磁偶極矩與角動量有哪些關系？電子磁矩的來源是哪些？如何證明外磁場中磁偶極子的轉矩公式？10月21日12時，《張朝陽的數學課》第九十四期播出，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐陣搜狐視頻直播間，借助環型電壓介紹磁偶極子與磁矩的概念，隨即將圓周運動點電荷等效成環型電壓以求出磁矩，緊接著剖析磁偶極矩與角動量的關系，之后介紹磁偶極子與外磁場的互相作用，簡單解釋了順磁性與抗磁性的原理，并通過構建直角座標系證明了磁矩遭到的轉矩等于磁矩叉乘北外磁場。
介紹磁偶極子與磁矩對比精典與量子
將麥克斯韋等式組中關于磁場散度的公式▽·B=0與高斯定律▽·E=ρ相比較，可知磁荷不存在，所以吸鐵石中總是N極與S極一起存在，再進一步對比小吸鐵石遠處的磁場與電偶極子的電場，可以發覺矢量場的分布幾乎一模一樣，所以對應電偶極子也可以稱小吸鐵石是個磁偶極子，吸鐵石的南北極對應電偶極子的正負電荷。
但實際上上面也說過磁荷不存在，磁場是由電壓形成，可以用畢奧-薩伐爾定理證明一個矩形電壓環在遠處的磁場跟小吸鐵石在遠處的磁場一致，即一個小電壓環可看成一個磁偶極子。電壓環的中心處也可以用畢奧-薩伐爾定理估算下來：
其中矢量n是垂直于電壓環平面的單位法向量，n的方向與電壓方向滿足左手螺旋定則，I是電壓環的電壓大小，r是電壓環的直徑。
正如電偶極子有電偶極矩的概念一樣，磁偶極子也有磁偶極矩，簡稱磁矩，磁矩的定義為：
其中S為電壓環的面積，I是電壓環的電壓大小，n是電壓環平面的單位法向量，r是電壓環的直徑。
對于一個做圓周運動的點電荷，可以等效成一個環型電壓，因而也可看作一個磁偶極子。設點電荷的電荷量為q，做圓周運動的直徑為r，這么將電荷q平均分配到圓環上得到的線電荷密度為：
這么等效電壓為：
其中j是電壓密度，ΔS為電壓截面積。
按照磁偶極矩的定義，可以得到圓周運動點電荷對應的磁偶極矩的大小為：
另外，圓周運動的點電荷具有角動量：
其中，m是粒子質量。
將角動量表達式與磁偶極矩表達式中的vr消去后，可以得到磁偶極矩與角動量的關系：
（張朝陽剖析磁矩與角動量的關系）
上式是從精典電動熱學得到的公式，但這個方式不僅僅適用于精典熱學，還適用于量子熱學，通常情況下寫成：
（注，若是電子磁矩q=-e。）
當J是電子運動造成的軌道角動量時，g=1。而J是載流子對應的角動量時，g約等于2，這也說明載流子會形成磁矩，稱為載流子磁矩。載流子磁矩是基本粒子的內稟屬性，與它的運動狀態無關。
巧妙完善直角座標系估算外磁場中磁矩的扭矩
正如電偶極子在勻強電場中會遭到扭力那樣，磁偶極子在勻強磁場中也會遭到扭矩。張朝陽以直徑為r的環型電壓的圓心為原點，構建如右圖的直角座標系：
（張朝陽估算外磁場中磁偶極子的扭矩）
如圖選擇特殊方向的座標軸磁場公式，致使環型電壓所在的平面為xy面，外恒定磁場B處在yz平面內。這么電荷微元的位置r、電荷微元的速率v以及磁場B可用球座標系的角度座標表示為：
其中矢量i、j、k分別代表x軸、y軸、z軸方向的單位向量，它們之間的叉乘滿足：
設線電荷密度為λ，厚度為dl的電荷微元的電荷為λdl，依照洛倫茲力公式可知電荷微元在外磁場B中遭到的力為：
進一步估算電荷微元遭到的轉矩為：
將所有的電荷微元全部求和后得到整個磁偶極子遭到的扭力：
注意到，上式最后一個等號中出現了之前推導入的磁矩公式：
將磁矩的表達式代入上面推導入的扭矩表達式中，得到磁偶極子遭到的轉矩公式：
對于具有磁矩的原子分子所組成的材料，按照上述公式可知，外加磁場可以促使材料中的原子分子的磁矩順著磁場方向轉動，這樣就促使原本零亂無章的磁矩在統計上沿同一方向排列，致使材料具有順著B方向的磁化，這些材料具有順磁性。若磁矩之間的互相斥力很大，很小的磁場作用下才能被磁化到飽和，這就稱為鐵磁性。
而對于無磁矩的原子分子所組成的材料則未能出現上述現象，但外加磁場時磁場公式，電子軌道角動量對應的磁矩也會遭到扭矩的作用，使電子軌道動量矩繞磁場進動，這個進動等效于一個反向電壓，形成一個與外磁場B相反的附加磁矩，呈現抵抗外磁場的療效，稱為抗磁性。實際上順磁材料也會有抗磁效應，但相比于順磁效應十分微弱因而可以忽視。
據了解，《張朝陽的數學課》于每周周一、周日上午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的數學課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻。據悉，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期數學課程的詳盡文章。
