摘要：本文主要介紹數(shù)學(xué)學(xué)中的對(duì)稱性、因果關(guān)系與守恒定理
在現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)中對(duì)稱性是個(gè)很深刻的問題。在粒子化學(xué)、固體化學(xué)、原子化學(xué)等許多領(lǐng)域里，對(duì)稱性的概念都很重要。對(duì)稱性的概念最初來始于生活。在藝術(shù)、建筑等領(lǐng)域中，所謂“對(duì)稱”，一般是指左右對(duì)稱。人體本身就有近似左和右的對(duì)稱性。各種建筑，非常是唐代建筑都有較高的左右對(duì)稱性。不僅左右對(duì)稱之外，還有軸對(duì)稱、球?qū)ΨQ等等。
圖1祈年殿
哪些是對(duì)稱性？
為了介紹對(duì)稱性的普遍定義，我們先引進(jìn)一些概念。首先是“系統(tǒng)”如何判斷動(dòng)量和角動(dòng)量是否守恒，它是我們討論問題的對(duì)象；其次是“狀態(tài)”，同一系統(tǒng)可以處在不同的狀態(tài)；不同的狀態(tài)可以是“等價(jià)的”，也可以是“不等價(jià)的”。我們把系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)狀態(tài)的過程稱作“變換”，或則說，我們給它一個(gè)“操作”。假如一個(gè)操作使系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)與之等價(jià)的狀態(tài)，或則說，狀態(tài)在此操作下不變，我們就說該系統(tǒng)對(duì)于這一操作是“對(duì)稱的”，而這個(gè)操作稱作該系統(tǒng)的一個(gè)“對(duì)稱操作”。
圖2旋轉(zhuǎn)的陀螺
比如，一個(gè)圓對(duì)于圍繞中心旋轉(zhuǎn)任意角度的操作來說是對(duì)稱的；或則說，旋轉(zhuǎn)任意角度的操作都是該圓的對(duì)稱操作。假如我們?cè)趫A內(nèi)加一對(duì)互相垂直的半徑，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)稱操作就少多了。拐角必須是90度的整數(shù)倍，操作才是對(duì)稱的。
1951年，荷蘭物理家外爾提出了關(guān)于對(duì)稱性的普遍嚴(yán)格的定義：“如果一個(gè)操作使系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變到另一個(gè)與之等價(jià)的狀態(tài)，或則說，狀態(tài)在此操作下不變，我們就說系統(tǒng)對(duì)于這一操作使對(duì)稱的，而這個(gè)操作稱作這個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)對(duì)稱操作。”常見的對(duì)稱性時(shí)空操作有空間的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)以及時(shí)間的平移。
圖3英國(guó)物理家外爾
一個(gè)物體發(fā)生一平移后，若仍和原先相同，這形體就具有空間平移對(duì)稱性。平移對(duì)稱性有高低之分，一條無窮長(zhǎng)直線對(duì)沿自身反向任意大小的平移都是對(duì)稱的。一個(gè)無窮大平面對(duì)沿平面內(nèi)的任何方向平移都是對(duì)稱的。但晶體構(gòu)成六面體晶格點(diǎn)陣只對(duì)沿確定方向，但是一次平移的“步長(zhǎng)”具有確定值的平移才是對(duì)稱的，顯見晶體的平移對(duì)稱性就低。
假如使物體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，若仍和原先相同，這么這些對(duì)稱稱作轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱或軸對(duì)稱。軸對(duì)稱也有級(jí)次之別。如樹枝圖形繞中心線旋轉(zhuǎn)180度后可恢復(fù)原狀如何判斷動(dòng)量和角動(dòng)量是否守恒，而圓形的雪花繞通過中心的垂直軸轉(zhuǎn)動(dòng)60度后就可以恢復(fù)原狀。前者比后者的對(duì)稱性級(jí)次高。天壇祈年殿的外型繞其中心垂直軸幾乎旋轉(zhuǎn)過任意角度都和原狀一樣，所以它具有更中級(jí)次的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性。
圖4楓葉的對(duì)稱性
一個(gè)奢華不變的系統(tǒng)對(duì)任何間隔Δt的時(shí)間平移表現(xiàn)出不變性，而一個(gè)周期性變化的系統(tǒng)（如單擺）只對(duì)周期性T數(shù)倍的時(shí)間平移不變。她們都具有一定的時(shí)間平移對(duì)稱性。
化學(xué)定理的對(duì)稱性
以上對(duì)稱性都是指某個(gè)系統(tǒng)或具體事務(wù)的對(duì)稱性，另一類對(duì)稱性是數(shù)學(xué)定理的對(duì)稱性，它是指經(jīng)過一定的操作后，化學(xué)定理的方式保持不變。因而化學(xué)定理的對(duì)稱性又叫不變性，這類對(duì)稱性在數(shù)學(xué)學(xué)中具有更深刻的意義。
圖5牛頓第二定理驗(yàn)證試驗(yàn)裝置
數(shù)學(xué)定理的空間平移對(duì)稱性。
構(gòu)想我們?cè)诳臻g某處做一個(gè)化學(xué)實(shí)驗(yàn)，之后將這套實(shí)驗(yàn)（連同影響該實(shí)驗(yàn)的一切外部誘因）平移到另一處。假如給予同樣的起始條件，實(shí)驗(yàn)將會(huì)以完全相同的方法進(jìn)行。這說明化學(xué)定理沒有因平移而發(fā)生變化。這就是數(shù)學(xué)定理的空間平移對(duì)稱性。它表明空間各處對(duì)數(shù)學(xué)定理是一樣的，所以又稱作空間的均勻性。
