圖為1927年的索爾維大會，普朗克、愛因斯坦、居里夫人、玻爾、海森堡、泡利、狄拉克、德布羅意等數(shù)學(xué)學(xué)大牛都在其中
數(shù)學(xué)學(xué)是研究物質(zhì)及運(yùn)動(dòng)基本規(guī)律的基礎(chǔ)科學(xué)。其研究內(nèi)容包括物質(zhì)結(jié)構(gòu)及其互相作用、物質(zhì)運(yùn)動(dòng)方式以及它們之間的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)學(xué)立足于實(shí)驗(yàn)，發(fā)展各類理論觀念和思想方式，進(jìn)一步引導(dǎo)各類技術(shù)革命和實(shí)驗(yàn)設(shè)備創(chuàng)新。技術(shù)的發(fā)展反過來可以引起化學(xué)學(xué)研究方法的變遷。諸如，以半導(dǎo)體為基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛越發(fā)展，致使估算模擬仿真在數(shù)學(xué)學(xué)研究中發(fā)揮了越來越重要的作用，產(chǎn)生了估算化學(xué)的研究模式。
作為一門關(guān)于物質(zhì)、能量、空間和時(shí)間的科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)的具體研究內(nèi)容可以概括為以下兩個(gè)方面∶
第一，在更高的能量標(biāo)度和更小的時(shí)空尺度上探求物質(zhì)世界的深層次結(jié)構(gòu)及其互相作用，闡明時(shí)空、相互作用及暗物質(zhì)、暗能量的本質(zhì)。這兒除了把普通物質(zhì)解釋為一些基本單元（如夸克和輕子）的組合，彼此間通過電磁、弱、強(qiáng)和引力互相作用，還要描述能量的各類方式（如運(yùn)動(dòng)、光、電、輻射、引力等）能量怎樣從一種方式轉(zhuǎn)化為另一種方式，以及時(shí)空本身的行為和物體怎樣在時(shí)空中運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)學(xué)涉及各類能量標(biāo)度下的物質(zhì)以及相關(guān)的現(xiàn)象，從亞原子粒子到星體以至于整個(gè)宇宙。在這種化學(xué)現(xiàn)象里，數(shù)學(xué)學(xué)所考慮的是構(gòu)成其他物質(zhì)的最基本單元及其集體行為的運(yùn)動(dòng)與規(guī)律。為此，數(shù)學(xué)學(xué)是一門典型的“基礎(chǔ)科學(xué)”。
第二，直接面對由大量個(gè)體組元構(gòu)成的復(fù)雜體系，研究趕超個(gè)體特點(diǎn)“演生”出來的合作、凝聚現(xiàn)象。這方面研究涉及從傳統(tǒng)固體系統(tǒng)到生命軟匯聚態(tài)等各類精典、量子的多體系統(tǒng)。諸如，典型的從無序到有序的匯聚現(xiàn)象一般表現(xiàn)為精典和量子多體系統(tǒng)相變和臨界行為。大量組元構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)在特定的氣溫和參數(shù)選擇時(shí)會發(fā)生對稱性自發(fā)破缺或遍歷性破缺，產(chǎn)生各類長程關(guān)聯(lián)，造成了各類有序的物質(zhì)狀態(tài)，包括超導(dǎo)、超流、玻色-愛因斯坦匯聚以及通過耗散結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的高度組織化生命物質(zhì)，表現(xiàn)出合作效應(yīng)和有序的匯聚體系，可以進(jìn)一步產(chǎn)生各類人工結(jié)構(gòu)，造成更為豐富的化學(xué)現(xiàn)象和實(shí)際應(yīng)用。
以上概括的數(shù)學(xué)學(xué)的兩個(gè)方面代表了看似對立、實(shí)為互補(bǔ)的兩種科學(xué)觀——還原論（）和演生論（）。后者把物質(zhì)性質(zhì)完全歸結(jié)為其微觀組元的互相作用規(guī)律，借以構(gòu)建從微觀出發(fā)的終極統(tǒng)一理論；前者指出精典和量子多體系統(tǒng)的整體性和匯聚合作效應(yīng)物理的定義，把不同層次“演生”出來的規(guī)律當(dāng)成自然界的基本規(guī)律加以探求。反正，數(shù)學(xué)學(xué)的目標(biāo)是用一些簡單的定理去描述自然界中發(fā)生的各類復(fù)雜現(xiàn)象，從通過人類可以觀察的現(xiàn)象中找出其各類原因，再把這種原因聯(lián)系上去并給以升華，由此發(fā)覺支配自然界的最終規(guī)律。從方式論和世界觀的角度看，歷史上基本數(shù)學(xué)學(xué)受到哲學(xué)的影響并啟發(fā)了新的哲學(xué)觀點(diǎn)。諸如，電與磁的統(tǒng)一就是這么。在探求自然的中間階段，數(shù)學(xué)學(xué)并不局限于已知的可觀察的宇宙，基本數(shù)學(xué)理論還涉及一些假定，如平行宇宙、多宇宙和額外維。理論家們提出這種看法在于用現(xiàn)有的理論解決一些特定的問題，并希望闡述由這種思想得出的結(jié)果，給出實(shí)驗(yàn)上可以檢驗(yàn)的預(yù)言。
作為一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)，所有的數(shù)學(xué)理論必須與實(shí)驗(yàn)相符合。數(shù)學(xué)學(xué)借助科學(xué)的實(shí)驗(yàn)方式，通過主動(dòng)觀測自然界并輔以理論模型或哲學(xué)上的思索，提出科學(xué)理論假定，從而利用實(shí)驗(yàn)對理論假定給與科學(xué)上的判斷性檢驗(yàn)。最后，必須用嚴(yán)格的物理語言精確、定量抒發(fā)并由此發(fā)覺通?？茖W(xué)規(guī)律，預(yù)言更多新的可以被實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)觀察結(jié)果。相對于其他學(xué)科，化學(xué)學(xué)的理論和實(shí)驗(yàn)研究很早就有不同的分工和顯著的區(qū)別。20世紀(jì)以來物理的定義，大多數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)家要么從事理論化學(xué)研究，要么從事實(shí)驗(yàn)化學(xué)，而在生物和物理領(lǐng)域幾乎所有高著名度的理論家同時(shí)也是實(shí)驗(yàn)家。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)中，數(shù)學(xué)理論和實(shí)驗(yàn)的發(fā)展既緊密依賴，又有所區(qū)別。當(dāng)現(xiàn)有的理論難以解釋一批新的實(shí)驗(yàn)發(fā)覺時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)就可能面臨重大突破。此時(shí)，新的理論在解釋已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果的同時(shí)，必然要給出實(shí)驗(yàn)上可以檢驗(yàn)的通常性質(zhì)的預(yù)言，由此啟發(fā)新的實(shí)驗(yàn)。值得一提的還有唯象學(xué)研究，它是基于理論和實(shí)驗(yàn)中間地帶的研究，希望將實(shí)驗(yàn)上觀測到的復(fù)雜現(xiàn)象與基本理論聯(lián)系上去。
物理為數(shù)學(xué)學(xué)提供了描述語言和理論框架。在此基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)規(guī)律在一定程度上可得到確切的描述并促使理論預(yù)言可以定量化。當(dāng)解析的手段難以實(shí)現(xiàn)時(shí)，一般采用的是數(shù)值剖析和數(shù)值模擬。為此，科學(xué)估算也是數(shù)學(xué)學(xué)不可分割的一部份，估算化學(xué)目前業(yè)已成為活躍的研究領(lǐng)域。（摘自學(xué)科發(fā)展戰(zhàn)略系列叢刊）
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