“電磁場(chǎng)理論”或“電磁場(chǎng)與電磁波”是目前理工科電氣、電子、通信以及光電信息科學(xué)與工程等專(zhuān)業(yè)大專(zhuān)生的重要基礎(chǔ)課，理科數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)大專(zhuān)生對(duì)應(yīng)的類(lèi)似課程為“電磁學(xué)”和“電動(dòng)熱學(xué)”。因?yàn)殡姶艌?chǎng)理論的具象性，本課程普遍被覺(jué)得是一門(mén)難教、難學(xué)的課程[1-3]。為了使中學(xué)生學(xué)好這門(mén)課程，許多文獻(xiàn)提出了各類(lèi)有針對(duì)性的方式，以提高本課程的教學(xué)療效、降低教學(xué)難度。諸如：(1)選擇合適的教材和采用合理的教學(xué)方法[1]；(2)借助幾何圖形以及電磁場(chǎng)仿真圖形和動(dòng)漫技術(shù)，采用形象化的教學(xué)方法幫助學(xué)生理解電磁場(chǎng)的概念和規(guī)律[4]；(3)強(qiáng)化實(shí)驗(yàn)課和實(shí)踐課的教學(xué)環(huán)節(jié)[5]；(4)歸納總結(jié)電磁場(chǎng)的對(duì)稱(chēng)性和排比性特征[6,7]；(5)采用類(lèi)比教學(xué)法，諸如：將矢量場(chǎng)類(lèi)比為流體中的流速場(chǎng)[8]；研究借助電磁力與慣性力的相像性[9]；(6)注重電磁場(chǎng)與電磁波的理論知識(shí)在各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用，關(guān)注電磁學(xué)相關(guān)化學(xué)效應(yīng)的教學(xué)，迸發(fā)中學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[10]等。
矢量剖析和場(chǎng)論是電磁場(chǎng)理論課程中的核心基礎(chǔ)內(nèi)容，有的文科高校將其單獨(dú)開(kāi)辦為一門(mén)物理基礎(chǔ)課程[11]，其主要內(nèi)容包括標(biāo)量場(chǎng)的梯度，矢量場(chǎng)的通量、環(huán)量、散度、旋度等基本概念，以及散度定律、斯托克斯定律和亥姆霍茲定律等基本矢量場(chǎng)定律。這種基本概念和定律提供了后續(xù)電磁場(chǎng)與電磁波課程內(nèi)容的物理基礎(chǔ)和“場(chǎng)”的基本思想，因此一般出現(xiàn)在相關(guān)教材的第一章[12-16]。
關(guān)于矢量剖析和場(chǎng)論與本課程教學(xué)之間的關(guān)系，已有一些文獻(xiàn)進(jìn)行了相關(guān)剖析和討論，比如：文獻(xiàn)[17]討論了矢量剖析在數(shù)學(xué)規(guī)律中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[3]和[18]討論了幾何圖形及矢量圖剖析在電磁場(chǎng)教學(xué)中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[19]提出在電磁學(xué)教學(xué)中應(yīng)指出“場(chǎng)”的數(shù)學(xué)思想和體系；文獻(xiàn)[20]覺(jué)得電場(chǎng)線的兩大性質(zhì)是靜電場(chǎng)兩大定律(即高斯定律和支路定律)的形象敘述；等等。但目前尚未見(jiàn)有文獻(xiàn)剖析和討論矢量剖析和場(chǎng)論基礎(chǔ)，非常是典型矢量場(chǎng)定律在電磁場(chǎng)理論課程教學(xué)中的重要作用。
本文在討論場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)與電磁場(chǎng)理論課程內(nèi)容之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出在“電磁場(chǎng)理論”課程教學(xué)中應(yīng)充分注重矢量場(chǎng)定律的普遍應(yīng)用，因而可以幫助學(xué)生理解和把握本課程內(nèi)容，有效增加本課程的教學(xué)難度，提升教學(xué)效率。
