色子？色子是哪些東西？它應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在大富豪游戲里，應(yīng)當(dāng)出現(xiàn)在香港和拉斯維加斯的賭博中，然而，數(shù)學(xué)學(xué)？不，那不是它應(yīng)當(dāng)來(lái)的地方。色子代表了投機(jī)，代表了不確定，而數(shù)學(xué)學(xué)不是一門(mén)最嚴(yán)格最精密，最不能容忍不確定的科學(xué)嗎？
可以想像，當(dāng)伯爾尼于1926年7月將色子帶進(jìn)化學(xué)學(xué)后，是導(dǎo)致了何等的軒然大波。圍繞著這個(gè)核心解釋所展開(kāi)的爭(zhēng)辯激烈而尖銳，把數(shù)學(xué)學(xué)加熱到了沸點(diǎn)。這個(gè)話題是這么具有爭(zhēng)議性，很快就要引起20世紀(jì)數(shù)學(xué)史上最有名的一場(chǎng)大論爭(zhēng)，而可憐的奧斯陸仍然要到整整28年后，才由于這一杰出的發(fā)覺(jué)而獲得諾貝爾獎(jiǎng)金–比他的中學(xué)生們白天許多。
不管怎樣樣，我們還是先來(lái)瞧瞧克拉科夫都說(shuō)了些哪些。色子，這才是薛定諤波函數(shù)ψ的解釋?zhuān)淼氖且环N隨機(jī)，一種機(jī)率，而決不是薛定諤本人所理解的，是電子電荷在空間中的實(shí)際分布。克拉科夫爭(zhēng)論道，ψ,或則更確切一點(diǎn)，ψ的平方，代表了電子在某個(gè)地點(diǎn)出現(xiàn)的“概率”。電子本身不會(huì)像波那樣擴(kuò)充開(kāi)去，并且它的出現(xiàn)機(jī)率則像一個(gè)波，嚴(yán)格地根據(jù)ψ的分布所展開(kāi)。
我們來(lái)追憶一下電子或則光子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，這是電子波動(dòng)性的最好證明。當(dāng)電子穿過(guò)兩道狹縫后，便在感應(yīng)屏上組成了一個(gè)疏密相間的紋樣，展示了波峰和波谷的互相提高和抵消。并且，正如粒子派強(qiáng)調(diào)的那樣，每次電子只會(huì)在屏上打出一個(gè)小點(diǎn)，只有當(dāng)作群的電子穿過(guò)雙縫后，就會(huì)漸漸組成整個(gè)紋樣。
如今讓我們來(lái)做一個(gè)思維實(shí)驗(yàn)，想像我們有一臺(tái)儀器，它每次只發(fā)射出一個(gè)電子。這個(gè)電子穿過(guò)雙縫，打到感光屏上，迸發(fā)出一個(gè)小亮點(diǎn)。這么，對(duì)于這一個(gè)電子，我們可以說(shuō)些哪些呢？很顯著，我們不能預(yù)言它組成類(lèi)波的干涉白色，由于一個(gè)電子只會(huì)留下一個(gè)點(diǎn)而已。事實(shí)上，對(duì)于這個(gè)電子將會(huì)出現(xiàn)在屏幕上的哪些地方，我們是一點(diǎn)頭緒都沒(méi)有的，多次重復(fù)我們的實(shí)驗(yàn)，它有時(shí)出現(xiàn)在這兒，有時(shí)出現(xiàn)在哪里，完全不是一個(gè)確定的過(guò)程。
