趣
說
工
學
第五期·開普勒定理
與萬有引力定理
2022/1/4
Lawof
'sthreelaws
眉目間，茫茫飛雪，接吻大地最后一抹秋景。
舉首處，渺渺星河，藏青色映襯著夜的呢喃。
大到宇宙星云，小到世間微塵，萬事萬物都被聯系在一起，無影無形，無聲無息……
影若不能相依，愿星辰和你，在夢里……
——格拉斯小鎮調香師
小時候，我們便聽老師講過牛頓在桃樹下發覺萬有引力定理的故事。當煮熟的蘋果從吐蕊掉落，砸疼的是牛頓，砸出的卻是人類對于自然界的認知。
趣說工學·第五期
當我們在體測中進行立定跳高時，肯定都希望萬有引力消失一秒鐘，其實，這是不可能的。萬有引力是宇宙中最基本的斥力，只要具有質量的兩個物體存在，它們之間就必將存在萬有引力。
在生活中，萬有引力非常常見，不過大多都是大地“吸引”物體，人與人之間基本是體會不到萬有引力的存在的。并且放眼宇宙，當兩個客體是行星和星體時，它們之間的萬有引力才會顯得非常巨大。這個力如同一個繩子一樣，將兩個天體綁在一起，使行星繞星體做周期性運動。
隨著我們年紀的下降，學習的深入。我們曉得了行星的運動是符合開普勒三大定理的。
在小學階段，我們曉得萬有引力定理配上曲線運動公式可以推出開普勒三大定理。而且把萬有引力定理和開普勒定理結合上去，我們就可以比較確切地描述一個天體的運動。
這么在本期趣說工學中，我們將比較深入的去理解萬有引力定理的推論過程和開普勒定理及萬有引力定理的應用。諸如在已知行星的運動軌道為橢圓的條件下，我們能夠可以借助開普勒三大定理推出萬有引力定理呢？這便是我們本期趣說工學即將討論的問題之一。
限于篇幅，還有好多的知識須要朋友們在今后的學習中去探求。話不多說，如今就讓我們一起，開始本期趣說工學的討論吧！
目錄
行星的運動
①萬有引力定理
②開普勒定理
有心力
①力矩
②動量矩
③動量矩定律和動量矩守恒定理
④有心力
#有心力為保守力的證明
軌道微分等式——比耐公式
①利用比耐公式求軌道多項式
②極座標系中的圓柱曲線多項式
③利用能量判據求軌道多項式（選讀）
開普勒定理與萬有引力定理
①利用開普勒三大定理與比耐公式推論萬有引力定理的物理方式
平方正比引力與穩定性
①隨遇平衡與穩定平衡
②平方正比引力與圓軌道的穩定性
行星的運動
01
萬有引力定理
在學校階段我們便學過：世界上的物體，大到天體，小到塵埃，即一切具有質量的物體，就會遭到一種力的作用。這個力便被我們也稱萬有引力，而這個規律，我們就把它稱作萬有引力定理。
這個偉大的定理，是由美國科學家牛頓發覺的；后人在牛頓的發覺的基礎上對萬有引力定理進行了建立，并設計實驗測定了引力常量G，最終給出了萬有引力定理在國際單位制下的表達式：
萬有引力定理的文字敘述為：
“任何兩個質點都存在通過其連心線方向上的互相吸引的力，該引力的大小與它們質量的乘積成反比，與它們距離的平方成正比，且與兩物體的物理組成和其間介質種類無關。”
--《自然哲學的物理原理》
事實上角動量定理公式推導，萬有引力定理的推論過程飽含了坎坷。在歷史上，伽利略早在1632年就提出了離心力和向心力的初步看法。貝里阿德在1645年提出了引力平方正比的思想。萬有引力與相作用的物體的質量乘積成反比是從發覺萬有引力平方正比定理過渡到發覺萬有引力定理的必要階段。
艾薩克·牛頓從1665年到1685年，花了整整二六年的時間，才順著離心力——向心力——重力——萬有引力的概念的演變次序，總算提出“萬有引力”這個概念和詞匯。
1665—1666年間牛頓只用離心力定理和開普勒第三定理，因此只能證明圓軌道上的而不是橢圓軌道上的引力平方正比關系。在1679年，他曉得運用開普勒第二定理，并且在證明方式上沒有突破，仍逗留在之前的水平，數年以后，牛頓才按照開普勒第三定理、向心力定理和物理上的極限概念、微積分概念，才用幾何法證明了這個困局。
02
開普勒三大定理
