牛頓和胡克（身形瘦弱）之間因發(fā)覺萬有引力定理的優(yōu)先權(quán)鬧得不愉快，在她們其實(shí)紳士謙虛但潛藏諷刺的通訊中牛頓說過一句話：
假如我比他人看得更遠(yuǎn)，那是由于我站在巨人的右臂上。
這話似乎在諷刺胡克，但的確也是事實(shí)。例如在化學(xué)上，牛頓的成就構(gòu)建在伽利略、開普勒等巨人的研究上。
而本文想說的是在物理上，也就是在建立微積分這個(gè)大殺器方面牛頓也不是從頭干起，這么這兒頭是不是也有巨人呢？
回答是肯定的。
牛頓在讀學(xué)院那會(huì)兒，物理上很大程度是靠自學(xué)的。他學(xué)習(xí)了歐幾里得的《原本》、笛卡兒的《幾何》、沃利斯的《無窮算術(shù)》、巴羅的《數(shù)學(xué)課件》等許多物理家的專著。而牛頓自己說過對(duì)他影響巨大的要數(shù)笛卡兒的《幾何》和沃利斯的《無窮算術(shù)》。由于，正是它們將牛頓引導(dǎo)到當(dāng)時(shí)的前沿物理，解析幾何和幾何算術(shù)化。
我們不禁要問，從《原本》到《幾何》，歷經(jīng)近兩千年，這是物理知識(shí)積累后的突破，還是思想上的突破？
1古埃及為何沒有座標(biāo)幾何？
我們曉得，古埃及的幾何很厲害，但她們擅長(zhǎng)于詮釋邏輯，完善了公理化體系，為人類物理和科學(xué)構(gòu)建了不世之功。
然鵝，她們的幾何為何不包括座標(biāo)幾何（解析幾何）呢？
座標(biāo)幾何的基本思想是用多項(xiàng)式來表示曲線，法國(guó)人則是借助曲線來研究代數(shù)，比如梅內(nèi)克繆斯受希波克拉底處理倍六面體問題的啟發(fā)，借助拋物線和雙曲線的交點(diǎn)得到。
信仰萬物皆數(shù)的畢達(dá)哥拉斯指出數(shù)的比列論，但是因?yàn)椴豢晒鹊陌l(fā)覺，她們的理論遭到危機(jī)。
這也造成數(shù)的理論與幾何空間的理論之間的分裂，古埃及轉(zhuǎn)向幾何學(xué)。非常是在歐多克索斯提出以幾何量為基礎(chǔ)的比列理論后，在古埃及人看來，幾何比代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)愈發(fā)牢靠。
這么古埃及語文家在沒有坐標(biāo)的情況下是如何研究圓柱曲線的？
法國(guó)人偶然借助曲線來研究代數(shù)，比如梅內(nèi)克繆斯受希波克拉底處理倍六面體問題的啟發(fā)，發(fā)覺圓柱曲線，并借助拋物線和雙曲線的交點(diǎn)得到。后來，阿波羅尼奧斯在總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上完成了知名的大作《圓錐曲線論》。通過幾何量的比列，如厚度的比列、面積的比列等來剖析截線的幾何性質(zhì)。不是通過座標(biāo)以及距離來估算的，由于她們抵觸代數(shù)。其實(shí)可以覺得本質(zhì)上是一致的，只是她們不使用數(shù)，而是使用幾何量的比列，二者之間被割裂。
2笛卡爾的座標(biāo)幾何
公元前146年，羅馬占領(lǐng)埃及，幾百年后羅馬分裂成東、西兩個(gè)。
不曉得咋肥事，物理的事情似乎被按了暫停鍵。此時(shí)物理，非常是代數(shù)在東方仍有發(fā)展，這對(duì)歐洲數(shù)學(xué)會(huì)有一定影響。
直至16世紀(jì)，熱學(xué)方面的研究開始驅(qū)使物理家研究例如重心之類的問題，才又開始恢復(fù)進(jìn)展。
法國(guó)工程師斯蒂文（Simon，1548-1620），在估算三角形重心的過程中改進(jìn)了古埃及人的窮竭法，舍棄歸謬法，使用極限思想；《靜力學(xué)原理》一書中，使用了平行四邊形法則。
