博雅哥說
本文是化學大學穆良柱老師的文章。本文嘗試從數學認知的起點出發，給出數學的詳盡定義，并總結出一個有效的數學認知過程。穆良柱老師在本學期開辦了通識核心課程“演示化學學”，課程大綱請見近日推送。
本文原載于《大學化學》第37卷第1期。
Vol.686.2
通識精典
哪些是數學與數學的認知過程
穆良柱
上海學院化學大學
學數學首先要明白數學的定義.但是查找各類教材，百科全書[1-3]，網路搜索，給出的定義并不相同，不少定義都似是而非，并不能讓人清楚的明白數學是哪些。甚至讓人誤以為化學只是一門特殊的專業學科，增加了數學教育在國民教育體系中的地位[4]。而對于怎么構建數學認知體系什么是物理，更是沒有資料才能系統化介紹。因此本文嘗試給出數學的詳盡定義，并總結一個可能的數學認知過程，希望對化學教學和研究起到參考作用。
圖為化學學家理查德·費曼
一
哪些是化學
本文給出如下的化學定義并詳盡解釋。
化學是化學學家采用實驗和理論相結合的方式對整個自然界的客觀對象進行有效認知的積累，這種認知起碼要符合可證偽性的要求。
化學根據研究對象分辨為廣義數學和狹義化學。廣義數學的研究對象為自然界中的任何客觀物質，雖然廣義數學就是自然科學。狹義化學的研究對象為自然界的基本組分和基本互相作用。
化學學家信仰世間自然界內部存在普遍聯系，可以由統一的數學模型和理論加以解釋，并因此努力。
下邊給出詳盡解釋。
數學起源于人對自然的探求，其認知的積累產生了相應的學科，這兒非常須要關注的是有效性，最基本的有效性要求是可證偽，換種說法是“實踐是檢驗真理的惟一標準”。其實其它保證有效性要求的還有客觀、邏輯自洽、量化等，這種是常識，不作具體討論。
化學認知的主要過程是觀察實驗現象，建立理論體系，再用實驗檢驗理論是否錯誤，即證偽。觀察實驗就是用人所能有的各類感官，或則各類偵測儀器去了解研究對象所具有的化學性質，并探求各類性質之間的相互聯系。而建立理論體系則是人耗盡量簡單的模型，和盡量簡化的邏輯體系去解釋對象所具有的性質和聯系。理論是否正確呢？常用的方式是從理論推導入一個預言，通過實驗檢驗。從邏輯上來說，假如實驗檢驗與理論預言不符合，理論的確是錯的或則有缺陷，而且實驗結果符合理論預言卻不能證明理論一定是正確的，這就是理論的可證偽性。事實上所有自然科學理論都是可證偽的理論，也即到現今為止還沒錯的理論。這看上去有點令人失望，由于科學理論沒有辦法證明自己的正確性，科學理論只是暫時有效的理論，并且換個角度看，可證偽性保證了錯誤的理論一定會被剔除掉，這是為何可證偽性是保證科學理論有效性的必要條件。
凝望星空的人追求的是對整個自然界的理解，這從牛頓的書名“自然哲學的物理原理”中就可以看下來，所以化學初期的代名詞就是自然哲學，即明天的自然科學，所以廣義來說化學的研究對象是自然界存在的一切客觀物體。從“黑洞的時空結構”到“啄木鳥為何不得骨折”都是化學研究的對象，瀏覽任意中學數學專業的主頁，在研究方向一欄里總能聽到以研究對象命名的各類學科。須要注意的是化學的研究對象雖然未能包含一切，實際上數學學不研究認知者的意識，這是由于意識是認知的主體和載體，我們甚至不曉得意識是不是客觀存在的實體，數學認知默認這不是被研究的對象。事實上當你想研究自己的意識時，你會發覺相當困難，難以直接偵測到它。一般的做法是對其他人的意識進行研究，之后作為自我意識的參考，但用核磁共振、腦磁圖、腦電圖等方式偵測到的也只是間接訊號，并不是意識本身。未來人工智能的研究或許能給我們帶來更深刻的理解。