1場(chǎng)論基礎(chǔ)與電磁場(chǎng)理論的關(guān)系
場(chǎng)是一種特殊的物質(zhì)形態(tài)，是數(shù)學(xué)學(xué)中最基本、最重要的研究對(duì)象之一。“場(chǎng)”的概念和思想貫串于數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的一直，在宏觀、微觀化學(xué)，尤其是近代化學(xué)中，均離不開(kāi)“場(chǎng)”的思想，包括引力場(chǎng)、流體場(chǎng)、電磁場(chǎng)以及場(chǎng)的量子理論和規(guī)范場(chǎng)等[21]；場(chǎng)論既是數(shù)學(xué)學(xué)，也是物理的重要組成部份和研究對(duì)象[11]。場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)提供了上述各類(lèi)形態(tài)化學(xué)場(chǎng)的通常概念和基本規(guī)律，它描述了各類(lèi)數(shù)學(xué)場(chǎng)均具有的共同屬性，因而學(xué)好矢量剖析和場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)，正確理解和把握“場(chǎng)”的通常概念、思想、規(guī)律及其物理敘述，將有助于減少電磁場(chǎng)理論課程學(xué)習(xí)的難度，對(duì)于本課程教學(xué)具有重要指導(dǎo)意義。
電磁場(chǎng)是典型數(shù)學(xué)場(chǎng)之一，因此電磁場(chǎng)理論與場(chǎng)論之間是“特殊與通常”的關(guān)系。實(shí)際上，電磁場(chǎng)理論中的眾多概念和定律均是按照?qǐng)稣摶A(chǔ)知識(shí)來(lái)定義和推論得出的，比如：借助標(biāo)量梯度的概念描述電位與電場(chǎng)之間的關(guān)系；借助矢量場(chǎng)的散度和旋度描述電場(chǎng)、磁場(chǎng)與其場(chǎng)源之間的關(guān)系；借助散度定律和斯托克斯定律，可以將麥克斯韋多項(xiàng)式的微分方式轉(zhuǎn)換為積分方式，等等[12-16]。
因而在電磁場(chǎng)理論課程教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)充分注重矢量剖析與場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)的普遍應(yīng)用，擅于借助場(chǎng)論基礎(chǔ)中的通常概念和定律剖析、理解和把握電磁場(chǎng)理論，便于減少本課程的教學(xué)難度，提升教學(xué)效率。
2矢量場(chǎng)定律在電磁場(chǎng)理論中的應(yīng)用
矢量場(chǎng)F的散度是為了描述F在空間某點(diǎn)M附近的通量特點(diǎn)而引入的，它定義為點(diǎn)M處單位容積內(nèi)充溢下來(lái)的矢量F的通量，即該點(diǎn)的通量源密度，其定義式為[12]
(1)
式中S為包圍點(diǎn)M的任意閉合曲面，ΔV為S所限定的容積。
矢量場(chǎng)F的旋度是為了描述F在空間某點(diǎn)M附近的環(huán)流(量)特點(diǎn)而引入的，其大小等于該點(diǎn)處環(huán)流面密度的最大值，其方向是使環(huán)流面密度取得最大值的面元法線方向，其定義式為[12]
(2)
式中ΔS為經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的面元，C為ΔS的邊界閉合路徑，en為面元ΔS的正法線單位矢量?？梢?jiàn)，點(diǎn)M處矢量場(chǎng)的旋度即是該點(diǎn)的旋渦源密度。
