摘要
量子熱學(xué)是近代數(shù)學(xué)學(xué)的基礎(chǔ)理論之一，也是伴隨著假定爭辯構(gòu)建上去的理論。但是在教學(xué)過程中，若直接給出波粒二象性這一基本假定，中學(xué)生理解上去會(huì)變得尤為困難。因而基于教學(xué)實(shí)際和前人的研究，本文從精典的電磁理論出發(fā)，按照波動(dòng)光學(xué)和幾何光學(xué)的描述方式，以及程涵多項(xiàng)式的方式，假定光對(duì)應(yīng)一種實(shí)物粒子。因而由普朗克的量子化條件，討論了光的波動(dòng)性和粒子性之間的聯(lián)系，推導(dǎo)入了普朗克愛因斯坦關(guān)系以及德布羅意關(guān)系，彰顯了光和實(shí)物粒子的波粒二象性。
關(guān)鍵詞波動(dòng)光學(xué)；幾何光學(xué)；實(shí)物粒子；波粒二象性
isoneofof,anditisalsoawithsomeof.,inthe,iftheofwave-isgiven,itwillbeforto.,basedontheand,wethatlighttoakindofrealfromthe,totheofwaveand,andtheformof.,'s,wethethewaveandoflight.Andthenthe-andthedeare,whichthewave-oflightandreal.
波粒二象性現(xiàn)象是量子熱學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，它成功解決了人們長久以來對(duì)光物質(zhì)的苦惱，統(tǒng)一了光的波動(dòng)性和粒子性問題，其意義非常重大。自20世紀(jì)開始，人們就開始對(duì)光進(jìn)行了研究，愛因斯坦通過對(duì)光電效應(yīng)的完美解釋，提出了光具有波粒二象性。1979年，院長為檢驗(yàn)其正確性，提出了“延遲選擇的思想實(shí)驗(yàn)”。同時(shí)量子傳輸實(shí)物，德布羅意給出實(shí)物粒子也具有波粒二象性的假說[1]，即電子具備波的干涉現(xiàn)象。基于普朗克的量子論[1-4]，給出了普朗克愛因斯坦關(guān)系，以及德布羅意關(guān)系。但因?yàn)槭芫浠瘜W(xué)學(xué)理論的影響，中學(xué)生的認(rèn)知、知識(shí)體系和化學(xué)方式均具有一定的局限性，班主任在直接引入兩種關(guān)系來彰顯波粒二象性時(shí)有一定難度，中學(xué)生也會(huì)存在眾多困擾。為此，怎樣從精典數(shù)學(xué)學(xué)出發(fā)，自然地導(dǎo)入彰顯波粒二象性的物理公式是本文正式討論的主要內(nèi)容。
1光的波粒二象性
1.1波動(dòng)光學(xué)的描述
在真空中，電磁波滿足無源的等式組[5]
對(duì)于平面波，其解可以寫為如下的方式
其中，f可以是電場(chǎng)硬度E或磁感應(yīng)硬度B的某個(gè)份量。本文中，將f叫做電磁場(chǎng)量。
而對(duì)于通常的電磁波，電磁場(chǎng)量的相位不再是式(2)中簡單的方式，其振幅也不再是常數(shù)，我們通常將其寫為
在研究通常平面波時(shí)，一般僅考慮很小的空間區(qū)域和很短的時(shí)間間隔內(nèi)的情況，在該區(qū)域內(nèi)，電磁場(chǎng)量的振幅f0(r,t)以及光的傳播方向幾乎不變，可以看為常數(shù)。在這些情況下，通常的電磁波即化為平面波。
1.2幾何光學(xué)的描述方式
從波動(dòng)光學(xué)到幾何光學(xué)實(shí)際是取λ→0（λ是光的波長，下文也是這么）這一極限下電磁波解的必然結(jié)果。下邊將仍從電磁波多項(xiàng)式出發(fā)，來引入幾何光學(xué)所滿足的基本多項(xiàng)式。
從式(3)出發(fā)，在幾何光學(xué)中，電磁場(chǎng)量的相位φ(r,t)被稱為程函。在選取的很小的區(qū)域內(nèi)，由于λ→0，電磁波各個(gè)熱阻的波動(dòng)性消失，其傳播方向可以直接由光線來代替。光線上每一點(diǎn)的切線即表示光在這一點(diǎn)的傳播方向。為此，幾何光學(xué)實(shí)際上研究光線的分布，而光則沿光線傳播。
