化學(xué)專業(yè)出身的讀者，一定對(duì)所謂的位力定律不陌生。本文首先從一個(gè)特別簡單的假定談起。
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如（1）式，則勢(shì)能是坐標(biāo)的齊次函數(shù)。其中α是任意常數(shù)，k是函數(shù)的齊次次數(shù)。
我們將證明，假若一個(gè)熱學(xué)系統(tǒng)在有限空間中運(yùn)動(dòng)，且假定勢(shì)能是坐標(biāo)的齊次函數(shù)，則動(dòng)能和勢(shì)能的時(shí)間平均值之間存在十分簡單的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系式稱為位力定律。
注意到動(dòng)能T是速率的二次函數(shù)，很容易證明如下推論：
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其中下標(biāo)a表示系統(tǒng)中的第a個(gè)質(zhì)點(diǎn)，下文同。這個(gè)推論有個(gè)專門的名稱——?dú)W拉齊次函數(shù)定律。我們將借此為出發(fā)點(diǎn)，在最通常的意義上進(jìn)行推論。
引入動(dòng)量，由上式可得：
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對(duì)（2）式，我們將對(duì)時(shí)間求平均。通常地，函數(shù)f(t)對(duì)時(shí)間的平均被定義為：
有趣的是，假如函數(shù)?f(t)是某個(gè)有界函數(shù)F(t)對(duì)時(shí)間的全行列式，則f(t)對(duì)時(shí)間的平均等于0。為何呢？不難驗(yàn)證如下：
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回到（2）式，假若系統(tǒng)在有限空間中以有限的速率運(yùn)動(dòng)，則
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這個(gè)方程右端的表達(dá)式?稱為系統(tǒng)的均位力積，簡稱位力（)。
假如勢(shì)能U是所有矢徑ra的k次齊次函數(shù)，再一次用到歐拉齊次函數(shù)定律，（3）式弄成很簡單的關(guān)系：
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至此，勢(shì)能和動(dòng)能的時(shí)間平均值都用系統(tǒng)的總能量E表示了下來。得到位力定律的過程是何等簡約優(yōu)美，一塵不染！順便強(qiáng)調(diào)，位力定律雖然是具有普遍性的一類規(guī)律——力學(xué)相像性的彰顯。
下邊邁向特殊，來考察一下兩種特別常見的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)k=2，即對(duì)于微震動(dòng)的情況，有
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動(dòng)能和勢(shì)能對(duì)時(shí)間的平均相等。
當(dāng)k=-1，即對(duì)于平方正比有心力場中的運(yùn)動(dòng)，有
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因?yàn)閯?dòng)能的時(shí)間平均值只可能是正值，從（6）式我們可以直接得到一個(gè)有趣的推論：在平方反比力比如牛頓引力的作用下，只有總能量為負(fù)值，運(yùn)動(dòng)才是有界的，也就是說才符合位力定律創(chuàng)立的前提條件。
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我們曉得，拿牛頓引力作用下的人造衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)來說，只有衛(wèi)星的總能量E＜0，才是橢圓軌道，而當(dāng)E＞0時(shí)軌道是雙曲線，E=0時(shí)軌道是拋物線，運(yùn)動(dòng)都不是有界的。可見，通過位力定律可以精妙地證明這一點(diǎn)。
由萬有引力的位力定律即（6）式我們還可以發(fā)覺，當(dāng)人造衛(wèi)星再入大氣層時(shí)，雖然在空氣阻力的作用下有總能量的損失，卻是一個(gè)加速的過程！
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接出來我們利用位力定律剖析一下，假若一開始人造衛(wèi)星的軌道是橢圓，在空氣阻力的作用下軌道形狀將發(fā)生如何的變化，只須要剖析軌道的偏心率對(duì)時(shí)間的變化。如上圖所示的橢圓軌道的偏心率為：（推論過程略，參考普通數(shù)學(xué)教材即可。）
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多項(xiàng)式兩側(cè)平方，再對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)，整理得：
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（7）式括弧前的因子是負(fù)的，考察括弧內(nèi)。
不妨設(shè)空氣阻力f=-βv，系數(shù)β隨大氣密度的降低而單調(diào)降低，而大氣密度又是隨高度的降低而單調(diào)降低的角動(dòng)量定理成立條件，所以，β隨高度的降低而單調(diào)遞增。明晰空氣阻力后有：