日本物理家瓦萊里奧（，1552-1618)，運(yùn)用阿基米德法求各類旋轉(zhuǎn)體的重心和容積，重新點(diǎn)燃了人們對(duì)古埃及語文的熱情。
日本天文學(xué)家開普勒（，1571-1630）支持日心說，并從大量天文觀察數(shù)據(jù)中發(fā)覺了行星運(yùn)動(dòng)三大定理。
我們來欣賞一下從月球上看見的各大行星在天球上的優(yōu)美身姿（軌跡圖）。
開普勒是辛運(yùn)的，前有日心說，又有高手弟谷二十多年的高質(zhì)量觀測(cè)數(shù)據(jù)。開普勒內(nèi)心深信日心說，但又以數(shù)據(jù)說話，并不是拍耳朵覺得行星是圓周運(yùn)動(dòng)。他從那些復(fù)雜的運(yùn)行軌跡中挖掘出了行星的軌道圖形。
對(duì)的，開普勒配得上是最早一代數(shù)據(jù)挖掘大師。
他的第一定理就是橢圓軌道，第二定理是單位時(shí)間軌跡掃過面積恒定。在他關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的工作中，將橢圓的扇形面積視為線的總和，但這充其量算作一種質(zhì)樸的、粗略的積分方式，開普勒并沒有像法國(guó)人那樣作嚴(yán)謹(jǐn)思索。
不僅開普勒發(fā)覺橢圓軌道外，美國(guó)科學(xué)家伽利略（）也發(fā)覺拋擲物感受順著拋物線運(yùn)動(dòng)。
這種在天文和熱學(xué)方面的研究成果，進(jìn)一步迸發(fā)了人們對(duì)曲線研究的熱情，代數(shù)學(xué)在這一階段得到了極大發(fā)展。通過代數(shù)方式尋求幾何問題的解決方案，成為研究曲線運(yùn)動(dòng)新的途徑。這在一定程度上也催生了座標(biāo)幾何的登場(chǎng)。
?座標(biāo)幾何
在古埃及人看來，兩個(gè)數(shù)相乘沒哪些問題，這是基本的算術(shù)運(yùn)算，但一個(gè)量并不總是能加上另一個(gè)量。例如，一條線加上一個(gè)點(diǎn)，或則一個(gè)體積加上一個(gè)面積，是沒有意義的，也就是說不該有像這樣的多項(xiàng)式。
例如，我們用和分別表示兩條線段的寬度，這么表示的是一個(gè)面積，此時(shí)多項(xiàng)式是哪些意思呢?兩條線段如何能和一個(gè)面積相乘呢?再例如，三個(gè)量的乘積可以被稱為容積，并且五個(gè)量的乘積對(duì)應(yīng)哪些幾何量呢?
也就是說，在她們看來只有相同類型的量才是可能相乘的，并且還得對(duì)應(yīng)幾何量。這些對(duì)量的運(yùn)算加以限制的思想，盡管到了韋達(dá)哪里依舊殘留著。
笛卡爾的高手，美國(guó)物理家韋達(dá)借助歐幾里得的《原本》第一個(gè)提出了無窮等差數(shù)列的求和公式，發(fā)覺了余弦定理、正弦差公式、純射門面三角形的正弦定律等，同時(shí)還發(fā)覺了知名的韋達(dá)定律。韋達(dá)借助代數(shù)法剖析幾何問題的思想，正是后繼者笛卡爾解析幾何思想的出發(fā)點(diǎn)。
在笛卡爾的石碑上刻著這樣一句話：笛卡兒，法國(guó)文藝復(fù)興以來，第一個(gè)為人類爭(zhēng)取并保證理智權(quán)力的人。
為何如此說呢？作為理智主義的代表人物，有別于經(jīng)驗(yàn)主義者，笛卡爾深信可以用物理封住宇宙奧秘。在這點(diǎn)上，他邁出了重要的一步。
簡(jiǎn)而言之，笛卡爾通過引入單位1，輕巧地打破了對(duì)量運(yùn)算在思維上的限制。因而他引入了現(xiàn)今稱為座標(biāo)系的思想來展示怎樣使用代數(shù)來解決幾何問題。
笛卡爾和好多高手一樣，將代數(shù)等式不是當(dāng)成純數(shù)的運(yùn)算，而是指幾何量的運(yùn)算，用幾何術(shù)語來解釋所有代數(shù)運(yùn)算。
