博雅哥說
本文是化學(xué)大學(xué)穆良柱老師的文章。本文嘗試從數(shù)學(xué)認(rèn)知的起點(diǎn)出發(fā)，給出數(shù)學(xué)的詳盡定義，并總結(jié)出一個(gè)有效的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程。穆良柱老師在本學(xué)期開辦了通識核心課程“演示化學(xué)學(xué)”，課程大綱請見近日推送。
本文原載于《大學(xué)化學(xué)》第37卷第1期。
Vol.686.2
通識精典
哪些是數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程
穆良柱
上海學(xué)院化學(xué)大學(xué)
學(xué)數(shù)學(xué)首先要明白數(shù)學(xué)的定義.但是查找各類教材，百科全書[1-3]，網(wǎng)路搜索，給出的定義并不相同，不少定義都似是而非，并不能讓人清楚的明白數(shù)學(xué)是哪些。甚至讓人誤以為化學(xué)只是一門特殊的專業(yè)學(xué)科，增加了數(shù)學(xué)教育在國民教育體系中的地位[4]。而對于怎么構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知體系什么是物理，更是沒有資料才能系統(tǒng)化介紹。因此本文嘗試給出數(shù)學(xué)的詳盡定義，并總結(jié)一個(gè)可能的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程，希望對化學(xué)教學(xué)和研究起到參考作用。
圖為化學(xué)學(xué)家理查德·費(fèi)曼
一
哪些是化學(xué)
本文給出如下的化學(xué)定義并詳盡解釋。
化學(xué)是化學(xué)學(xué)家采用實(shí)驗(yàn)和理論相結(jié)合的方式對整個(gè)自然界的客觀對象進(jìn)行有效認(rèn)知的積累，這種認(rèn)知起碼要符合可證偽性的要求。
化學(xué)根據(jù)研究對象分辨為廣義數(shù)學(xué)和狹義化學(xué)。廣義數(shù)學(xué)的研究對象為自然界中的任何客觀物質(zhì)，雖然廣義數(shù)學(xué)就是自然科學(xué)。狹義化學(xué)的研究對象為自然界的基本組分和基本互相作用。
化學(xué)學(xué)家信仰世間自然界內(nèi)部存在普遍聯(lián)系，可以由統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型和理論加以解釋，并因此努力。
下邊給出詳盡解釋。
數(shù)學(xué)起源于人對自然的探求，其認(rèn)知的積累產(chǎn)生了相應(yīng)的學(xué)科，這兒非常須要關(guān)注的是有效性，最基本的有效性要求是可證偽，換種說法是“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的惟一標(biāo)準(zhǔn)”。其實(shí)其它保證有效性要求的還有客觀、邏輯自洽、量化等，這種是常識，不作具體討論。
化學(xué)認(rèn)知的主要過程是觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，建立理論體系，再用實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)理論是否錯(cuò)誤，即證偽。觀察實(shí)驗(yàn)就是用人所能有的各類感官，或則各類偵測儀器去了解研究對象所具有的化學(xué)性質(zhì)，并探求各類性質(zhì)之間的相互聯(lián)系。而建立理論體系則是人耗盡量簡單的模型，和盡量簡化的邏輯體系去解釋對象所具有的性質(zhì)和聯(lián)系。理論是否正確呢？常用的方式是從理論推導(dǎo)入一個(gè)預(yù)言，通過實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。