高考數(shù)學(xué)推證題，要求證明某一數(shù)學(xué)推論（規(guī)律）或推導(dǎo)入某一數(shù)學(xué)量的表達(dá)式，能有效考查中學(xué)生的剖析、推理、論證能力，是近幾年各地高考試卷中頻頻出現(xiàn)的一種題型，在高考試卷中占有一席之地。
解答數(shù)學(xué)推證題，既要有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，把握必要的科學(xué)思維方式，還要有一定的邏輯思維能力、推理能力和運(yùn)用物理知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。現(xiàn)將近幾年有代表性的高考數(shù)學(xué)推證題歸類(lèi)例析如下：
一、證明推論
證明推論型推證題，通常為小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展或延展，試題給出需證明的推論（或規(guī)律），通過(guò)“弄清題意要求――應(yīng)（選）用公式規(guī)律――建立聯(lián)系方程”來(lái)推論論證。推證時(shí)，一要找出化學(xué)量之間的聯(lián)系，并借助相關(guān)化學(xué)公式或規(guī)律構(gòu)建化學(xué)量間的關(guān)系方程；二要注意證明過(guò)程要清晰，每一步證明過(guò)程都要有理有據(jù)。
例1.我們曉得兩個(gè)物體間力的作用是互相的，當(dāng)其中的一個(gè)力稱(chēng)為斥力時(shí)，另一個(gè)力就稱(chēng)作反斥力。牛頓第三定理告訴我們：兩個(gè)物體之間的斥力與反斥力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線(xiàn)上。
圖1如圖1所示，是在“探究滑動(dòng)磨擦力大小”的實(shí)驗(yàn)中，用彈簧測(cè)力計(jì)檢測(cè)磨擦力大小的示意圖。當(dāng)水平帶動(dòng)物體A勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)F′（即彈簧所受A的拉力）就表示物體A所受磨擦力f的大小，即F′=f。請(qǐng)你根據(jù)牛頓第三定理和二力平衡的條件對(duì)此加以證明。
解析：從F′與f入手，剖析受力，找出與F′、f相關(guān)聯(lián)的力，弄清哪兩個(gè)力是一對(duì)斥力與反斥力，哪兩個(gè)力是一對(duì)平衡力；借助牛頓第三定理和二力平衡的條件找出各力的大小關(guān)系進(jìn)行推證。
證明：由于物體A處于平衡狀態(tài)，物體A在水平方向上遭到的拉力和磨擦力是一對(duì)平衡力，所以彈簧測(cè)力計(jì)對(duì)物體的拉力等于物體所受磨擦力，即F=f。
而彈簧測(cè)力計(jì)對(duì)物體A的拉力F與物體A對(duì)彈簧測(cè)力計(jì)的拉力F′是一對(duì)斥力與反斥力，由牛頓第三定理可知，F(xiàn)=F′，所以F′=f。
例2.定滑輪在使用時(shí)相當(dāng)于一個(gè)杠桿。如圖2所示，某人用繩子順著傾斜方向通過(guò)定滑輪拉住鉤碼，已知人手的拉力為F，鉤碼重力為G。
圖2圖3（1）請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出這只“杠桿”的支點(diǎn)O，畫(huà)出拉力F、鉤碼重力G及它們的力臂（保留畫(huà)圖痕跡）。
（2）若不計(jì)磨擦、滑輪重和繩重，請(qǐng)用杠桿平衡條件推證：F=G。
解析：按照杠桿的五要素（一支點(diǎn)、二力、二力臂）作圖；明晰動(dòng)力臂l1和阻力臂l2都等于定滑輪的直徑R，借助杠桿的平衡條件推證。
（1）如圖3所示。
（2）證明：由幾何知識(shí)知：l1=l2=R（R為滑輪的直徑）
按照杠桿平衡條件：F1l1=F2l2
即F1l1=Gl2，得：F=G。
點(diǎn)撥：例1、例2的共同點(diǎn)是試題已明晰告知推證的理論根據(jù)，只需依照題意，借助試題告知的化學(xué)知識(shí)或規(guī)律進(jìn)行數(shù)理推證即可。推證時(shí)，要有必要的剖析和文字說(shuō)明。
圖4例3.液體內(nèi)部存在浮力。如圖4所示，燒瓶?jī)?nèi)盛有密度為ρ的液體，我們可以構(gòu)想液面下h深處有一面積為S的水平圓面，它所受的壓力是其上方圓錐形的小液柱所形成的。請(qǐng)推證：液體內(nèi)部深度為h處的浮力p=ρgh。
解析：由題意可知，液體深度為h處的浮力即為小液柱對(duì)其底面的浮力。按照浮力公式p=F1S來(lái)推證，其中的壓力可以按照水平面上的物體對(duì)水平面的壓力等于重力來(lái)估算。思路：
證明：小液柱的容積為：V=Sh
