與應用為主要目標的第二次量子革命。歷史上第一次量子熱學革命即量子熱學剛成立不久，各類基于量子原理的精典應用被研制，如激光、半導體、核能等，這大大惠及了人類，給與了世界翻天覆地的變化，使人類迅速邁入了信息時代。而第二次量子熱學革命則是直接開發量子特點本身的應用，量子信息以量子比特為單元，信息的形成、傳輸、處理、探測等全部要遵照量子熱學規律，是真正的量子元件。21世紀以來，量子估算理論的發展，量子通訊的應用更是讓我們看見了量子技術改變世界的潛力。發展量子技術一方面是借助量子熱學原理進行量子信息的處理、傳遞和估算，另一方面也加深了人們對量子熱學的理解。