現代數學知識刊物.
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陳倉佚2吳波1宋峰2
1.上海天府第七分校；2.南開學院數學科學大學
本題研究管線中的流體由于壓力波造成的浮力變化，主要處理因為快速和慢速關掉管路中球閥造成的水錘效應。
為簡化估算，要求只考慮非粘性流體的一維流動。所有管線及球閥都看成是剛性的，但流體是可壓縮的。容積為V0的流體單元在浮力P0作用下處于平衡狀態，假如浮力改變量為ΔP,則容積改變量ΔV與ΔP成反比，表示為
ΔP=-B(ΔV/V0)(1)
比列系數B表示液體的容積泊松比。對于水，密度為ρ0=1.0×103kg/m3，容積撓度為B=2.2GPa。
A部份：浮力變化和浮力波傳播
在寬度為L均勻圓錐形管路中大氣壓強表達式為，水順著x軸正方向穩定流動，水平方向速率為v0，密度為ρ0，浮力為P0。如圖1所示，管線與儲液器相連，離海面深度為h，儲液器與大氣相通，大氣浮力記為Pa。
圖1均勻管內的穩定液體流動
假定坐落管線末端的流量控制閥T頓時關掉，球閥附近即將流出管線的液感受承受浮力的變化ΔPs≡P1-P0和速率的變化Δv=v1-v0(v1≤0)。這會導致浮力變化ΔPs通過縱波的方式以傳播速率c沿x軸負方向傳播。
問題A.1浮力變化ΔPs與速率的改變量Δv的關系可表示為ΔPs=αρ0cΔv。浮力波的傳播速率為
試求出α，β和γ。(1.6分)
問題A.2在水流速率v0=4.0m/s，v1=0條件下，估算浮力波的速率c和ΔPs的大小。(0.6分)
B部份：流量控制閥模型
圖2為液體流經流量控制閥T時的數學模型。控制球閥緊靠管線的A端，寬度為ΔL大氣壓強表達式為，內直徑為R。球閥錐形出口的直徑為r，與大氣相通，大氣浮力為Pa。重力對射流的影響可以忽視。
液體被覺得是不可壓縮的，球閥入口處的穩定流動的液體速率為vin，浮力為Pin，密度為ρ0。圖2中，畫出的流線及其法線，只是為了幫助認清流動圖樣。
圖2球閥規格和噴射口的收縮示意圖
流體離開球閥步入大氣后，流體的橫截面將收縮直至達到最小值，此時流線將再度平行。在這個最小值處，流體速率為vC，流體橫截面直徑為
。CC被稱為收縮系數，由球閥的內直徑與錐形凹坑直徑的比值r/R以及錐角大小β決定，見表1。
表1噴射口凹坑的收縮系數
問題B.1求出當球閥入口處流線平行時的ΔPin=Pin-Pa，用ρ0，vin,r，R,和CC表示。(1.0分)
本題目C和D部份，對于圖1所示的儲液器-管線系統，有如下假定條件：
(1)傳播速率c和液體密度ρ0是與流速無關的常數。環境大氣壓Pa和重力加速度g為常數。
(2)最初球閥完全打開，管線中的流體穩定，其浮力為P0，流速為v0。
(3)圖1和圖2所示的管線寬度為L，直徑為R。球閥T是一個直徑r可變的方形開口，錐角β=90°。球閥的寬度ΔL可忽視不計，球閥入口緊挨管線的A端。重力對射流的影響可以忽視。
(4)儲液器中的液體是準靜態的，因而其緊靠管線入口B的壓力Ph保持恒定。管線中的流體壓力變化可以忽視，因而整個管線中的液體流動是一維的。
C部份：流量控制閥快速關掉造成的水錘效應
對于圖1中所示的儲液器-管線系統，當管線中的液體流動被完全或部份關掉的球閥阻塞時，將會形成向下游傳播的浮力波。浮力波在管線末端遇到儲液器后將向球閥反射，并在球閥端再度反射產生另一個浮力波。以上過程不斷重復，進而造成球閥附近的液體形成一系列的浮力大小的突變，這個現象稱為水錘。
問題C.1參考圖1和圖2，當球閥T完全打開(r=R)時，求出管線內穩定流體的浮力P0和速率v0。用ρ0，g，h和Pa表示。(0.6分)
問題C.2考慮與問題C.1中具有相同浮力P0和速率v0的穩定流體。在t=0時，球閥立刻關掉(r=0)。浮力波以傳播速率c朝著儲液器聯通。管線B端的浮力為Ph=P0+ρ0gh，令τ=2L/c。當時間t十分接近τ/2和τ時，管線內流體浮力P(t)和流速v(t)是多少？(1.2分)
D部份：流量控制閥平緩關掉造成的水擊效應
再度考慮與問題C.1中具有相同浮力P0和速率v0的穩定流體。平緩關掉蝶閥，并采用有限步方式模擬關掉過程。
從時間t=0開始，球閥直徑r的瞬時削減量按時間間隔τ=2L/c依次給出(表2)。每次直徑增大后，球閥區域內的流動可被近似為立刻穩定，與B部份所示情況相同。此時球閥處的浮力和速率與管線中其他流體的不同。
表2球閥關掉步驟
表2給出球閥每位關掉步驟n的持續時間和蝶閥開口的直徑rn，而且給出球閥處相應時刻的流體浮力Pn和流動速率vn。
液體密度ρ0和浮力波傳播速率c均看作常數。步驟n=0、1、2、3、4，浮力改變量為ΔPn=Pn-P0，速率改變量為Δvn=vn-v0，Ph與P0近似相等(Ph=P0)。
問題D.1求出ΔPn/(ρ0c)的表達式，用ΔPn-1/(ρ0c),vn-1和vn，該表達式應適用于表2中所有n>0的關掉步驟。對于n=1、2、3，在vn-1和ΔPn-1/(ρ0c)都已知的情況下，求出才能估算vn的表達式。(3分)
問題D.2依據問題D.1的結果，取水流的速率v0=4.0m/s，勾畫出所有的ΔP-ρ0cv圖。對于所有的關掉步驟n=1、2、3、4，給出所畫直線和曲線的交點座標，應給出ρ0cvn和ΔPn的值，同時在圖中標出每位交點座標(ρ0cvn,ΔPn)所對應的n的值。從圖中計算n=1、2、3、4時ρ0cvn和ΔPn的值(均以MPa為單位)。
賽題背景
流體沿壓力管線(如輸油、輸水等管線)流動時，若忽然關掉或開啟球閥、或者電機忽然停機或啟動，流體流動速率將發生忽然變化；同時因為流體慣性和可壓縮性，流體浮力將形成劇烈的周期性變化，此現象被稱為水擊或水錘。發生水擊現象時，管線內浮力波動可能達到額定工作浮力的幾十倍甚至幾百倍，管壁及管線上的設備及附件將承受很大的高頻交變壓力，形成劇烈震動并發出如同錘擊的聲音。該交變壓力可能導致球閥破壞、管件接頭斷裂、斷開，甚至管線炸裂等重大車禍。因而壓力管線中水擊現象的害處及預防研究是一項重要的工業工程問題。
本題即以水擊效應為背景，討論壓力管線球閥關掉時流體浮力和流速的變化。
END