“電磁場理論”或“電磁場與電磁波”是目前理工科電氣、電子、通信以及光電信息科學與工程等專業大專生的重要基礎課，理科數學專業大專生對應的類似課程為“電磁學”和“電動熱學”。因為電磁場理論的具象性，本課程普遍被覺得是一門難教、難學的課程[1-3]。為了使中學生學好這門課程，許多文獻提出了各類有針對性的方式，以提高本課程的教學療效、降低教學難度。諸如：(1)選擇合適的教材和采用合理的教學方法[1]；(2)借助幾何圖形以及電磁場仿真圖形和動漫技術，采用形象化的教學方法幫助學生理解電磁場的概念和規律[4]；(3)強化實驗課和實踐課的教學環節[5]；(4)歸納總結電磁場的對稱性和排比性特征[6,7]；(5)采用類比教學法，諸如：將矢量場類比為流體中的流速場[8]；研究借助電磁力與慣性力的相像性[9]；(6)注重電磁場與電磁波的理論知識在各個領域中的應用，關注電磁學相關化學效應的教學，迸發中學生的學習興趣[10]等。
矢量剖析和場論是電磁場理論課程中的核心基礎內容，有的文科高校將其單獨開辦為一門物理基礎課程[11]，其主要內容包括標量場的梯度，矢量場的通量、環量、散度、旋度等基本概念，以及散度定律、斯托克斯定律和亥姆霍茲定律等基本矢量場定律。這種基本概念和定律提供了后續電磁場與電磁波課程內容的物理基礎和“場”的基本思想，因此一般出現在相關教材的第一章[12-16]。
關于矢量剖析和場論與本課程教學之間的關系，已有一些文獻進行了相關剖析和討論，比如：文獻[17]討論了矢量剖析在數學規律中的應用；文獻[3]和[18]討論了幾何圖形及矢量圖剖析在電磁場教學中的應用；文獻[19]提出在電磁學教學中應指出“場”的數學思想和體系；文獻[20]覺得電場線的兩大性質是靜電場兩大定律(即高斯定律和支路定律)的形象敘述；等等。但目前尚未見有文獻剖析和討論矢量剖析和場論基礎，非常是典型矢量場定律在電磁場理論課程教學中的重要作用。
本文在討論場論基礎知識與電磁場理論課程內容之間關聯關系的基礎上，提出在“電磁場理論”課程教學中應充分注重矢量場定律的普遍應用，因而可以幫助學生理解和把握本課程內容，有效增加本課程的教學難度，提升教學效率。
1場論基礎與電磁場理論的關系
場是一種特殊的物質形態，是數學學中最基本、最重要的研究對象之一。“場”的概念和思想貫串于數學科學發展的一直，在宏觀、微觀化學，尤其是近代化學中，均離不開“場”的思想，包括引力場、流體場、電磁場以及場的量子理論和規范場等[21]；場論既是數學學，也是物理的重要組成部份和研究對象[11]。場論基礎知識提供了上述各類形態化學場的通常概念和基本規律，它描述了各類數學場均具有的共同屬性，因而學好矢量剖析和場論基礎知識，正確理解和把握“場”的通常概念、思想、規律及其物理敘述，將有助于減少電磁場理論課程學習的難度，對于本課程教學具有重要指導意義。
電磁場是典型數學場之一，因此電磁場理論與場論之間是“特殊與通常”的關系。實際上，電磁場理論中的眾多概念和定律均是按照場論基礎知識來定義和推論得出的，比如：借助標量梯度的概念描述電位與電場之間的關系；借助矢量場的散度和旋度描述電場、磁場與其場源之間的關系；借助散度定律和斯托克斯定律，可以將麥克斯韋多項式的微分方式轉換為積分方式，等等[12-16]。
因而在電磁場理論課程教學過程中，應充分注重矢量剖析與場論基礎知識的普遍應用，擅于借助場論基礎中的通常概念和定律剖析、理解和把握電磁場理論，便于減少本課程的教學難度，提升教學效率。
2矢量場定律在電磁場理論中的應用
矢量場F的散度是為了描述F在空間某點M附近的通量特點而引入的，它定義為點M處單位容積內充溢下來的矢量F的通量，即該點的通量源密度，其定義式為[12]
(1)
式中S為包圍點M的任意閉合曲面，ΔV為S所限定的容積。
矢量場F的旋度是為了描述F在空間某點M附近的環流(量)特點而引入的，其大小等于該點處環流面密度的最大值，其方向是使環流面密度取得最大值的面元法線方向，其定義式為[12]
(2)
式中ΔS為經過點M的面元，C為ΔS的邊界閉合路徑，en為面元ΔS的正法線單位矢量。可見，點M處矢量場的旋度即是該點的旋渦源密度。
