1濕度是一個具象但可以檢測的數(shù)學(xué)量
圖1抗疫期間都在量溫度。這么，哪些是氣溫？
室溫是否可以檢測？沒有量熵儀，沒有自由能檢測儀，也沒有夸克質(zhì)量檢測儀器等等，并且有體溫計。從計量儀器的角度上，氣溫是可以檢測的！或則說在數(shù)學(xué)學(xué)的角度上，氣溫是可以檢測的！另外一方面，檢測體溫的時侯，檢測的實際是水銀柱的寬度，幅射通量等，這種都不是氣溫本身。在這些意義上，氣溫是一個具象的概念，是不能直接檢測的！這兒須要一點哲學(xué)思辨。
檢測氣溫和濕度計之間的關(guān)系，有點像吃香蕉和吃蘋果的關(guān)系。獼猴桃是具象的，而蘋果是具體的。獼猴桃是吃不到的，但能吃到蘋果和草莓等。美學(xué)中也有類似的問題。雖然每位人在每位時間段的審美標(biāo)準(zhǔn)不同，而且美是存在的，同時也是具象的。雖然大漠孤煙直或則蒙娜麗莎的笑容那些具體的美感都可以捕捉并描敘，然而美本身無法定義。黑格爾的美學(xué)思想有一個觀點覺得美是理念的感性顯露。其實，美是否具有客觀存在是一個問題，這一點和濕度的完全客觀性不同。
2愛因斯坦和楊振寧論氣溫
依據(jù)考證[1]，1624年就出現(xiàn)了體溫計一詞，1640—1660年間出現(xiàn)了現(xiàn)代濕度計的雛型。當(dāng)時，人們不清楚氣溫計量度的是“溫度”還是“熱度”，也不曉得區(qū)別氣溫和熱。美國人J.Black首先區(qū)別熱和氣溫這兩個基本概念，他生活的年代是1728—1799年。從室溫計的出現(xiàn)到區(qū)別熱和濕度，人類起碼耗費了一個世紀(jì)的時間。愛因斯坦對此有專門評析[2]：“Themostintheofheatareandheat.Ittookanlongtimeintheofforthesetwotobe，butoncethiswasmaderapid.”(在描述熱現(xiàn)象時，最基本的概念是氣溫和熱。在科學(xué)史中，區(qū)別兩者耗費的時間無法置信得長，不過，曉得兩者的不同以后的發(fā)展迅猛。)
理解熱和濕度的差異，首先須要借助已知的知識。在數(shù)學(xué)的入門處，是牛頓熱學(xué)，假如局限在一個多世紀(jì)前的認(rèn)識水平，還可以覺得牛頓熱學(xué)在本質(zhì)上是決定論性的。在初步的牛頓熱學(xué)基礎(chǔ)上構(gòu)建熱和濕度的圖象，對于初學(xué)者是有益的，這就是所謂二氧化碳分子運動論。假如分子之間沒有互相作用，分子的能量就是動能。這么，熱就是所有分子的動能之和！分子的平均動能就可以拿來描畫氣溫！封閉袋子里的分子處于熱力學(xué)平衡時具有相同的平均動能，也就是封閉袋子內(nèi)部處處氣溫一樣。借助二氧化碳分子運動論，可以構(gòu)建起理想二氧化碳的熱力學(xué)。
經(jīng)過了一個多世紀(jì)的發(fā)展，對牛頓熱學(xué)在本質(zhì)是否具有決定論性這一點有了新的理解。雖然在力學(xué)入門級教科書中還在用二氧化碳分子運動論，而且分子運動論不能解釋所有的熱現(xiàn)象，氣溫和熱的概念必須脫離熱學(xué)的圖象。熱現(xiàn)象的描述須要愈發(fā)具象的物理工具和化學(xué)理論，這個工具就是機率論，這個理論就是量子熱學(xué)。
2004年12月初，中國數(shù)學(xué)學(xué)會第八屆教學(xué)委員會在復(fù)旦學(xué)院組織了第一次大會，大會請楊振寧先生就他在復(fù)旦學(xué)院進(jìn)行“大學(xué)數(shù)學(xué)”的教學(xué)實踐作一個即席發(fā)言。楊先生使用的教材是和的of。這套教材經(jīng)過千錘百煉，反復(fù)修訂，已成精典，在世界范圍內(nèi)被許多學(xué)院使用。并且楊先生覺得該教材有兩個較嚴(yán)重的缺陷。第一是關(guān)于矢量的標(biāo)積和矢積的定義。該書把它們的幾何與代數(shù)定義混為一談，讀完后仍不曉得標(biāo)積在座標(biāo)變換下的變換性質(zhì)。第二是該教材上沒有關(guān)于絕對濕度的內(nèi)容。熱力學(xué)第二定理中熵和絕對濕度的定義是同時進(jìn)行的，缺一不可。楊先生覺得后一個處理是“很大的錯誤”，“把數(shù)學(xué)學(xué)的精神扼殺掉了”。在討論絕對濕度的部份，我們將回到這個問題。
3哪些是氣溫？