小液柱的質(zhì)量為：m=ρV=ρSh
小液柱的重力為：G=mg=ρShg
小液柱形成的浮力為：p=F1S=G1S=ρShg1S=ρgh。
即液體內(nèi)部深度為h處的浮力p=ρgh。
例4.當(dāng)多個(gè)內(nèi)阻串聯(lián)時(shí)，其等效內(nèi)阻稱(chēng)為串聯(lián)電路的總內(nèi)阻。請(qǐng)推證：將兩個(gè)內(nèi)阻R1、R2串聯(lián)上去，其總內(nèi)阻R與R1、R2的關(guān)系式為：R=R1+R2。
圖5解析：由題意可知，R是R1與R2串聯(lián)的總內(nèi)阻。按照歐姆定理寫(xiě)出電流的表達(dá)式；借助串聯(lián)電路中電壓、電流的關(guān)系規(guī)律推論證明。思路：
證明：由歐姆定理可知：U=IR，U1=I1R1，U2=I2R2
由串聯(lián)電路電流的規(guī)律U=U1+U2可得：IR=I1R1+I2R2
又由串聯(lián)電路電壓的規(guī)律I=I1=I2可得：R=R1+R2。
點(diǎn)撥：例3、例4的共同點(diǎn)是試題沒(méi)有告知推證的理論根據(jù)，則需在弄清題意的基礎(chǔ)上，選用數(shù)學(xué)公式或規(guī)律，之后進(jìn)行數(shù)理推證。
二、推導(dǎo)表達(dá)式
推論表達(dá)式型推證題，要求按照題給的已知化學(xué)量，推導(dǎo)入用已知化學(xué)量的字母表示的未知化學(xué)量的物理表達(dá)式，即用已知量表示未知量。推論時(shí)，一要弄清題意，找出已知量；二要選用相關(guān)數(shù)學(xué)公式或規(guī)律，確定已知量與未知量之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)量間的關(guān)系方程（或大小關(guān)系式）；三要注意表示數(shù)學(xué)量的字母符號(hào)應(yīng)規(guī)范。
例5.“等效取代法”是化學(xué)學(xué)中常用的一種方式。若圖6甲的兩個(gè)內(nèi)阻并聯(lián)后接入電路中的療效與圖乙一個(gè)內(nèi)阻接入同一電路中的療效相同，請(qǐng)你借助并聯(lián)電路電流、電流的規(guī)律及歐姆定理推導(dǎo)入R與R1、R2的關(guān)系式。
圖6解析：并聯(lián)電路的電壓規(guī)律是支路電壓等于各大道電壓之和，即I=I1+I2；電流規(guī)律是各大道兩端電流相等，即U=U1=U2；按照歐姆定理I=U1R，代入電壓關(guān)系即可推導(dǎo)入阻值的關(guān)系式。思路：
推論：由并聯(lián)電路電壓關(guān)系，可得I=I1+I2
U1R=U11R1+U21R2
又知：U=U1=U2
代入上式可得：11R=11R1+11R2（或R=+R2）
點(diǎn)撥：推論表達(dá)式時(shí)，要按照題意假定可能用到的幾個(gè)未知化學(xué)量，以作為推論時(shí)的通常數(shù)學(xué)量，如本題中的電壓I、I1、I2和電流U、U1、U2；再依照相關(guān)的數(shù)學(xué)公式（規(guī)律），代入上述的幾個(gè)假定的數(shù)學(xué)量，構(gòu)建方程，推導(dǎo)入用已知量表示的關(guān)系式。
例6.一個(gè)均勻?qū)嵭奈矬w浸入在液體中，可以按照物體的密度ρ1與液體密度ρ2之間的關(guān)系，對(duì)物體的沉浮做出判定，請(qǐng)借助學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)，推導(dǎo)入這種關(guān)系。（推論中要寫(xiě)出根據(jù)）
解析：浸入在液體中的物體的沉浮狀態(tài)是由其所受壓強(qiáng)F浮和重力G物的大小決定的；依據(jù)物體的沉浮條件，借助阿基米德原理、重力和密度公式，以及浸入時(shí)V排=V物進(jìn)行推論。思路：
推論：浸入在液體中物體遭到兩個(gè)力，壓強(qiáng)F浮和重力G物。
假如，F(xiàn)浮>G物，即ρ2V排g>ρ1V物g
浸入時(shí)V排=V物
ρ2>ρ1時(shí)物體下浮；
假如，F(xiàn)浮
浸入時(shí)V排=V物
ρ2
假如，F(xiàn)浮=G物，即ρ2V排g=ρ1V物g
浸入時(shí)V排=V物
ρ2=ρ1時(shí)物體漂浮或在液體中勻速運(yùn)動(dòng)。
點(diǎn)撥：推論表達(dá)式時(shí)，要找出蘊(yùn)涵在題意中的條件，如本題中的物體排開(kāi)的液體容積與物體容積之間的關(guān)系V排=V物，這是推論的關(guān)鍵。
圖7例7.為了響應(yīng)“節(jié)能降耗”的呼吁，小周家買(mǎi)了一臺(tái)體積為100L的太陽(yáng)能冷水器。
