色子？色子是哪些東西？它應當出現在大富豪游戲里，應當出現在香港和拉斯維加斯的賭博中，然而，數學學？不，那不是它應當來的地方。色子代表了投機，代表了不確定，而數學學不是一門最嚴格最精密，最不能容忍不確定的科學嗎？
可以想像，當伯爾尼于1926年7月將色子帶進化學學后，是導致了何等的軒然大波。圍繞著這個核心解釋所展開的爭辯激烈而尖銳，把數學學加熱到了沸點。這個話題是這么具有爭議性，很快就要引起20世紀數學史上最有名的一場大論爭，而可憐的奧斯陸仍然要到整整28年后，才由于這一杰出的發覺而獲得諾貝爾獎金–比他的中學生們白天許多。
不管怎樣樣，我們還是先來瞧瞧克拉科夫都說了些哪些。色子，這才是薛定諤波函數ψ的解釋，它代表的是一種隨機，一種機率，而決不是薛定諤本人所理解的，是電子電荷在空間中的實際分布。克拉科夫爭論道，ψ,或則更確切一點，ψ的平方，代表了電子在某個地點出現的“概率”。電子本身不會像波那樣擴充開去，并且它的出現機率則像一個波，嚴格地根據ψ的分布所展開。
我們來追憶一下電子或則光子的雙縫干涉實驗，這是電子波動性的最好證明。當電子穿過兩道狹縫后，便在感應屏上組成了一個疏密相間的紋樣，展示了波峰和波谷的互相提高和抵消。并且，正如粒子派強調的那樣，每次電子只會在屏上打出一個小點，只有當作群的電子穿過雙縫后，就會漸漸組成整個紋樣。
如今讓我們來做一個思維實驗，想像我們有一臺儀器，它每次只發射出一個電子。這個電子穿過雙縫，打到感光屏上，迸發出一個小亮點。這么，對于這一個電子，我們可以說些哪些呢？很顯著，我們不能預言它組成類波的干涉白色，由于一個電子只會留下一個點而已。事實上，對于這個電子將會出現在屏幕上的哪些地方，我們是一點頭緒都沒有的，多次重復我們的實驗，它有時出現在這兒，有時出現在哪里，完全不是一個確定的過程。
不過，我們經過大量的觀察，卻可以發覺，這個電子不是完全沒有規律的：它在個別地方出現的可能性要大一些，在另一些地方則小一些。它出現頻度高的地方，恰恰是波動所預言的干涉白色的亮處，它出現頻度低的地方則對應于暗處。如今我們可以理解為何大量電子能組成干涉白色了，由于其實每一個電子的行為都是隨機的，但這個隨機分布的總的模式卻是確定的，它就是一個干涉白色的紋樣。這如同我們擲色子，即使每一個色子擲下去，它的結果都是完全隨機的，從1到6都有可能，但假如你拋擲大量的色子到地下，之后數一數每位點的數目，你會發覺1到6的結果差不多是平均的。
關鍵是，單個電子總是以一個點的面貌出現，它從來不會像薛定諤所說的那樣，在屏幕上打出一灘紋樣來。只有大量電子接二連三地跟進，總的干涉紋樣就會漸漸出現。其中亮的地方也就是比較多的電子打中的地方，換句話說，就是單個電子比較容易出現的地方，暗的地帶則剛好相反。如果我們發覺，有9成的粒子集聚在亮帶，只有1成的粒子在暗帶，這么我們就可以預言，對于單個粒子來說，它有90%的可能出現在亮帶的區域，10%的可能出現在暗帶。并且，到底出現在那里，我們是難以確定的，我們只能預言機率而已。
我們只能預言機率而已。
然而，等等，我們如何敢隨意說出這些話來呢？這不是對于古老的數學學的一種大不敬嗎？從伽利略牛頓以來，成千上百的父輩們為這門科學嘔心瀝血，建筑起了這樣宏偉的構建，它的力量統治整個宇宙，從最大的星體到最小的原子，萬事萬物都在它的威力下必恭必敬地運轉。任何巨大的或則細微的動作都逃不出它的力量。星體之間形成可怕的碰撞，釋放出無法想像的光和熱，并誕生數以億計的新星體；宇宙射線以驚人的高速穿越遙遠的空間，見證亙古的歲月；微小得看不見的分子們你推我搡，嘈雜不停；月球莊重地圍繞著太陽運轉，它自己的自轉軸同時以未能覺察的速度輕微地震動；堅硬的巖石隨著歲月流逝而漸漸風化；鳥兒撲動它的翅膀，借著氣流一飛沖天。這一切的一切，不都是在數學定理的監視下一絲不茍地進行的嗎？
更重要的是，化學學除了才能解釋過去和現今，它能夠預言未來。我們的定理和多項式才能毫不含混地預測一顆子彈的軌跡以及它降落的地點；我們能預言幾千年后的日全食，時刻確切到秒；給我一張電路圖，多復雜都行，我就能說出它將做些哪些；我們制造的機器乖乖地根據我們預先擬定好的計劃運行。事實上，對于任何一個系統，只要給我足夠的初始信息，賦于我足夠的運算能力，我還能估算出這個體系的一切歷史，從它最初如何開始運行，仍然到它在遙遠的未來的命運，一切都不是秘密。是的，一切系統，哪怕色子也一樣。告訴我色子的大小，質量，玉質，初速率，高度，角度，空氣阻力，椅子的玉質，磨擦系數，告訴我一切所須要的情報，這么，只要我擁有足夠的運算能力，我可以毫不猶豫地預先告訴你量子物理史話上帝擲骰子，這個色子將會擲出幾點來。