為了充分借助代數(shù)的力量，笛卡爾必須想出辦法克服古埃及的思維限制，即在一定意義上必須與過去進(jìn)行重大結(jié)怨。他為代數(shù)等式發(fā)明了一種新的幾何解釋，使代數(shù)學(xué)家甩掉了難以寫出或等嚴(yán)重限制。他解放了自己，因而也解放了他的繼任者，包括現(xiàn)今的我們。
笛卡爾選擇了一條他稱之為單位寬度的線段，寬度為，可以任意選擇。這讓他將符號(hào)解釋為一個(gè)圓形的面積，其中一條邊的寬度為，另一條邊的寬度為。這樣，他就可以放心地寫出，由于它可以被覺得是兩個(gè)面積的總和。
更重要的是，他將乘積解釋為線的寬度，因而他可以將任意冪解釋為線的寬度。也就是說，笛卡爾的線段和的乘積不一定是面積，但可以是另一個(gè)寬度，比如
但是，還可以把寬度構(gòu)造下來，如右圖所示。
在這個(gè)反例中，給定一個(gè)單位線段，構(gòu)造和的乘積。讓線段和在起始于的同一條線上下線，讓線段延展并構(gòu)造平行于的，因而形成比列(由于)。因而就是要的乘積。
其實(shí)這是一個(gè)簡(jiǎn)單的構(gòu)造，但他必須明晰給出。笛卡爾的幾何哲學(xué)并沒有讓他僅僅斷定一條線段寬度等于兩條線段寬度的乘積，他還須要建立它。
笛卡爾在他的專著《幾何》中剖析了當(dāng)時(shí)的幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)各自的異同點(diǎn)。他覺得法國(guó)人的幾何過多地依賴于圖形，而代數(shù)學(xué)卻完全受法則和公式的限制，以至于制約了自由的思想和創(chuàng)造力。
然而，笛卡爾在《幾何》中使用的潛在的座標(biāo)系中都僅有一個(gè)座標(biāo)軸是明晰的。在1649年Fransvan及其中學(xué)生將《幾何》譯成拉丁文時(shí)，為闡明其中的一些看法而引入了一些概念，包括第二個(gè)座標(biāo)軸。
題外使用字母來表示末知量聽說始于一個(gè)巧合風(fēng)波。《幾何》在排版時(shí)，打字員發(fā)覺字母表的最后幾個(gè)字母不夠用了。他問笛卡兒，書中眾多多項(xiàng)式中使用字母還是是否有關(guān)系。笛卡兒回答說，用那個(gè)字母表示末知量都行。于是這個(gè)打字員就選擇，由于字母和在英語中的使用頻車要低于。
3曲線下的面積
上面說了，開普勒進(jìn)一步迸發(fā)了你們對(duì)曲線下的面積的估算熱情。在這個(gè)問題上，三位年紀(jì)相近的物理家相繼發(fā)力，她們是美國(guó)物理家卡瓦列里（，1598-1647）、法國(guó)業(yè)余物理家費(fèi)馬（，1601-1665）和美國(guó)物理家羅伯瓦爾（，1602-1675）。
開普勒對(duì)積分的嘗試啟發(fā)了卡瓦列里，他展示了從到的積分是，通過估算多個(gè)值的結(jié)果后推測(cè)出通常結(jié)果。
卡瓦列里最大的貢獻(xiàn)是完善了祖暅原理(亦稱等冪等積定律，西方稱為卡瓦列里原理)，借助這個(gè)原理，他求得相當(dāng)于曲線下的面積。
此處插播一個(gè)作業(yè)，那就是須要估算如下級(jí)數(shù)，
阿拉伯語文家Al-（965-1040）發(fā)覺了時(shí)的求和公式，并用它來估算拋物面的容積。
而卡瓦列里將公式推廣到，之后推測(cè)更通常的情況同樣創(chuàng)立。
該公式可以用于估算個(gè)別立體的容積，甚至趕超了阿基米德和開普勒的成績(jī)。
由此還引起了以面積估算容積的方式并成為了積分發(fā)展的一個(gè)重要步驟。
羅伯瓦爾考慮了相同類型的問題，但比卡瓦列里要嚴(yán)格得多。