（3）該冷水器的說(shuō)明書(shū)中介紹，真空管冷水器可以把90%的太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化為水的內(nèi)能，真有如此高的效率嗎？小周查閱資料曉得，她們所在地區(qū)單位受光面積上接收太陽(yáng)能的功率為P，小周還須要檢測(cè)什么化學(xué)量，并運(yùn)用本題估算出的熱量Q[Q為（2）問(wèn)中冷水器中的水從18℃升高到78℃時(shí)吸收的熱量]，就可估測(cè)出這臺(tái)冷水器的光熱轉(zhuǎn)化效率？寫(xiě)出效率η的表達(dá)式。（用代表化學(xué)量的字母表示，不需估算具體數(shù)據(jù)）
解析：效率是指有用的量與總數(shù)的比值，即等于“有用的”除以“總的”，故太陽(yáng)能冷水器有用的能量為水吸收的熱量Q，總能量為冷水器接收的太陽(yáng)能。思路：
測(cè)出太陽(yáng)能冷水器的有效受光面積S和兩次溫度記錄之間的光照時(shí)間t。
推論：冷水器中水吸收的熱量為Q；單位受光面積上接收太陽(yáng)能的功率為P，則冷水器接收太陽(yáng)能的總功率為P總=PS，在光照時(shí)間t內(nèi)冷水器接收的太陽(yáng)能W=PtS。
光熱轉(zhuǎn)化效率η=Q1W×100%=Q1PtS×100%。
點(diǎn)撥：推論表達(dá)式時(shí)，要抓住所求量，聯(lián)想相關(guān)的數(shù)學(xué)公式，進(jìn)行推論，如本題中要求推論光熱轉(zhuǎn)化效率的表達(dá)式物理二力平衡實(shí)驗(yàn)常考題點(diǎn)，則應(yīng)想到效率定義和公式，其中“有用的”Q已知，再借助相關(guān)公式確定“總的”W=PtS，將Q、W=PtS代入效率公式即可。
例8.一輛滿(mǎn)載物資的總重為G牛頓的運(yùn)輸車(chē)，將物資沿ABCD路線(xiàn)運(yùn)至D處，AB段海拔高度為h1米，CD段海拔高度為h2米，如圖8甲所示。在整個(gè)運(yùn)輸過(guò)程中，車(chē)輛以恒定速率v米/秒運(yùn)動(dòng)，車(chē)輛t=0時(shí)經(jīng)過(guò)A處，t=t1時(shí)經(jīng)過(guò)B處，t=t2時(shí)經(jīng)過(guò)C處，在此過(guò)程中車(chē)輛牽引力功率P隨時(shí)間t變化的圖像可簡(jiǎn)化為圖8乙所示（P1、P2、t1和t2也為已知量）。
圖8（1）請(qǐng)剖析說(shuō)明車(chē)輛在AB段和BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)，牽引力的大小關(guān)系。
（2）請(qǐng)用已知量求出車(chē)輛沿斜坡BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)所受總阻力的表達(dá)式（總阻力包括磨擦力和空氣阻力）。
解析：依據(jù)功率公式推導(dǎo)入牽引力與功率、速度的關(guān)系式，由此通過(guò)比較功率的大小來(lái)確定牽引力的大小關(guān)系；牽引力做功的過(guò)程，就是克服重力和總阻力做功的過(guò)程，按照功的關(guān)系列舉方程推論總阻力的表達(dá)式。
（1）車(chē)輛在BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)牽引力較大。思路：
設(shè)車(chē)輛的牽引力為F，按照P=W1t=Fs1t=Fv，可得F=P1v。
又由于P2小于P1且速率v一定，所以車(chē)輛在BC段運(yùn)動(dòng)時(shí)牽引力較大。
（2）思路：
設(shè)BC段長(zhǎng)為L(zhǎng)、高為h，由功的關(guān)系可得
WF=Gh+fL
P2（t2-t1）=G（h2-h1）+fL
即P2（t2-t1）=G（h2-h1）+fv（t2-t1）
所以f=P2（t2-t1）-G（h2-h1）1v（t2-t1）（牛）。
點(diǎn)撥：解答推論表達(dá)式試題時(shí)物理二力平衡實(shí)驗(yàn)常考題點(diǎn)，要綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)剖析推理，如本題（1）中，選用功率公式和路程公式推導(dǎo)入F=P1v，再由圖像和情境中得知信息P2小于P1且速率v一定，因而比較牽引力的大小；（2）中，牽引力所做的功等于克服重力和阻力所做的功，選用功的公式，則牽引力所做的功WF=Pt=P2（t2-t1），克服重力所做的功W1=Gh=G（h2-h1），克服阻力所做的功W2=fL=fv（t2-t1），代入WF=Gh+fL變型即可得到總阻力f的表達(dá)式。
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