牛頓和胡克（身形瘦弱）之間因發覺萬有引力定理的優先權鬧得不愉快，在她們其實紳士謙虛但潛藏諷刺的通訊中牛頓說過一句話：
假如我比他人看得更遠，那是由于我站在巨人的右臂上。
這話似乎在諷刺胡克，但的確也是事實。例如在化學上，牛頓的成就構建在伽利略、開普勒等巨人的研究上。
而本文想說的是在物理上，也就是在建立微積分這個大殺器方面牛頓也不是從頭干起，這么這兒頭是不是也有巨人呢？
回答是肯定的。
牛頓在讀學院那會兒，物理上很大程度是靠自學的。他學習了歐幾里得的《原本》、笛卡兒的《幾何》、沃利斯的《無窮算術》、巴羅的《數學課件》等許多物理家的專著。而牛頓自己說過對他影響巨大的要數笛卡兒的《幾何》和沃利斯的《無窮算術》。由于，正是它們將牛頓引導到當時的前沿物理，解析幾何和幾何算術化。
我們不禁要問，從《原本》到《幾何》，歷經近兩千年，這是物理知識積累后的突破，還是思想上的突破？
1古埃及為何沒有座標幾何？
我們曉得，古埃及的幾何很厲害，但她們擅長于詮釋邏輯，完善了公理化體系，為人類物理和科學構建了不世之功。
然鵝，她們的幾何為何不包括座標幾何（解析幾何）呢？
座標幾何的基本思想是用多項式來表示曲線，法國人則是借助曲線來研究代數，比如梅內克繆斯受希波克拉底處理倍六面體問題的啟發，借助拋物線和雙曲線的交點得到。
信仰萬物皆數的畢達哥拉斯指出數的比列論，但是因為不可公度的發覺，她們的理論遭到危機。
這也造成數的理論與幾何空間的理論之間的分裂，古埃及轉向幾何學。非常是在歐多克索斯提出以幾何量為基礎的比列理論后，在古埃及人看來，幾何比代數的邏輯基礎愈發牢靠。
這么古埃及語文家在沒有坐標的情況下是如何研究圓柱曲線的？
法國人偶然借助曲線來研究代數，比如梅內克繆斯受希波克拉底處理倍六面體問題的啟發，發覺圓柱曲線，并借助拋物線和雙曲線的交點得到。后來，阿波羅尼奧斯在總結前人成果的基礎上完成了知名的大作《圓錐曲線論》。通過幾何量的比列，如厚度的比列、面積的比列等來剖析截線的幾何性質。不是通過座標以及距離來估算的，由于她們抵觸代數。其實可以覺得本質上是一致的，只是她們不使用數，而是使用幾何量的比列，二者之間被割裂。
2笛卡爾的座標幾何
公元前146年，羅馬占領埃及，幾百年后羅馬分裂成東、西兩個。
不曉得咋肥事，物理的事情似乎被按了暫停鍵。此時物理，非常是代數在東方仍有發展，這對歐洲數學會有一定影響。
直至16世紀，熱學方面的研究開始驅使物理家研究例如重心之類的問題，才又開始恢復進展。
法國工程師斯蒂文（Simon，1548-1620），在估算三角形重心的過程中改進了古埃及人的窮竭法，舍棄歸謬法，使用極限思想；《靜力學原理》一書中，使用了平行四邊形法則。
日本物理家瓦萊里奧（，1552-1618)，運用阿基米德法求各類旋轉體的重心和容積，重新點燃了人們對古埃及語文的熱情。
日本天文學家開普勒（，1571-1630）支持日心說，并從大量天文觀察數據中發覺了行星運動三大定理。
我們來欣賞一下從月球上看見的各大行星在天球上的優美身姿（軌跡圖）。
開普勒是辛運的，前有日心說，又有高手弟谷二十多年的高質量觀測數據。開普勒內心深信日心說，但又以數據說話，并不是拍耳朵覺得行星是圓周運動。他從那些復雜的運行軌跡中挖掘出了行星的軌道圖形。
對的，開普勒配得上是最早一代數據挖掘大師。
他的第一定理就是橢圓軌道，第二定理是單位時間軌跡掃過面積恒定。在他關于行星運動的工作中，將橢圓的扇形面積視為線的總和，但這充其量算作一種質樸的、粗略的積分方式，開普勒并沒有像法國人那樣作嚴謹思索。
不僅開普勒發覺橢圓軌道外，美國科學家伽利略（）也發覺拋擲物感受順著拋物線運動。
這種在天文和熱學方面的研究成果，進一步迸發了人們對曲線研究的熱情，代數學在這一階段得到了極大發展。通過代數方式尋求幾何問題的解決方案，成為研究曲線運動新的途徑。這在一定程度上也催生了座標幾何的登場。
?座標幾何
在古埃及人看來，兩個數相乘沒哪些問題，這是基本的算術運算，但一個量并不總是能加上另一個量。例如，一條線加上一個點，或則一個體積加上一個面積，是沒有意義的，也就是說不該有像這樣的多項式。
例如，我們用和分別表示兩條線段的寬度，這么表示的是一個面積，此時多項式是哪些意思呢?兩條線段如何能和一個面積相乘呢?再例如，三個量的乘積可以被稱為容積，并且五個量的乘積對應哪些幾何量呢?