羅伯瓦爾覺得曲線和直線圍成的面積是由無數(shù)個(gè)無限窄的圓形條組成的。
他將這個(gè)看法應(yīng)用于，估算從到的積分，宣稱得到近似值，
羅伯瓦爾之后斷定當(dāng)趨于于無窮大時(shí)上式趨于于，由此算得面積。
有興趣的不妨用下邊公式驗(yàn)證一下里面羅伯瓦爾的推論。
例如，上式兩側(cè)同時(shí)乘以，得
當(dāng)取值越大，圓形就越多，它們的面積之和就越接近曲線圍成的面積。
因而，當(dāng)趨于于無窮大時(shí)，上式等于，直覺告訴我們這就是這種圓形的面積之和，它應(yīng)當(dāng)也等于曲線圍成的面積。
而費(fèi)馬的方式相對(duì)而言愈發(fā)嚴(yán)謹(jǐn)一些，但同樣地也沒有給出相應(yīng)證明。
他還推廣了拋物線和雙曲線，
?切線和極值
費(fèi)馬除了對(duì)解析幾何有貢獻(xiàn)，更是一位熱衷于無窮小剖析的好手，他大約是為了求極大、極小值問題引入了后來稱為行列式的概念。他寄信給笛卡爾，給出了明天使用的方式，即通過估算函數(shù)的求導(dǎo)何時(shí)為來找到極大值和極小值。
他覺得他的求切線方式是他的求極值方式的一個(gè)應(yīng)用。右圖是他對(duì)拋物線上的點(diǎn)求切線的做法。他令趨向無窮小時(shí)得到切線多項(xiàng)式。
不僅行列式，費(fèi)馬也觸摸到了微分與積分之間的關(guān)系，這主要源自對(duì)于曲線求寬度的問題。
大約在1660年前不久，出現(xiàn)了一些曲線求寬度的方式，通常是用六邊形去迫近曲線，之后應(yīng)用無窮小量或極限來處理的。費(fèi)爾馬得悉這種方式之后，自己搞了一個(gè)求半立方拋物線寬度的方式。他的這一做法是他的通常方式的典型，并挺好地表示出他的工作中各方面的內(nèi)在聯(lián)系。
對(duì)曲線上橫座標(biāo)、縱座標(biāo)的任一點(diǎn)，次切線可以用他的切線方式求得為。于是在離縱座標(biāo)距離處取切線的縱座標(biāo)，則線段可以用和來抒發(fā)。
舉個(gè)具體事例，對(duì)曲線來說，有，即曲線寬度的增量，這個(gè)相當(dāng)于后來記為的東西。在費(fèi)馬看來，當(dāng)很小時(shí)，可以看作不但在切線上，并且也在曲線上，所以曲線的寬度可以視為的線段的和。這兒須要發(fā)揮一下洞察力，這種線段的和又可以作為曲線圍成的面積，用現(xiàn)今的寫法就是，
因?yàn)檫@個(gè)面積早已才能求出，因而曲線寬度自然也可以求得。
奇怪的是，費(fèi)馬用他的極大極小值方式來求重心，他將與切線有關(guān)的曲線求長(zhǎng)問題化為一個(gè)求面積的問題，他從幾何和解析的角度在各類問題上應(yīng)用了無限小量，居然會(huì)象帕斯卡一樣，沒有見到這兩類問題之間的基本聯(lián)系。
費(fèi)馬在這種問題中用過一些示圖。這種示圖和帕斯卡所用的，十分相像，這就是后來萊布尼茨倍感對(duì)他的微分三角形深有啟發(fā)的那張圖，但是費(fèi)馬還沒有覺察到它們的深遠(yuǎn)意義。
只要費(fèi)馬能對(duì)他的拋物線和雙曲線求切線和求面積的結(jié)果更仔細(xì)地考察一下，他是可能會(huì)發(fā)覺微積分的基本定律，并如他有時(shí)被不恰當(dāng)?shù)刈鸱Q的那樣，成為微積分的真正的發(fā)明者。
費(fèi)馬其實(shí)在某種意義下理解到這兩類問題有一個(gè)互逆關(guān)系。他之所以沒有作進(jìn)一步的考慮，可能是因?yàn)樗詾樗墓ぷ髦皇乔髱缀螁栴}的解，而不是代表一種本身就很有意義的推理過程。