電磁場(chǎng)是一種典型的矢量場(chǎng)，矢量場(chǎng)的散度和旋度的概念仍然貫串于電磁場(chǎng)理論課程教學(xué)之中，比如：描述電磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的麥克斯韋等式組是由電磁場(chǎng)量的兩個(gè)旋度多項(xiàng)式和兩個(gè)散度多項(xiàng)式組成的，因此可以借助電場(chǎng)、磁場(chǎng)的散度和旋度運(yùn)算求解其場(chǎng)源；同時(shí)表明在無(wú)界、自由空間中的矢量場(chǎng)可以完全由其散度和旋度確定，這也是亥姆霍茲定律的核心內(nèi)容。
矢量場(chǎng)的基本定律主要包括散度定律、斯托克斯定律和亥姆霍茲定律，這3個(gè)定律在電磁場(chǎng)理論中得到普遍應(yīng)用；在教學(xué)過(guò)程中，要求中學(xué)生深刻理解并熟練應(yīng)用這種基本定律，將有利于中學(xué)生順利地理解和把握電磁場(chǎng)理論中的有關(guān)概念、規(guī)律和剖析方式，進(jìn)而提升本課程的學(xué)習(xí)效率。
2.1散度定律的應(yīng)用實(shí)例
按照散度定律，矢量場(chǎng)F的散度
在容積V內(nèi)的容積分等于該矢量場(chǎng)在限定該容積的閉合面S上的面積分[12]，即
(3)
散度定律的典型應(yīng)用實(shí)例主要包括：
(1)靜電場(chǎng)高斯定律與穩(wěn)恒磁場(chǎng)磁路連續(xù)性[12]?？梢越柚⒍榷蓪⑸鲜龆傻奈⒎址绞睫D(zhuǎn)換為積分方式。在電通密度(或電位移)矢量為D的視域內(nèi)任意取一閉合曲面S，S所包圍的區(qū)域容積為V，S內(nèi)的自由電荷體密度為ρv，已知靜電場(chǎng)高斯定律(麥克斯韋第四方程)的微分方式為
(4)
對(duì)式(4)兩旁取容積分，并借助散度定律即可得出靜電場(chǎng)高斯定律的積分方式，即
(5)
式中Qv為容積V內(nèi)的自由電荷總數(shù)。
穩(wěn)恒磁場(chǎng)是有旋無(wú)散場(chǎng)，即對(duì)于磁路密度矢量為B的任意閉合曲面S內(nèi)任意一點(diǎn)，有
(6)
對(duì)式(6)兩旁取容積分并借助散度定律可得
(7)
上式即為穩(wěn)恒磁場(chǎng)磁路連續(xù)性定律(麥克斯韋第三方程)的積分方式。
(2)電壓連續(xù)性多項(xiàng)式與基爾霍夫電壓定理[12,16]。借助散度定律，可以依照電壓連續(xù)性多項(xiàng)式的積分方式推導(dǎo)入其對(duì)應(yīng)的微分方式。設(shè)某閉合面S所限定的容積V不隨時(shí)間變化，且該區(qū)域內(nèi)自由電荷體密度為ρv、傳導(dǎo)電流體密度為Jc，則電壓連續(xù)性多項(xiàng)式的積分方式為
(8)
按照散度定律可知
，故式(8)可寫(xiě)為
(9)
因?yàn)槿莘eV是任意的，故依照式(9)可得出電壓連續(xù)性多項(xiàng)式的微分方式，即
(10)
據(jù)悉，將式(5)代入式(8)等號(hào)右側(cè)，并借助散度定律可得，
(11)
式中Jd和Id分別為位移電壓密度和位移電壓。式(8)等號(hào)右邊為流入和流出閉合面S的所有傳導(dǎo)電壓的總和，即
(12)
式中Ic為傳導(dǎo)電壓。將式(11)、(12)代入式(8)可得基爾霍夫電壓定理，即
(13)
式中Ij為傳導(dǎo)電壓或位移電壓。
(3)坡印廷定律[12]。假定空間中閉合曲面S所限定空間圖式V內(nèi)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)、電通密度、磁通密度矢量分別為E、H、D、B，電壓密度矢量為J，則依照麥克斯韋等式組中的兩個(gè)旋度多項(xiàng)式，以及矢量恒方程
可得，
(14)
式中w=(H·B+E·D)/2為電磁場(chǎng)的能量密度，對(duì)式(14)兩側(cè)取容積分并借助散度定律可得坡印廷定律的積分方式，即
(15)
