摘要
量子熱學是近代數學學的基礎理論之一，也是伴隨著假定爭辯構建上去的理論。但是在教學過程中，若直接給出波粒二象性這一基本假定，中學生理解上去會變得尤為困難。因而基于教學實際和前人的研究，本文從精典的電磁理論出發，按照波動光學和幾何光學的描述方式，以及程涵多項式的方式，假定光對應一種實物粒子。因而由普朗克的量子化條件，討論了光的波動性和粒子性之間的聯系，推導入了普朗克愛因斯坦關系以及德布羅意關系，彰顯了光和實物粒子的波粒二象性。
關鍵詞波動光學；幾何光學；實物粒子；波粒二象性
isoneofof,anditisalsoawithsomeof.,inthe,iftheofwave-isgiven,itwillbeforto.,basedontheand,wethatlighttoakindofrealfromthe,totheofwaveand,andtheformof.,'s,wethethewaveandoflight.Andthenthe-andthedeare,whichthewave-oflightandreal.
波粒二象性現象是量子熱學中的重點內容，它成功解決了人們長久以來對光物質的苦惱，統一了光的波動性和粒子性問題，其意義非常重大。自20世紀開始，人們就開始對光進行了研究，愛因斯坦通過對光電效應的完美解釋，提出了光具有波粒二象性。1979年，院長為檢驗其正確性，提出了“延遲選擇的思想實驗”。同時量子傳輸實物，德布羅意給出實物粒子也具有波粒二象性的假說[1]，即電子具備波的干涉現象。基于普朗克的量子論[1-4]，給出了普朗克愛因斯坦關系，以及德布羅意關系。但因為受精典化學學理論的影響，中學生的認知、知識體系和化學方式均具有一定的局限性，班主任在直接引入兩種關系來彰顯波粒二象性時有一定難度，中學生也會存在眾多困擾。為此，怎樣從精典數學學出發，自然地導入彰顯波粒二象性的物理公式是本文正式討論的主要內容。
1光的波粒二象性
1.1波動光學的描述
在真空中，電磁波滿足無源的等式組[5]
對于平面波，其解可以寫為如下的方式
其中，f可以是電場硬度E或磁感應硬度B的某個份量。本文中，將f叫做電磁場量。
而對于通常的電磁波，電磁場量的相位不再是式(2)中簡單的方式，其振幅也不再是常數，我們通常將其寫為
在研究通常平面波時，一般僅考慮很小的空間區域和很短的時間間隔內的情況，在該區域內，電磁場量的振幅f0(r,t)以及光的傳播方向幾乎不變，可以看為常數。在這些情況下，通常的電磁波即化為平面波。
1.2幾何光學的描述方式
從波動光學到幾何光學實際是取λ→0（λ是光的波長，下文也是這么）這一極限下電磁波解的必然結果。下邊將仍從電磁波多項式出發，來引入幾何光學所滿足的基本多項式。
從式(3)出發，在幾何光學中，電磁場量的相位φ(r,t)被稱為程函。在選取的很小的區域內，由于λ→0，電磁波各個熱阻的波動性消失，其傳播方向可以直接由光線來代替。光線上每一點的切線即表示光在這一點的傳播方向。為此，幾何光學實際上研究光線的分布，而光則沿光線傳播。
選取一個很小的空間區域以及很短的時間間隔，將程函φ(r,t)做展開
由前所述，在很小的區域內，電磁波可以看作平面波。將式(4)與式(2)的相位作對比，可以得到
而電磁波的波矢與頻度又滿足
ω=ck(7)
將式(5)、式(6)代入式(7)中，得到
式(8)稱為程函多項式，是幾何光學所滿足的基本多項式。
1.3光與粒子的類比
從程函多項式的方式可以看出，描述光線的多項式與描述粒子運動的多項式有很高的對稱性。對于一個實物粒子，其運動可由-等式決定
其中，S是粒子的作藥量，H是粒子的量，p是粒子的動量。對比式(9)、式(10)和式(5)、式(6)可知，在幾何光學中的程函、波矢、頻率分別與一個實物粒子的作藥量、動量、哈密頓量（即能量）互相對應上去。即光線的傳播和粒子的運動所滿足的多項式具有相同的方式。因而假定：存在某個實物粒子，它可以和一個特定的光線對應上去。對應規則為
一個實物粒子，其狀態隨時間的演進遵照正則多項式
根據對應法則式(11)，能得到光線所滿足的關系為
式(14)中
表示順著k方向的單位矢量。從式(14)中看出真空中光的速度為c，式(15)中表明k=const，從式(14)、式(15)得到的直接推論——真空中光沿直線傳播。
另一方面，光線滿足的一個基本關系可以預測這個假想粒子的一個性質。光線的波矢與頻度滿足式(7)，根據對應法則式(11)，給出這個假想粒子的能量與動量的關系為
H=cp(16)
依據狹義相對論的能量表達式