他的極大、極小值方式，切線方式以及求面積方式，在他看來是為解決這種問題而特有的方式，不是新的剖析學(xué)。
據(jù)悉，它們?cè)趹?yīng)用上似乎是有局限性的。費(fèi)馬只曉得如何應(yīng)用它們到有理式的情況，而牛頓和萊布尼茲通過無窮級(jí)數(shù)的應(yīng)用，認(rèn)識(shí)到這種方式的普遍性。但是，不僅巴羅以外，可能沒有物理家如費(fèi)馬這樣接近地醞釀微積分的發(fā)明。拉格朗日甚至覺得費(fèi)馬是微積分的發(fā)明者。
4沃利斯與《無窮算術(shù)》
笛卡爾引入座標(biāo)思想，將數(shù)和形之間被割裂的關(guān)系重新消弭上去。但他主要是打通三者，以便用代數(shù)去研究幾何，并沒有想將幾何構(gòu)建在代數(shù)的基礎(chǔ)上。
而幾何算術(shù)化的思想可以說是日本語文家沃利斯首先引入的，他用笛卡爾的座標(biāo)思想，從古埃及的截圓柱給出的定義導(dǎo)入多項(xiàng)式，之后反過來用這種多項(xiàng)式導(dǎo)入曲線的性質(zhì)，然后完全甩掉對(duì)圓柱的依賴了。
沃利斯（，1616-1703）是一位對(duì)牛頓影響特別大的法國(guó)物理家。
因?yàn)樗c前面牛頓等人的工作有直接關(guān)系，我們此處闡述一下沃利斯的主要成就。
通常來說，沃利斯是最早把圓柱曲線當(dāng)成二次曲線加以討論的人，自此甩掉了過去將圓柱曲線視為圓柱截線的純幾何觀念。
沃利斯在笛卡爾的基礎(chǔ)上大膽引進(jìn)了負(fù)的座標(biāo)值，實(shí)現(xiàn)圓柱曲線的算術(shù)化，對(duì)建立和傳播座標(biāo)幾何的思想起了重要作用。
他的《無窮算術(shù)》一書，本質(zhì)上是以算術(shù)的形式大大擴(kuò)充了卡瓦列里的不可分原理。
在這本書中他甚至還提出了極限的初步概念：變量的極限，是變量能這么迫近的一個(gè)常數(shù)，使它們之間的差就能大于任何給定的量。
這個(gè)定義似乎還不夠嚴(yán)密牛頓三大定律公式及定義，但卻向極限的精確定義邁入了重要的一步。
牛頓曾說：大概在我的物理生涯早期，那時(shí)我們杰出的同胞沃利斯博士的專著剛才落入我的手里，他考慮到級(jí)數(shù)，用級(jí)數(shù)插入法求出了圓與雙曲線的面積。
為此，英國(guó)語文史家波耶（Boyer）說：
牛頓承認(rèn)他在剖析和流數(shù)方面的第一次發(fā)覺，是受沃利斯的《無窮算術(shù)》的啟發(fā)。
說了一堆文字，我們來看點(diǎn)算術(shù)化涉及到的實(shí)實(shí)在在的算式。
沃利斯推廣了整數(shù)冪的運(yùn)算，將指數(shù)的定義從正整數(shù)擴(kuò)展至有理數(shù)，即包括、負(fù)數(shù)以及分?jǐn)?shù)。
他首次引進(jìn)了延用至今的無窮大記號(hào)。
他在《無窮算術(shù)》中具體討論了這些技巧。
他用代數(shù)方式估算了的積分，即曲線下的面積，證明這個(gè)面積是等高等底的平行四邊形（未規(guī)定使用直角座標(biāo)系）的面積的。
可以理解，他的一些結(jié)果跟他人已得出的結(jié)果是等價(jià)的。
比如，對(duì)正整數(shù)，可以證明當(dāng)時(shí)，有
因而得出，
沃利斯覺得代數(shù)方式的簡(jiǎn)明并不遜于幾何的直觀，為此他更喜歡使用代數(shù)方式，而且使代數(shù)甩掉對(duì)幾何的依賴。
之后更進(jìn)一步，他給出了處理分?jǐn)?shù)次冪的新途徑，他直接去求，而不再像費(fèi)馬做過的那樣去考慮曲線。
他首先求出了，，，辦法是考慮跟，，曲線下面積互補(bǔ)的面積，之后通過跟已得結(jié)果得出其它分?jǐn)?shù)次冪的結(jié)果。