(4)電磁場(chǎng)的動(dòng)量守恒與轉(zhuǎn)化定律[22]。假定介質(zhì)中電磁場(chǎng)的動(dòng)量密度矢量定義為
(16)
動(dòng)量流密度張量(或電磁撓度張量)定義為
(17)
式中l(wèi)為二階單位張量，Jg為二階對(duì)稱(chēng)張量，電磁場(chǎng)對(duì)自由電荷密度為ρ、恒定電壓密度為j的靜止帶電系統(tǒng)的洛倫茲力密度為
(18)
則電磁場(chǎng)動(dòng)量守恒與轉(zhuǎn)化定律的微分方式為
(19)
對(duì)式(19)兩側(cè)取容積分并借助散度定律可得該定律相應(yīng)的積分方式為
(20)
設(shè)gm為容積V內(nèi)的總機(jī)械動(dòng)量，考慮
式(20)可寫(xiě)為
(21)
上式等號(hào)右邊表示容積V內(nèi)所有帶電體的機(jī)械動(dòng)量和電磁動(dòng)量之和的時(shí)間變化率，等號(hào)左邊表示該容積表面所受的總的面積力[23]。
(5)電磁場(chǎng)的角動(dòng)量守恒與轉(zhuǎn)化定律[22]。假定電磁場(chǎng)的角動(dòng)量密度矢量為
(22)
式中,r為場(chǎng)點(diǎn)位置矢量，角動(dòng)量流密度張量為
(23)
則在各向同性介質(zhì)中，電磁場(chǎng)的角動(dòng)量守恒與轉(zhuǎn)化定律的微分方式為
(24)
對(duì)式(24)兩側(cè)取容積分并借助散度定律可得該定律相應(yīng)的積分方式為
(25)
等號(hào)左邊的容積分表示單位時(shí)間內(nèi)他者V中總機(jī)械角動(dòng)量(r×gm)的變化量。
2.2斯托克斯定律的應(yīng)用實(shí)例
按照斯托克斯定律，矢量場(chǎng)F的旋度
在曲面S上的面積分等于該矢量場(chǎng)在限定曲面S的閉合曲線C上的線積分[12]，即
(26)
斯托克斯定律的典型應(yīng)用實(shí)例主要包括：
(1)麥克斯韋第一、第二多項(xiàng)式[12]。麥克斯韋第一方程(即安培支路定律)的微分方式為
(27)
對(duì)式(27)兩旁取面積分并借助斯托克斯定律可得對(duì)應(yīng)的積分方式，即
(28)
麥克斯韋第二多項(xiàng)式(即法拉第電磁感應(yīng)定理)的微分方式為
(29)
對(duì)式(29)兩旁取面積分并借助斯托克斯定律可得對(duì)應(yīng)的積分方式，即
(30)
(2)磁路量的估算式[12]。按照磁路密度B與矢量磁位A之間的關(guān)系式
和斯托克斯定律可得借助A估算磁路量Φ的公式，即
(31)
據(jù)悉，按照式(30)、(31)和斯托克斯定律，可以推導(dǎo)入基爾霍夫電流定理[16]。
2.3亥姆霍茲定律的應(yīng)用實(shí)例
按照亥姆霍茲定律，若矢量場(chǎng)F在某閉合面S所限定的有限空間區(qū)域V內(nèi)處處單值，且其行列式連續(xù)、有界，場(chǎng)源分布在區(qū)域V內(nèi)，則該矢量場(chǎng)由其散度、旋度及其邊界條件惟一確定，且矢量場(chǎng)F(r)可表示為標(biāo)量場(chǎng)u(r)的梯度的負(fù)值與另一矢量場(chǎng)A(r)的旋度之和[15]，即
(32)
式中u(r)和A(r)的表達(dá)式分別為
(33)
(34)
式中r、r′分別為場(chǎng)點(diǎn)、源點(diǎn)的位置矢量。
亥姆霍茲定律的核心內(nèi)容是自由空間矢量場(chǎng)完全由其散度和旋度確定，這可以拿來(lái)演繹和理解為何4個(gè)麥克斯韋多項(xiàng)式組是關(guān)于電場(chǎng)硬度和磁感應(yīng)硬度的散度和旋度的。許多文獻(xiàn)剖析討論了亥姆霍茲定律在電磁場(chǎng)理論中的應(yīng)用，比如：文獻(xiàn)[24]從亥姆霍茲定律出發(fā),揭示了電位移與場(chǎng)源之間的內(nèi)在聯(lián)系。文獻(xiàn)[25]討論了該定律在電磁場(chǎng)理論中的貫串作用，覺(jué)得按照亥姆霍茲定律，可以由麥克斯韋多項(xiàng)式組自然地引出標(biāo)量電位和矢量磁位，并可便捷地導(dǎo)入庫(kù)侖定理或畢奧-薩伐爾定理，以及位函數(shù)與場(chǎng)在自由空間的積分表達(dá)式。