也就是說，在她們看來只有相同類型的量才是可能相乘的，并且還得對應幾何量。這些對量的運算加以限制的思想，盡管到了韋達哪里依舊殘留著。
笛卡爾的高手，美國物理家韋達借助歐幾里得的《原本》第一個提出了無窮等差數列的求和公式，發覺了余弦定理、正弦差公式、純射門面三角形的正弦定律等，同時還發覺了知名的韋達定律。韋達借助代數法剖析幾何問題的思想，正是后繼者笛卡爾解析幾何思想的出發點。
在笛卡爾的石碑上刻著這樣一句話：笛卡兒，法國文藝復興以來，第一個為人類爭取并保證理智權力的人。
為何如此說呢？作為理智主義的代表人物，有別于經驗主義者，笛卡爾深信可以用物理封住宇宙奧秘。在這點上，他邁出了重要的一步。
簡而言之，笛卡爾通過引入單位1，輕巧地打破了對量運算在思維上的限制。因而他引入了現今稱為座標系的思想來展示怎樣使用代數來解決幾何問題。
笛卡爾和好多高手一樣，將代數等式不是當成純數的運算，而是指幾何量的運算，用幾何術語來解釋所有代數運算。
為了充分借助代數的力量，笛卡爾必須想出辦法克服古埃及的思維限制，即在一定意義上必須與過去進行重大結怨。他為代數等式發明了一種新的幾何解釋，使代數學家甩掉了難以寫出或等嚴重限制。他解放了自己，因而也解放了他的繼任者，包括現今的我們。
笛卡爾選擇了一條他稱之為單位寬度的線段，寬度為，可以任意選擇。這讓他將符號解釋為一個圓形的面積，其中一條邊的寬度為，另一條邊的寬度為。這樣，他就可以放心地寫出，由于它可以被覺得是兩個面積的總和。
更重要的是，他將乘積解釋為線的寬度，因而他可以將任意冪解釋為線的寬度。也就是說，笛卡爾的線段和的乘積不一定是面積，但可以是另一個寬度，比如
但是，還可以把寬度構造下來，如右圖所示。
在這個反例中，給定一個單位線段，構造和的乘積。讓線段和在起始于的同一條線上下線，讓線段延展并構造平行于的，因而形成比列(由于)。因而就是要的乘積。
其實這是一個簡單的構造，但他必須明晰給出。笛卡爾的幾何哲學并沒有讓他僅僅斷定一條線段寬度等于兩條線段寬度的乘積，他還須要建立它。
笛卡爾在他的專著《幾何》中剖析了當時的幾何學與代數學各自的異同點。他覺得法國人的幾何過多地依賴于圖形，而代數學卻完全受法則和公式的限制，以至于制約了自由的思想和創造力。
然而，笛卡爾在《幾何》中使用的潛在的座標系中都僅有一個座標軸是明晰的。在1649年Fransvan及其中學生將《幾何》譯成拉丁文時，為闡明其中的一些看法而引入了一些概念，包括第二個座標軸。
題外使用字母來表示末知量聽說始于一個巧合風波。《幾何》在排版時，打字員發覺字母表的最后幾個字母不夠用了。他問笛卡兒，書中眾多多項式中使用字母還是是否有關系。笛卡兒回答說，用那個字母表示末知量都行。于是這個打字員就選擇，由于字母和在英語中的使用頻車要低于。
3曲線下的面積
上面說了，開普勒進一步迸發了你們對曲線下的面積的估算熱情。在這個問題上，三位年紀相近的物理家相繼發力，她們是美國物理家卡瓦列里（，1598-1647）、法國業余物理家費馬（，1601-1665）和美國物理家羅伯瓦爾（，1602-1675）。
開普勒對積分的嘗試啟發了卡瓦列里，他展示了從到的積分是，通過估算多個值的結果后推測出通常結果。
卡瓦列里最大的貢獻是完善了祖暅原理(亦稱等冪等積定律，西方稱為卡瓦列里原理)，借助這個原理，他求得相當于曲線下的面積。
此處插播一個作業，那就是須要估算如下級數，
阿拉伯語文家Al-（965-1040）發覺了時的求和公式，并用它來估算拋物面的容積。