開普勒定律是由英國天文學家開普勒提出的關于行星運動的三大定理。第一和第三定理發表于1609年，是開普勒從天文學家第谷觀測火星位置所得資料中總結下來的；第三定理發表于1619年。這三大定理又分別名為橢圓定理、面積定理和調和定理。
橢圓定理：所有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。
面積定理：行星和太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等。
調和定理：所有行星繞太陽一周的時間的平方與它們的軌道半長軸寬度的立方成比列，即：
隨后，學者們把第一定理更改為：
“所有行星（和慧星）的軌道都屬于圓柱曲線，而太陽則在它們的一個焦點上。”
第二定理只有在行星質量比太陽質量小得多的情況下才是精確的。假如考慮到行星也能吸引太陽，這便是一個二體問題。
經過修正的第三定理的精確表達式為：
其中m1,m2為兩行星的質量，m0是太陽的質量。
有心力
顧名思義，有心力，即斥力存在一個“力心”。
對任意一行星而言，它所遭到的力主要是太陽對它的引力。而這引力的作用線則仍然通過太陽的中心，人造月球衛星也是這樣，它所遭到的力幾乎僅僅是月球對它的引力，這引力的作用線，也是一直通過地心的。
通常來講，假如運動質點所受的力的作用線仍然通過某一個定點，我們就說這個質點所受的力為有心力。有心力在量值上通常是矢徑r（質點和力心之間的距離）的函數，而力的方向則一直順著質點和力心的連線，凡力趨于定點的是引力，離開定點的是作用力。
★
補
充
★
扭力
我們在中學階段在研究杠桿問題時就引入了“力臂”的概念，它指的是“作用在杠桿上的力的末端向杠桿所在直線引的垂線的寬度”。
我們曉得如圖所示杠桿的平衡條件為：
我們把
稱作F1，F2的力臂，我們把乘積
稱作F1，F2的扭矩，用矢量積的方式，我們可以把轉矩寫成：
取矢徑L的方向為支點指向力的作用點。
動量矩
我們仿造扭矩的定義，來定義動量矩。
假定有一個物體正在做速率為v的運動，我們在它周圍選定一個參考點O，過O作一條軸l，物體可看作質量為m的質點。
定義矢徑r的模長為質點到軸l的距離，r的方向為由軸指向質點m。
所以m的動量矩為：
動量矩定律和動量矩守恒定理
在小學階段，老師教給我們：“力作用在質點上，通常會使物體的動量發生改變。”我們不妨推測：扭力作用在質點上也會使質點的動量矩發生改變，由于她們是一一對應的。這么接出來讓我們來驗證一下，這樣的猜測是否正確？
扭力M等于r和F的矢量積，為了求出力矩M所形成的療效，我們用位矢r矢乘運動多項式：
的左側，就得到：
由復合函數導數法則可知：
在第二期運動剖析中，我們講過：
即矢量函數在某一點的行列式也是一個矢量，且該矢量與該點的原矢量垂直，所以由矢量積的計算法則知：
則我們得到：
因而，
假如把上式寫成份量表達式的方式，
則有：
可以寫成上述方式，是借助了導數的知識：
其中i，j，k分別是x，y，z軸方向的單位矢量，之后借助矢量相等時對應份量系數相等的知識即可得到份量表達式。
所以，扭力確實能使動量矩發生變化，這些關系，叫作動量矩定律，也叫作角動量定律。即“質點對慣性系中固定點或某固定軸線的動量矩對時間的微商（行列式），等于作用在該質點上的力對此同點或同軸的扭矩”。
假如令J代表動量矩，M代表扭矩，則動量矩定律可以寫成：
它的積分方式為：
上式的右邊我們就把它叫作沖量矩，故質點的動量矩變化，等于外力在該時間內給以該質點的沖量矩。
假如質點不受外力作用，則對該點來講，質點的動量矩為一常矢量，這個關系，我們叫作動量矩守恒定理，或則角動量守恒定理。
在補充了扭力和動量矩相關的知識后，我們可以繼續研究有心力了。
在有心力的作用下，質點仍然在一平面內運動，由于F與位矢r共線，r×F=0，J為常矢量。依據我們剛才補充的知識，質點滿足角動量守恒定理的條件。