但是研究自然界的萬物幾乎是不可能的事情，所以化學學家依據實踐經驗采取了“還原論”的思想，即把萬物拆解成基本粒子，并假定可以通過互相作用再組裝出整個宇宙，所以一般說的化學，即狹義數學，就是研究基本結構和基本互相作用的科學。化學學家將整個宇宙拆解成星體、天體、分子、原子、原子核、夸克、輕子等一系列基本組分，這種研究對象構成了數學學研究的主線，從數學學發展史中可以清楚的看見這條主線，近代化學發展過程中尤其清晰，其實最終的目標是找到最基本的粒子，其實超弦是最終的基本結構。為了認識整個宇宙，化學學家還要將這種基本組分組裝回家，但是離開組分間的互相作用是沒有辦法組裝的，所以必然的，各類組分之間的基本互相作用也成了數學學的重要研究內容，我們如今曉得有四類基本互相作用，而化學學家期盼的是這四種互相作用能統一為一種，電弱互相作用的統一讓化學學家們聽到了希望并不斷嘗試。之所以采取“還原論”的思想，是由于化學學家遭到了類似于熱學質點模型成功案例的鼓勵，起碼拆解后研究對象可能會顯得更簡單，而對簡單對象的研究可能會特別的深刻，而一旦對簡單對象有了認知，這些認知有可能還會拓展到復雜對象上。其實嚴格來講，沒有辦法能保證這條公路一定能幫化學學家們找到對整個自然界的理解。
現代自然科學包括許多學科，如物理、生命科學等，化學與其它學科之間是哪些關系呢？這可以類比笛卡爾的哲學樹[5]，將自然科學比喻為一棵小樹，數學是枝條，其它自然科學是分支，物理是生命。從研究對象的角度馬上就可以看出化學與其他自然科學之間的關系，數學追求的是整個宇宙的理解，而其他學科追求的是某個領域內的研究，如物理研究原子、分子怎樣互相作用組成有序結構，生命科學研究生物分子怎樣產生有生命功能的結構。并且笛卡爾鐘情的是物理，他將物理譽為自然科學樹的生命，由于小樹的成長是靠物理的邏輯。這樣我們就可以理解為何化學和物理是基礎學科。好多人把數學當作一門專業，一種技術，自然科學的一個分支，一個職業，這似乎不是數學的本質屬性。
雖然化學學家做了各類嘗試，企圖用最基本的結構組裝出整個宇宙，而且取得了相當矚目的成功，但是在實現大統一理論之前，沒有辦法就能證明這個世界確實存在一種統一的解釋，換種說法，化學學家只不過是信仰這個世界可能存在一種統一的認知，并執著的因此努力。假定數學學家們沒有這些信仰，這世上可能也就不存在化學學了。假如存在暗物質、暗能量，這么實際上現有的化學學只給出了對極少一部份化學世界的認知，而這些認知也僅是可證偽的到現今為止近似正確的理解而已。這樣看上去，化學學家雖然是一批有著堅定化學信仰的“奇葩”群體，讓人想起大戰風車的堂吉訶德。這大約就是愛因斯坦發出這樣哀嘆的緣由，“Theoftheworldisits”(這個世界最不可理解的是它居然是可理解的)。
在這個定義中，我們會發覺其核心是人要對自然構建起自己的理解，這是數學知識的起點，而人的認知特點和對象的客觀特點決定了化學的結構。有關數學的一切都須要從這個核心出發去理解。
圖為知名科普專著《物理世界奇遇記》中描畫主人公暢游“反物質海洋”的插圖
二
怎樣完成數學認知
化學學的核心是人要完善對自然的認知，人會從人的角度“不擇手段”地認知研究對象，以積極的心態用盡所有可能的方式來認知研究對象，之所以可以如此做，就是由于可證偽性保證了錯誤的認知一定會被淘汰掉，這與物理僅靠邏輯嚴密來保證正確是不同的。從這個角度看，雖然并不存在哪些認知規律，其實認知過程本身是個隨機的過程，飽含了碰巧和辛運，如同好多故事喜歡講的數學趣事一樣。
是否存在一個有規律的數學認知過程呢？我們沒有辦法先驗的曉得一定存在，但請記住化學學家是積極豁達，“不擇手段”的，讓我們也采取這些積極的心態，假定存在這些可能，將數學研究的認知過程作為研究對象，竭力通過大量的數學探求過程來總結一個基本可靠的認知過程。假如存在這樣一個過程，就可以簡化我們對大量化學知識的理解，并借鑒到其他對象的研究過程中。而這些總結是否正確可以在新對象的認知探求中得以檢驗。
圖1詳盡列舉了構建數學認知的關鍵步驟，產生了一個認知流程，其實這個流程適宜的是人類毫無所知的全新的研究對象。
讓我們用這個認知流程回顧一下牛頓熱學體系中天體運行理論構建的過程[6]。
1，無論唐代中國人還是古埃及人都很早就開始關注天體這個研究對象了，初期的觀察是定性和半定量的，天體有好多吸引人的數學特點，例如色溫，顏色，大小，運動等。
2，不同天體的特點其實有所不同，其中行星的運動遭到的關注較多，由于相應的現象更獨特有趣，例如順行，逆行。
