磁偶極矩與角動(dòng)量有哪些關(guān)系？電子磁矩的來(lái)源是哪些？如何證明外磁場(chǎng)中磁偶極子的轉(zhuǎn)矩公式？10月21日12時(shí)，《張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課》第九十四期播出，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽(yáng)坐陣搜狐視頻直播間，借助環(huán)型電壓介紹磁偶極子與磁矩的概念，隨即將圓周運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷等效成環(huán)型電壓以求出磁矩，緊接著剖析磁偶極矩與角動(dòng)量的關(guān)系，之后介紹磁偶極子與外磁場(chǎng)的互相作用，簡(jiǎn)單解釋了順磁性與抗磁性的原理，并通過(guò)構(gòu)建直角座標(biāo)系證明了磁矩遭到的轉(zhuǎn)矩等于磁矩叉乘北外磁場(chǎng)。
介紹磁偶極子與磁矩對(duì)比精典與量子
將麥克斯韋等式組中關(guān)于磁場(chǎng)散度的公式▽·B=0與高斯定律▽·E=ρ相比較，可知磁荷不存在，所以吸鐵石中總是N極與S極一起存在，再進(jìn)一步對(duì)比小吸鐵石遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)與電偶極子的電場(chǎng)，可以發(fā)覺(jué)矢量場(chǎng)的分布幾乎一模一樣，所以對(duì)應(yīng)電偶極子也可以稱(chēng)小吸鐵石是個(gè)磁偶極子，吸鐵石的南北極對(duì)應(yīng)電偶極子的正負(fù)電荷。
但實(shí)際上上面也說(shuō)過(guò)磁荷不存在，磁場(chǎng)是由電壓形成，可以用畢奧-薩伐爾定理證明一個(gè)矩形電壓環(huán)在遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)跟小吸鐵石在遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)一致，即一個(gè)小電壓環(huán)可看成一個(gè)磁偶極子。電壓環(huán)的中心處也可以用畢奧-薩伐爾定理估算下來(lái)：
其中矢量n是垂直于電壓環(huán)平面的單位法向量，n的方向與電壓方向滿足左手螺旋定則，I是電壓環(huán)的電壓大小，r是電壓環(huán)的直徑。
正如電偶極子有電偶極矩的概念一樣，磁偶極子也有磁偶極矩，簡(jiǎn)稱(chēng)磁矩，磁矩的定義為：
其中S為電壓環(huán)的面積，I是電壓環(huán)的電壓大小，n是電壓環(huán)平面的單位法向量，r是電壓環(huán)的直徑。
對(duì)于一個(gè)做圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷，可以等效成一個(gè)環(huán)型電壓，因而也可看作一個(gè)磁偶極子。設(shè)點(diǎn)電荷的電荷量為q，做圓周運(yùn)動(dòng)的直徑為r，這么將電荷q平均分配到圓環(huán)上得到的線電荷密度為：
這么等效電壓為：
其中j是電壓密度，ΔS為電壓截面積。
按照磁偶極矩的定義，可以得到圓周運(yùn)動(dòng)點(diǎn)電荷對(duì)應(yīng)的磁偶極矩的大小為：
另外，圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)電荷具有角動(dòng)量：
其中，m是粒子質(zhì)量。
將角動(dòng)量表達(dá)式與磁偶極矩表達(dá)式中的vr消去后，可以得到磁偶極矩與角動(dòng)量的關(guān)系：
（張朝陽(yáng)剖析磁矩與角動(dòng)量的關(guān)系）
上式是從精典電動(dòng)熱學(xué)得到的公式，但這個(gè)方式不僅僅適用于精典熱學(xué)，還適用于量子熱學(xué)，通常情況下寫(xiě)成：
（注，若是電子磁矩q=-e。）
當(dāng)J是電子運(yùn)動(dòng)造成的軌道角動(dòng)量時(shí)，g=1。而J是載流子對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量時(shí)，g約等于2，這也說(shuō)明載流子會(huì)形成磁矩，稱(chēng)為載流子磁矩。載流子磁矩是基本粒子的內(nèi)稟屬性，與它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無(wú)關(guān)。
巧妙完善直角座標(biāo)系估算外磁場(chǎng)中磁矩的扭矩
正如電偶極子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中會(huì)遭到扭力那樣，磁偶極子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中也會(huì)遭到扭矩。張朝陽(yáng)以直徑為r的環(huán)型電壓的圓心為原點(diǎn)，構(gòu)建如右圖的直角座標(biāo)系：
（張朝陽(yáng)估算外磁場(chǎng)中磁偶極子的扭矩）
如圖選擇特殊方向的座標(biāo)軸磁場(chǎng)公式，致使環(huán)型電壓所在的平面為xy面，外恒定磁場(chǎng)B處在yz平面內(nèi)。這么電荷微元的位置r、電荷微元的速率v以及磁場(chǎng)B可用球座標(biāo)系的角度座標(biāo)表示為：
其中矢量i、j、k分別代表x軸、y軸、z軸方向的單位向量，它們之間的叉乘滿足：
設(shè)線電荷密度為λ，厚度為dl的電荷微元的電荷為λdl，依照洛倫茲力公式可知電荷微元在外磁場(chǎng)B中遭到的力為：
進(jìn)一步估算電荷微元遭到的轉(zhuǎn)矩為：
將所有的電荷微元全部求和后得到整個(gè)磁偶極子遭到的扭力：
注意到，上式最后一個(gè)等號(hào)中出現(xiàn)了之前推導(dǎo)入的磁矩公式：
將磁矩的表達(dá)式代入上面推導(dǎo)入的扭矩表達(dá)式中，得到磁偶極子遭到的轉(zhuǎn)矩公式：
對(duì)于具有磁矩的原子分子所組成的材料，按照上述公式可知，外加磁場(chǎng)可以促使材料中的原子分子的磁矩順著磁場(chǎng)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣就促使原本零亂無(wú)章的磁矩在統(tǒng)計(jì)上沿同一方向排列，致使材料具有順著B(niǎo)方向的磁化，這些材料具有順磁性。若磁矩之間的互相斥力很大，很小的磁場(chǎng)作用下才能被磁化到飽和，這就稱(chēng)為鐵磁性。
而對(duì)于無(wú)磁矩的原子分子所組成的材料則未能出現(xiàn)上述現(xiàn)象，但外加磁場(chǎng)時(shí)磁場(chǎng)公式，電子軌道角動(dòng)量對(duì)應(yīng)的磁矩也會(huì)遭到扭矩的作用，使電子軌道動(dòng)量矩繞磁場(chǎng)進(jìn)動(dòng)，這個(gè)進(jìn)動(dòng)等效于一個(gè)反向電壓，形成一個(gè)與外磁場(chǎng)B相反的附加磁矩，呈現(xiàn)抵抗外磁場(chǎng)的療效，稱(chēng)為抗磁性。實(shí)際上順磁材料也會(huì)有抗磁效應(yīng)，但相比于順磁效應(yīng)十分微弱因而可以忽視。
據(jù)了解，《張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課》于每周周一、周日上午12時(shí)在搜狐視頻直播，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽(yáng)”，觀看直播及往期完整視頻回放；關(guān)注“張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課”賬號(hào)，查看課程中的“知識(shí)點(diǎn)”短視頻。據(jù)悉，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號(hào)上，閱覽每期數(shù)學(xué)課程的詳盡文章。