高考數學推證題，要求證明某一數學推論（規律）或推導入某一數學量的表達式，能有效考查中學生的剖析、推理、論證能力，是近幾年各地高考試卷中頻頻出現的一種題型，在高考試卷中占有一席之地。
解答數學推證題，既要有堅實的數學知識基礎，把握必要的科學思維方式，還要有一定的邏輯思維能力、推理能力和運用物理知識解決數學問題的能力。現將近幾年有代表性的高考數學推證題歸類例析如下：
一、證明推論
證明推論型推證題，通常為小學數學知識的拓展或延展，試題給出需證明的推論（或規律），通過“弄清題意要求――應（選）用公式規律――建立聯系方程”來推論論證。推證時，一要找出化學量之間的聯系，并借助相關化學公式或規律構建化學量間的關系方程；二要注意證明過程要清晰，每一步證明過程都要有理有據。
例1.我們曉得兩個物體間力的作用是互相的，當其中的一個力稱為斥力時，另一個力就稱作反斥力。牛頓第三定理告訴我們：兩個物體之間的斥力與反斥力總是大小相等，方向相反，作用在同一條直線上。
圖1如圖1所示，是在“探究滑動磨擦力大小”的實驗中，用彈簧測力計檢測磨擦力大小的示意圖。當水平帶動物體A勻速運動時，彈簧測力計的示數F′（即彈簧所受A的拉力）就表示物體A所受磨擦力f的大小，即F′=f。請你根據牛頓第三定理和二力平衡的條件對此加以證明。
解析：從F′與f入手，剖析受力，找出與F′、f相關聯的力，弄清哪兩個力是一對斥力與反斥力，哪兩個力是一對平衡力；借助牛頓第三定理和二力平衡的條件找出各力的大小關系進行推證。
證明：由于物體A處于平衡狀態，物體A在水平方向上遭到的拉力和磨擦力是一對平衡力，所以彈簧測力計對物體的拉力等于物體所受磨擦力，即F=f。
而彈簧測力計對物體A的拉力F與物體A對彈簧測力計的拉力F′是一對斥力與反斥力，由牛頓第三定理可知，F=F′，所以F′=f。
例2.定滑輪在使用時相當于一個杠桿。如圖2所示，某人用繩子順著傾斜方向通過定滑輪拉住鉤碼，已知人手的拉力為F，鉤碼重力為G。
圖2圖3（1）請在圖中標出這只“杠桿”的支點O，畫出拉力F、鉤碼重力G及它們的力臂（保留畫圖痕跡）。
（2）若不計磨擦、滑輪重和繩重，請用杠桿平衡條件推證：F=G。
解析：按照杠桿的五要素（一支點、二力、二力臂）作圖；明晰動力臂l1和阻力臂l2都等于定滑輪的直徑R，借助杠桿的平衡條件推證。
（1）如圖3所示。
（2）證明：由幾何知識知：l1=l2=R（R為滑輪的直徑）
按照杠桿平衡條件：F1l1=F2l2
即F1l1=Gl2，得：F=G。
點撥：例1、例2的共同點是試題已明晰告知推證的理論根據，只需依照題意，借助試題告知的化學知識或規律進行數理推證即可。推證時，要有必要的剖析和文字說明。
圖4例3.液體內部存在浮力。如圖4所示，燒瓶內盛有密度為ρ的液體，我們可以構想液面下h深處有一面積為S的水平圓面，它所受的壓力是其上方圓錐形的小液柱所形成的。請推證：液體內部深度為h處的浮力p=ρgh。
解析：由題意可知，液體深度為h處的浮力即為小液柱對其底面的浮力。按照浮力公式p=F1S來推證，其中的壓力可以按照水平面上的物體對水平面的壓力等于重力來估算。思路：
證明：小液柱的容積為：V=Sh
小液柱的質量為：m=ρV=ρSh
小液柱的重力為：G=mg=ρShg
小液柱形成的浮力為：p=F1S=G1S=ρShg1S=ρgh。
即液體內部深度為h處的浮力p=ρgh。
例4.當多個內阻串聯時，其等效內阻稱為串聯電路的總內阻。請推證：將兩個內阻R1、R2串聯上去，其總內阻R與R1、R2的關系式為：R=R1+R2。
圖5解析：由題意可知，R是R1與R2串聯的總內阻。按照歐姆定理寫出電流的表達式；借助串聯電路中電壓、電流的關系規律推論證明。思路：
證明：由歐姆定理可知：U=IR，U1=I1R1，U2=I2R2
由串聯電路電流的規律U=U1+U2可得：IR=I1R1+I2R2
又由串聯電路電壓的規律I=I1=I2可得：R=R1+R2。
點撥：例3、例4的共同點是試題沒有告知推證的理論根據，則需在弄清題意的基礎上，選用數學公式或規律，之后進行數理推證。
二、推導表達式
推論表達式型推證題，要求按照題給的已知化學量，推導入用已知化學量的字母表示的未知化學量的物理表達式，即用已知量表示未知量。推論時，一要弄清題意，找出已知量；二要選用相關數學公式或規律，確定已知量與未知量之間的聯系，構建數學量間的關系方程（或大小關系式）；三要注意表示數學量的字母符號應規范。
例5.“等效取代法”是化學學中常用的一種方式。若圖6甲的兩個內阻并聯后接入電路中的療效與圖乙一個內阻接入同一電路中的療效相同，請你借助并聯電路電流、電流的規律及歐姆定理推導入R與R1、R2的關系式。
圖6解析：并聯電路的電壓規律是支路電壓等于各大道電壓之和，即I=I1+I2；電流規律是各大道兩端電流相等，即U=U1=U2；按照歐姆定理I=U1R，代入電壓關系即可推導入阻值的關系式。思路：