從邏輯上來說，假如實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)與理論預(yù)言不符合，理論的確是錯(cuò)的或則有缺陷，而且實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合理論預(yù)言卻不能證明理論一定是正確的，這就是理論的可證偽性。事實(shí)上所有自然科學(xué)理論都是可證偽的理論，也即到現(xiàn)今為止還沒錯(cuò)的理論。這看上去有點(diǎn)令人失望，由于科學(xué)理論沒有辦法證明自己的正確性，科學(xué)理論只是暫時(shí)有效的理論，并且換個(gè)角度看，可證偽性保證了錯(cuò)誤的理論一定會被剔除掉，這是為何可證偽性是保證科學(xué)理論有效性的必要條件。
凝望星空的人追求的是對整個(gè)自然界的理解，這從牛頓的書名“自然哲學(xué)的物理原理”中就可以看下來，所以化學(xué)初期的代名詞就是自然哲學(xué)，即明天的自然科學(xué)，所以廣義來說化學(xué)的研究對象是自然界存在的一切客觀物體。從“黑洞的時(shí)空結(jié)構(gòu)”到“啄木鳥為何不得骨折”都是化學(xué)研究的對象，瀏覽任意中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的主頁，在研究方向一欄里總能聽到以研究對象命名的各類學(xué)科。須要注意的是化學(xué)的研究對象雖然未能包含一切，實(shí)際上數(shù)學(xué)學(xué)不研究認(rèn)知者的意識，這是由于意識是認(rèn)知的主體和載體，我們甚至不曉得意識是不是客觀存在的實(shí)體，數(shù)學(xué)認(rèn)知默認(rèn)這不是被研究的對象。事實(shí)上當(dāng)你想研究自己的意識時(shí)，你會發(fā)覺相當(dāng)困難，難以直接偵測到它。一般的做法是對其他人的意識進(jìn)行研究，之后作為自我意識的參考，但用核磁共振、腦磁圖、腦電圖等方式偵測到的也只是間接訊號，并不是意識本身。未來人工智能的研究或許能給我們帶來更深刻的理解。
但是研究自然界的萬物幾乎是不可能的事情，所以化學(xué)學(xué)家依據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)采取了“還原論”的思想，即把萬物拆解成基本粒子，并假定可以通過互相作用再組裝出整個(gè)宇宙，所以一般說的化學(xué)，即狹義數(shù)學(xué)，就是研究基本結(jié)構(gòu)和基本互相作用的科學(xué)。化學(xué)學(xué)家將整個(gè)宇宙拆解成星體、天體、分子、原子、原子核、夸克、輕子等一系列基本組分，這種研究對象構(gòu)成了數(shù)學(xué)學(xué)研究的主線，從數(shù)學(xué)學(xué)發(fā)展史中可以清楚的看見這條主線，近代化學(xué)發(fā)展過程中尤其清晰，其實(shí)最終的目標(biāo)是找到最基本的粒子，其實(shí)超弦是最終的基本結(jié)構(gòu)。為了認(rèn)識整個(gè)宇宙，化學(xué)學(xué)家還要將這種基本組分組裝回家，但是離開組分間的互相作用是沒有辦法組裝的，所以必然的，各類組分之間的基本互相作用也成了數(shù)學(xué)學(xué)的重要研究內(nèi)容，我們?nèi)缃駮缘糜兴念惢净ハ嘧饔茫瘜W(xué)學(xué)家期盼的是這四種互相作用能統(tǒng)一為一種，電弱互相作用的統(tǒng)一讓化學(xué)學(xué)家們聽到了希望并不斷嘗試。之所以采取“還原論”的思想，是由于化學(xué)學(xué)家遭到了類似于熱學(xué)質(zhì)點(diǎn)模型成功案例的鼓勵，起碼拆解后研究對象可能會顯得更簡單，而對簡單對象的研究可能會特別的深刻，而一旦對簡單對象有了認(rèn)知，這些認(rèn)知有可能還會拓展到復(fù)雜對象上。其實(shí)嚴(yán)格來講，沒有辦法能保證這條公路一定能幫化學(xué)學(xué)家們找到對整個(gè)自然界的理解。