選取一個(gè)很小的空間區(qū)域以及很短的時(shí)間間隔，將程函φ(r,t)做展開
由前所述，在很小的區(qū)域內(nèi)，電磁波可以看作平面波。將式(4)與式(2)的相位作對(duì)比，可以得到
而電磁波的波矢與頻度又滿足
ω=ck(7)
將式(5)、式(6)代入式(7)中，得到
式(8)稱為程函多項(xiàng)式，是幾何光學(xué)所滿足的基本多項(xiàng)式。
1.3光與粒子的類比
從程函多項(xiàng)式的方式可以看出，描述光線的多項(xiàng)式與描述粒子運(yùn)動(dòng)的多項(xiàng)式有很高的對(duì)稱性。對(duì)于一個(gè)實(shí)物粒子，其運(yùn)動(dòng)可由-等式?jīng)Q定
其中，S是粒子的作藥量，H是粒子的量，p是粒子的動(dòng)量。對(duì)比式(9)、式(10)和式(5)、式(6)可知，在幾何光學(xué)中的程函、波矢、頻率分別與一個(gè)實(shí)物粒子的作藥量、動(dòng)量、哈密頓量（即能量）互相對(duì)應(yīng)上去。即光線的傳播和粒子的運(yùn)動(dòng)所滿足的多項(xiàng)式具有相同的方式。因而假定：存在某個(gè)實(shí)物粒子，它可以和一個(gè)特定的光線對(duì)應(yīng)上去。對(duì)應(yīng)規(guī)則為
一個(gè)實(shí)物粒子，其狀態(tài)隨時(shí)間的演進(jìn)遵照正則多項(xiàng)式
根據(jù)對(duì)應(yīng)法則式(11)，能得到光線所滿足的關(guān)系為
式(14)中
表示順著k方向的單位矢量。從式(14)中看出真空中光的速度為c，式(15)中表明k=const，從式(14)、式(15)得到的直接推論——真空中光沿直線傳播。
另一方面，光線滿足的一個(gè)基本關(guān)系可以預(yù)測(cè)這個(gè)假想粒子的一個(gè)性質(zhì)。光線的波矢與頻度滿足式(7)，根據(jù)對(duì)應(yīng)法則式(11)，給出這個(gè)假想粒子的能量與動(dòng)量的關(guān)系為
H=cp(16)
依據(jù)狹義相對(duì)論的能量表達(dá)式
由式(16)、式(17)可得m0=0。即這個(gè)假想粒子的靜質(zhì)量為0。這個(gè)推論后來被否認(rèn)，即光子的靜質(zhì)量確實(shí)為0。
1.4原理
在精典熱學(xué)中，實(shí)物粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡由原理確定[6]
其中，
為粒子的拉格朗日量。原理強(qiáng)調(diào)：粒子在兩點(diǎn)間的真實(shí)路徑實(shí)際是所有路徑中作藥量取極值的路徑。由于無法直接構(gòu)造出幾何光學(xué)的（其結(jié)果為0），因而須要加入一些限制條件，來構(gòu)造屬于幾何光學(xué)的“原理”。
在能量守恒的前提下（不顯含時(shí)間t），依照原理，原理敘述為[7]
其中，S0稱為減短作藥量，S0滿足
δS0=0(22)
借此為基礎(chǔ)，通過對(duì)應(yīng)法則式(11)，在幾何光學(xué)中，有
ω=const(23)
φ(r,t)=φ0(r)-ωt(24)
δφ0=0(26)
從類比而至的式(23)~式(26)，光線在兩點(diǎn)間所走的實(shí)際路徑應(yīng)當(dāng)為所有路徑中減短程函φ0達(dá)到極小值的路徑。式(25)中，記
，
。ds表示光的路程，因而式(24)可以寫為
對(duì)于通常的情況，波矢與頻度滿足
ω=kv(28)
其中，v滿足
v=c/n(29)
n為介質(zhì)的折射率，這樣式(27)化為
記：dl=nds，dl正是我們熟悉的光程的定義，式(30)就變?yōu)?span style="display:none">fI7物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
再由式(26)，可將式(31)化為
式(32)正是原理的物理表達(dá)式。
綜上所述，通過給光線類比一個(gè)假想粒子，兩者之間互相輝映，又一次得到了令人滿意的答案。在這兒得出一個(gè)推論：光線與某種靜質(zhì)量為0的粒子是等價(jià)的。