由式(16)、式(17)可得m0=0。即這個假想粒子的靜質量為0。這個推論后來被否認，即光子的靜質量確實為0。
1.4原理
在精典熱學中，實物粒子的運動軌跡由原理確定[6]
其中，
為粒子的拉格朗日量。原理強調：粒子在兩點間的真實路徑實際是所有路徑中作藥量取極值的路徑。由于無法直接構造出幾何光學的（其結果為0），因而須要加入一些限制條件，來構造屬于幾何光學的“原理”。
在能量守恒的前提下（不顯含時間t），依照原理，原理敘述為[7]
其中，S0稱為減短作藥量，S0滿足
δS0=0(22)
借此為基礎，通過對應法則式(11)，在幾何光學中，有
ω=const(23)
φ(r,t)=φ0(r)-ωt(24)
δφ0=0(26)
從類比而至的式(23)~式(26)，光線在兩點間所走的實際路徑應當為所有路徑中減短程函φ0達到極小值的路徑。式(25)中，記
，
。ds表示光的路程，因而式(24)可以寫為
對于通常的情況，波矢與頻度滿足
ω=kv(28)
其中，v滿足
v=c/n(29)
n為介質的折射率，這樣式(27)化為
記：dl=nds，dl正是我們熟悉的光程的定義，式(30)就變為
再由式(26)，可將式(31)化為
式(32)正是原理的物理表達式。
綜上所述，通過給光線類比一個假想粒子，兩者之間互相輝映，又一次得到了令人滿意的答案。在這兒得出一個推論：光線與某種靜質量為0的粒子是等價的。
1.5-關系
原理給出光線所滿足的條件：兩點間光順著光程極小的路徑傳播。在這兒就有一個令人困擾的地方：莫非光線在傳播之前，它遍歷了所有的路徑？否則它怎樣獲知到底哪一條路徑的光程是最短的。
對于這個問題的理解，我們須要利用于波動光學。電磁波在空間中的光強分布可寫為
I(r,t)∝|f(r,t)|(33)
從波動光學的觀點來看：全空間中只看見光程極小的路徑是由于空間中所有路徑的電磁場量疊加之后，得到的光強分布在光程極小路徑處很大[8]，而其他區域幾乎趨向0，下邊具體研究一下這個過程。
能量守恒的情況下，光強的分布不隨時間變化，因而電磁場量可以寫為
其中，φ0(r)定義見式(25)。為了估算便捷，只取一維的情況，式(25)變為
由于僅取一維情況，對于某一條路徑Γ，我們用其位置隨時間的變化表示它。設路徑初始坐落A點，此時為t1時刻；終點為B點，此時為t2時刻。因而整個光場的電磁場量分布可以寫為
上式中的求和號表示A與B這兩點間所有的路徑。
從式(36)看出，總的電磁場量貢獻僅依賴于每一條路徑的相位。考查其中一條路徑相位的量級，為估算簡單，我們用平面波
幾何光學要求λ→0，因而實際上諸多路徑的相位是一個非常巨大的量。假定將一個路徑聯通一個很小的量δx，這么相位的變化為δφ=δx/λ。一般路徑的微小變化促使相位的變化十分巨大（緣由還是λ→0），因而電磁場量將在最大與最小之間劇烈振蕩，以至于該條路徑與周圍的路徑的電磁場量貢獻互相抵消，因而無須再考慮這種路徑，它們相當于相互干涉達到了干涉相消的療效。但存在一條特殊的路徑，這條路徑對應的φ(x)取得極小值，即路徑改變（δx的量級）不會造成相位的改變。因而在δx范圍內的所有的路徑的相位是相同的，它們對于電磁場量的貢獻無抵消療效，這種路徑相當于達到了干涉相長的療效。
綜上所述，相位達到極值的路徑與其周圍很小范圍內的路徑之間互相干涉達到相長的療效，而其他路徑之間相互干涉相消，表現為我們僅僅看見了光傳播的那一條極值路徑。如今可以回答之前的問題，光線在傳播時，它確實以波動的方式遍歷了所有的路徑，而被觀察到的現象，實際上是波之間干涉以后的結果。
以上對于光線傳播的解釋，須要用到波動學的方式。而光線與某種假想粒子是等價的，這么光線的傳播與這些假想粒子也是等價的。這意味著，假想粒子的運動軌跡的動因，與波動有著十分緊密的聯系。
我們再回到方程式(5)、式(6)與-方程式(9)、式(10)，此次通過量綱的形式剖析這幾個數學量之間量綱的差異，見表1。
從表1里可以看見，描述波動性熱阻的相位φ、波矢k、頻率ω與描述粒子性熱阻的作藥量S、動量p、量H正好相差一個作藥量的量綱。為了保證之前類比的有效性量子傳輸實物，這個相差的作藥量量綱的比列系數必須為常數，我們不妨設
S=Cφ(38)
p=Ck(39)
H=Cω(40)
其中，C是一個具有作藥量量綱的常數。
1900年提出能量子假說時，曾給出一個電磁波吸收和幅射能量時能量與頻度的關系[2]
ε=hν(41)
其中，h稱為常數，其值為：h=6.626×10-34J·s。對比式(36)與式(35)，就可以得到
其中，
