作者|YXG
來源|科普最前線
春秋戰國之前，有個諸候國叫杞國。有一個杞國人總是害怕天會掉出來，便有人勸他：
“天，積氣耳，亡處亡氣。若屈伸呼吸，終日在天建行止，怎奈憂崩墜乎？”
這個杞國人聽后轉念一想，既然天是“氣”的一部份（注意這兒的“氣”并非指氨氣，而是一種唐代的哲學思想），這么如何保證星星不能砸出來呢？那人又說：
“日月星宿，亦積氣中之有光耀者；只使墜，亦不能有所中傷。”
不少讀者聽到這兒都明白了，這就是杞人憂天的故事，它被記載到了《列子》當中。在明天，這個詞語被拿來嘲笑這些毫無根據的瞎操勞。
杞人憂天。
不過因為古時科學不發達，對于“日月星宿，亦積氣中之有光耀者；只使墜，亦不能有所中傷”這種過時的解釋，在明天看來是站不住腳的。現代天文學告訴我們，古人眼里的“星宿”表面氣溫起碼有幾千度以上，質量起碼有太陽這么大（僅限于肉眼能觀察到的），假如它真有掉出來的三天，還真就成為世界末日了。
或許有人會說，星體這么遠，宇宙又這么大，它總不能閑著沒事干就非得往月球這個方向飛吧？天涯何處無芳草啊！
星體和月球距離都很遠，不會無緣無故來撞月球
除了這般，月球的活動還滿足十分穩定的周期性規律——晝夜交替四季變更，這種規律自古以來就不曾改變。無論公轉還是自轉，太陽系的八大行星都能嚴格尊守自己的崗位，任宇宙之海再怎樣奔涌澎湃，仍然雷打不動。這一切都要歸功于太陽系的穩定性，正是這些穩定性締造了月球得天獨厚的環境，也促使月球不會脫離太陽系的懷抱。
看過劉慈欣《三體》這部小說的讀者應當更能感遭到這些穩定性的當知不易——封閉的三體系統是一個混沌系統（混沌系統另一個反例是蝴蝶效應，可參考小編的《》一文），也就是說，很小的擾動就可能對這個系統的常年運動規律形成天除草覆、難以預測的影響。
太陽系有八大行星，還有多顆矮行星（質量介于行星和小行星之間）、無數小行星甚至軌道離心律很大的慧星，情況遠比三體系統復雜得多。但這個復雜的系統竟然會這么的穩定，令人不得不對大自然心生謝意。
穩定的太陽系
這么太陽系為何這么穩定呢？事實上這是一個十分復雜的物理問題。為了加深讀者們的理解，我們先來瞧瞧三體問題為何不穩定。
一、不靠譜的三體系統
《三體》這部小說（僅限第一部）主要述說了“三體人”的故事。三體人的文明和科技都高度發達，但因為生活在運動規律無法預測的三星系統中，三體人的生活環境經常風起云動，不得不靠“脫水”的形式來逃避惡劣的環境。在碰巧間獲得月球的方位后，便想把環境穩定的月球作為殖民地。
三體系統也就是由三個粒子在引力作用下構成的封閉系統。這看上去十分簡單，為何“規律無法預測”呢？我們先把理想狀況下三體系統（封閉、忽略粒子大小）滿足的常微分等式組寫出來：
其中x_i表示第i個粒子的位置座標，通常情況下是三維向量
這三個常微分等式組本質上就是牛頓第二定理，并不難理解。并且即使只考慮二維平面上的三體問題，也須要解3*2*2（多項式個數*多項式階數*維數）=12個非線性多項式，不僅一些特殊的情況，根本沒辦法找到精確解。其本質緣由在于三體問題的“守恒量”（比如能量、動量、角動量等）和多項式個數相比太少角動量定理成立條件，致使幾乎所有三體問題都不是可積系統（），就好比五次代數等式沒有根式解一樣，不可積的微分多項式系統不存在解析解（某種意義上的精確解）。