而有心力F的量值通常是徑矢r的函數，即：
或則
在直角座標系中，以力為原點，質點的運動平面為xy平面，則質點的運動微分等式為：
其實r2=x2+y2，m為質點的質量，可以看出，用上式來研究有心力是非常不便捷的。所以，我們可以嘗試使用極座標系來研究這個問題。
在第二期中，我們提出了質點在極座標系中的加速度份量：
所以，我們可以由此寫出質點在極座標系中的運動微分等式：
注意到第二式可以通分，即：
兩邊積分得：
又可以寫為：
其中h為常數，如今我們來理解上式的數學意義。
在第二期中，我們給出了極座標系中質點速率的表達式：
所以動量縱向分矢量的量值為：
徑向分矢量的量值為：
由于徑向分矢量通過O點，即對O點的動量矩大小為0，而動量的縱向份量對O點動量矩的量值
同時也為整個質點對O點動量矩的量值，所以式：
也就是在極座標系中有心力動量矩守恒定理的物理表達式。
事實上，對有心力來講，外扭力r×F=0，動量矩J是一常矢量，它的份量其實也是常量。
用有心力動量矩守恒定理替代運動微分等式的第二式，我們就可以得到等式組：
這便是在有心力作用下質點應當滿足的等式組。
★
補
充
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有心力為保守力的證明
要證明一個力為保守力，即證明該力做的功與路徑無關。諸如重力就是保守力，引力也是保守力。這么接出來我們開始證明有心力也是一個保守力。
有心力做功的量值為：
我們可以在極座標系中對力進行分解：
同理，我們也可以對元位移作同樣的分解：
所以在極座標系中，做功的表達式為：
在之前的討論中，我們得到：
則積多項式可以通分為：
其實，F（r）的原函數一定存在，所以該定積分的值只與起點和終點所對應的矢徑r有關，和路徑無關。（這兒要和我們所學的定積分所區分開，由于A,B是位置的意思，代表在實際存在的曲線上進行積分運算。r1，r2是位置所對應的積分限，相當于把在實際存在的曲線上的積分遷往了座標系軸上進行求圖象面積的運算，所以從A→B不管是任何路徑，所對應的積分限都是一樣的。又因為原函數是確定存在的，所以彰顯下來的結果就是函數圖象與座標軸圍成的面積即積分結果總是一樣的。）
或則我們可以借助第三、四期中旋度的知識，判斷該力是否為保守力，即判定：
是否恒創立，為了證明該式創立，我們把上式在平面極座標系中的份量寫下來：
令：
故：
所以有心力是保守力。
但是一定存在勢能V，使有心力滿足：
上式左邊除去減號后，我們稱它為標量場的梯度（梯度是函數的方向行列式在某點取得最大值所決定的向量，其量值大小就是該點方向行列式的最大值。）
又因為勢能差與原點選定無關，故：
這時勢能函數V其實也只是矢徑r的函數，即V=V(r)，至于機械能守恒定理其實也是創立的，它的具體表達式是：
其中E是質點的總能，它是一個常量。
軌道微分等式——比耐公式
在第二節中我們提出了質點在有心力作用下的運動微分等式組：
這么我們就可以提出猜測：從這個等式組出發，我們是否可以求出質點的運動軌跡等式r(θ)=r？
對于多項式組中的每位等式，我們都可以通過解微分多項式，因而求得參數多項式：
然而在好多情況下，我們并不能得出這樣的顯函數，而是只能把她們表示為關于t的隱函數。
這么我們可不可以對上述多項式進行變型，因而導入質點的軌道微分等式呢？
雖然是可以的，由于在熱學問題中，欲求軌道多項式，一般都是先求運動規律，之后再從運動規律中把t消掉。而在有心力問題中，我們可以采用另外一種方式：就是先把參數t消掉，再嘗試求運動規律。
由這些思路，我們不妨先從等式組中消掉角量θ。
為了易于估算，我們一般會做如下換元，令：
代入等式組第二式，得：
又由于：
代入
得：
同理我們可以求得：
把
代入等式組第一式，即得：