稱為約化常數。這樣可以把式(33)~式(35)寫為
式(44)與式(45)稱為-關系式。
從式(43)~式(45)中見到這樣的事實：光與這個表象粒子通過一個常數——約化常數相互聯系上去，而這個假想粒子正是1905年提出的光量子（簡稱光子）[9,10]。而式(44)、式(45)即是光的波粒二象性的彰顯。
此時對于約化常數的量綱我們還需做一點討論。基于量綱的知識，我們曉得厚度、時間和質量的基本量綱分別用L、T和M來表示，這樣自然就可以給出速率的量綱為L·T-1。而從愛因斯坦的質能多項式E=mc2可得能量的量綱為
即H具有能量的量綱，按照式(45)便自然的給出約化普朗克常數的量綱為
毫無疑惑，這與量綱剖析表1中的結果保持一致。
2實物粒子的波粒二象性
通過類比方式，在第1節中最終從物理上找到了光的波動性和粒子性之間的聯系。在討論粒子波粒二象性時，先對式(43)做一個處理。將式(43)代入式(3)中，可以得到
式(48)描述的是電磁場量的分布（波動性量），但電磁場量的相位用粒子所特有的作藥量來描述。關于彰顯實物粒子波粒二象性假定的公式可從式(48)出發得到。
2.1實物粒子的波動性假定
實物粒子的運動由-多項式確定，見式(9)與式(10)。而實物粒子的運動軌跡由原理確定，見式(18)。
對于實物粒子的原理，實際可以有著與原理相同的疑惑：莫非實物粒子遍歷了所有的路徑？否則它怎樣選出作藥量極小的路徑呢？由1.4節的討論，可看出原理與原理可以算是同根同源，是同一個定律在不同方面的敘述。這么原理背后的誘因應當與原理是相同的。上述的疑惑應當與1.4節中的疑惑是等價的，對于實物粒子的原理的解釋，我們必須也要采用“實物粒子的波動性”。在此假定：每一個實物粒子都與某一種波相聯系，這些波稱為物質波。我們給出物質波的波函數敘述，由式(48)類比，直接寫出物質波的波函數
其中，波函數ψ(r,t)類似于電磁波中的電磁場量。只要給出了式(49)的方式，以1.3節中相同的思索方法，可以得到推論：實物粒子對應一種物質波，實物粒子的運動軌跡實際上是這些物質波之間互相疊加干涉的結果。在極值路徑附近，物質波干涉相長；其他路徑物質波干涉相消，表現下來我們只能見到粒子順著極值路徑運動，即粒子軌跡符合原理，這就是實物粒子的波粒二象性假定。
2.2de關系
既然2.1節早已給出了實物粒子的波粒二象性假定，這兒就要給出實物粒子波動性熱阻與粒子性熱阻之間的表達式。
實物粒子的波函數滿足式(49)，記ψ(r,t)的相位為θ(r,t)，則
。這樣式(49)可寫為
ψ(r,t)=ψ0eiθ(r,t)(50)
從式(50)中得出這個波的波矢與頻度的分布須要用到式(5)與式(6)，將式(50)代入其中，即可得到
其中的S是實物粒子的作藥量，滿足-等式。將式(9)、式(10)代入式(51)、式(52)中，就得到實物粒子的粒子性與波動性之間的聯系
而式(53)、式（54）正是de關系式[11]。即動量為p，能量為H的實物粒子與其聯系的物質波的波參數之間滿足式(53)、式(54)，這就是實物粒子波粒二象性的彰顯。
3結語
光和實物粒子的波粒二象性在近代化學的發展中具有重要地位，教學中為有效聯接精典化學學和量子熱學，本文從波動光學和幾何光學出發，對比幾何光學滿足的程函多項式和精典粒子的喀什頓雅克比多項式，給出光和假想粒子之間互相輝映的關系。通過費馬原理驗證了光具有波粒二象性假定的有效性，進一步得到了彰顯光和實物粒子具有波粒二象性的Plank-關系和de關系式，使中學生加深對波粒二象性的理解。
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基金項目：山東省博士科研啟動基金(2020-BS-083)，2021年度廣東學院專科教學變革研究項目（項目名稱：斯特恩蓋拉赫虛擬仿真實驗平臺建設與施行）。
作者簡介：張成園，女，四川學院講師，主要從事量子熱學教學工作,研究方向為全息規范引力排比，。
通信作者：李永慶，男，湖北學院院長，主要從事量子熱學教學工作，研究方向為原子分子勢能面，。
引文格式:張成園,許廣智,李一杰,等.關于量子熱學中引入波粒二象性的教學嘗試[J].化學與工程,2023,33(1):10-14,21.
Citethis:ZHANGCY,XUGZ,LIYJ,etal.towave-in[J].and,2023,33(1):10-14,21.(in)
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