數學學統治整個宇宙，它的過去和未來，一切都盡在把握。這早已成了化學學家心里深深的信仰。19世紀初，歐洲的大科學家拉普拉斯(Simonde)在用牛頓多項式估算出了行星軌道后，把它展示給拿破侖看。拿破侖問道：“在你的理論中，上帝在哪里呢？”拉普拉斯平淡地回答：“陛下，我的理論不須要這個假定。”
是啊，上帝在數學學中能有哪些位置呢？一切都是由化學定理來統治的，每一個分子都遵循數學定理來運行，假如說上帝有哪些作用的話，他最多是在一開始加快了這個體系一下，讓它得以開始運轉罷了。在以后的漫長歷史中，有沒有上帝都是無關緊要的了，上帝被數學學逐出了舞臺。
“我不須要上帝這個假定。”拉普拉斯站在拿破侖面前說。這可算科學最光榮最輝煌的時刻之一了，它把無邊的自豪和驕傲撒播到每一個科學家的心里。除了不須要上帝，拉普拉斯想像，如果我們有一個妖精，一個大智者，或則任何擁有足夠智慧的人物，如果他才能了解在某一刻，這個宇宙所有分子的運動情況的話，這么他就可以從正反兩個方向推演，因而得出宇宙在任意時刻的狀態。對于這樣的智者來說，沒有哪些過去和未來的分別，一切都歷歷在目。宇宙從它出生的那一霎那開始，就掉進了一個預定的軌道，它嚴格地根據數學定理發展，沒有任何岔口可以走，仍然到遇到它那注定的命運為止。如同你出手傳球，這么，這到底是一個三分球，還是打中籃筐彈出，或則是一個airball，這都在你出手的一霎那決定了，然后我們所能做的，就是看著它根據寫好的劇本發展而已。
是的，科學家曉得過去；是的，科學家明白現今；是的，科學家了解未來。只要把握了定理，只要收集足夠多的情報，只要才能處理足夠大的運算量，科學家能夠就像上帝通常無所不知。整個宇宙只不過是一臺精密的機器，它的每位零件都根據定理一絲不茍地運行，這些看法就是古典的，嚴格的決定論()。宇宙從出生的那一霎那起，就有一個確定的命運。我們如今難以了解它，只是由于我們所曉得的信息太少而已。
這么多的天才前仆后繼，這么多的偉人嘔心瀝血，這么多在黑暗中的探求，掙扎，拼搏，這才凝結成數學學在19世紀黃金時代的全部光榮。化學學家總算可以說，她們能否預測神秘的宇宙了，由于她們找到了宇宙運行的奧秘。她們說這話時，帶著一種神圣而不可侵害的情感，決不寬恕任何勇于懼怕化學學力量的人。
然而，如今有人說，數學不能預測電子的行為，它只能找到電子出現的機率而已。無論怎樣，我們也沒辦法確定單個電子到底會出現在哪些地方，我們只能推測，電子有90%的可能出現在這兒，10%的可能出現在哪里。這莫非不是對整個數學歷史的嘲諷，對化學學的光榮和尊嚴的一種羞辱嗎？
我們不能確定？數學學的辭典里是沒有這個字眼的。在學校的數學考試中，題目給了我們一個小球的初始參數，要求t時刻的狀態，你敢寫上“我不能確定”嗎？要是你這樣做了，你的數學老師準會氣得吹胡須瞪雙眼，而且毫不遲疑地給你亮個紅燈。不能確定？不可能，數學學哪些都能確定。固然，有時侯為了便捷，我們也會引進一些統計的方式，例如處理大量的空氣分子運動時，但那是完全不同的一個問題。科學家只是凡人，難以處理那樣多的復雜估算，所以應用了統計的捷徑。并且從理論上來說，只要我們了解每一個分子的狀態，我們完全可以嚴格地推論出整個系統的行為，分毫不爽。
但是伯爾尼的解釋不是這樣，奧斯陸的意思是，即使我們把電子的初始狀態檢測得精確無比，即使我們擁有最強悍的計算機可以估算一切環境對電子的影響，盡管這么，我們也不能預言電子最后的確切位置。這些不確定不是由于我們的估算能力不足而導致的，它是深藏在數學定理本身內部的一種屬性。雖然從理論上來說，我們也不能確切地預測大自然。這早已不是推翻某個理論的問題，這是對整個決定論系統的挑戰量子物理史話上帝擲骰子，而決定論是那時整個科學的基礎。量子論挑戰整個科學。
克拉科夫在論文里寫道：“……這里出現的是整個決定論的問題了。”(Hiersichderganzedes.)