“什么是氣溫？”這個問題的哲學(xué)層面是一個終極問題。相當(dāng)于問“WhoAmI?WhereDoIComeFrom?WhereAmIGoing?”(我是誰?從何而至?欲何往?)。這一問題若果換一個方法來問的話，回答上去會順暢好多?？茖W(xué)家更關(guān)心的問題是：“WhoAmI?WhereAmIGoing?AndHowAmIGoingtoGetThere?”(我是誰?欲何往?怎么達(dá)?)。熱力學(xué)對氣溫的全部解答包含在熱力學(xué)第零定理中。
熱力學(xué)第零定理：假如兩個熱力學(xué)系統(tǒng)中的每一個都與第三個熱力學(xué)系統(tǒng)處于熱平衡，則它們彼此也必將處于熱平衡。所以，熱力學(xué)第零定理又稱為熱平衡定理。這兒，熱平衡是一個很重要的概念。它說明，假若兩個系統(tǒng)達(dá)到了熱平衡，這兩個系統(tǒng)都不會有任何宏觀的改變。下邊抽絲剝繭，一層一層深挖這個定理。
第一層，定性。存在與系統(tǒng)大小、材質(zhì)、形狀無關(guān)的量，這個量不是幾何量也不是熱學(xué)量，而是一個新的量，拿來描畫熱平衡時的一個共性，稱之為體溫。這是經(jīng)驗的總結(jié)。由此可見，氣溫是宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的一個固有屬性。這個氣溫，也可以稱之為經(jīng)驗體溫。
第二層，定量。存在物態(tài)多項式(ofstate)，這是熱力學(xué)第零定理一個偉大而艱深的推論，是人類智力高度創(chuàng)造性的產(chǎn)物。通過邏輯可以證明，對于最簡單的宏觀系統(tǒng)存在如下函數(shù)：
T=F(p,V)，
這兒的T是體溫。所謂最簡單的宏觀系統(tǒng)，只有容積V和浮力p兩個自變量。這兩個變量，一個來自幾何，一個來自熱學(xué)，拿來描畫一個宏觀系統(tǒng)，可以直接檢測。
第三層，實驗。經(jīng)驗提示了固體熱脹冷縮，液體無法壓縮等現(xiàn)象，其實這是不夠的。給定一個氣溫，宏觀系統(tǒng)的容積V和浮力p及其關(guān)系，即函數(shù)關(guān)系T=F(p,V)的具體方式怎樣？答案依賴于科學(xué)實驗。試想宏觀物質(zhì)系統(tǒng)何以億萬計？每位系統(tǒng)還要經(jīng)歷好多過程。每一個系統(tǒng)，每一個過程，都有起碼一個實驗定理！僅就平衡態(tài)的二氧化碳而言，就有非常黏稠(理想二氧化碳定理)、實際二氧化碳(范德瓦爾斯等式)，極低氣溫(電子二氧化碳潛熱量定理)、混合二氧化碳有物理反應(yīng)(薩哈定理)、混合無物理反應(yīng)(分壓定理)等等。實驗定理的繁雜促使熱力學(xué)看起來十分復(fù)雜。假如摸準(zhǔn)了心跳，熱力學(xué)并不難。這一點姑且不論。
第四層，理論。實驗僅僅說存在物態(tài)關(guān)系T=F(p,V)，并沒有直接規(guī)定這個關(guān)系的方式。因而須要一個溫標(biāo)，便捷的溫標(biāo)也行。最簡便的溫標(biāo)是理想二氧化碳溫標(biāo)。這一點在下一部份詳盡討論。
4為何統(tǒng)計數(shù)學(xué)中的濕度是第二性的？
熱力學(xué)中，氣溫是第一性的！必須首先承認(rèn)體溫的存在性，之后去描述它。這和統(tǒng)計數(shù)學(xué)不同。統(tǒng)計數(shù)學(xué)中，氣溫是第二性的。比如，在微正則系綜中，熵是第一性的，而濕度是第二性的。為何會這樣？這也是一個有哲學(xué)意味的問題。
熱力學(xué)是一個唯象理論。所謂唯象，按牛頓的說法，即科學(xué)中僅僅須要實驗研究可以檢測的量之間的關(guān)系。并且，科學(xué)的發(fā)展覺得，可以檢測的量與量之間關(guān)系的最短路徑，是通過一些不可直接檢測的量聯(lián)系上去的。為此，愛因斯坦覺得概念須要自由創(chuàng)造，而不能由經(jīng)驗直接構(gòu)造下來。用美國物理家(1865—1963)的話說就是：“Theandbestwaytwooftherealoftentheone.”(實域中兩個事實之間最短和最好的途徑往往經(jīng)過虛域)。任何原理性的數(shù)學(xué)學(xué)的分支，都包含了不可直接檢測的量，牛頓熱學(xué)中的拉氏量、哈氏量等就不能直接檢測。熱力學(xué)也是這么，其中基本的數(shù)學(xué)量有好多不能直接檢測，比如熵、自由能、焓等等。反正，熱力學(xué)是一個唯象理論，但不是牛頓意義上的唯象理論，而是愛因斯坦意義上的唯象理論[3]。