1.5-關(guān)系
原理給出光線所滿足的條件：兩點(diǎn)間光順著光程極小的路徑傳播。在這兒就有一個(gè)令人困擾的地方：莫非光線在傳播之前，它遍歷了所有的路徑？否則它怎樣獲知到底哪一條路徑的光程是最短的。
對(duì)于這個(gè)問題的理解，我們須要利用于波動(dòng)光學(xué)。電磁波在空間中的光強(qiáng)分布可寫為
I(r,t)∝|f(r,t)|(33)
從波動(dòng)光學(xué)的觀點(diǎn)來看：全空間中只看見光程極小的路徑是由于空間中所有路徑的電磁場(chǎng)量疊加之后，得到的光強(qiáng)分布在光程極小路徑處很大[8]，而其他區(qū)域幾乎趨向0，下邊具體研究一下這個(gè)過程。
能量守恒的情況下，光強(qiáng)的分布不隨時(shí)間變化，因而電磁場(chǎng)量可以寫為
其中，φ0(r)定義見式(25)。為了估算便捷，只取一維的情況，式(25)變?yōu)?span style="display:none">fI7物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
由于僅取一維情況，對(duì)于某一條路徑Γ，我們用其位置隨時(shí)間的變化表示它。設(shè)路徑初始坐落A點(diǎn)，此時(shí)為t1時(shí)刻；終點(diǎn)為B點(diǎn)，此時(shí)為t2時(shí)刻。因而整個(gè)光場(chǎng)的電磁場(chǎng)量分布可以寫為
上式中的求和號(hào)表示A與B這兩點(diǎn)間所有的路徑。
從式(36)看出，總的電磁場(chǎng)量貢獻(xiàn)僅依賴于每一條路徑的相位。考查其中一條路徑相位的量級(jí)，為估算簡單，我們用平面波
幾何光學(xué)要求λ→0，因而實(shí)際上諸多路徑的相位是一個(gè)非常巨大的量。假定將一個(gè)路徑聯(lián)通一個(gè)很小的量δx，這么相位的變化為δφ=δx/λ。一般路徑的微小變化促使相位的變化十分巨大（緣由還是λ→0），因而電磁場(chǎng)量將在最大與最小之間劇烈振蕩，以至于該條路徑與周圍的路徑的電磁場(chǎng)量貢獻(xiàn)互相抵消，因而無須再考慮這種路徑，它們相當(dāng)于相互干涉達(dá)到了干涉相消的療效。但存在一條特殊的路徑，這條路徑對(duì)應(yīng)的φ(x)取得極小值，即路徑改變（δx的量級(jí)）不會(huì)造成相位的改變。因而在δx范圍內(nèi)的所有的路徑的相位是相同的，它們對(duì)于電磁場(chǎng)量的貢獻(xiàn)無抵消療效，這種路徑相當(dāng)于達(dá)到了干涉相長的療效。
綜上所述，相位達(dá)到極值的路徑與其周圍很小范圍內(nèi)的路徑之間互相干涉達(dá)到相長的療效，而其他路徑之間相互干涉相消，表現(xiàn)為我們僅僅看見了光傳播的那一條極值路徑。如今可以回答之前的問題，光線在傳播時(shí)，它確實(shí)以波動(dòng)的方式遍歷了所有的路徑，而被觀察到的現(xiàn)象，實(shí)際上是波之間干涉以后的結(jié)果。
以上對(duì)于光線傳播的解釋，須要用到波動(dòng)學(xué)的方式。而光線與某種假想粒子是等價(jià)的，這么光線的傳播與這些假想粒子也是等價(jià)的。這意味著，假想粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的動(dòng)因，與波動(dòng)有著十分緊密的聯(lián)系。
我們?cè)倩氐椒匠淌?5)、式(6)與-方程式(9)、式(10)，此次通過量綱的形式剖析這幾個(gè)數(shù)學(xué)量之間量綱的差異，見表1。
從表1里可以看見，描述波動(dòng)性熱阻的相位φ、波矢k、頻率ω與描述粒子性熱阻的作藥量S、動(dòng)量p、量H正好相差一個(gè)作藥量的量綱。為了保證之前類比的有效性量子傳輸實(shí)物，這個(gè)相差的作藥量量綱的比列系數(shù)必須為常數(shù)，我們不妨設(shè)
S=Cφ(38)
p=Ck(39)
H=Cω(40)
其中，C是一個(gè)具有作藥量量綱的常數(shù)。