但是，有一點(diǎn)不得不說：沃利斯的推理按明天的標(biāo)準(zhǔn)來看，是極端不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?span style="display:none">DoH物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))
比如，他會(huì)依據(jù)對(duì)觀察到的一種模式，便按照歸納法宣布一個(gè)對(duì)所有正整數(shù)均創(chuàng)立的公式，甚至依照配準(zhǔn)法宣布對(duì)為分?jǐn)?shù)時(shí)也創(chuàng)立。
他的大膽有個(gè)益處，就是可以導(dǎo)入一些了不起的公式，比如他知名的無限乘積公式。
沃利斯其實(shí)引進(jìn)了分?jǐn)?shù)次冪，而且估算了一些個(gè)別冪次曲線的面積，但有一條你們熟悉的曲線的面積難住了他。
那就是圓的面積，其多項(xiàng)式為，由于他未能將其展開為的冪級(jí)數(shù)。但是，他制訂了配準(zhǔn)原理。
沃利斯企圖將他的方式拿來估算圓的面積牛頓三大定律公式及定義，即四分之一圓對(duì)應(yīng)的曲線，
此時(shí)指數(shù)是分?jǐn)?shù)，這也許要用到廣義二項(xiàng)式定律，但他顯然沒有考慮這個(gè)問題，因而在估算圓面積這個(gè)問題上遇到了麻煩。
但是，他發(fā)覺圓的縱座標(biāo)是曲線和的縱坐標(biāo)的幾何平均值。
這時(shí)，他想到了插補(bǔ)法，將半圓的面積取為和的兩個(gè)積分值的幾何平均值，其實(shí)這只是作為近似值。
即和的幾何平均值；這相當(dāng)于將作為的值。
其實(shí)，沃利斯似乎不滿足于這樣的結(jié)果。
他繼續(xù)尋思，總算想到一個(gè)法子。
牛頓極有很可能是受此方式的啟發(fā)而發(fā)覺了廣義二項(xiàng)式定律，因而，我們有必要來看一看沃利斯的這個(gè)技巧。
首先，沃利斯把問題統(tǒng)一成如下方式，
其中，和都是整數(shù)。
沃利斯發(fā)覺上述積分總是某個(gè)整數(shù)的倒數(shù)，即，
比如，和時(shí)，有
沃利斯為了找出規(guī)律，便估算各類的組合，并將它們的值制成一個(gè)表。
實(shí)際上，沃利斯估算了比前面更多的情況，由于他希望通過這張表發(fā)覺一個(gè)用和表示的通用公式。
另外，他想著若果當(dāng)和不是整數(shù)時(shí)，這個(gè)公式仍舊創(chuàng)立的話，他可以代入，那豈不是可以估算想要的答案了，
理想是美好的，現(xiàn)實(shí)也還將就。
他也確實(shí)發(fā)覺了一些規(guī)律，那就是，
比如，在第2行中的值為，
以及第3行，
問題是沃利斯想要估算的是，代入上面早已發(fā)覺的公式，得
這哪些東東，分?jǐn)?shù)的階乘！？沃利斯那年代還沒有這個(gè)玩意。
但作為物理家，怎能被這點(diǎn)事情難倒？
沃利斯自然是不踟躕的，他繼續(xù)想辦法制表。
哪些辦法呢？雖然就是按照已知去猜未知，這而且有學(xué)名的，叫插補(bǔ)法。
我們來瞧瞧這個(gè)表，
這個(gè)時(shí)侯他不管三七二十一，假定為整數(shù)，將設(shè)為分?jǐn)?shù)代入上面的多項(xiàng)式，例如，
沃利斯在這兒純粹是試探性的，他不確定當(dāng)或不是整數(shù)時(shí)，上述公式是否仍舊對(duì)應(yīng)相應(yīng)的積分值。
辛運(yùn)的是，他居然猜對(duì)了，之后他得到了公式，即