統(tǒng)計數(shù)學(xué)不是唯象理論，它的基礎(chǔ)不是經(jīng)驗而是基本假定，既然這么，就必須首先給氣溫一個解釋。這是為何體溫在統(tǒng)計數(shù)學(xué)中為第二性的誘因。
好多專家相信統(tǒng)計數(shù)學(xué)比熱熱學(xué)愈發(fā)基礎(chǔ)。對此，筆者始終有疑惑。2006年4月29日筆者在乎大利旅行，在列車上遇見了有“當(dāng)代牛頓”之稱的英國化學(xué)學(xué)家P.G.de院士。他是“軟物質(zhì)”領(lǐng)域的開創(chuàng)人，曾獲得了1991年的諾貝爾化學(xué)學(xué)獎。我將一個自己正在思索的問題寫在紙上交給他。他思索片刻，也將自己的答案寫在紙上(圖2)。
圖22006年作者與P.G.de院士在列車上的交流
其內(nèi)容翻譯如下：“現(xiàn)在，所謂的納米科技發(fā)展得很快。由于納米體系僅包含有限個粒子，如103—109，統(tǒng)計數(shù)學(xué)能用嗎?或則說，等機率假定和熱力學(xué)第零定理哪一個更為基礎(chǔ)?”“答案：當(dāng)包括了表面項之后，宏觀圖象(也就是熱力學(xué))經(jīng)常是適用的?！?span style="display:none">KKx物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
雖然我的問題是統(tǒng)計數(shù)學(xué)是否愈發(fā)基礎(chǔ)？并且院長的答案卻是熱力學(xué)愈發(fā)普適。從院長回答問題的方法可以看出，科學(xué)只能回答科學(xué)能回答的問題。
熱力學(xué)和統(tǒng)計數(shù)學(xué)的關(guān)系怎么？倘若換一個角度來看這個問題，答案會比較清晰。從具象的程度上看，統(tǒng)計數(shù)學(xué)比熱熱學(xué)要中級；從普適的程度上，熱力學(xué)比統(tǒng)計數(shù)學(xué)要艱深。假如非要苦惱熱力學(xué)和統(tǒng)計數(shù)學(xué)的關(guān)系，巴黎學(xué)院BrianCowan院士于2019年11月27日在和筆者的通訊中，有一個回答如圖3所示。
圖32019年BrianCowan院士給作者的來信
其部份內(nèi)容翻譯如下：
統(tǒng)計數(shù)學(xué)與熱力學(xué)的關(guān)系問題是個困局。
我原先堅持朗道觀點而反對愛因斯坦觀點。不過我有了一點改變。統(tǒng)計數(shù)學(xué)從微觀模型出發(fā)推論物質(zhì)的宏觀性質(zhì)。由此你可以推論性質(zhì)A和性質(zhì)B(比如二氧化碳定容和定壓的潛熱量)。如果你做到了，你就可以看見性質(zhì)A和性質(zhì)B之間的關(guān)系。你可能相信這個關(guān)系依賴于所采用的特殊模型。與此不同，熱力學(xué)提供了這種量之間的關(guān)系，而和微觀模型無關(guān)。這就是熱力學(xué)的特殊威力所在。
然而，在我的這一論據(jù)中有一個細(xì)微的瑕疵，始于我相信熱力學(xué)的定理可能從統(tǒng)計數(shù)學(xué)原理中推論下來。(其他人可能爭論說不是推論，而是一種可以接受的推理)。
其中提及的朗道觀點和愛因斯坦觀點，可參見BrianCowan院士的專著[3]。
5哪些是溫標(biāo)、理想二氧化碳溫標(biāo)和宋體幅射溫標(biāo)？
對于一個具體的物質(zhì)，假如已知了氣溫和物態(tài)熱阻之間關(guān)系的實驗定理，也就是物態(tài)多項式T=F(p，V)，就曉得物質(zhì)的測溫屬性，之后參照某個國際統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)校正刻度以后，就是體溫計。這兒最關(guān)鍵的還是物態(tài)多項式T=F(p，V)。
以二氧化碳為例初中物理自制溫度計，實驗發(fā)覺，所有二氧化碳在浮力很小的時侯，滿足同一個實驗定理，即玻意耳定理：在密閉容器中的定量二氧化碳，在恒溫下，二氧化碳的浮力和容積成正比關(guān)系。物理方式是：
pV=f(t).