1900年提出能量子假說時(shí)，曾給出一個(gè)電磁波吸收和幅射能量時(shí)能量與頻度的關(guān)系[2]
ε=hν(41)
其中，h稱為常數(shù)，其值為：h=6.626×10-34J·s。對(duì)比式(36)與式(35)，就可以得到
其中，
稱為約化常數(shù)。這樣可以把式(33)~式(35)寫為
式(44)與式(45)稱為-關(guān)系式。
從式(43)~式(45)中見到這樣的事實(shí)：光與這個(gè)表象粒子通過一個(gè)常數(shù)——約化常數(shù)相互聯(lián)系上去，而這個(gè)假想粒子正是1905年提出的光量子（簡稱光子）[9,10]。而式(44)、式(45)即是光的波粒二象性的彰顯。
此時(shí)對(duì)于約化常數(shù)的量綱我們還需做一點(diǎn)討論。基于量綱的知識(shí)，我們曉得厚度、時(shí)間和質(zhì)量的基本量綱分別用L、T和M來表示，這樣自然就可以給出速率的量綱為L·T-1。而從愛因斯坦的質(zhì)能多項(xiàng)式E=mc2可得能量的量綱為
即H具有能量的量綱，按照式(45)便自然的給出約化普朗克常數(shù)的量綱為
毫無疑惑，這與量綱剖析表1中的結(jié)果保持一致。
2實(shí)物粒子的波粒二象性
通過類比方式，在第1節(jié)中最終從物理上找到了光的波動(dòng)性和粒子性之間的聯(lián)系。在討論粒子波粒二象性時(shí)，先對(duì)式(43)做一個(gè)處理。將式(43)代入式(3)中，可以得到
式(48)描述的是電磁場(chǎng)量的分布（波動(dòng)性量），但電磁場(chǎng)量的相位用粒子所特有的作藥量來描述。關(guān)于彰顯實(shí)物粒子波粒二象性假定的公式可從式(48)出發(fā)得到。
2.1實(shí)物粒子的波動(dòng)性假定
實(shí)物粒子的運(yùn)動(dòng)由-多項(xiàng)式確定，見式(9)與式(10)。而實(shí)物粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡由原理確定，見式(18)。
對(duì)于實(shí)物粒子的原理，實(shí)際可以有著與原理相同的疑惑：莫非實(shí)物粒子遍歷了所有的路徑？否則它怎樣選出作藥量極小的路徑呢？由1.4節(jié)的討論，可看出原理與原理可以算是同根同源，是同一個(gè)定律在不同方面的敘述。這么原理背后的誘因應(yīng)當(dāng)與原理是相同的。上述的疑惑應(yīng)當(dāng)與1.4節(jié)中的疑惑是等價(jià)的，對(duì)于實(shí)物粒子的原理的解釋，我們必須也要采用“實(shí)物粒子的波動(dòng)性”。在此假定：每一個(gè)實(shí)物粒子都與某一種波相聯(lián)系，這些波稱為物質(zhì)波。我們給出物質(zhì)波的波函數(shù)敘述，由式(48)類比，直接寫出物質(zhì)波的波函數(shù)
其中，波函數(shù)ψ(r,t)類似于電磁波中的電磁場(chǎng)量。只要給出了式(49)的方式，以1.3節(jié)中相同的思索方法，可以得到推論：實(shí)物粒子對(duì)應(yīng)一種物質(zhì)波，實(shí)物粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡實(shí)際上是這些物質(zhì)波之間互相疊加干涉的結(jié)果。在極值路徑附近，物質(zhì)波干涉相長；其他路徑物質(zhì)波干涉相消，表現(xiàn)下來我們只能見到粒子順著極值路徑運(yùn)動(dòng)，即粒子軌跡符合原理，這就是實(shí)物粒子的波粒二象性假定。
2.2de關(guān)系
既然2.1節(jié)早已給出了實(shí)物粒子的波粒二象性假定，這兒就要給出實(shí)物粒子波動(dòng)性熱阻與粒子性熱阻之間的表達(dá)式。
實(shí)物粒子的波函數(shù)滿足式(49)，記ψ(r,t)的相位為θ(r,t)，則
。這樣式(49)可寫為
ψ(r,t)=ψ0eiθ(r,t)(50)
從式(50)中得出這個(gè)波的波矢與頻度的分布須要用到式(5)與式(6)，將式(50)代入其中，即可得到