簡(jiǎn)單總結(jié)就是：能算的把它們算下來，找出規(guī)律得到公式，算不了的就強(qiáng)行代入這個(gè)公式去算，這即使插補(bǔ)！
前面是一個(gè)遞歸公式，但起碼兩側(cè)對(duì)于任何數(shù)字都是有意義的。
同樣，沃利斯只曉得這個(gè)公式在整數(shù)的情況下是創(chuàng)立的，之后他假定對(duì)于非整數(shù)也是正確的。
這樣子，他就可以大膽地在任意行中往右填充。比如，在行中，他得到
像這樣繼續(xù)下去，他最終完成了那一行的值，具體如下所示,
其中，，也就是，
還記得前文說過表中這種值是積分的倒數(shù)嗎？隨著的降低，積分會(huì)變小，因而這種值會(huì)變大。
于是由前面表中的最后三項(xiàng)可得，
將代入，得
兩側(cè)夾逼之下，隨著的減小，這個(gè)連乘積將收斂。
通過這些方法，沃利斯得到了如下令人超級(jí)驚訝的連乘公式，
好了，沃利斯的配準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)到此告一段落。
為何要說這個(gè)事情呢？對(duì)微積分的誕生很重要嗎？
也不算是，然而，可能對(duì)牛頓的影響比較大：一方面是處理分?jǐn)?shù)次冪，另一方面可能也教會(huì)了牛頓去大膽地猜。
我們很快會(huì)看見，牛頓似乎也確實(shí)學(xué)到了這一招。
如此做不是簡(jiǎn)單地猜，或則說歸納。背后有我的看法，那就是對(duì)連續(xù)性的信念。自然數(shù)不是孤立的，有分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)，甚至有復(fù)數(shù)，我接受這種數(shù)的合法地位，因而我相信它們可以依循同一個(gè)規(guī)律，所以我敢將它們代入同一個(gè)公式。
?橢圓
最后，不曉得你們有沒有想過，古人是怎樣定義橢圓的？
首先，遺憾的是，我國(guó)唐代仍然沒有認(rèn)識(shí)到橢圓曲線。而古埃及人我們?cè)缫颜f過是通過截取圓柱得到的橢圓。并且橢圓軌跡的等式呢？是如何來的呢？
我們來看一下沃利斯對(duì)橢圓的定義：
沃利斯首次采用代數(shù)語言將橢圓定義為具有性質(zhì)的平面圖形，其中為半徑，為通徑（過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弧長(zhǎng)），為橢圓上任意一點(diǎn)的座標(biāo)。沃利斯的定義并沒有為后人直接采用，而他為橢圓標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式的確立開了一個(gè)頭。
早在古埃及，橢圓的原始定義構(gòu)建在立體圖形上，須要一定的空間想像。而橢圓的平面性質(zhì)，如焦直徑性質(zhì)早已為阿波羅尼斯所發(fā)覺，但直至17世紀(jì)，人們才漸漸革除橢圓的原始定義，歷史同樣驚人地跨越了漫長(zhǎng)的兩千年！
雖然古埃及人早已將圓柱曲線看作軌跡，但在座標(biāo)幾何誕生之前，將曲線看成軌跡并不是研究曲線性質(zhì)的前提，人們雖然并不須要采用新定義。只有在座標(biāo)幾何誕生以后，須要將曲線看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡以完善其多項(xiàng)式，或依據(jù)多項(xiàng)式研究曲線的性質(zhì)，而不再依賴幾何語言和幾何方法。
最后再提一下，在當(dāng)時(shí)以及包括后來的牛頓萊布尼茲時(shí)代，對(duì)數(shù)學(xué)（非常是剖析）的論證遠(yuǎn)沒有這么嚴(yán)謹(jǐn)。我們將很快見識(shí)到牛頓順著沃利斯的步法叩開微積分房門。