現(xiàn)代自然科學(xué)包括許多學(xué)科，如物理、生命科學(xué)等，化學(xué)與其它學(xué)科之間是哪些關(guān)系呢？這可以類比笛卡爾的哲學(xué)樹[5]，將自然科學(xué)比喻為一棵小樹，數(shù)學(xué)是枝條，其它自然科學(xué)是分支，物理是生命。從研究對象的角度馬上就可以看出化學(xué)與其他自然科學(xué)之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)追求的是整個(gè)宇宙的理解，而其他學(xué)科追求的是某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的研究，如物理研究原子、分子怎樣互相作用組成有序結(jié)構(gòu)，生命科學(xué)研究生物分子怎樣產(chǎn)生有生命功能的結(jié)構(gòu)。并且笛卡爾鐘情的是物理，他將物理譽(yù)為自然科學(xué)樹的生命，由于小樹的成長是靠物理的邏輯。這樣我們就可以理解為何化學(xué)和物理是基礎(chǔ)學(xué)科。好多人把數(shù)學(xué)當(dāng)作一門專業(yè)，一種技術(shù)，自然科學(xué)的一個(gè)分支，一個(gè)職業(yè)，這似乎不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性。
雖然化學(xué)學(xué)家做了各類嘗試，企圖用最基本的結(jié)構(gòu)組裝出整個(gè)宇宙，而且取得了相當(dāng)矚目的成功，但是在實(shí)現(xiàn)大統(tǒng)一理論之前，沒有辦法就能證明這個(gè)世界確實(shí)存在一種統(tǒng)一的解釋，換種說法，化學(xué)學(xué)家只不過是信仰這個(gè)世界可能存在一種統(tǒng)一的認(rèn)知，并執(zhí)著的因此努力。假定數(shù)學(xué)學(xué)家們沒有這些信仰，這世上可能也就不存在化學(xué)學(xué)了。假如存在暗物質(zhì)、暗能量，這么實(shí)際上現(xiàn)有的化學(xué)學(xué)只給出了對極少一部份化學(xué)世界的認(rèn)知，而這些認(rèn)知也僅是可證偽的到現(xiàn)今為止近似正確的理解而已。這樣看上去，化學(xué)學(xué)家雖然是一批有著堅(jiān)定化學(xué)信仰的“奇葩”群體，讓人想起大戰(zhàn)風(fēng)車的堂吉訶德。這大約就是愛因斯坦發(fā)出這樣哀嘆的緣由，“Theoftheworldisits”(這個(gè)世界最不可理解的是它居然是可理解的)。
在這個(gè)定義中，我們會發(fā)覺其核心是人要對自然構(gòu)建起自己的理解，這是數(shù)學(xué)知識的起點(diǎn)，而人的認(rèn)知特點(diǎn)和對象的客觀特點(diǎn)決定了化學(xué)的結(jié)構(gòu)。有關(guān)數(shù)學(xué)的一切都須要從這個(gè)核心出發(fā)去理解。
圖為知名科普專著《物理世界奇遇記》中描畫主人公暢游“反物質(zhì)海洋”的插圖
二
怎樣完成數(shù)學(xué)認(rèn)知
化學(xué)學(xué)的核心是人要完善對自然的認(rèn)知，人會從人的角度“不擇手段”地認(rèn)知研究對象，以積極的心態(tài)用盡所有可能的方式來認(rèn)知研究對象，之所以可以如此做，就是由于可證偽性保證了錯(cuò)誤的認(rèn)知一定會被淘汰掉，這與物理僅靠邏輯嚴(yán)密來保證正確是不同的。從這個(gè)角度看，雖然并不存在哪些認(rèn)知規(guī)律，其實(shí)認(rèn)知過程本身是個(gè)隨機(jī)的過程，飽含了碰巧和辛運(yùn)，如同好多故事喜歡講的數(shù)學(xué)趣事一樣。
是否存在一個(gè)有規(guī)律的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程呢？我們沒有辦法先驗(yàn)的曉得一定存在，但請記住化學(xué)學(xué)家是積極豁達(dá)，“不擇手段”的，讓我們也采取這些積極的心態(tài)，假定存在這些可能，將數(shù)學(xué)研究的認(rèn)知過程作為研究對象，竭力通過大量的數(shù)學(xué)探求過程來總結(jié)一個(gè)基本可靠的認(rèn)知過程。假如存在這樣一個(gè)過程，就可以簡化我們對大量化學(xué)知識的理解，并借鑒到其他對象的研究過程中。而這些總結(jié)是否正確可以在新對象的認(rèn)知探求中得以檢驗(yàn)。
