|作者：陳偉孟1張玉峰2,?陳征3魏紅祥4
(1中國人民學院附屬高中)
(2上海教育科學研究院)
(3廣州交通學院理大學)
(4中國科大學數學研究所)
本文選自《物理》2021年第8期
化學的概念、規律間是存在縱向聯系的，這些聯系既能簡化新概念規律的建構過程，又能推進原有的認知，彰顯化學體系的共性與系統性。將未知的研究對象與熟悉的概念規律進行適切的縱向聯系，也是我們解決問題、整合體系和創新認識的重要方法。
01
序言
化學現象豐富多彩，在對其認識的過程中，人們構建了大量的數學概念，發覺了許多數學規律。這種數學概念和規律種類繁雜又縱橫交錯，看上去著實讓人發暈，但是化學學家在對其進行研究的過程中，遵守了相同的原則、范式和技巧，因此隨著認識的深入，在電、磁、原、力、熱、光、聲等分支中，其概念和規律漸漸凸顯出體系，而各分支之間又統一在流體、波、場等幾個基本數學圖象之下，遵照守恒的基本原則，采用相像的概念定義方式和同一套物理工具，因此表現出顯著的縱向關聯。
對這些數學學不同分支縱向聯系的認識于學習數學的人而言，能發展其面對不同概念和規律時的遷移能力物理的定義，起到推進認知和建構新知的作用，正如盧瑟福所言“物理”并非“集郵”。而對研究和應用者而言，也是突破枷鎖，開拓創新的源泉。
02
流體圖象下的力與電
電磁學一般由于比較具象而讓許多人認為困惑。但實際上，它的化學圖象和相應的數學概念與直觀可見的熱學現象有著大量共通之處。如電壓使電路中的燈泡發綠、電爐絲發熱，就如水在流動中可以沖擊水輪機使其轉動；水從水位高的地方流向水位低的地方，電壓從電勢高的地方流向電勢低的地方，背后是相同的流體圖象，而水位高低和電流高低背后則是相同的勢能概念。
受法拉第的啟發，麥克斯韋于1855年發表了《論法拉第力線》一文，將法拉第的力線延展為裝滿了不可壓縮流體的“力管”。這力管的方向代表力場(電場或磁場)的方向，力管的截面面積與力管內的流體速率成正比，而這流體速率可以比擬為電場或磁場。不可壓縮流體任何部份的容積不會由于時間而改變，這是一種假想的理想流體。麥克斯韋更進一步假定流體的流動是穩定的，在任何位置，流動的方向和速度不隨時間變化，流體內部任意元素，隨著流動會勾勒出一條曲線，稱為“流動線”。法拉第的力線被比擬為流動線，于是借用流體熱學的一些物理框架推導入了一系列初步成型的電磁學理論。法拉第的思想為電磁場勾勒出一幅形象的圖象物理的定義，這是“場”概念上的重大發展，為麥克斯韋從物理上構建電磁場的理論奠定了基礎。這兒的“場”雖然還不是近代數學學意義上的“場”，并且打破了“超距作用”在數學學上的地位，使人們對場的認識奔向客觀實在方向跨出了關鍵性的一步。后來，湯姆孫評論法拉第的成就時說：“在法拉第的許多貢獻中，最偉大的就是力線概念了。我想電場和磁場的許多性質，利用它就可以最簡單并且頗具暗示地敘述下來。”
流體的流量Q是單位時間內流過管路橫截面的液體容積，同理，電壓I是單位時間內流過某一橫截面的電荷量。如圖1所示，當理想流體通過一段封閉管線，流量是處處相同的，若管線是不同粗細的，則流速v是和橫截面積S成正比的。將流體與電壓進行對照，則流速v與場強E就有了直觀的對應關系。
圖1流體與電壓
在三維空間里，假定坐落參考系原點有一個流體“源”，單位時間流出的流體容積為Q，在與此流體源徑向距離為r的位置流速大小為
。假定有一個流體“匯”，在與此流體匯徑向距離為r的位置流速大小為
。這些流體系統遵循矢量疊加原理，則流速v與點電荷的場強E也就有了對應關系。如圖2所示，一正電電荷的電場線會從原點出發，仍然到無窮遠處，通過每一個閉合曲面的電場線的條數是不變的，即通量是不變的。此即電通量的概念，與流量是具有類似性的。進一步聯系我們熟悉的磁通量，拓展不熟悉的引力場通量，才能讓我們對化學中的不變量有更深刻的認識。
圖2點電荷坐落不同閉合球面內部
1686年，牛頓提出了知名的萬有引力定理：
。由該定理可得：一個密度均勻分布的球殼，對其內部質點的引力為零。后來化學學家富蘭克林發覺，置于絕緣架上的帶電金屬筒內表面不存在電荷，而且筒內用棉線吊住的一帶電小球不會遭到靜電力的作用。普利斯特里重復了富蘭克林的實驗，他推測由這個奇怪的現象也可以得到點電荷靜電力的“平方正比”關系，最終庫侖結合實驗得出了與萬有引力定理類似的庫侖定理：
。可以發覺庫侖定理和萬有引力定理的相像性有著必然的聯系，這也是規律間的縱向聯系。