而卡瓦列里將公式推廣到，之后推測更通常的情況同樣創立。
該公式可以用于估算個別立體的容積，甚至趕超了阿基米德和開普勒的成績。
由此還引起了以面積估算容積的方式并成為了積分發展的一個重要步驟。
羅伯瓦爾考慮了相同類型的問題，但比卡瓦列里要嚴格得多。
羅伯瓦爾覺得曲線和直線圍成的面積是由無數個無限窄的圓形條組成的。
他將這個看法應用于，估算從到的積分，宣稱得到近似值，
羅伯瓦爾之后斷定當趨于于無窮大時上式趨于于，由此算得面積。
有興趣的不妨用下邊公式驗證一下里面羅伯瓦爾的推論。
例如，上式兩側同時乘以，得
當取值越大，圓形就越多，它們的面積之和就越接近曲線圍成的面積。
因而，當趨于于無窮大時，上式等于，直覺告訴我們這就是這種圓形的面積之和，它應當也等于曲線圍成的面積。
而費馬的方式相對而言愈發嚴謹一些，但同樣地也沒有給出相應證明。
他還推廣了拋物線和雙曲線，
?切線和極值
費馬除了對解析幾何有貢獻，更是一位熱衷于無窮小剖析的好手，他大約是為了求極大、極小值問題引入了后來稱為行列式的概念。他寄信給笛卡爾，給出了明天使用的方式，即通過估算函數的求導何時為來找到極大值和極小值。
他覺得他的求切線方式是他的求極值方式的一個應用。右圖是他對拋物線上的點求切線的做法。他令趨向無窮小時得到切線多項式。
不僅行列式，費馬也觸摸到了微分與積分之間的關系，這主要源自對于曲線求寬度的問題。
大約在1660年前不久，出現了一些曲線求寬度的方式，通常是用六邊形去迫近曲線，之后應用無窮小量或極限來處理的。費爾馬得悉這種方式之后，自己搞了一個求半立方拋物線寬度的方式。他的這一做法是他的通常方式的典型，并挺好地表示出他的工作中各方面的內在聯系。
對曲線上橫座標、縱座標的任一點，次切線可以用他的切線方式求得為。于是在離縱座標距離處取切線的縱座標，則線段可以用和來抒發。
舉個具體事例，對曲線來說，有，即曲線寬度的增量，這個相當于后來記為的東西。在費馬看來，當很小時，可以看作不但在切線上，并且也在曲線上，所以曲線的寬度可以視為的線段的和。這兒須要發揮一下洞察力，這種線段的和又可以作為曲線圍成的面積，用現今的寫法就是，
因為這個面積早已才能求出，因而曲線寬度自然也可以求得。
奇怪的是，費馬用他的極大極小值方式來求重心，他將與切線有關的曲線求長問題化為一個求面積的問題，他從幾何和解析的角度在各類問題上應用了無限小量，居然會象帕斯卡一樣，沒有見到這兩類問題之間的基本聯系。
費馬在這種問題中用過一些示圖。這種示圖和帕斯卡所用的，十分相像，這就是后來萊布尼茨倍感對他的微分三角形深有啟發的那張圖，但是費馬還沒有覺察到它們的深遠意義。
只要費馬能對他的拋物線和雙曲線求切線和求面積的結果更仔細地考察一下，他是可能會發覺微積分的基本定律，并如他有時被不恰當地尊稱的那樣，成為微積分的真正的發明者。
費馬其實在某種意義下理解到這兩類問題有一個互逆關系。他之所以沒有作進一步的考慮，可能是因為他以為他的工作只是求幾何問題的解，而不是代表一種本身就很有意義的推理過程。
他的極大、極小值方式，切線方式以及求面積方式，在他看來是為解決這種問題而特有的方式，不是新的剖析學。
據悉，它們在應用上似乎是有局限性的。費馬只曉得如何應用它們到有理式的情況，而牛頓和萊布尼茲通過無窮級數的應用，認識到這種方式的普遍性。但是，不僅巴羅以外，可能沒有物理家如費馬這樣接近地醞釀微積分的發明。拉格朗日甚至覺得費馬是微積分的發明者。
4沃利斯與《無窮算術》