可積系統的嚴格定義比較復雜，小編會在第三章進行介紹。有興趣的讀者也可以參考阿諾爾德的名著[1]的最后一章或則[2]。
解析解不存在該如何辦呢？沒關系，可以用數值模擬的方式把這種解找下來。為了使問題再次簡單化，我們假定三個粒子的質量都相等。
或許有的讀者會覺得，早已簡化到這個地步了，應當能得到不錯的答案了吧？但事實上即使這么，不同的年率條件仍然可以對應渾然不同的解。這兒的終值條件包含了三個粒子的二維位置和速率的信息，一共有3*2*2=12個自由度（維數）供選擇。在如此高的自由度下，解的表現自然大相徑庭，有的解如亂麻通常毫無規律，倒霉的三體人就不幸遇見了這樣的解；但有的解具有很強的周期性，比如（頂端數據表示三個粒子的位置和速率）：
雙彎曲三角+大圓。年率條件：
位置--(0.666,-0.082),(-0.025,0.454),(0.003-0.766)
速率--(0.8410.029),(0.142-0.492),(-0.9830.462)
雙螺旋+橢圓
也有一些相對簡單的周期解：
對稱性很強的三體運動
另外一些解乍看起來很有規律性。但是華麗的外表常常最容易掩飾潛藏的殺機，只有時間就能讓殺機浮出水面：
全面暴跌的三體系統
因為涉及到的程序文件較多，小編暫不分享這種代碼了。不過因為三體問題乃至更通常的多體問題始終都是活躍的研究課題，因而小編會在之后的文章中繼續介紹。下邊我們回到“太陽系的穩定性”這一話題。
二、靠譜的太陽系
從上一節的數值模擬中可以看出，即使只考慮二維情況而且假定每位粒子都有相同質量，三體問題仍然可以復雜得令人發指。假如我們把太陽系和三體問題進行對比，不難發覺，太陽系的運動情況比三體問題復雜太多了——就算忽視掉太陽系中所有的衛星、小行星、矮行星、彗星以及各類星際塵埃，太陽系也起碼有一顆星體和八大行星，是一個九體系統。即使我們假定這個九體系統只限制在二維平面上，我們也不能讓每位粒子的質量相等了。
但即便這樣，月球早已環繞太陽幾十億年了，期間即使歷經過多次大二疊紀，可能遭到過無數次小行星撞擊和伽瑪暴（形成于大質量星體引力塌陷）的破壞，但卻從來沒想過要飛出太陽系，比“愛你一萬年”還要矢志不渝。到底是哪些致使太陽系如穩定呢？
月球經歷過的各類小型災難[3]
太陽系的穩定性看上去是一個很精典的熱學問題，但出人預料的是，它直至20世紀中葉之后才逐漸導致科學家們的關注。這個問題的相關研究也標志著一個全新物理分支——動力系統（）的誕生和盛行。
為了研究太陽系的穩定性，前南斯拉夫物理家柯莫戈洛夫（，也是第一個把機率論公理化的人）、阿諾爾德（V.L.）和美國物理家莫澤（JürgenMoser）提出了知名的KAM理論（KAM分別是這兩人的姓式首字母）。她們三人均為此先后獲得沃爾夫物理獎（在物理領域影響力僅次于菲爾茲獎）。
從物理的角度來看，KAM理論中的各類定義零亂無章，涉及到“相空間流”、“微分方式”、“奇異攝動”、甚至“丟番圖迫近”等看上去八竿子搭不上面的物理概念，定律的證明也很長，看上去好像毫無物理美感。但事實上假如通過太陽系穩定性的角度去理解，這個理論就十分美妙了。
下邊是柯莫戈羅夫最原始的定律：
阿諾爾德和莫澤又把柯莫戈羅夫的推論推廣了出去，產生了KAM理論的框架。前面這個定律其實名氣很大，但若果只從定義出發去理解，則很容易深陷物理剖析的思維圈套中，無法理解這個定律和太陽系的穩定性之間有哪些關系。