3，行星運動問題成了研究的焦點。
4，大量行星運動的特點被仔細觀察并記錄。
5，其中量化描述和觀測是研究的重大突破，最知名的就是第谷的大量精確觀測數據，詳盡記錄了行星時間，位置，周期等信息，甚至還觀測到了慧星運行的數據。
6，然后開普勒的出現將研究引向找尋這種量之間的關系，即開普勒三定理的發覺，這是實驗化學的巨大成功。
7，而牛頓的出現則將研究導向了理論化學的方向。在《自然哲學的物理原理》里，天體被簡化成了質點模型。
8，加上萬有引力的假定和牛頓三定理，天體運行有了完美的理論體系解釋，相信牛頓理解了整個宇宙的運行規律時，那個恍然活潑的愉悅是無與倫比的。
9，而后來“筆尖上發覺”的海王星愈發堅定了人們對牛頓理論的信心。
10，對牛頓理論的運用甚至讓人們相信機械的決定論思想，直至相對論和量子熱學的出現才打破對牛頓理論的“迷信”。
圖1:一個完整的數學認知流程，可以簡化為實驗化學、理論化學、應用數學，還可以進一步簡化為科學探求、技術應用，通過這個流程可以清晰的理解實驗、理論、應用之間的關系，以及科學探求和技術應用之間的聯系。
簡單來說，一個完整的認知流程可以簡化為實驗化學（流程的1-6步）、理論化學（流程的7-9部）、應用數學（流程的第10步）三個階段，再簡化一點，可以將實驗化學和理論化學對應科學探求，將應用數學對應技術應用，從這個角度我們可以更好的理解科學與技術這兩個概念。
從這個流程中我們可以清晰的看見數學學如何從實驗邁向理論，以及理論和實驗的關系，即實驗探求為理論建立提供靈感，并證偽錯誤理論，而理論則預言實驗，指導實驗。知名的化學學家費米正是順著這個認知過程從實驗化學學家弄成了理論化學學家。
從這個流程中我們也可以挺好的理解科學探求與技術應用的關系，科學探求為技術應用提供靈感和理論支撐，技術應用的進步反過來拓展了科學探求的認知能力。典型的案例是望遠鏡、顯微鏡、電子顯微鏡、粒子加速器等技術在科學探求中的應用。
數學學史上有好多符合這個認知流程的案例，例如熱力學，電磁學等理論的完善，須要注意的是當化學學家積累了足夠的認知經驗以后，在面對下一個研究對象時，常常會在認知流程上有跳躍，有時甚至理論走在上面，實驗弄成了驗證理論的工具。雖然出現了這些情況，遵照以上的認知流程一直有助于我們的認知理解。
三
結語
從數學的定義中我們能看見，數學是自然科學的基礎，其代表的就是自然科學，與物理重視邏輯不同，數學更重視的是對自然的探求，從這個意義上說，數學教育應當在國民教育體系中代表自然科學教育，而不是只作為一個專業必修、選考[4]。
在了解了數學的認知過程以后，我們能夠理解科學精神和科學方式正是在數學認知過程中逐漸培養上去的，假如只重視語文邏輯訓練，應試訓練，實際上只訓練了認知過程中的最后一步，即認知應用，這似乎是不利于國民的科學教育的。一個完善的國民教育體系應包含完整的數學認知過程訓練。
對于知名的錢學森之問，“為什么我們的中學總是培養不出杰出人才？”，雖然可能有各類其它的誘因，但從數學認知過程的角度來看，我們也許可以曉得答案了。倘若能在數學教學和研究中回到數學定義的本質什么是物理，從認知的起點出發，有意識的遵守認知過程的規律，相信對人才培養和科學研究還會起到有益的引領作用。
本文得到教育部基礎學科拔尖中學生培養實驗計劃No.、北京高等中學“青年英才計劃”的支持，其中拔尖計劃的本意就是為了回答錢學森之問。
參考文獻：
[1]中國大百科全書(第二版簡明版).南京：中國大百科全書出版社，2011：73-77.
[2]不列顛百科全書國際英文版[M].上海：中國大百科全書出版社，2012：274-275.
[3]維基百科,
[4]教育部.國務院關于推進考試招生制度變革的施行意見,
[5]笛卡爾.哲學原理[M].上海：商務印書館，1959:XVII.
[6]牛頓.自然哲學的物理原理[M].上海：上海學院出版社，2012.
含瑩編輯/香怡校對
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