化學專業出身的讀者，一定對所謂的位力定律不陌生。本文首先從一個特別簡單的假定談起。
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如（1）式，則勢能是坐標的齊次函數。其中α是任意常數，k是函數的齊次次數。
我們將證明，假若一個熱學系統在有限空間中運動，且假定勢能是坐標的齊次函數，則動能和勢能的時間平均值之間存在十分簡單的關系，這個關系式稱為位力定律。
注意到動能T是速率的二次函數，很容易證明如下推論：
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其中下標a表示系統中的第a個質點，下文同。這個推論有個專門的名稱——歐拉齊次函數定律。我們將借此為出發點，在最通常的意義上進行推論。
引入動量，由上式可得：
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對（2）式，我們將對時間求平均。通常地，函數f(t)對時間的平均被定義為：
有趣的是，假如函數?f(t)是某個有界函數F(t)對時間的全行列式，則f(t)對時間的平均等于0。為何呢？不難驗證如下：
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回到（2）式，假若系統在有限空間中以有限的速率運動，則
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這個方程右端的表達式?稱為系統的均位力積，簡稱位力（)。
假如勢能U是所有矢徑ra的k次齊次函數，再一次用到歐拉齊次函數定律，（3）式弄成很簡單的關系：
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至此，勢能和動能的時間平均值都用系統的總能量E表示了下來。得到位力定律的過程是何等簡約優美，一塵不染！順便強調，位力定律雖然是具有普遍性的一類規律——力學相像性的彰顯。
下邊邁向特殊，來考察一下兩種特別常見的運動。當k=2，即對于微震動的情況，有
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動能和勢能對時間的平均相等。
當k=-1，即對于平方正比有心力場中的運動，有
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因為動能的時間平均值只可能是正值，從（6）式我們可以直接得到一個有趣的推論：在平方反比力比如牛頓引力的作用下，只有總能量為負值，運動才是有界的，也就是說才符合位力定律創立的前提條件。
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我們曉得，拿牛頓引力作用下的人造衛星的運動來說，只有衛星的總能量E＜0，才是橢圓軌道，而當E＞0時軌道是雙曲線，E=0時軌道是拋物線，運動都不是有界的。可見，通過位力定律可以精妙地證明這一點。
由萬有引力的位力定律即（6）式我們還可以發覺，當人造衛星再入大氣層時，雖然在空氣阻力的作用下有總能量的損失，卻是一個加速的過程！
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接出來我們利用位力定律剖析一下，假若一開始人造衛星的軌道是橢圓，在空氣阻力的作用下軌道形狀將發生如何的變化，只須要剖析軌道的偏心率對時間的變化。如上圖所示的橢圓軌道的偏心率為：（推論過程略，參考普通數學教材即可。）
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多項式兩側平方，再對時間導數，整理得：
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（7）式括弧前的因子是負的，考察括弧內。
不妨設空氣阻力f=-βv，系數β隨大氣密度的降低而單調降低，而大氣密度又是隨高度的降低而單調降低的角動量定理成立條件，所以，β隨高度的降低而單調遞增。明晰空氣阻力后有：
對于橢圓軌道，?E＜0，|E|=-E，用到上文推導入的萬有引力的位力定律，并將（6）式中的動能的時間平均值改為周期T內的平均，則位力定律仍創立，換成我們更熟悉的符號：
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綜上，代入（7）式，得：
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再回顧一下（7）式，若在沒有空氣阻力的情況下，總能量E和角動量L都是守恒的，橢圓軌道的偏心率其實是一個定值。現今偏心率隨時間的變化率的瞬時值則是正負不定的。雖然，我們考察完整的軌道，一個周期的平均值才是有意義的：
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剖析一下（8）式，假如系數β為1或則一個常數，即便有：
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其實該積分由正、負兩部份組成：
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該式結合右圖，在一個完整的橢圓軌道上，也就是一個周期T之內，0～t的時間內速率較大，則由開普勒第二定理，此時軌道離地面較近，高度較低。由上文對空氣阻力f=-βv的剖析，0～t的時間內β較大。
反過來，以同樣的剖析可知，t~T的時間內β較小。
在上式的正、負積分項里分別乘上較大和較小的系數，可知（8）式中的積分建業于0，
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即：
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所以，我們可以得出推論，當人造衛星再入大氣層或隕鐵倒塌時，若最初的軌道是橢圓，在空氣阻力的作用下軌道的偏心率會漸漸降低，越來越接近方形。回到（9）式可知，倘若一開始軌道就是方形，即離地高度不變，則β是一個常數，所以偏心率保持為0，不隨時間變化。雖然在空氣阻力作用下總能量有損失，軌道還是矩形的，這顯然違反我們的直覺。
最后，我們將引入一個有趣卻愈發違反常識的概念。熱力學告訴我們，二氧化碳中微觀粒子的平均動能越大，在宏觀上就表現為二氧化碳氣溫越高。而依照本文提到的位力定律，對于天體系統，得到能量時動能降低，因而氣溫增加；喪失能量時動能降低，因而氣溫下降。這無疑是十分奇怪的特點！
我們曉得，熱力學中氣溫每下降1K所須要獲得的熱量稱物體的潛熱。而對于天體組成的自引力系統，要下降它們的體溫，只能使它們喪失能量，也就是說，自引力系統具有負潛熱。負潛熱系統都是不穩定的。例如，有的星體核燃料用盡后，不但不冷卻出來，反倒在大幅的引力坍縮過程中產生大量的光和熱，這就是知名的超新星爆發。超新星爆發是對自引力系統的負潛熱特點的絕佳注釋。
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相信許多讀者都據說過所謂的“熱寂說”。熱寂說一開始是作為熱力學第二定理的宇宙學推斷而出現的。簡言之，熱寂說強調隨著熵增，宇宙最終將不可防止地深陷靜止、死亡的狀態。因為這涉及到宇宙未來、人類命運等重大問題，熱寂說甫一提出，導致的恐慌所殃及的范圍就遠遠超出了科學界，成為一樁重大文化奇案角動量定理成立條件，反響之強烈，影響之深遠，可謂近代史之最。熱寂說強調的可怕前景是否正確，導致了持續不斷的長久爭辯。直至“大爆燃”宇宙模型漸漸得到天體化學學界公認，才宣告了熱寂說的終結。簡言之，宇宙在膨脹，宇宙中達到熱平衡所需的時間比膨脹所需的時間更長，系統的熵雖然在不斷降低——這不遵守熱力學第二定理，但系統離平衡態卻越來越遠。
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雖然，引入負潛熱的概念后立刻可以看出，熱寂說的誤區更在于沒有充分考慮引力作用。宇宙是自引力系統，具有負潛熱，因而從根本上來講沒有平衡態。所謂隨著熵增而達到九玄的平衡態從一開始就是錯誤的套用。
在本文里我們見證，簡單到“明白如話”的歐拉齊次函數定律以這么簡約而直擊本質的方法終結了歷史上聚訟紛紜、令無數先哲困惱不已的熱寂說。數學學不斷照耀世界，所創造的奇跡，堪稱宇宙在大爆燃中誕生。