其中的S是實(shí)物粒子的作藥量，滿足-等式。將式(9)、式(10)代入式(51)、式(52)中，就得到實(shí)物粒子的粒子性與波動(dòng)性之間的聯(lián)系
而式(53)、式（54）正是de關(guān)系式[11]。即動(dòng)量為p，能量為H的實(shí)物粒子與其聯(lián)系的物質(zhì)波的波參數(shù)之間滿足式(53)、式(54)，這就是實(shí)物粒子波粒二象性的彰顯。
3結(jié)語
光和實(shí)物粒子的波粒二象性在近代化學(xué)的發(fā)展中具有重要地位，教學(xué)中為有效聯(lián)接精典化學(xué)學(xué)和量子熱學(xué)，本文從波動(dòng)光學(xué)和幾何光學(xué)出發(fā)，對(duì)比幾何光學(xué)滿足的程函多項(xiàng)式和精典粒子的喀什頓雅克比多項(xiàng)式，給出光和假想粒子之間互相輝映的關(guān)系。通過費(fèi)馬原理驗(yàn)證了光具有波粒二象性假定的有效性，進(jìn)一步得到了彰顯光和實(shí)物粒子具有波粒二象性的Plank-關(guān)系和de關(guān)系式，使中學(xué)生加深對(duì)波粒二象性的理解。
參考文獻(xiàn)
[1]曾謹(jǐn)言.量子熱學(xué)[M].3版.上海:科學(xué)出版社,2014.
[2]M.OnanofWien'sforthe[J].Verh.D.Phys.Ges.,1900(2):202.
[3]周世勛.量子熱學(xué)的誕生(1)[J].學(xué)院數(shù)學(xué),1982,1(1):7-10.
ZHOUSX.Thebirthof(1)[J].,1982,1(1):7-10.(in)
[4]趙凱華.波粒二象性[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2016,38(9):2-6.
ZHAOKH.Thewave-[J].,2016,38(9):2-6.(in)
[5]朗道ЛД,栗弗席茲EM.場(chǎng)論[M].8版.魯欣,任朗,袁炳南,譯.上海:高等教育出版社,2012:146-149.
[6]朗道ЛД,栗弗席茲EM.熱學(xué)[M].5版.李俊峰,譯.上海:高等教育出版社,2007:1-9,133-151.
[7]H.[M].上海:高等教育出版社,2005．
[8]RP.量子熱學(xué)與路徑積分[M].上海:高等教育出版社,2018:19-23．
[9]A.Onatheandoflight[J].der,1905,17(6):132.
[10]仲扣莊.類比方式與光的本性的探求[J].學(xué)院數(shù)學(xué),2003,22(10):38-41.
ZHONGKZ.andontheoflight[J].,2003,22(10):38-41.(in)
[11]秦克誠.郵品上的數(shù)學(xué)學(xué)史—波粒二象性[J].學(xué)院數(shù)學(xué),2002,21(2):46-49.
fúKC.Theofon-wave-[J].,2002,21(2):46-49.(in)
基金項(xiàng)目：山東省博士科研啟動(dòng)基金(2020-BS-083)，2021年度廣東學(xué)院專科教學(xué)變革研究項(xiàng)目（項(xiàng)目名稱：斯特恩蓋拉赫虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)建設(shè)與施行）。
作者簡介：張成園，女，四川學(xué)院講師，主要從事量子熱學(xué)教學(xué)工作,研究方向?yàn)槿⒁?guī)范引力排比，。
通信作者：李永慶，男，湖北學(xué)院院長，主要從事量子熱學(xué)教學(xué)工作，研究方向?yàn)樵臃肿觿?shì)能面，。
引文格式:張成園,許廣智,李一杰,等.關(guān)于量子熱學(xué)中引入波粒二象性的教學(xué)嘗試[J].化學(xué)與工程,2023,33(1):10-14,21.
Citethis:ZHANGCY,XUGZ,LIYJ,etal.towave-in[J].and,2023,33(1):10-14,21.(in)
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