這個公式我們就稱作比耐公式。當F為引力時F為乘號，反之則為正號。我們借助這個公式，除了可以在已知力的條件下求出軌道多項式角動量定理公式推導，也可以從已知質點在有心力的作用下的軌道多項式，求出有心力F(r)的具體方式。
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充
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借助比耐公式求軌道多項式
為了便捷估算，我們把太陽和月球都看作質點，但是我們令太陽的質量為ms，行星的質量為m，則萬有引力定理知太陽和行星之間的斥力可以寫為：
式中G為萬有引力常量，k2=Gms是一個與行星無關的而只和太陽有關的量，稱作太陽的高斯常數。R為月球中心與太陽中心的距離，把萬有引力定理表達式代入比耐公式中得：
即：
假如我們令：
這么原式變為：
于是我們接出來的主要任務便是求解這個微分等式。
若我們令：
則微分等式可以寫為：
我們用ξ的一階導乘等式兩邊，得：
寫成積多項式，即：
借助分部積分法，把上述積分完成，得：
其中C為積分常數，再把dθ除以一側，開方得：
再度積分，得：
所以我們可以得到：
這兒的調整運用了三角函數的誘導公式。
而：
或則：
式中A和θ0是兩個積分常數，假如我們自動旋轉調整極軸，就可以促使θ0=0，上式就可以通分為：
假如令：
這么上式就可以寫為：
這是原點在焦點上的圓柱曲線在極座標系中的等式。
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補
充
★
圓柱曲線在極座標系中的等式
在小學，我們學習了圓柱曲線在直角座標系中的標準多項式，這么當我們采用極座標系時，它們的表達式會弄成哪些樣子呢？
雖然，只用使用幾何法加上簡單的估算方法，我們便可以推導入圓柱曲線在極座標系中的多項式（以橢圓為例）。
P為正焦弦寬度的一半，r為焦點和曲線上一點的距離，半焦長為c，半長軸長為a，θ為r與x的傾角，則我們可以寫出準線多項式：
把點（c,p）代入橢圓在直角系的標準多項式：
得到：
所以我們可以把準線寫為：
也可以把半焦長寫作：
借助橢圓的第二定義，我們可以得到等式（取左邊焦點）：
通分即得：
此時極座標系的原點為左邊焦點。
★
選
讀
★
用能量判據求軌道多項式
這一點還是須要圍繞有心力的性質來展開，我們在之前的討論中得出了有心力是保守力的推論。這么機械能守恒定理應該組建，我們就想，能夠借助總能E來作為判據呢？這么我們如今就來討論這個問題。
其實了，前提條件為F(r)的方式已知，我們來嘗試求出勢能的具體方式V(r)。
后面提及：
在有心力函數中，V只能是r的函數，則：
所以：
取無窮遠為勢能零點，則引力勢能為：
所以機械能守恒定理就可以寫成：
如今，我們來想辦法消掉dt這一項：
作如下變換：
又由于：
再代入機械能守恒定理中得：
接出來我們分離變量，得：
我們可以借助積分公式：
對原式積分，得：
之后解出r，即：
與標準多項式：
比較即知：
所以：
①E＜0，e＜1，軌道為橢圓。
②E=0，e=1，軌道為拋物線。
③E＞0，e＞1，軌道為雙曲線。
開普勒定理與萬有引力定理
前三節我們注重講解了有心力的性質其相關應用，但是借助有心力的知識，給出了質點在有心力作用下的軌道微分多項式——比耐公式。
這么在這一節中，我們將借助開普勒三大定理及比耐公式，嘗試推導入萬有引力定理。
由開普勒第二定理，曉得單位時間內，徑矢所掃過的面積A相等，即：
我們來嘗試求出面積關于時間t變化率的表達式：
P1和P2是行星運行時，其軌道上的兩相鄰位置。當P1和P2非常近時，掃過的面積與三角形OP1P2’的面積近似相等，即：
則：
故：
由已知條件得：
均為常數，則行星對太陽的動量矩守恒，即行星所受的力對太陽的扭矩為0，則行星受力必為有心力。
如今，我們由開普勒第一定理得：
軌道為橢圓，取右焦點為極點，多項式為：