電磁場是一種典型的矢量場，矢量場的散度和旋度的概念仍然貫串于電磁場理論課程教學之中，比如：描述電磁場運動變化規律的麥克斯韋等式組是由電磁場量的兩個旋度多項式和兩個散度多項式組成的，因此可以借助電場、磁場的散度和旋度運算求解其場源；同時表明在無界、自由空間中的矢量場可以完全由其散度和旋度確定，這也是亥姆霍茲定律的核心內容。
矢量場的基本定律主要包括散度定律、斯托克斯定律和亥姆霍茲定律，這3個定律在電磁場理論中得到普遍應用；在教學過程中，要求中學生深刻理解并熟練應用這種基本定律，將有利于中學生順利地理解和把握電磁場理論中的有關概念、規律和剖析方式，進而提升本課程的學習效率。
2.1散度定律的應用實例
按照散度定律，矢量場F的散度
在容積V內的容積分等于該矢量場在限定該容積的閉合面S上的面積分[12]，即
(3)
散度定律的典型應用實例主要包括：
(1)靜電場高斯定律與穩恒磁場磁路連續性[12]。可以借助散度定律將上述定律的微分方式轉換為積分方式。在電通密度(或電位移)矢量為D的視域內任意取一閉合曲面S，S所包圍的區域容積為V，S內的自由電荷體密度為ρv，已知靜電場高斯定律(麥克斯韋第四方程)的微分方式為
(4)
對式(4)兩旁取容積分，并借助散度定律即可得出靜電場高斯定律的積分方式，即
(5)
式中Qv為容積V內的自由電荷總數。
穩恒磁場是有旋無散場，即對于磁路密度矢量為B的任意閉合曲面S內任意一點，有
(6)
對式(6)兩旁取容積分并借助散度定律可得
(7)
上式即為穩恒磁場磁路連續性定律(麥克斯韋第三方程)的積分方式。
(2)電壓連續性多項式與基爾霍夫電壓定理[12,16]。借助散度定律，可以依照電壓連續性多項式的積分方式推導入其對應的微分方式。設某閉合面S所限定的容積V不隨時間變化，且該區域內自由電荷體密度為ρv、傳導電流體密度為Jc，則電壓連續性多項式的積分方式為
(8)
按照散度定律可知
，故式(8)可寫為
(9)
因為容積V是任意的，故依照式(9)可得出電壓連續性多項式的微分方式，即
(10)
據悉，將式(5)代入式(8)等號右側，并借助散度定律可得，
(11)
式中Jd和Id分別為位移電壓密度和位移電壓。式(8)等號右邊為流入和流出閉合面S的所有傳導電壓的總和，即
(12)
式中Ic為傳導電壓。將式(11)、(12)代入式(8)可得基爾霍夫電壓定理，即
(13)
式中Ij為傳導電壓或位移電壓。
(3)坡印廷定律[12]。假定空間中閉合曲面S所限定空間圖式V內的電場、磁場、電通密度、磁通密度矢量分別為E、H、D、B，電壓密度矢量為J，則依照麥克斯韋等式組中的兩個旋度多項式，以及矢量恒方程
可得，
(14)
式中w=(H·B+E·D)/2為電磁場的能量密度，對式(14)兩側取容積分并借助散度定律可得坡印廷定律的積分方式，即
(15)
(4)電磁場的動量守恒與轉化定律[22]。假定介質中電磁場的動量密度矢量定義為
(16)
動量流密度張量(或電磁撓度張量)定義為
(17)
式中l為二階單位張量，Jg為二階對稱張量，電磁場對自由電荷密度為ρ、恒定電壓密度為j的靜止帶電系統的洛倫茲力密度為
(18)
則電磁場動量守恒與轉化定律的微分方式為
(19)
對式(19)兩側取容積分并借助散度定律可得該定律相應的積分方式為
(20)
設gm為容積V內的總機械動量，考慮
式(20)可寫為
(21)
上式等號右邊表示容積V內所有帶電體的機械動量和電磁動量之和的時間變化率，等號左邊表示該容積表面所受的總的面積力[23]。
(5)電磁場的角動量守恒與轉化定律[22]。假定電磁場的角動量密度矢量為
(22)
式中,r為場點位置矢量，角動量流密度張量為
(23)
則在各向同性介質中，電磁場的角動量守恒與轉化定律的微分方式為
(24)
對式(24)兩側取容積分并借助散度定律可得該定律相應的積分方式為
(25)
等號左邊的容積分表示單位時間內他者V中總機械角動量(r×gm)的變化量。
2.2斯托克斯定律的應用實例
按照斯托克斯定律，矢量場F的旋度
在曲面S上的面積分等于該矢量場在限定曲面S的閉合曲線C上的線積分[12]，即
(26)
斯托克斯定律的典型應用實例主要包括：
(1)麥克斯韋第一、第二多項式[12]。麥克斯韋第一方程(即安培支路定律)的微分方式為
(27)
對式(27)兩旁取面積分并借助斯托克斯定律可得對應的積分方式，即