03
概念規律間的縱向聯系
“場”的概念是數學學的一個重要概念，也是近代數學學與精典熱學在物質觀的認識上的最大區別。這些物質與一般的實物不同，不是由分子原子組成，卻也是客觀存在。帶電體周圍存在電場，人們會引入試探電荷q來探究電場的性質。對于電場中的同一點，試探電荷遭到的電場力與其電荷量之比
是一定的，而對電場中的不同點，
通常是不同的，與其在電場中的位置有關。為此，
反映了電場的性質，被稱為電場硬度。相應地，在探究磁場時，人們常引入類似于試探電荷的“電流元”，在磁場中的某一位置垂直于磁場方向裝入一小段通電直導線，通電直導線遭到的力F跟電壓I和直導線寬度L的乘積成反比。因該比值
與該通濁度線的寬度和電壓無關，可用其描述磁場的強弱程度，即磁感應硬度。如圖3所示，由電場、磁場到重力場，這么
就除了是我們熟知的重力加速度，也是描述重力場的重力場硬度，進一步到引力場硬度，以及能量角度的電勢、重力勢和引力勢概念，這都是概念間的縱向聯系。
圖3靜電場、磁場與引力場
在會計算點電荷電場的基礎上，人們還想曉得通常帶電體形成的電場硬度E和電勢φ的定量估算的物理方式。笛卡爾在關于自然科學的哲學本質上提出了一個“指導法則”：為了解決所遇見的困局必須把它們分成幾部份，必須從最簡單的(對象)開始，逐漸步入到對復雜的(對象)認識。這些技巧系統地滲透在從熱學、電學到原子化學等化學學各個分支中。諸如，運動的合成、力的合成等都彰顯了這樣的思想，其前提條件是“部分”之間的相乘必須服從“疊加原理”。熱學部份從質點運動開始，再到質點系；熱學部份從點電荷形成的電場引入，再到電荷系；對于連續體層次上的熱學和熱學的討論方式彰顯了“從簡單到復雜”的思維原則。其實，線性系統只是自然界的一種近似的、理想化的模型系統，真實的系統更多的是非線性系統。
在熱學中，描述質點運動狀態的化學量是位置x、動量p等化學量，這種化學量是質點所在空間位置的函數。位置的改變形成位移Δx，位置隨時間的改變得出速率v，速率隨時間的改變形成加速度a。在熱學中描述質點狀態的化學量是位置x和速率v，它們之間彰顯的是在時間上的變化率關系
。在靜電學中描述電場狀態的化學量是電場硬度E和電勢φ，它們的定義之間彰顯的是在空間上的變化率關系
，從時間變化率的關系到空間變化率的關系。
熱學平衡是指質點受兩個外力作用達到平衡，合力為零，質點保持靜止或勻速直線運動狀態；假如把“靜止”稱為“靜平衡”，這么“勻速直線運動”就可以稱為“動平衡”。力學中的平衡態是指系統內部沒有“質量流”和“熱量流”，不隨時間改變的宏觀狀態，但系統內部分子還在做無規則的熱運動，因而稱為“熱動平衡狀態”。與此類似，熱學中的靜電平衡態指的是受外部電場和內部電場的共同作用，導體內部處處凈電荷為零以及內部電場硬度為零，導體表面沒有電荷定向聯通的狀態，也是另一個意義上的“動態平衡”，是電場硬度和電荷分布之間互相影響而達到的一種動態平衡。為此，導體的靜電平衡在平衡思想上是對熱學平衡和力學平衡的縱向聯系的推進和發展。
在數學系統里，一個粒子從起點聯通到終點，若受斥力且該斥力所做的功不由于路徑的不同而改變，則稱此力為保守力。假如物體沿閉合路徑繞行一周，則保守力對物體所做的功恒為零，即勢能與其他方式的能量轉化為零，于是系統間的勢能不變。當相對位置確定時，它們之間的勢能就是確定的、唯一的，因而保守力是與勢能關系密切的概念。重力、萬有引力、彈力、靜電力和分子力等都具有這個性質，重力對應注重力勢能，彈力對應彈性勢能，靜電力對應著電勢能，分子力對應著分子勢能等。為此，衛星繞著地球轉，月球繞著太陽轉，電子繞著原子核轉等宏觀和微觀的穩定模型系統，都屬于保守力系統。
04
結語：縱向聯系拓展化學視界
縱向聯系除了適用于數學學科內不同內容的聯系，也適用于不同事科間的關聯拓展。諸如變化量與變化率、穩定性與變化、結構與功能、系統和系統模型等跨學科的概念在其他學科中也有著廣泛的應用。進行學科內以及跨學科間概念的縱向聯系，除了能推進對概念和規律的認識，并且能拓展我們的化學視界，更是解決問題和認識未知的重要形式。
參考文獻
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[2]朱鋐雄.數學學思想導論.南京：復旦學院出版社，2009
[3]郭奕玲，沈慧君.數學學史.南京：復旦學院出版社，2005