這兒有四個問題沒有解決。
第一，這兒的氣溫t和p，V之間的關(guān)系明晰但不精確。有一個簡單的約定就是，p，V和氣溫t之間僅僅相差一個常數(shù)，即
pV=Ct.
換言之，就是把pV本身當(dāng)作對氣溫的一種描畫。
第二，值得闡述氣溫t和第零定理定義的氣溫T的關(guān)系。pV=Ct給出的是計量水溫的一種形式，即理想二氧化碳溫標(biāo)！之后，通過另外一個實驗定理即阿伏伽德羅定理給出這個常數(shù)是摩爾數(shù)n除以阿伏伽德羅常數(shù)R。故可以獲得理想二氧化碳狀態(tài)多項式：
pV=nRt.
毫無疑惑，沒有任何原理排除用定義氣溫t'的如下計量方法：
pV=C/t'，
這樣定義的溫標(biāo)t'可以作為理想二氧化碳溫標(biāo)的第二類定義！類似，完全可以給出第三、四類定義，等等。這種定義都沒有必要。計量水溫，必須盡可能大眾化，時尚的說法是扁平化。因而人為約定取其簡單者就可以了，理想二氧化碳溫標(biāo)t=pV/nR無疑最為簡單。
第三，理想二氧化碳溫標(biāo)怎樣進(jìn)行刻度?把氣溫單位選取為水的單相點氣溫的1/273.16，這就可以刻出一度一度的氣溫來，即刻度。有了刻度，還須要規(guī)定或則標(biāo)度出零度的位置，簡稱標(biāo)零。攝氏溫標(biāo)規(guī)定，零度的位置選擇為273.15(理想二氧化碳溫標(biāo))度：
ts=t-273.15.
水的單相點的氣溫是0.01攝氏度。注意，此時還沒有絕對溫標(biāo)的概念。
刻度和標(biāo)零這兩個過程中，須要一個存在性定理：水的單相點的氣溫與經(jīng)經(jīng)度、氣候、失重與否等外部環(huán)境無關(guān)，是一個不變量。這一點也是實驗規(guī)律。沒有這個規(guī)律，上海地區(qū)冬天制做出來的濕度計，在廣州的春天使用時，給出的體溫的確切性都會存疑。
第四，理想二氧化碳溫標(biāo)是從理想二氧化碳出發(fā)的，這不夠具象。要證明它能脫離理想二氧化碳而存在，須要絕對溫標(biāo)。要證明這一點，還有兩步要走。第一步，須要證明絕對溫標(biāo)的存在性，這個溫標(biāo)和具體物質(zhì)的特點無關(guān)。這一步須要新的原理，即熱力學(xué)第二定理。第二步，假如用同樣的刻度和標(biāo)零以后，理想二氧化碳溫標(biāo)和絕對溫標(biāo)相同。
聽說當(dāng)初的試題中有一道筆試題如下：怎么檢測太陽表面的氣溫？這個問題的答案是，用宋體幅射的通量計就可以了。宋體幅射是理想的電磁幅射，滿足一個實驗定理，即所謂斯特藩—玻爾茲曼定理：一個宋體表面單位的幅射通量和宋體體溫的四次方成反比。而這兒的比列常數(shù)，稱之為斯特藩常數(shù)。這個溫標(biāo)就是宋體幅射溫標(biāo)，可以證明，經(jīng)過合理的刻度和標(biāo)定零點過后，這個溫標(biāo)也就是絕對溫標(biāo)。測得了太陽的幅射通量，就可以求出太陽表面的體溫。
在具體的應(yīng)用中，不同的水溫環(huán)境和濕度區(qū)間，須要用到不同的水溫計。有些氣溫計可能十分復(fù)雜，容積也可能很龐大，測溫屬性的數(shù)學(xué)原理也各有不同。
6哪些是絕對濕度？哪些是絕對溫標(biāo)？