(28)
麥克斯韋第二多項式(即法拉第電磁感應定理)的微分方式為
(29)
對式(29)兩旁取面積分并借助斯托克斯定律可得對應的積分方式，即
(30)
(2)磁路量的估算式[12]。按照磁路密度B與矢量磁位A之間的關系式
和斯托克斯定律可得借助A估算磁路量Φ的公式，即
(31)
據悉，按照式(30)、(31)和斯托克斯定律，可以推導入基爾霍夫電流定理[16]。
2.3亥姆霍茲定律的應用實例
按照亥姆霍茲定律，若矢量場F在某閉合面S所限定的有限空間區域V內處處單值，且其行列式連續、有界，場源分布在區域V內，則該矢量場由其散度、旋度及其邊界條件惟一確定，且矢量場F(r)可表示為標量場u(r)的梯度的負值與另一矢量場A(r)的旋度之和[15]，即
(32)
式中u(r)和A(r)的表達式分別為
(33)
(34)
式中r、r′分別為場點、源點的位置矢量。
亥姆霍茲定律的核心內容是自由空間矢量場完全由其散度和旋度確定，這可以拿來演繹和理解為何4個麥克斯韋多項式組是關于電場硬度和磁感應硬度的散度和旋度的。許多文獻剖析討論了亥姆霍茲定律在電磁場理論中的應用，比如：文獻[24]從亥姆霍茲定律出發,揭示了電位移與場源之間的內在聯系。文獻[25]討論了該定律在電磁場理論中的貫串作用，覺得按照亥姆霍茲定律，可以由麥克斯韋多項式組自然地引出標量電位和矢量磁位，并可便捷地導入庫侖定理或畢奧-薩伐爾定理，以及位函數與場在自由空間的積分表達式。
據悉，文獻[26]討論了亥姆霍茲定律在求解靜電場邊值問題中的應用，可由亥姆霍茲定律直接導入靜電場電位邊值問題的通常積分解表達式，其推論過程簡單明了。文獻[27]從亥姆霍茲定律出發，合理導入靜態與時變電磁場問題求解所須要的基本多項式，并基于不同類型電磁場的特點給出對應的定解條件；因為靜態和時變電磁場的不同特點，其所要求的邊界條件有所減小，即按照靜電場的無旋性，其邊界條件只需給定電場的法向份量，按照恒定磁場的無散性，其邊界條件只需給定磁場的切向份量，對于時變電磁場，因為電場與磁場的互相耦合，邊界條件只需給定電場或則磁場的切向份量。
3結語
高斯定律是矢量場中閉合曲面積分與其所限定區域的容積分之間的一個變換關系；斯托克斯定律是矢量場中的閉合曲線積分與其所圍曲面積分之間的一個變換關系；亥姆霍茲定律表明，一個矢量場所具有的性質可由其散度和旋度來描述，上述應用實例表明，這種矢量場定律普遍存在并一直貫串于“電磁場理論”課程的眾多內容之中，因而在“電磁場理論”課程教學中應充分注重那些矢量剖析與場論基礎知識的廣泛應用。
在多年的電磁場理論課程教學實踐過程中，通過在引言課及場論基礎課中提醒中學生注重上述矢量場定律的學習，并在后續課堂教學中提醒中學生學會靈活運用上述場論基本概念、矢量場定律剖析和理解電磁場理論，可以使中學生更便于理解和把握所學電磁場理論，做到融會貫通，因而可以有效減少本課程教學與學習的難度、提高教學效率。
參考文獻
[1]MNO.facedby[J].IEEETrans.on,1986,29(1):31-32.
[2]劉廣東.電磁場與電磁波教學疑難動因剖析及其對策[J].高師理科學刊，2015,35(8):75-78.
LIUGD.onandofinandoffieldandwave[J].ofof’and,2015,35(8):75-78.(in)
[3]BM.toin[J].IEEETrans.on,2013,56(3):336-345.
[4]鐘東洲，張昕，周特靈.“電磁場與微波技術”可視化交互設計的虛擬仿真[J].電氣電子教學學報，2017,39(1):148-150.
ZHONGDZ,ZHANGX,ZHOUKL.fortheoffieldand[J].ofand,2017,39(1):148-150.(in)
[5]劉萬強角動量定理公式推導，孫賢明，王海華.電磁場與電磁波實驗教學的探求與實踐[J].學院數學，2012,31(12):27-29,41.
LIUWQ,SUNXM,WANGHH.andoffieldandwave[J].,2012,31(12):27-29,41.(in)
[6]李復.電磁場的對稱性剖析[J].化學與工程,2006,16(1):37-42.