不過(guò)，我們經(jīng)過(guò)大量的觀察，卻可以發(fā)覺(jué)，這個(gè)電子不是完全沒(méi)有規(guī)律的：它在個(gè)別地方出現(xiàn)的可能性要大一些，在另一些地方則小一些。它出現(xiàn)頻度高的地方，恰恰是波動(dòng)所預(yù)言的干涉白色的亮處，它出現(xiàn)頻度低的地方則對(duì)應(yīng)于暗處。如今我們可以理解為何大量電子能組成干涉白色了，由于其實(shí)每一個(gè)電子的行為都是隨機(jī)的，但這個(gè)隨機(jī)分布的總的模式卻是確定的，它就是一個(gè)干涉白色的紋樣。這如同我們擲色子，即使每一個(gè)色子擲下去，它的結(jié)果都是完全隨機(jī)的，從1到6都有可能，但假如你拋擲大量的色子到地下，之后數(shù)一數(shù)每位點(diǎn)的數(shù)目，你會(huì)發(fā)覺(jué)1到6的結(jié)果差不多是平均的。
關(guān)鍵是，單個(gè)電子總是以一個(gè)點(diǎn)的面貌出現(xiàn)，它從來(lái)不會(huì)像薛定諤所說(shuō)的那樣，在屏幕上打出一灘紋樣來(lái)。只有大量電子接二連三地跟進(jìn)，總的干涉紋樣就會(huì)漸漸出現(xiàn)。其中亮的地方也就是比較多的電子打中的地方，換句話說(shuō)，就是單個(gè)電子比較容易出現(xiàn)的地方，暗的地帶則剛好相反。如果我們發(fā)覺(jué)，有9成的粒子集聚在亮帶，只有1成的粒子在暗帶，這么我們就可以預(yù)言，對(duì)于單個(gè)粒子來(lái)說(shuō)，它有90%的可能出現(xiàn)在亮帶的區(qū)域，10%的可能出現(xiàn)在暗帶。并且，到底出現(xiàn)在那里，我們是難以確定的，我們只能預(yù)言機(jī)率而已。
我們只能預(yù)言機(jī)率而已。
然而，等等，我們?nèi)绾胃译S意說(shuō)出這些話來(lái)呢？這不是對(duì)于古老的數(shù)學(xué)學(xué)的一種大不敬嗎？從伽利略牛頓以來(lái)，成千上百的父輩們?yōu)檫@門(mén)科學(xué)嘔心瀝血，建筑起了這樣宏偉的構(gòu)建，它的力量統(tǒng)治整個(gè)宇宙，從最大的星體到最小的原子，萬(wàn)事萬(wàn)物都在它的威力下必恭必敬地運(yùn)轉(zhuǎn)。任何巨大的或則細(xì)微的動(dòng)作都逃不出它的力量。星體之間形成可怕的碰撞，釋放出無(wú)法想像的光和熱，并誕生數(shù)以億計(jì)的新星體；宇宙射線以驚人的高速穿越遙遠(yuǎn)的空間，見(jiàn)證亙古的歲月；微小得看不見(jiàn)的分子們你推我搡，嘈雜不停；月球莊重地圍繞著太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)，它自己的自轉(zhuǎn)軸同時(shí)以未能覺(jué)察的速度輕微地震動(dòng)；堅(jiān)硬的巖石隨著歲月流逝而漸漸風(fēng)化；鳥(niǎo)兒撲動(dòng)它的翅膀，借著氣流一飛沖天。這一切的一切，不都是在數(shù)學(xué)定理的監(jiān)視下一絲不茍地進(jìn)行的嗎？