化學(xué)學(xué)的基本原理不能依賴于具體的物態(tài)多項式。雖然水溫是宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的一個固有屬性，而且溫標(biāo)和具體物質(zhì)有關(guān)，這不夠純粹！
室溫的定義是普適的，不依賴于具體的物態(tài)多項式。并且計量水溫，須要了解具體物質(zhì)系統(tǒng)的物態(tài)多項式。為此，就有水銀體溫計、氣體體溫計、黑體幅射體溫計等等。熱力學(xué)理論的驚人后果之一是，從理論上可以證明，存在這樣一個溫標(biāo)，這就是絕對溫標(biāo)，又稱為熱力學(xué)溫標(biāo)。絕對溫標(biāo)，就是氣溫測度時和具體物質(zhì)特點無關(guān)的一種溫標(biāo)。這一溫標(biāo)的存在性的證明須要用到熱力學(xué)第二定理。
溫標(biāo)可以脫離具體物質(zhì)的測溫屬性而存在，深入地闡明了宏觀物質(zhì)系統(tǒng)更基本的性質(zhì)，我們把絕對溫標(biāo)標(biāo)識的氣溫稱之為絕對濕度。
楊振寧先生提醒我們，應(yīng)當(dāng)指出絕對濕度T和熵S必須同時定義。下邊我們瞧瞧道理何在。對于任何一個無限小的可逆過程，可以吸收熱量dQr。問題是，dQr不是物理上的全微分！兩個狀態(tài)間的積分值是一個依賴路徑的量。這不太好！能不能通過dQr構(gòu)造出一個物理上的全微分？若果成功，能夠給出一個普適的量，一個不變量。理論上可以證明如下結(jié)果：
dS=dQr/T，
這兒的dS就是一個全微分，S即熵，是一個狀態(tài)熱阻，T就是絕對濕度。換言之，S和T同時存在。
可能是為了便捷教學(xué)，現(xiàn)今的教科書往往沒有同時定義絕對濕度和熵。而是首先引入絕對溫標(biāo)，之后再在深挖絕對溫標(biāo)定義的時侯，引入熵的概念。細(xì)究這些教學(xué)過程，并沒有否定熵的引進(jìn)伴隨著絕對濕度，不過把“同時定義”暗含在推理過程中，而沒有顯著說明。在楊先生看來，必須明顯地強調(diào)來。為何?
絕對濕度不僅僅彰顯濕度是宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的一個固有屬性，并且是一種絕對的存在。這一點，很像牛頓熱學(xué)中的時空觀的絕對性。熱力學(xué)體溫的這些絕對性，趕超了熱力學(xué)第零定理中引入的經(jīng)驗體溫。絕對濕度的存在，和任何具體物質(zhì)系統(tǒng)無關(guān)，具有超然地位。依據(jù)熱力學(xué)第三定理，絕對零度難以達(dá)到。這一定理具有一個特別深刻的后果：沒有幅射也沒有物質(zhì)的所謂絕對虛無的真空是不存在的。為此，熱力學(xué)第三定理除了為量子場論中的真空漲落，甚至也為引力場、暗物質(zhì)、暗能量留下了側(cè)門。
7結(jié)語
室溫是宏觀物質(zhì)系統(tǒng)的一個固有屬性，是經(jīng)驗的總結(jié)；溫標(biāo)是氣溫在物態(tài)多項式中的具體凸顯，須要人為規(guī)定。絕對濕度闡明了宇宙間一種絕對的存在，絕對零度是一種理論的真實。
參考文獻(xiàn)
[1]M著.向守平，鄭久仁，朱棟培等譯.化學(xué)學(xué)中的理論概念.中國科技學(xué)院出版社，2017
[2]A，L.Theof.NewYork：，2008
[3]CowanB.in.：Press初中物理自制溫度計，2005
本文選自《物理》2020年第3期