對于許多化學學家來說，這是一個不可寬恕的假定。色子？不確定？別開玩笑了。對于她們中的好些人來說，數學學之所以那樣誘人，那樣富于魔力，正是由于它深刻，明確，才能確定一切，掃清人們的一切疑問，這才使她們義無反顧地涉足到這一事業中去。如今，數學學居然有弄成搖獎機器的危險，居然要弄成一個擲色子來決定命運的賭徒，這如何才能容忍呢？
不確定？
一場史無前例的大爭辯正式展開，在爭執和辯論旁邊是興奮，發抖，絕望，眼淚，伴隨著整個決定論在20世紀的悲情退場。
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飯后閑談：決定論
可以說決定論的變遷濃縮了整部自然科學在20世紀的發展史。科學從牛頓和拉普拉斯的時代走來，輝煌的成功使它一時得意忘形，覺得它具有預測一切的能力。決定論覺得，萬物都早已由化學定律所規定出來，連一個細節都不能修改。過去和未來都像早已寫好的劇本，宇宙的發展只能嚴格地根據這個劇本進行，未能跳出這個窠臼。
矜持的決定論在20世紀首先受到了量子論的嚴重挑戰，此后混沌動力學的盛行使它徹底被擊潰。如今我們早已曉得，雖然沒有量子論把機率這一基本屬性賦于自然界，就牛頓多項式本身來說，許多系統也是極不穩定的，任何細小的干擾都還能對系統的發展導致極大的影響，差之毫厘，失之千里。這種干擾從本質上說是不可預測的，因而想憑著牛頓多項式來預測整個系統從理論上說也是不可行的。典型的事例是常年的天氣預報，你們可能都早已據說過洛倫茲知名的“蝴蝶效應”，哪怕一只蝴蝶輕微地扇動它的翅膀，也能給整個天氣系統引起戲曲性的變化。現今的天氣預報也早已普遍改用機率性的說法，例如“明天的降雨機率是20%”。
1986年，知名的流體熱學權威，詹姆士?萊特希爾爵士(SirJames，他于1969年從狄拉克手里接過劍橋盧卡薩院士的席位，也就是牛頓曾兼任過的那種)于皇家學會記念牛頓《原理》發表300華誕的游行上發表了震驚一時的歉意：
“現在我們都深深意識到，我們的高手對牛頓熱學的驚人成就是那樣崇敬，這使她們把它總締結一種可預言的系統。并且說實話，我們在1960年曾經也大都傾向于相信這個說法，但如今我們曉得這是錯誤的。我們曾經當初欺騙了公眾，向她們宣傳說滿足牛頓運動定理的系統是決定論的，然而這在1960年后已被證明不是真的。我們都樂意在此向公眾表示歉意。”
(Wearealltodaythattheofourfortheofledthemtomakeinthisareaofwhich,,wemayhaveto1960,butwhichwenowwerefalse.Wewishtoforthebyideasabouttheof'slawsofthat,after1960,weretobe.)
決定論的內亂是否注定了自由意志的盛行？這在哲學上是很值得闡述的。事實上，在量子論以后，化學學越來越陷于形而念書的爭辯中。其實形而念書()應當改個名子叫“量子論以后”()。在我們的簡史前面，我們會詳盡地闡述這種問題。
Ian寫過一本關于混沌的書，書名也叫《上帝擲色子嗎》。這本書文字優美，很值得一讀，其實和我們的簡史沒哪些聯系。我用這個名子，一方面是想指出決定論的變遷是我們簡史的中心話題，另外，雖然愛因斯坦這句格言原本的版權是屬于量子論的。