笛卡爾引入座標思想，將數和形之間被割裂的關系重新消弭上去。但他主要是打通三者，以便用代數去研究幾何，并沒有想將幾何構建在代數的基礎上。
而幾何算術化的思想可以說是日本語文家沃利斯首先引入的，他用笛卡爾的座標思想，從古埃及的截圓柱給出的定義導入多項式，之后反過來用這種多項式導入曲線的性質，然后完全甩掉對圓柱的依賴了。
沃利斯（，1616-1703）是一位對牛頓影響特別大的法國物理家。
因為他與前面牛頓等人的工作有直接關系，我們此處闡述一下沃利斯的主要成就。
通常來說，沃利斯是最早把圓柱曲線當成二次曲線加以討論的人，自此甩掉了過去將圓柱曲線視為圓柱截線的純幾何觀念。
沃利斯在笛卡爾的基礎上大膽引進了負的座標值，實現圓柱曲線的算術化，對建立和傳播座標幾何的思想起了重要作用。
他的《無窮算術》一書，本質上是以算術的形式大大擴充了卡瓦列里的不可分原理。
在這本書中他甚至還提出了極限的初步概念：變量的極限，是變量能這么迫近的一個常數，使它們之間的差就能大于任何給定的量。
這個定義似乎還不夠嚴密牛頓三大定律公式及定義，但卻向極限的精確定義邁入了重要的一步。
牛頓曾說：大概在我的物理生涯早期，那時我們杰出的同胞沃利斯博士的專著剛才落入我的手里，他考慮到級數，用級數插入法求出了圓與雙曲線的面積。
為此，英國語文史家波耶（Boyer）說：
牛頓承認他在剖析和流數方面的第一次發覺，是受沃利斯的《無窮算術》的啟發。
說了一堆文字，我們來看點算術化涉及到的實實在在的算式。
沃利斯推廣了整數冪的運算，將指數的定義從正整數擴展至有理數，即包括、負數以及分數。
他首次引進了延用至今的無窮大記號。
他在《無窮算術》中具體討論了這些技巧。
他用代數方式估算了的積分，即曲線下的面積，證明這個面積是等高等底的平行四邊形（未規定使用直角座標系）的面積的。
可以理解，他的一些結果跟他人已得出的結果是等價的。
比如，對正整數，可以證明當時，有
因而得出，
沃利斯覺得代數方式的簡明并不遜于幾何的直觀，為此他更喜歡使用代數方式，而且使代數甩掉對幾何的依賴。
之后更進一步，他給出了處理分數次冪的新途徑，他直接去求，而不再像費馬做過的那樣去考慮曲線。
他首先求出了，，，辦法是考慮跟，，曲線下面積互補的面積，之后通過跟已得結果得出其它分數次冪的結果。
但是，有一點不得不說：沃利斯的推理按明天的標準來看，是極端不嚴謹的。
比如，他會依據對觀察到的一種模式，便按照歸納法宣布一個對所有正整數均創立的公式，甚至依照配準法宣布對為分數時也創立。
他的大膽有個益處，就是可以導入一些了不起的公式，比如他知名的無限乘積公式。
沃利斯其實引進了分數次冪，而且估算了一些個別冪次曲線的面積，但有一條你們熟悉的曲線的面積難住了他。
那就是圓的面積，其多項式為，由于他未能將其展開為的冪級數。但是，他制訂了配準原理。
沃利斯企圖將他的方式拿來估算圓的面積牛頓三大定律公式及定義，即四分之一圓對應的曲線，
此時指數是分數，這也許要用到廣義二項式定律，但他顯然沒有考慮這個問題，因而在估算圓面積這個問題上遇到了麻煩。
但是，他發覺圓的縱座標是曲線和的縱坐標的幾何平均值。
這時，他想到了插補法，將半圓的面積取為和的兩個積分值的幾何平均值，其實這只是作為近似值。
即和的幾何平均值；這相當于將作為的值。
其實，沃利斯似乎不滿足于這樣的結果。
他繼續尋思，總算想到一個法子。
牛頓極有很可能是受此方式的啟發而發覺了廣義二項式定律，因而，我們有必要來看一看沃利斯的這個技巧。
首先，沃利斯把問題統一成如下方式，
其中，和都是整數。