更重要的是，化學(xué)學(xué)除了才能解釋過(guò)去和現(xiàn)今，它能夠預(yù)言未來(lái)。我們的定理和多項(xiàng)式才能毫不含混地預(yù)測(cè)一顆子彈的軌跡以及它降落的地點(diǎn)；我們能預(yù)言幾千年后的日全食，時(shí)刻確切到秒；給我一張電路圖，多復(fù)雜都行，我就能說(shuō)出它將做些哪些；我們制造的機(jī)器乖乖地根據(jù)我們預(yù)先擬定好的計(jì)劃運(yùn)行。事實(shí)上，對(duì)于任何一個(gè)系統(tǒng)，只要給我足夠的初始信息，賦于我足夠的運(yùn)算能力，我還能估算出這個(gè)體系的一切歷史，從它最初如何開(kāi)始運(yùn)行，仍然到它在遙遠(yuǎn)的未來(lái)的命運(yùn)，一切都不是秘密。是的，一切系統(tǒng)，哪怕色子也一樣。告訴我色子的大小，質(zhì)量，玉質(zhì)，初速率，高度，角度，空氣阻力，椅子的玉質(zhì)，磨擦系數(shù)，告訴我一切所須要的情報(bào)，這么，只要我擁有足夠的運(yùn)算能力，我可以毫不猶豫地預(yù)先告訴你量子物理史話上帝擲骰子，這個(gè)色子將會(huì)擲出幾點(diǎn)來(lái)。
數(shù)學(xué)學(xué)統(tǒng)治整個(gè)宇宙，它的過(guò)去和未來(lái)，一切都盡在把握。這早已成了化學(xué)學(xué)家心里深深的信仰。19世紀(jì)初，歐洲的大科學(xué)家拉普拉斯(Simonde)在用牛頓多項(xiàng)式估算出了行星軌道后，把它展示給拿破侖看。拿破侖問(wèn)道：“在你的理論中，上帝在哪里呢？”拉普拉斯平淡地回答：“陛下，我的理論不須要這個(gè)假定。”
是啊，上帝在數(shù)學(xué)學(xué)中能有哪些位置呢？一切都是由化學(xué)定理來(lái)統(tǒng)治的，每一個(gè)分子都遵循數(shù)學(xué)定理來(lái)運(yùn)行，假如說(shuō)上帝有哪些作用的話，他最多是在一開(kāi)始加快了這個(gè)體系一下，讓它得以開(kāi)始運(yùn)轉(zhuǎn)罷了。在以后的漫長(zhǎng)歷史中，有沒(méi)有上帝都是無(wú)關(guān)緊要的了，上帝被數(shù)學(xué)學(xué)逐出了舞臺(tái)。
“我不須要上帝這個(gè)假定。”拉普拉斯站在拿破侖面前說(shuō)。這可算科學(xué)最光榮最輝煌的時(shí)刻之一了，它把無(wú)邊的自豪和驕傲撒播到每一個(gè)科學(xué)家的心里。除了不須要上帝，拉普拉斯想像，如果我們有一個(gè)妖精，一個(gè)大智者，或則任何擁有足夠智慧的人物，如果他才能了解在某一刻，這個(gè)宇宙所有分子的運(yùn)動(dòng)情況的話，這么他就可以從正反兩個(gè)方向推演，因而得出宇宙在任意時(shí)刻的狀態(tài)。對(duì)于這樣的智者來(lái)說(shuō)，沒(méi)有哪些過(guò)去和未來(lái)的分別，一切都?xì)v歷在目。宇宙從它出生的那一霎那開(kāi)始，就掉進(jìn)了一個(gè)預(yù)定的軌道，它嚴(yán)格地根據(jù)數(shù)學(xué)定理發(fā)展，沒(méi)有任何岔口可以走，仍然到遇到它那注定的命運(yùn)為止。如同你出手傳球，這么，這到底是一個(gè)三分球，還是打中籃筐彈出，或則是一個(gè)airball，這都在你出手的一霎那決定了，然后我們所能做的，就是看著它根據(jù)寫(xiě)好的劇本發(fā)展而已。
是的，科學(xué)家曉得過(guò)去；是的，科學(xué)家明白現(xiàn)今；是的，科學(xué)家了解未來(lái)。只要把握了定理，只要收集足夠多的情報(bào)，只要才能處理足夠大的運(yùn)算量，科學(xué)家能夠就像上帝通常無(wú)所不知。整個(gè)宇宙只不過(guò)是一臺(tái)精密的機(jī)器，它的每位零件都根據(jù)定理一絲不茍地運(yùn)行，這些看法就是古典的，嚴(yán)格的決定論()。宇宙從出生的那一霎那起，就有一個(gè)確定的命運(yùn)。我們?nèi)缃耠y以了解它，只是由于我們所曉得的信息太少而已。