據(jù)悉，文獻(xiàn)[26]討論了亥姆霍茲定律在求解靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題中的應(yīng)用，可由亥姆霍茲定律直接導(dǎo)入靜電場(chǎng)電位邊值問(wèn)題的通常積分解表達(dá)式，其推論過(guò)程簡(jiǎn)單明了。文獻(xiàn)[27]從亥姆霍茲定律出發(fā)，合理導(dǎo)入靜態(tài)與時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題求解所須要的基本多項(xiàng)式，并基于不同類(lèi)型電磁場(chǎng)的特點(diǎn)給出對(duì)應(yīng)的定解條件；因?yàn)殪o態(tài)和時(shí)變電磁場(chǎng)的不同特點(diǎn)，其所要求的邊界條件有所減小，即按照靜電場(chǎng)的無(wú)旋性，其邊界條件只需給定電場(chǎng)的法向份量，按照恒定磁場(chǎng)的無(wú)散性，其邊界條件只需給定磁場(chǎng)的切向份量，對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)，因?yàn)殡妶?chǎng)與磁場(chǎng)的互相耦合，邊界條件只需給定電場(chǎng)或則磁場(chǎng)的切向份量。
3結(jié)語(yǔ)
高斯定律是矢量場(chǎng)中閉合曲面積分與其所限定區(qū)域的容積分之間的一個(gè)變換關(guān)系；斯托克斯定律是矢量場(chǎng)中的閉合曲線積分與其所圍曲面積分之間的一個(gè)變換關(guān)系；亥姆霍茲定律表明，一個(gè)矢量場(chǎng)所具有的性質(zhì)可由其散度和旋度來(lái)描述，上述應(yīng)用實(shí)例表明，這種矢量場(chǎng)定律普遍存在并一直貫串于“電磁場(chǎng)理論”課程的眾多內(nèi)容之中，因而在“電磁場(chǎng)理論”課程教學(xué)中應(yīng)充分注重那些矢量剖析與場(chǎng)論基礎(chǔ)知識(shí)的廣泛應(yīng)用。
在多年的電磁場(chǎng)理論課程教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，通過(guò)在引言課及場(chǎng)論基礎(chǔ)課中提醒中學(xué)生注重上述矢量場(chǎng)定律的學(xué)習(xí)，并在后續(xù)課堂教學(xué)中提醒中學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用上述場(chǎng)論基本概念、矢量場(chǎng)定律剖析和理解電磁場(chǎng)理論，可以使中學(xué)生更便于理解和把握所學(xué)電磁場(chǎng)理論，做到融會(huì)貫通，因而可以有效減少本課程教學(xué)與學(xué)習(xí)的難度、提高教學(xué)效率。
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基金項(xiàng)目:廣州民航航天學(xué)院儀器科學(xué)與光電工程大學(xué)教學(xué)變革項(xiàng)目(2015年立項(xiàng)，名稱(chēng)“電磁場(chǎng)與電磁波”課程建設(shè))。作者謝謝審稿專(zhuān)家對(duì)本文提出寶貴更改意見(jiàn)。
作者簡(jiǎn)介:李長(zhǎng)勝，男，上海民航航天學(xué)院副院長(zhǎng)，主要從事電磁場(chǎng)理論、物理光學(xué)等課程教學(xué)工作，研究方向主要為光學(xué)傳感器技術(shù)與光學(xué)元件，。
引文格式:李長(zhǎng)勝，周震，馮麗爽.注重矢量場(chǎng)定律在電磁場(chǎng)理論教學(xué)中的應(yīng)用[J].化學(xué)與工程，2019角動(dòng)量定理公式推導(dǎo)，29(2)：39-44.
END