現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識(shí)刊物.
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陳倉佚2吳波1宋峰2
1.上海天府第七分校；2.南開學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)大學(xué)
本題研究管線中的流體由于壓力波造成的浮力變化，主要處理因?yàn)榭焖俸吐訇P(guān)掉管路中球閥造成的水錘效應(yīng)。
為簡化估算，要求只考慮非粘性流體的一維流動(dòng)。所有管線及球閥都看成是剛性的，但流體是可壓縮的。容積為V0的流體單元在浮力P0作用下處于平衡狀態(tài)，假如浮力改變量為ΔP,則容積改變量ΔV與ΔP成反比，表示為
ΔP=-B(ΔV/V0)(1)
比列系數(shù)B表示液體的容積泊松比。對(duì)于水，密度為ρ0=1.0×103kg/m3，容積撓度為B=2.2GPa。
A部份：浮力變化和浮力波傳播
在寬度為L均勻圓錐形管路中大氣壓強(qiáng)表達(dá)式為，水順著x軸正方向穩(wěn)定流動(dòng)，水平方向速率為v0，密度為ρ0，浮力為P0。如圖1所示，管線與儲(chǔ)液器相連，離海面深度為h，儲(chǔ)液器與大氣相通，大氣浮力記為Pa。
圖1均勻管內(nèi)的穩(wěn)定液體流動(dòng)
假定坐落管線末端的流量控制閥T頓時(shí)關(guān)掉，球閥附近即將流出管線的液感受承受浮力的變化ΔPs≡P1-P0和速率的變化Δv=v1-v0(v1≤0)。這會(huì)導(dǎo)致浮力變化ΔPs通過縱波的方式以傳播速率c沿x軸負(fù)方向傳播。
問題A.1浮力變化ΔPs與速率的改變量Δv的關(guān)系可表示為ΔPs=αρ0cΔv。浮力波的傳播速率為
試求出α，β和γ。(1.6分)
問題A.2在水流速率v0=4.0m/s，v1=0條件下，估算浮力波的速率c和ΔPs的大小。(0.6分)
B部份：流量控制閥模型
圖2為液體流經(jīng)流量控制閥T時(shí)的數(shù)學(xué)模型。控制球閥緊靠管線的A端，寬度為ΔL大氣壓強(qiáng)表達(dá)式為，內(nèi)直徑為R。球閥錐形出口的直徑為r，與大氣相通，大氣浮力為Pa。重力對(duì)射流的影響可以忽視。
液體被覺得是不可壓縮的，球閥入口處的穩(wěn)定流動(dòng)的液體速率為vin，浮力為Pin，密度為ρ0。圖2中，畫出的流線及其法線，只是為了幫助認(rèn)清流動(dòng)圖樣。
圖2球閥規(guī)格和噴射口的收縮示意圖
流體離開球閥步入大氣后，流體的橫截面將收縮直至達(dá)到最小值，此時(shí)流線將再度平行。在這個(gè)最小值處，流體速率為vC，流體橫截面直徑為
。CC被稱為收縮系數(shù)，由球閥的內(nèi)直徑與錐形凹坑直徑的比值r/R以及錐角大小β決定，見表1。
表1噴射口凹坑的收縮系數(shù)
問題B.1求出當(dāng)球閥入口處流線平行時(shí)的ΔPin=Pin-Pa，用ρ0，vin,r，R,和CC表示。(1.0分)
本題目C和D部份，對(duì)于圖1所示的儲(chǔ)液器-管線系統(tǒng)，有如下假定條件：
(1)傳播速率c和液體密度ρ0是與流速無關(guān)的常數(shù)。環(huán)境大氣壓Pa和重力加速度g為常數(shù)。
(2)最初球閥完全打開，管線中的流體穩(wěn)定，其浮力為P0，流速為v0。
(3)圖1和圖2所示的管線寬度為L，直徑為R。球閥T是一個(gè)直徑r可變的方形開口，錐角β=90°。球閥的寬度ΔL可忽視不計(jì)，球閥入口緊挨管線的A端。重力對(duì)射流的影響可以忽視。
(4)儲(chǔ)液器中的液體是準(zhǔn)靜態(tài)的，因而其緊靠管線入口B的壓力Ph保持恒定。管線中的流體壓力變化可以忽視，因而整個(gè)管線中的液體流動(dòng)是一維的。
C部份：流量控制閥快速關(guān)掉造成的水錘效應(yīng)