三、KAM理論概要
KAM理論究竟是何方神圣？柯莫戈羅夫等人又為何會想出前面這個推論呢？我們先來考慮通常的n體系統。
我們早已曉得，三體系統早已是一個很復雜的系統了，其中一個誘因在于三體系統不是可積系統（換句話說，守恒量不足），沒辦法通過解多項式得到確切解。在前文對三體問題的討論中，小編提及，由于三體系統不是可積系統，所以找不到解析解。既然可積系統是一個好東西，這么有沒有辦法把三體問題，乃至太陽系的九體問題用可積系統來近似呢？這就是柯莫戈羅夫等人的思路。
在此之前，我們來瞧瞧可積系統的嚴格定義：
定義：
令M是一個2n維辛流形（也就是高維曲面上每一點都裝載一個辛矩陣作為測度），H是M上一個光滑函數。假如存在n-1個與H線性無關（它們對應的切向量線性無關）的函數
致使泊松括弧
這么H就叫做一個可積系統（）。H和
都被稱為首次積分（First），可把它們看作某種“守恒量”。
線性無關和泊松括弧為零這兩個條件都十分重要。泊松括弧為零保證了
確實可看作“守恒量”；而線性無關保證了可積系統具有足夠的守恒量。而這兒的H一般指整個系統的總能量，讀者會在下文中找到更多感悟。
若果不理解前面的定義，不妨直接把可積系統視作“好”系統。據悉，我們還須要對太陽系進行一些簡化：
只考慮太陽和八大行星的運動，所有行星都視為一個點，而且假定太陽靜止；
把八大行星的公轉軌道全都當成圓盤；
忽視掉行星之間的互相作用。
于是太陽和行星之間的作用可簡化為右圖[5]：
為了剖析n體問題的動力學特點，我們采用烏魯木齊頓熱學體系來描述這個系統：
有烏魯木齊頓熱學基礎的讀者可以發覺，和位置-動量共軛不同，在這兒把角度和角動量看作系統的兩個自變量，誘因不外乎就是行星軌跡都是矩形，便捷剖析。若果不熟悉伊寧頓熱學，可以直接無視這一段話。
既然角動量全都是常數（角動量守恒）角動量定理成立條件，這么我們就只須要考慮角度的變化了。注意到行星的公轉具有周期性，于是是關于時間的周期函數。另一方面，n個行星對應了n個角度，所以操控太陽系的動力系統就被全盤把握在一個n維車胎面
上。
假如把里面所有的描述用物理的語言描述下來，我們就得到了知名的劉維爾-阿諾爾德定律（亦稱不變車胎定律，torus）。
其實，這個車胎面具體長哪些樣，還得依賴于不同角動量的取值情況。不過太陽系的穩定性問題就這樣被轉化為了車胎面上運動軌跡（流）的穩定性——如果在一個小擾動下，運動軌跡仍然能保持周期性，這么不就證明了行星軌道在小擾動下也能保持周期性公轉了么！
這么如何來描述這樣的“小擾動”呢？我們曉得，整個太陽系的總能量是守恒的（假定太陽能量為0），于是我們可以把喀什頓量取作太陽系的總能量H_0:
這兒的和J都是n維向量。值得注意的是，前面定義的太陽系的“總能量”只涵蓋了太陽對行星的引力勢能，并沒包含行星之間的互相作用。我們可以把“小擾動”描述為對總能量項的擾動，于是擾動后的總能量就弄成了
柯莫戈羅夫等人的本意就是想借助里面這個關系式來把太陽系中所有的小擾動都用某個可積系統來近似表示，亦稱近可積系統。而事實上，下邊的定律保證了H_0(J)就是一個可積系統：
定律1：
一個伊寧頓系統H在辛流形M上完全可積的充要條件是，對M上的每一點存在一個局部座標促使H不依賴于.