圖1詳盡列舉了構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知的關(guān)鍵步驟，產(chǎn)生了一個(gè)認(rèn)知流程，其實(shí)這個(gè)流程適宜的是人類毫無所知的全新的研究對象。
讓我們用這個(gè)認(rèn)知流程回顧一下牛頓熱學(xué)體系中天體運(yùn)行理論構(gòu)建的過程[6]。
1，無論唐代中國人還是古埃及人都很早就開始關(guān)注天體這個(gè)研究對象了，初期的觀察是定性和半定量的，天體有好多吸引人的數(shù)學(xué)特點(diǎn)，例如色溫，顏色，大小，運(yùn)動等。
2，不同天體的特點(diǎn)其實(shí)有所不同，其中行星的運(yùn)動遭到的關(guān)注較多，由于相應(yīng)的現(xiàn)象更獨(dú)特有趣，例如順行，逆行。
3，行星運(yùn)動問題成了研究的焦點(diǎn)。
4，大量行星運(yùn)動的特點(diǎn)被仔細(xì)觀察并記錄。
5，其中量化描述和觀測是研究的重大突破，最知名的就是第谷的大量精確觀測數(shù)據(jù)，詳盡記錄了行星時(shí)間，位置，周期等信息，甚至還觀測到了慧星運(yùn)行的數(shù)據(jù)。
6，然后開普勒的出現(xiàn)將研究引向找尋這種量之間的關(guān)系，即開普勒三定理的發(fā)覺，這是實(shí)驗(yàn)化學(xué)的巨大成功。
7，而牛頓的出現(xiàn)則將研究導(dǎo)向了理論化學(xué)的方向。在《自然哲學(xué)的物理原理》里，天體被簡化成了質(zhì)點(diǎn)模型。
8，加上萬有引力的假定和牛頓三定理，天體運(yùn)行有了完美的理論體系解釋，相信牛頓理解了整個(gè)宇宙的運(yùn)行規(guī)律時(shí)，那個(gè)恍然活潑的愉悅是無與倫比的。
9，而后來“筆尖上發(fā)覺”的海王星愈發(fā)堅(jiān)定了人們對牛頓理論的信心。
10，對牛頓理論的運(yùn)用甚至讓人們相信機(jī)械的決定論思想，直至相對論和量子熱學(xué)的出現(xiàn)才打破對牛頓理論的“迷信”。
圖1:一個(gè)完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知流程，可以簡化為實(shí)驗(yàn)化學(xué)、理論化學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，還可以進(jìn)一步簡化為科學(xué)探求、技術(shù)應(yīng)用，通過這個(gè)流程可以清晰的理解實(shí)驗(yàn)、理論、應(yīng)用之間的關(guān)系，以及科學(xué)探求和技術(shù)應(yīng)用之間的聯(lián)系。
簡單來說，一個(gè)完整的認(rèn)知流程可以簡化為實(shí)驗(yàn)化學(xué)（流程的1-6步）、理論化學(xué)（流程的7-9部）、應(yīng)用數(shù)學(xué)（流程的第10步）三個(gè)階段，再簡化一點(diǎn)，可以將實(shí)驗(yàn)化學(xué)和理論化學(xué)對應(yīng)科學(xué)探求，將應(yīng)用數(shù)學(xué)對應(yīng)技術(shù)應(yīng)用，從這個(gè)角度我們可以更好的理解科學(xué)與技術(shù)這兩個(gè)概念。
從這個(gè)流程中我們可以清晰的看見數(shù)學(xué)學(xué)如何從實(shí)驗(yàn)邁向理論，以及理論和實(shí)驗(yàn)的關(guān)系，即實(shí)驗(yàn)探求為理論建立提供靈感，并證偽錯(cuò)誤理論，而理論則預(yù)言實(shí)驗(yàn)，指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)。知名的化學(xué)學(xué)家費(fèi)米正是順著這個(gè)認(rèn)知過程從實(shí)驗(yàn)化學(xué)學(xué)家弄成了理論化學(xué)學(xué)家。