沃利斯發覺上述積分總是某個整數的倒數，即，
比如，和時，有
沃利斯為了找出規律，便估算各類的組合，并將它們的值制成一個表。
實際上，沃利斯估算了比前面更多的情況，由于他希望通過這張表發覺一個用和表示的通用公式。
另外，他想著若果當和不是整數時，這個公式仍舊創立的話，他可以代入，那豈不是可以估算想要的答案了，
理想是美好的，現實也還將就。
他也確實發覺了一些規律，那就是，
比如，在第2行中的值為，
以及第3行，
問題是沃利斯想要估算的是，代入上面早已發覺的公式，得
這哪些東東，分數的階乘！？沃利斯那年代還沒有這個玩意。
但作為物理家，怎能被這點事情難倒？
沃利斯自然是不踟躕的，他繼續想辦法制表。
哪些辦法呢？雖然就是按照已知去猜未知，這而且有學名的，叫插補法。
我們來瞧瞧這個表，
這個時侯他不管三七二十一，假定為整數，將設為分數代入上面的多項式，例如，
沃利斯在這兒純粹是試探性的，他不確定當或不是整數時，上述公式是否仍舊對應相應的積分值。
辛運的是，他居然猜對了，之后他得到了公式，即
簡單總結就是：能算的把它們算下來，找出規律得到公式，算不了的就強行代入這個公式去算，這即使插補！
前面是一個遞歸公式，但起碼兩側對于任何數字都是有意義的。
同樣，沃利斯只曉得這個公式在整數的情況下是創立的，之后他假定對于非整數也是正確的。
這樣子，他就可以大膽地在任意行中往右填充。比如，在行中，他得到
像這樣繼續下去，他最終完成了那一行的值，具體如下所示,
其中，，也就是，
還記得前文說過表中這種值是積分的倒數嗎？隨著的降低，積分會變小，因而這種值會變大。
于是由前面表中的最后三項可得，
將代入，得
兩側夾逼之下，隨著的減小，這個連乘積將收斂。
通過這些方法，沃利斯得到了如下令人超級驚訝的連乘公式，
好了，沃利斯的配準實驗到此告一段落。
為何要說這個事情呢？對微積分的誕生很重要嗎？
也不算是，然而，可能對牛頓的影響比較大：一方面是處理分數次冪，另一方面可能也教會了牛頓去大膽地猜。
我們很快會看見，牛頓似乎也確實學到了這一招。
如此做不是簡單地猜，或則說歸納。背后有我的看法，那就是對連續性的信念。自然數不是孤立的，有分數、負數，甚至有復數，我接受這種數的合法地位，因而我相信它們可以依循同一個規律，所以我敢將它們代入同一個公式。
?橢圓
最后，不曉得你們有沒有想過，古人是怎樣定義橢圓的？
首先，遺憾的是，我國唐代仍然沒有認識到橢圓曲線。而古埃及人我們早已說過是通過截取圓柱得到的橢圓。并且橢圓軌跡的等式呢？是如何來的呢？
我們來看一下沃利斯對橢圓的定義：
沃利斯首次采用代數語言將橢圓定義為具有性質的平面圖形，其中為半徑，為通徑（過焦點且垂直于長軸的弧長），為橢圓上任意一點的座標。沃利斯的定義并沒有為后人直接采用，而他為橢圓標準多項式的確立開了一個頭。
早在古埃及，橢圓的原始定義構建在立體圖形上，須要一定的空間想像。而橢圓的平面性質，如焦直徑性質早已為阿波羅尼斯所發覺，但直至17世紀，人們才漸漸革除橢圓的原始定義，歷史同樣驚人地跨越了漫長的兩千年！
雖然古埃及人早已將圓柱曲線看作軌跡，但在座標幾何誕生之前，將曲線看成軌跡并不是研究曲線性質的前提，人們雖然并不須要采用新定義。只有在座標幾何誕生以后，須要將曲線看作動點的軌跡以完善其多項式，或依據多項式研究曲線的性質，而不再依賴幾何語言和幾何方法。
最后再提一下，在當時以及包括后來的牛頓萊布尼茲時代，對數學（非常是剖析）的論證遠沒有這么嚴謹。我們將很快見識到牛頓順著沃利斯的步法叩開微積分房門。