或則：
把此關系代入比耐公式，并注意到：
所以：
故：
上式表明，行星所受的力與距離的平方成正比。
但至此還有一個問題，式中的系數：
并不一定是一個定值，并不能說明該式即是萬有引力定理。
所以我們還是得用到開普勒第三定理。
我們借助之前得到的多項式：
作積分，得：
當徑矢掃遍整個橢圓后，A=πab，所需時間為T，則：
而：
由于
故：
按照開普勒第三定理，上式右邊是一個與行星無關的常量，所以即使h和p都是和行星有關的量，而且上式右邊（p/h2）是與行星無關的常量。
若令：
這么引力我們就可以寫成：
這就是萬有引力定理的物理表達式。
平方正比引力與穩定性
不曉得你們有沒有這樣的一個疑惑：為何引力偏偏滿足平方正比規律，莫非立方正比規律就不行嗎？
雖然要解答這個問題，我們只須要再度抬頭凝望星空。這時侯我們都會發覺：日月星辰運動不息，但卻沒有做不規則不穩定的運動，不難想到行星的運動應該處于一種相對穩定的狀態。
這些穩定我們在化學上稱作平衡。
例如空地上有半球體，底部放置一個球，整個系統可以處于受力平衡的狀態。
然而這些平衡是不穩定的，我們給球一個水平方向的微小擾動，球都會喪失平衡，從而從柱體上墜落。
然而若把球放進一個半方形碗中，如圖：
不論我們給球一個如何的微小擾動，并且只要保證球仍然在碗內，最終球就會趨向一個平衡狀態。
我們稱第一種平衡稱作隨遇平衡，第二種稱作穩定平衡。
這么為了探明引力為什么服從平方正比規律，我們就可以從行星運行軌道的穩定性入手討論。
為了便捷，我們討論方形軌道的穩定性。
對于矩形軌道來說，參數：
恒為常數，由中學知識可知若運行軌道為方形，則速度大小處處相等，即：
引入角量θ，得：
或則：
故二階行列式：
代入比耐公式：
得到質點在有心力作用下運行軌道為圓軌道時應該滿足的等式：
其中：
表示的是質點單位質量上所受的吸引力。
接出來我們來探究，若給質點一個微小的擾動，是否會影響質點運動的穩定性。
令年率：
其實滿足
引入擾動：
式中的ξ及其微商我們均可以覺得是很小的微量，把擾動代入比耐公式，得：
這樣顯著一眼是看不出結果的，所以我們須要用到萬能的泰勒公式，把里面多項式的兩側展開成為級數：
注意到由于ξ是一個無窮小量，這么：
對級數合并單項式，得：
其中：
取一階微量，并引入常數
可以把
寫為：
C2為另外一常數，其值對問題的性質無關。
接出來我們來研究當C1取不同的值時對該微分等式的解的影響。
我們令：
①當C1
用ξ’乘右側，得：
兩邊同時積分，借助分部積分公式，得：
即：
通分得：
開方，分離變量得：
積分：
完成上述積分，得：
其中θ0是積分常數，求出ξ得：
用三角函數誘導公式展開，并用A,B表示系數得：
之后我們完成另外兩種情況的求解，把總解列在下邊：
只有在當C1＞0時，ξ的表達式才能始終保持在小量狀態。另外兩表達式的ξ值就會隨著θ的減小而減小，最終趨向無窮。
因而，當矩形軌道上運行的質點滿足：
時，就會漸趨穩定。
所以
在特殊情況下，我們考慮引力與距離的n次方成正比的情況。即：
這么很容易得到：
代入C1＞0得n＜3。
所以只有當n=-1或n=2時吸引力能夠給出穩定的方形軌道。且n=-1時，力與距離成反比；n=2時，力與距離的平方成正比。
所以萬有引力就會滿足平方正比規律。
參考書目
①《理論熱學教程》第四版——周衍柏
高等教育出版社
②《高等物理》第七版——同濟學院物理系
高等教育出版社
③《微分幾何》第四版——梅向明/黃敬之
高等教育出版社
④《高等代數》第五版——北京學院物理系
高等教育出版社
⑤《線性代數》第六版——同濟學院物理系
高等教育出版社
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供稿|土木工程與熱學大學融媒體中心網路工作室
編輯|季懌慧
校對|蔣煜
初審|朱佳君張馳豪王若冰陳立偉