推論：由并聯電路電壓關系，可得I=I1+I2
U1R=U11R1+U21R2
又知：U=U1=U2
代入上式可得：11R=11R1+11R2（或R=+R2）
點撥：推論表達式時，要按照題意假定可能用到的幾個未知化學量，以作為推論時的通常數學量，如本題中的電壓I、I1、I2和電流U、U1、U2；再依照相關的數學公式（規律），代入上述的幾個假定的數學量，構建方程，推導入用已知量表示的關系式。
例6.一個均勻實心物體浸入在液體中，可以按照物體的密度ρ1與液體密度ρ2之間的關系，對物體的沉浮做出判定，請借助學過的數學知識，推導入這種關系。（推論中要寫出根據）
解析：浸入在液體中的物體的沉浮狀態是由其所受壓強F浮和重力G物的大小決定的；依據物體的沉浮條件，借助阿基米德原理、重力和密度公式，以及浸入時V排=V物進行推論。思路：
推論：浸入在液體中物體遭到兩個力，壓強F浮和重力G物。
假如，F浮>G物，即ρ2V排g>ρ1V物g
浸入時V排=V物
ρ2>ρ1時物體下浮；
假如，F浮
浸入時V排=V物
ρ2
假如，F浮=G物，即ρ2V排g=ρ1V物g
浸入時V排=V物
ρ2=ρ1時物體漂浮或在液體中勻速運動。
點撥：推論表達式時，要找出蘊涵在題意中的條件，如本題中的物體排開的液體容積與物體容積之間的關系V排=V物，這是推論的關鍵。
圖7例7.為了響應“節能降耗”的呼吁，小周家買了一臺體積為100L的太陽能冷水器。
（3）該冷水器的說明書中介紹，真空管冷水器可以把90%的太陽能轉化為水的內能，真有如此高的效率嗎？小周查閱資料曉得，她們所在地區單位受光面積上接收太陽能的功率為P，小周還須要檢測什么化學量，并運用本題估算出的熱量Q[Q為（2）問中冷水器中的水從18℃升高到78℃時吸收的熱量]，就可估測出這臺冷水器的光熱轉化效率？寫出效率η的表達式。（用代表化學量的字母表示，不需估算具體數據）
解析：效率是指有用的量與總數的比值，即等于“有用的”除以“總的”，故太陽能冷水器有用的能量為水吸收的熱量Q，總能量為冷水器接收的太陽能。思路：
測出太陽能冷水器的有效受光面積S和兩次溫度記錄之間的光照時間t。
推論：冷水器中水吸收的熱量為Q；單位受光面積上接收太陽能的功率為P，則冷水器接收太陽能的總功率為P總=PS，在光照時間t內冷水器接收的太陽能W=PtS。
光熱轉化效率η=Q1W×100%=Q1PtS×100%。
點撥：推論表達式時，要抓住所求量，聯想相關的數學公式，進行推論，如本題中要求推論光熱轉化效率的表達式物理二力平衡實驗常考題點，則應想到效率定義和公式，其中“有用的”Q已知，再借助相關公式確定“總的”W=PtS，將Q、W=PtS代入效率公式即可。
例8.一輛滿載物資的總重為G牛頓的運輸車，將物資沿ABCD路線運至D處，AB段海拔高度為h1米，CD段海拔高度為h2米，如圖8甲所示。在整個運輸過程中，車輛以恒定速率v米/秒運動，車輛t=0時經過A處，t=t1時經過B處，t=t2時經過C處，在此過程中車輛牽引力功率P隨時間t變化的圖像可簡化為圖8乙所示（P1、P2、t1和t2也為已知量）。
圖8（1）請剖析說明車輛在AB段和BC段運動時，牽引力的大小關系。
（2）請用已知量求出車輛沿斜坡BC段運動時所受總阻力的表達式（總阻力包括磨擦力和空氣阻力）。
解析：依據功率公式推導入牽引力與功率、速度的關系式，由此通過比較功率的大小來確定牽引力的大小關系；牽引力做功的過程，就是克服重力和總阻力做功的過程，按照功的關系列舉方程推論總阻力的表達式。
（1）車輛在BC段運動時牽引力較大。思路：
設車輛的牽引力為F，按照P=W1t=Fs1t=Fv，可得F=P1v。
又由于P2小于P1且速率v一定，所以車輛在BC段運動時牽引力較大。
（2）思路：
設BC段長為L、高為h，由功的關系可得
WF=Gh+fL
P2（t2-t1）=G（h2-h1）+fL
即P2（t2-t1）=G（h2-h1）+fv（t2-t1）
所以f=P2（t2-t1）-G（h2-h1）1v（t2-t1）（牛）。
點撥：解答推論表達式試題時物理二力平衡實驗常考題點，要綜合運用所學知識剖析推理，如本題（1）中，選用功率公式和路程公式推導入F=P1v，再由圖像和情境中得知信息P2小于P1且速率v一定，因而比較牽引力的大小；（2）中，牽引力所做的功等于克服重力和阻力所做的功，選用功的公式，則牽引力所做的功WF=Pt=P2（t2-t1），克服重力所做的功W1=Gh=G（h2-h1），克服阻力所做的功W2=fL=fv（t2-t1），代入WF=Gh+fL變型即可得到總阻力f的表達式。
申明：本刊選用了部份國外外圖文，為了更好地維護著作者權益，敬請與本刊聯系，便于及時奉寄稿費。