對(duì)于橢圓軌道，?E＜0，|E|=-E，用到上文推導(dǎo)入的萬有引力的位力定律，并將（6）式中的動(dòng)能的時(shí)間平均值改為周期T內(nèi)的平均，則位力定律仍創(chuàng)立，換成我們更熟悉的符號(hào)：
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綜上，代入（7）式，得：
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再回顧一下（7）式，若在沒有空氣阻力的情況下，總能量E和角動(dòng)量L都是守恒的，橢圓軌道的偏心率其實(shí)是一個(gè)定值。現(xiàn)今偏心率隨時(shí)間的變化率的瞬時(shí)值則是正負(fù)不定的。雖然，我們考察完整的軌道，一個(gè)周期的平均值才是有意義的：
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剖析一下（8）式，假如系數(shù)β為1或則一個(gè)常數(shù)，即便有：
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其實(shí)該積分由正、負(fù)兩部份組成：
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該式結(jié)合右圖，在一個(gè)完整的橢圓軌道上，也就是一個(gè)周期T之內(nèi)，0～t的時(shí)間內(nèi)速率較大，則由開普勒第二定理，此時(shí)軌道離地面較近，高度較低。由上文對(duì)空氣阻力f=-βv的剖析，0～t的時(shí)間內(nèi)β較大。
反過來，以同樣的剖析可知，t~T的時(shí)間內(nèi)β較小。
在上式的正、負(fù)積分項(xiàng)里分別乘上較大和較小的系數(shù)，可知（8）式中的積分建業(yè)于0，
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即：
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所以，我們可以得出推論，當(dāng)人造衛(wèi)星再入大氣層或隕鐵倒塌時(shí)，若最初的軌道是橢圓，在空氣阻力的作用下軌道的偏心率會(huì)漸漸降低，越來越接近方形。回到（9）式可知，倘若一開始軌道就是方形，即離地高度不變，則β是一個(gè)常數(shù)，所以偏心率保持為0，不隨時(shí)間變化。雖然在空氣阻力作用下總能量有損失，軌道還是矩形的，這顯然違反我們的直覺。
最后，我們將引入一個(gè)有趣卻愈發(fā)違反常識(shí)的概念。熱力學(xué)告訴我們，二氧化碳中微觀粒子的平均動(dòng)能越大，在宏觀上就表現(xiàn)為二氧化碳?xì)鉁卦礁摺６勒毡疚奶岬降奈涣Χ桑瑢?duì)于天體系統(tǒng)，得到能量時(shí)動(dòng)能降低，因而氣溫增加；喪失能量時(shí)動(dòng)能降低，因而氣溫下降。這無疑是十分奇怪的特點(diǎn)！
我們曉得，熱力學(xué)中氣溫每下降1K所須要獲得的熱量稱物體的潛熱。而對(duì)于天體組成的自引力系統(tǒng)，要下降它們的體溫，只能使它們喪失能量，也就是說，自引力系統(tǒng)具有負(fù)潛熱。負(fù)潛熱系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。例如，有的星體核燃料用盡后，不但不冷卻出來，反倒在大幅的引力坍縮過程中產(chǎn)生大量的光和熱，這就是知名的超新星爆發(fā)。超新星爆發(fā)是對(duì)自引力系統(tǒng)的負(fù)潛熱特點(diǎn)的絕佳注釋。
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相信許多讀者都據(jù)說過所謂的“熱寂說”。熱寂說一開始是作為熱力學(xué)第二定理的宇宙學(xué)推斷而出現(xiàn)的。簡言之，熱寂說強(qiáng)調(diào)隨著熵增，宇宙最終將不可防止地深陷靜止、死亡的狀態(tài)。因?yàn)檫@涉及到宇宙未來、人類命運(yùn)等重大問題，熱寂說甫一提出，導(dǎo)致的恐慌所殃及的范圍就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了科學(xué)界，成為一樁重大文化奇案角動(dòng)量定理成立條件，反響之強(qiáng)烈，影響之深遠(yuǎn)，可謂近代史之最。熱寂說強(qiáng)調(diào)的可怕前景是否正確，導(dǎo)致了持續(xù)不斷的長久爭辯。直至“大爆燃”宇宙模型漸漸得到天體化學(xué)學(xué)界公認(rèn)，才宣告了熱寂說的終結(jié)。簡言之，宇宙在膨脹，宇宙中達(dá)到熱平衡所需的時(shí)間比膨脹所需的時(shí)間更長，系統(tǒng)的熵雖然在不斷降低——這不遵守?zé)崃W(xué)第二定理，但系統(tǒng)離平衡態(tài)卻越來越遠(yuǎn)。
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雖然，引入負(fù)潛熱的概念后立刻可以看出，熱寂說的誤區(qū)更在于沒有充分考慮引力作用。宇宙是自引力系統(tǒng)，具有負(fù)潛熱，因而從根本上來講沒有平衡態(tài)。所謂隨著熵增而達(dá)到九玄的平衡態(tài)從一開始就是錯(cuò)誤的套用。
在本文里我們見證，簡單到“明白如話”的歐拉齊次函數(shù)定律以這么簡約而直擊本質(zhì)的方法終結(jié)了歷史上聚訟紛紜、令無數(shù)先哲困惱不已的熱寂說。數(shù)學(xué)學(xué)不斷照耀世界，所創(chuàng)造的奇跡，堪稱宇宙在大爆燃中誕生。