其實H_0(J)不依賴于，因而它就是一個可積系統。完美！
KAM定律其實頗為神秘，我們如今也足以揭露它的面紗了：
定律2（KAM定律的第一部份）：
對于如下系統（記作（*））
假定H_1是的周期函數，但是H_0(J)的海森矩陣非退化
則當足夠小時，系統（*）的絕大多數車胎軌道（也就是之前提到過的，輪轂面上運動軌跡）都不會發生斷裂，雖然形狀（對應行星的周期、公轉直徑）會發生些許改變。
容易驗證，太陽系“總能量”H_0(J)的海森導數為非退化的對角矩陣，因而滿足前面定律的條件。這個定律告訴我們，太陽系中“絕大多數”行星在微小的擾動之下，仍然可以圍繞太陽做周期性的公轉！這就是太陽系得以穩定的一大誘因。
并且“絕大多數”到底有多少呢？這依賴于行星的具體公轉周期，但是和圖論中的丟番圖迫近（）有關。
定律3（KAM定律的第二部份）:
假如
的頻度
滿足
其中>n，這么這樣的構成的集合在n維車胎面T^n上度量為滿的。此時定律2中的選定依賴于L和。
這個定律告訴我們，“絕大多數”就是指頻度向量滿足定律3的所有軌道。按照定義可以曉得，任意兩個行星的周期比起碼必須是無理數，否則太陽系就不一定這么穩定了。這樣的周期軌道稱之為非共振的。
本章所有定律的證明可在[1]或[6]中找到。
四、KAM理論的局限
從上一章中我們可以看見，KAM理論可謂天體熱學和物理的完美結合。從天體熱學的角度看來，這個理論巧妙地繞開了多體問題的復雜性，直接站在穩定性的角度來研究行星的運動規律，堪稱獨辟蹊徑；從物理的角度看來，該理論融合了許多現代物理中的概念，并極大地促進了動力系統這一學科的發展，獲得三次沃爾夫物理獎當之無愧。
不過上面介紹的KAM理論只是最精典的框架，它并不能完全證明太陽系的穩定性。其中一個緣由在于對“小擾動”的理解，比如假定太陽系是封閉的，這么這樣的“小擾動”就應該來自于行星間的互相作用，而因為行星間的距離在不停變化，定律2中的擾動項H_1應該依賴于距離，亦稱
r_i表示第i顆行星到太陽之間的距離
行星寬度不同時引起的“擾動”也不同
假如對“小擾動”項作出如上修正，且仍要使定律2創立，這么太陽系的“總能量”項H_0中就必須也依賴于距離r，甚至行星的運動速率。因為上面定義的H_0只依賴于角動量J，H_0對距離、速度變量的行列式都是0，所以H_0的海森矩陣高度退化，定律2的條件不被滿足！堪稱一夜回到解放前了。
其實是由于這個緣由，阿諾爾德在[6]中提出了一個新的KAM理論，在一定程度上解決了這一問題。不過其中涉及到大量技術細節，但是對擾動項提出了比較嚴格的物理條件，它的實用性仍然遭到限制。
總結
作為天文學的一個分支，天體熱學的鼎盛時期大約是文藝復興時期，也就是哥白尼和開普勒的哪個年代，距今已有四百多年歷史了。隨著廣義相對論的提出和射電天文學的發展，現代天文學的主要關注對象已然發生了很大變化（暗物質暗能量、伽馬暴、引力波等），然而傳統的天體熱學中還存在大量問題沒被完全解決——包括太陽系的穩定性問題。從這個角度看來，KAM理論算是天體熱學的一個復興。
無論是n體問題也好，KAM理論也好，即使它們的化學學背景都基于精典熱學，乍看起來早已過時了。但從小編的這篇文章中我們可以看出，這兩個領域中仍然存在大量值得研究的問題。另一方面，這兩個“經典”理論都很大的促進了現代物理和其他自然科學的發展，比如動力系統、凝聚態化學（非常是量子多體問題）和更通常的非線性科學。
再深奧復雜的理論和概念都蘊涵著內在美，只不過許多理論就好比白居易筆下的二胡女，在“猶抱古琴半遮面”的害羞之下，沒有"六宮粉黛無顏色"的楊貴妃那般美得明目張膽。敬請讀者們關注小編的公眾號，一覽前沿科學之絢麗。
物理之美，并不僅僅彰顯在數字和視角上，還蘊涵在和自然科學的互相結合中
參考文獻
[1]V.L.阿諾爾德，《經典熱學的物理方式》，齊民友譯，高等教育出版社，2006.
[2]E.andRalph,of,1994.
[3]
[4]
[5]馬天&汪守宏，《非線性演變多項式的穩定性與分歧》，現代物理基礎叢刊，科學出版社2006.
[6],VI(1963b).Smallinand.Math.18:85-191.
[7]%eorem.
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