LIF.offield[J].and,2006,16(1):37-42.(in)
[7]葛文萍,賈振紅,山拜·達拉拜.探求解決電磁場理論難教難學的方式[J].理工高教研究,2007,26(5):126-127.
GEWP,ziZH,D.TothetotheofandoftheField[J].of,2007,26(5):126-127.(in)
[8]崔晶磊,耿平,代雪峰,等.矢量場類比法在電磁學教學中的應用闡述[J].化學與工程,2016,26(z1):22-25.
yiJL,GENGP,maiXF,etal.ontheoffieldintheof[J].and,2016,26(z1):22-25.(in)
[9]王剛志，郭肖勇，吳澤華，等.電磁力與慣性力的相像性研究[J].化學與工程，2018，28(3):73-75.
WANGGZ,GUOXY,WUZH,etal.offorceandforce[J].and,2018,28(3):73-75.(in)
[10]李長勝，馮麗爽.關注電磁學相關化學效應的教學[J].電氣電子教學學報，2015,37(1):18-20.
LICS,FENGLS.closetooftheto[J].ofand,2015,37(1):18-20.(in)
[11]李景和，孫光坤.關于場論教學的幾點建議[J].高師理科學刊，2015,35(6):70-72.
LIJH,SUNGK.Someontheofof[J].ofof’and,2015,35(6):70-72.(in)
[12]謝處方，饒克謹.電磁場與電磁波[M].4版.上海:高等教育出版社,2006.
[13]HH,JOHNAB.[M].7版.上海:北大學院出版社,2009.
[14]雷銀照.電磁場[M].2版.上海:高等教育出版社,2010.
[15]張洪欣，沈遠茂，韓宇南.電磁場與電磁波[M].2版.上海:北大學院出版社,2016.
[16]丁君.工程電磁場與電磁波[M].上海:高等教育出版社,2005.
[17]徐燦，袁鈴，尹釗.矢量剖析在數學規律中的應用[J].高師理科學刊，2011,31(1):59-62.
XUC,YUANL,YINZ.ofinlaws[J].ofof’and,2011,31(1):59-62.(in)
[18]呂東方,張立富.矢量圖剖析在電磁場教學中的應用[J].中國電力教育，2014,30(18):48-50.
LVDF,ZHANGLF.oftotheofField[J].ChinaPower,2014，30(18):48-50.(in)
[19]胡南,縝密.指出“場”的數學思想，變革學院數學電磁學教學[J].化學與工程，2016,26(6):68-71.
HUN,ZHOUM.theof“field”,ofthe[J].and,2016,26(6):68-71.(in)
[20]梁燦彬，曹周鍵，陳陟陶.電場線兩大性質是靜電場兩大定律的形象敘述[J].學院數學，2017,36(11):1-4,11.
LIANGCB,CAOZJ,CHENZT.Thetwoofthefieldlinesaretheofthetwoof[J].,2017,36(11):1-4,11.(in)
[21]易中.場論基礎[M].上海:冶金工業出版社,2013.
[22]李書民.電動熱學總論[M].南京：中國科學技術學院出版社，2010.
[23]王青.理解精典電磁理論[J].化學與工程，2018，28(3):86-98.
WANGQ.[J].and,2018,28(3):86-98.(in)
[24]胡毅.用亥姆霍茲定律討論電位移[J].學院數學，2005,24(11):28-30.
HUY.:Fromtheof’s[J].,2005,24(11):28-30.(in)
[25]王彬,陳德智.淺談亥姆霍茲定律在電磁場理論中的貫串作用[J].化學與工程，2007,17(5):18-19,21.
WANGB,CHENDZ.Theroleof’sinfield[J].and,2007,17(5):18-19,21.(in)
[26]肖峻.亥姆霍茲定律在求解靜電場邊值問題中的應用[J].電氣電子教學學報,2006,28(4):55-57,97.
XIAOJ.Theof’stothevalueoffield[J].ofand,2006,28(4):55-57,97.(in)
[27]肖峻，楊洪平.電磁場的基本多項式及其定解條件[J].電氣電子教學學報,2012,34(2):50-52.
XIAOJ,YANGHP.Theoffieldandits[J].ofand,2012,34(2):50-52.(in)
基金項目:廣州民航航天學院儀器科學與光電工程大學教學變革項目(2015年立項，名稱“電磁場與電磁波”課程建設)。作者謝謝審稿專家對本文提出寶貴更改意見。
作者簡介:李長勝，男，上海民航航天學院副院長，主要從事電磁場理論、物理光學等課程教學工作，研究方向主要為光學傳感器技術與光學元件，。
引文格式:李長勝，周震，馮麗爽.注重矢量場定律在電磁場理論教學中的應用[J].化學與工程，2019角動量定理公式推導，29(2)：39-44.
END