這么多的天才前仆后繼，這么多的偉人嘔心瀝血，這么多在黑暗中的探求，掙扎，拼搏，這才凝結(jié)成數(shù)學(xué)學(xué)在19世紀(jì)黃金時(shí)代的全部光榮。化學(xué)學(xué)家總算可以說(shuō)，她們能否預(yù)測(cè)神秘的宇宙了，由于她們找到了宇宙運(yùn)行的奧秘。她們說(shuō)這話時(shí)，帶著一種神圣而不可侵害的情感，決不寬恕任何勇于懼怕化學(xué)學(xué)力量的人。
然而，如今有人說(shuō)，數(shù)學(xué)不能預(yù)測(cè)電子的行為，它只能找到電子出現(xiàn)的機(jī)率而已。無(wú)論怎樣，我們也沒(méi)辦法確定單個(gè)電子到底會(huì)出現(xiàn)在哪些地方，我們只能推測(cè)，電子有90%的可能出現(xiàn)在這兒，10%的可能出現(xiàn)在哪里。這莫非不是對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)歷史的嘲諷，對(duì)化學(xué)學(xué)的光榮和尊嚴(yán)的一種羞辱嗎？
我們不能確定？數(shù)學(xué)學(xué)的辭典里是沒(méi)有這個(gè)字眼的。在學(xué)校的數(shù)學(xué)考試中，題目給了我們一個(gè)小球的初始參數(shù)，要求t時(shí)刻的狀態(tài)，你敢寫(xiě)上“我不能確定”嗎？要是你這樣做了，你的數(shù)學(xué)老師準(zhǔn)會(huì)氣得吹胡須瞪雙眼，而且毫不遲疑地給你亮個(gè)紅燈。不能確定？不可能，數(shù)學(xué)學(xué)哪些都能確定。固然，有時(shí)侯為了便捷，我們也會(huì)引進(jìn)一些統(tǒng)計(jì)的方式，例如處理大量的空氣分子運(yùn)動(dòng)時(shí)，但那是完全不同的一個(gè)問(wèn)題。科學(xué)家只是凡人，難以處理那樣多的復(fù)雜估算，所以應(yīng)用了統(tǒng)計(jì)的捷徑。并且從理論上來(lái)說(shuō)，只要我們了解每一個(gè)分子的狀態(tài)，我們完全可以嚴(yán)格地推論出整個(gè)系統(tǒng)的行為，分毫不爽。
但是伯爾尼的解釋不是這樣，奧斯陸的意思是，即使我們把電子的初始狀態(tài)檢測(cè)得精確無(wú)比，即使我們擁有最強(qiáng)悍的計(jì)算機(jī)可以估算一切環(huán)境對(duì)電子的影響，盡管這么，我們也不能預(yù)言電子最后的確切位置。這些不確定不是由于我們的估算能力不足而導(dǎo)致的，它是深藏在數(shù)學(xué)定理本身內(nèi)部的一種屬性。雖然從理論上來(lái)說(shuō)，我們也不能確切地預(yù)測(cè)大自然。這早已不是推翻某個(gè)理論的問(wèn)題，這是對(duì)整個(gè)決定論系統(tǒng)的挑戰(zhàn)量子物理史話上帝擲骰子，而決定論是那時(shí)整個(gè)科學(xué)的基礎(chǔ)。量子論挑戰(zhàn)整個(gè)科學(xué)。
克拉科夫在論文里寫(xiě)道：“……這里出現(xiàn)的是整個(gè)決定論的問(wèn)題了。”(Hiersichderganzedes.)