從這個(gè)流程中我們也可以挺好的理解科學(xué)探求與技術(shù)應(yīng)用的關(guān)系，科學(xué)探求為技術(shù)應(yīng)用提供靈感和理論支撐，技術(shù)應(yīng)用的進(jìn)步反過來拓展了科學(xué)探求的認(rèn)知能力。典型的案例是望遠(yuǎn)鏡、顯微鏡、電子顯微鏡、粒子加速器等技術(shù)在科學(xué)探求中的應(yīng)用。
數(shù)學(xué)學(xué)史上有好多符合這個(gè)認(rèn)知流程的案例，例如熱力學(xué)，電磁學(xué)等理論的完善，須要注意的是當(dāng)化學(xué)學(xué)家積累了足夠的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)以后，在面對下一個(gè)研究對象時(shí)，常常會在認(rèn)知流程上有跳躍，有時(shí)甚至理論走在上面，實(shí)驗(yàn)弄成了驗(yàn)證理論的工具。雖然出現(xiàn)了這些情況，遵照以上的認(rèn)知流程一直有助于我們的認(rèn)知理解。
三
結(jié)語
從數(shù)學(xué)的定義中我們能看見，數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，其代表的就是自然科學(xué)，與物理重視邏輯不同，數(shù)學(xué)更重視的是對自然的探求，從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)在國民教育體系中代表自然科學(xué)教育，而不是只作為一個(gè)專業(yè)必修、選考[4]。
在了解了數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程以后，我們能夠理解科學(xué)精神和科學(xué)方式正是在數(shù)學(xué)認(rèn)知過程中逐漸培養(yǎng)上去的，假如只重視語文邏輯訓(xùn)練，應(yīng)試訓(xùn)練，實(shí)際上只訓(xùn)練了認(rèn)知過程中的最后一步，即認(rèn)知應(yīng)用，這似乎是不利于國民的科學(xué)教育的。一個(gè)完善的國民教育體系應(yīng)包含完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知過程訓(xùn)練。
對于知名的錢學(xué)森之問，“為什么我們的中學(xué)總是培養(yǎng)不出杰出人才？”，雖然可能有各類其它的誘因，但從數(shù)學(xué)認(rèn)知過程的角度來看，我們也許可以曉得答案了。倘若能在數(shù)學(xué)教學(xué)和研究中回到數(shù)學(xué)定義的本質(zhì)什么是物理，從認(rèn)知的起點(diǎn)出發(fā)，有意識的遵守認(rèn)知過程的規(guī)律，相信對人才培養(yǎng)和科學(xué)研究還會起到有益的引領(lǐng)作用。
本文得到教育部基礎(chǔ)學(xué)科拔尖中學(xué)生培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)計(jì)劃No.、北京高等中學(xué)“青年英才計(jì)劃”的支持，其中拔尖計(jì)劃的本意就是為了回答錢學(xué)森之問。
參考文獻(xiàn)：
[1]中國大百科全書(第二版簡明版).南京：中國大百科全書出版社，2011：73-77.
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[3]維基百科,
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[6]牛頓.自然哲學(xué)的物理原理[M].上海：上海學(xué)院出版社，2012.
含瑩編輯/香怡校對
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