對(duì)于圖1中所示的儲(chǔ)液器-管線系統(tǒng)，當(dāng)管線中的液體流動(dòng)被完全或部份關(guān)掉的球閥阻塞時(shí)，將會(huì)形成向下游傳播的浮力波。浮力波在管線末端遇到儲(chǔ)液器后將向球閥反射，并在球閥端再度反射產(chǎn)生另一個(gè)浮力波。以上過程不斷重復(fù)，進(jìn)而造成球閥附近的液體形成一系列的浮力大小的突變，這個(gè)現(xiàn)象稱為水錘。
問題C.1參考圖1和圖2，當(dāng)球閥T完全打開(r=R)時(shí)，求出管線內(nèi)穩(wěn)定流體的浮力P0和速率v0。用ρ0，g，h和Pa表示。(0.6分)
問題C.2考慮與問題C.1中具有相同浮力P0和速率v0的穩(wěn)定流體。在t=0時(shí)，球閥立刻關(guān)掉(r=0)。浮力波以傳播速率c朝著儲(chǔ)液器聯(lián)通。管線B端的浮力為Ph=P0+ρ0gh，令τ=2L/c。當(dāng)時(shí)間t十分接近τ/2和τ時(shí)，管線內(nèi)流體浮力P(t)和流速v(t)是多少？(1.2分)
D部份：流量控制閥平緩關(guān)掉造成的水擊效應(yīng)
再度考慮與問題C.1中具有相同浮力P0和速率v0的穩(wěn)定流體。平緩關(guān)掉蝶閥，并采用有限步方式模擬關(guān)掉過程。
從時(shí)間t=0開始，球閥直徑r的瞬時(shí)削減量按時(shí)間間隔τ=2L/c依次給出(表2)。每次直徑增大后，球閥區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)可被近似為立刻穩(wěn)定，與B部份所示情況相同。此時(shí)球閥處的浮力和速率與管線中其他流體的不同。
表2球閥關(guān)掉步驟
表2給出球閥每位關(guān)掉步驟n的持續(xù)時(shí)間和蝶閥開口的直徑rn，而且給出球閥處相應(yīng)時(shí)刻的流體浮力Pn和流動(dòng)速率vn。
液體密度ρ0和浮力波傳播速率c均看作常數(shù)。步驟n=0、1、2、3、4，浮力改變量為ΔPn=Pn-P0，速率改變量為Δvn=vn-v0，Ph與P0近似相等(Ph=P0)。
問題D.1求出ΔPn/(ρ0c)的表達(dá)式，用ΔPn-1/(ρ0c),vn-1和vn，該表達(dá)式應(yīng)適用于表2中所有n>0的關(guān)掉步驟。對(duì)于n=1、2、3，在vn-1和ΔPn-1/(ρ0c)都已知的情況下，求出才能估算vn的表達(dá)式。(3分)
問題D.2依據(jù)問題D.1的結(jié)果，取水流的速率v0=4.0m/s，勾畫出所有的ΔP-ρ0cv圖。對(duì)于所有的關(guān)掉步驟n=1、2、3、4，給出所畫直線和曲線的交點(diǎn)座標(biāo)，應(yīng)給出ρ0cvn和ΔPn的值，同時(shí)在圖中標(biāo)出每位交點(diǎn)座標(biāo)(ρ0cvn,ΔPn)所對(duì)應(yīng)的n的值。從圖中計(jì)算n=1、2、3、4時(shí)ρ0cvn和ΔPn的值(均以MPa為單位)。
賽題背景
流體沿壓力管線(如輸油、輸水等管線)流動(dòng)時(shí)，若忽然關(guān)掉或開啟球閥、或者電機(jī)忽然停機(jī)或啟動(dòng)，流體流動(dòng)速率將發(fā)生忽然變化；同時(shí)因?yàn)榱黧w慣性和可壓縮性，流體浮力將形成劇烈的周期性變化，此現(xiàn)象被稱為水擊或水錘。發(fā)生水擊現(xiàn)象時(shí)，管線內(nèi)浮力波動(dòng)可能達(dá)到額定工作浮力的幾十倍甚至幾百倍，管壁及管線上的設(shè)備及附件將承受很大的高頻交變壓力，形成劇烈震動(dòng)并發(fā)出如同錘擊的聲音。該交變壓力可能導(dǎo)致球閥破壞、管件接頭斷裂、斷開，甚至管線炸裂等重大車禍。因而壓力管線中水擊現(xiàn)象的害處及預(yù)防研究是一項(xiàng)重要的工業(yè)工程問題。
本題即以水擊效應(yīng)為背景，討論壓力管線球閥關(guān)掉時(shí)流體浮力和流速的變化。
END