對(duì)于許多化學(xué)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)不可寬恕的假定。色子？不確定？別開(kāi)玩笑了。對(duì)于她們中的好些人來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)之所以那樣誘人，那樣富于魔力，正是由于它深刻，明確，才能確定一切，掃清人們的一切疑問(wèn)，這才使她們義無(wú)反顧地涉足到這一事業(yè)中去。如今，數(shù)學(xué)學(xué)居然有弄成搖獎(jiǎng)機(jī)器的危險(xiǎn)，居然要弄成一個(gè)擲色子來(lái)決定命運(yùn)的賭徒，這如何才能容忍呢？
不確定？
一場(chǎng)史無(wú)前例的大爭(zhēng)辯正式展開(kāi)，在爭(zhēng)執(zhí)和辯論旁邊是興奮，發(fā)抖，絕望，眼淚，伴隨著整個(gè)決定論在20世紀(jì)的悲情退場(chǎng)。
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飯后閑談：決定論
可以說(shuō)決定論的變遷濃縮了整部自然科學(xué)在20世紀(jì)的發(fā)展史。科學(xué)從牛頓和拉普拉斯的時(shí)代走來(lái)，輝煌的成功使它一時(shí)得意忘形，覺(jué)得它具有預(yù)測(cè)一切的能力。決定論覺(jué)得，萬(wàn)物都早已由化學(xué)定律所規(guī)定出來(lái)，連一個(gè)細(xì)節(jié)都不能修改。過(guò)去和未來(lái)都像早已寫(xiě)好的劇本，宇宙的發(fā)展只能?chē)?yán)格地根據(jù)這個(gè)劇本進(jìn)行，未能跳出這個(gè)窠臼。
矜持的決定論在20世紀(jì)首先受到了量子論的嚴(yán)重挑戰(zhàn)，此后混沌動(dòng)力學(xué)的盛行使它徹底被擊潰。如今我們?cè)缫褧缘茫m然沒(méi)有量子論把機(jī)率這一基本屬性賦于自然界，就牛頓多項(xiàng)式本身來(lái)說(shuō)，許多系統(tǒng)也是極不穩(wěn)定的，任何細(xì)小的干擾都還能對(duì)系統(tǒng)的發(fā)展導(dǎo)致極大的影響，差之毫厘，失之千里。這種干擾從本質(zhì)上說(shuō)是不可預(yù)測(cè)的，因而想憑著牛頓多項(xiàng)式來(lái)預(yù)測(cè)整個(gè)系統(tǒng)從理論上說(shuō)也是不可行的。典型的事例是常年的天氣預(yù)報(bào)，你們可能都早已據(jù)說(shuō)過(guò)洛倫茲知名的“蝴蝶效應(yīng)”，哪怕一只蝴蝶輕微地扇動(dòng)它的翅膀，也能給整個(gè)天氣系統(tǒng)引起戲曲性的變化。現(xiàn)今的天氣預(yù)報(bào)也早已普遍改用機(jī)率性的說(shuō)法，例如“明天的降雨機(jī)率是20%”。
1986年，知名的流體熱學(xué)權(quán)威，詹姆士?萊特希爾爵士(SirJames，他于1969年從狄拉克手里接過(guò)劍橋盧卡薩院士的席位，也就是牛頓曾兼任過(guò)的那種)于皇家學(xué)會(huì)記念牛頓《原理》發(fā)表300華誕的游行上發(fā)表了震驚一時(shí)的歉意：
“現(xiàn)在我們都深深意識(shí)到，我們的高手對(duì)牛頓熱學(xué)的驚人成就是那樣崇敬，這使她們把它總締結(jié)一種可預(yù)言的系統(tǒng)。并且說(shuō)實(shí)話，我們?cè)?960年曾經(jīng)也大都傾向于相信這個(gè)說(shuō)法，但如今我們曉得這是錯(cuò)誤的。我們?cè)?jīng)當(dāng)初欺騙了公眾，向她們宣傳說(shuō)滿足牛頓運(yùn)動(dòng)定理的系統(tǒng)是決定論的，然而這在1960年后已被證明不是真的。我們都樂(lè)意在此向公眾表示歉意。”
(Wearealltodaythattheofourfortheofledthemtomakeinthisareaofwhich,,wemayhaveto1960,butwhichwenowwerefalse.Wewishtoforthebyideasabouttheof'slawsofthat,after1960,weretobe.)
決定論的內(nèi)亂是否注定了自由意志的盛行？這在哲學(xué)上是很值得闡述的。事實(shí)上，在量子論以后，化學(xué)學(xué)越來(lái)越陷于形而念書(shū)的爭(zhēng)辯中。其實(shí)形而念書(shū)()應(yīng)當(dāng)改個(gè)名子叫“量子論以后”()。在我們的簡(jiǎn)史前面，我們會(huì)詳盡地闡述這種問(wèn)題。
Ian寫(xiě)過(guò)一本關(guān)于混沌的書(shū)，書(shū)名也叫《上帝擲色子嗎》。這本書(shū)文字優(yōu)美，很值得一讀，其實(shí)和我們的簡(jiǎn)史沒(méi)哪些聯(lián)系。我用這個(gè)名子，一方面是想指出決定論的變遷是我們簡(jiǎn)史的中心話題，另外，雖然愛(ài)因斯坦這句格言原本的版權(quán)是屬于量子論的。