圖6邁克爾遜莫雷試驗(yàn)示意圖
數(shù)學(xué)定理的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性。
假如再空間某處做實(shí)驗(yàn)后，把整套儀器（連同影響實(shí)驗(yàn)的一切外部誘因）轉(zhuǎn)一個(gè)角度，則在相同的起始條件下，實(shí)驗(yàn)也會(huì)以完全相同的形式進(jìn)行，這說明數(shù)學(xué)定理并沒有因轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生變化。這就是數(shù)學(xué)定理的轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性。它表明空間的各個(gè)方向?qū)?shù)學(xué)定理是一樣的，所以又稱作空間的各向同性。
數(shù)學(xué)定理的時(shí)間平移對(duì)稱性。
假如我們用一套儀器做實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行的方法或只需和此實(shí)驗(yàn)開始的時(shí)刻無關(guān)的。無論在哪些時(shí)侯開始做實(shí)驗(yàn)，我們得到完全一樣的結(jié)果，這個(gè)事實(shí)表示了數(shù)學(xué)定理的時(shí)間平移的對(duì)稱性。
圖7牛頓擺
關(guān)于數(shù)學(xué)定理的對(duì)稱性有一條很重要的定理——對(duì)應(yīng)于每一種對(duì)稱性都有一條守恒定理。諸如，對(duì)應(yīng)于空間均勻性有動(dòng)量守恒定理，對(duì)應(yīng)于空間的各向同性有角動(dòng)量守恒定理，對(duì)應(yīng)于時(shí)間平移對(duì)稱性有能量守恒定理，對(duì)應(yīng)于空間反演對(duì)稱性有宇稱守恒定理等。
在時(shí)間反演變換下，保守力f、加速度a和質(zhì)量m都是不變的，所以牛頓第二定理f=ma對(duì)于保守力具有時(shí)間反演不變性，這是數(shù)學(xué)定理的對(duì)稱性。地面上一個(gè)物體所受的重力f=mg所具有的時(shí)間反演不變性，也是數(shù)學(xué)定理的對(duì)稱性。在重力作用下的自由落體，經(jīng)過時(shí)間反演，就弄成了上拋物體，它的速率反向了，其運(yùn)動(dòng)具有時(shí)間反演不變性。若把自由落體的錄象倒過來播放，聽眾不能判定正反。為何？由于二者都符合數(shù)學(xué)規(guī)律。（這兒沒有考慮空氣的阻力）
圖8蘋果自由落體運(yùn)動(dòng)
在速率不大的情況下，空氣阻力f=-γv，符號(hào)表示阻力的方向總與速率v相反。在時(shí)間反演變換下v→-v，因而阻力公式弄成f=γv。亦稱阻力公式不具有時(shí)間反演不變性。這就是數(shù)學(xué)規(guī)律對(duì)于時(shí)間反演的不對(duì)稱性了。若果將空氣阻力效應(yīng)顯著的落體運(yùn)動(dòng)錄出來，倒著放映，聽眾才會(huì)察覺不對(duì)頭，由于它違背化學(xué)規(guī)律。
因果關(guān)系和對(duì)稱性原理
自然規(guī)律反映了事務(wù)之間的因果關(guān)系。所謂“因果關(guān)系”就是在一定條件下回出現(xiàn)一定的現(xiàn)象。在這些情況下我們把后者（條件）稱為“原因”，前者（現(xiàn)象）稱為“結(jié)果”。要構(gòu)成一條穩(wěn)定的因果關(guān)系，最重要的須要有兩條：可重復(fù)性和預(yù)見性。雖然這就是科學(xué)本身存在的必要前提。以上兩條性質(zhì)要求“相同的誘因必將形成相同的結(jié)果”。但宏觀世界的事務(wù)沒有絕對(duì)相同的，我們可以把用詞放寬一些，用“等價(jià)”一詞取代“相同”，把因果關(guān)系歸結(jié)為：等價(jià)的誘因→等價(jià)的結(jié)果。這兒的箭頭表示“必定形成”。這就是因果性的等價(jià)原理。
圖9雞和蛋之間的因果關(guān)系
一個(gè)操作形成“相同”或“等價(jià)”的療效，就是不變性，不變性也就是對(duì)稱性。所以用對(duì)稱性的語言來說，上述等價(jià)原理可以改寫成下述公式：對(duì)稱性的誘因→對(duì)稱性的結(jié)果。
應(yīng)當(dāng)注意，因果關(guān)系的等價(jià)原理中箭頭是雙向的，即只有“等價(jià)的誘因必將形成等價(jià)的結(jié)果”，并且等價(jià)的結(jié)果可能來始于不等價(jià)的緣由。因而上列用對(duì)稱性來抒發(fā)的因果關(guān)系中箭頭也是雙向的，即對(duì)稱的結(jié)果也可能來始于不對(duì)稱的緣由，所以我們說：緣由中的對(duì)稱性未必反映在結(jié)果中，即結(jié)果中的對(duì)稱性之少有誘因中的對(duì)稱性這么多。反過來應(yīng)當(dāng)說：結(jié)果中的不對(duì)稱性必在誘因中有反映，即緣由中的不對(duì)稱性起碼有結(jié)果中的不對(duì)稱性這么多。這個(gè)原理稱作對(duì)稱性原理，它是皮埃爾?居里于1894年首先提出來的。
圖10能量轉(zhuǎn)化的基本規(guī)律
守恒定理與對(duì)稱性
客觀世界中存在個(gè)別對(duì)稱性，如時(shí)間的平移對(duì)稱性、空間的平移對(duì)稱性、空間的各向同性等，每一種對(duì)稱性都對(duì)應(yīng)有一條守恒定理。對(duì)此，美國(guó)物理家諾特于1918年進(jìn)行了嚴(yán)格的論證。看一下能量守恒定理。從宏觀的角度看，物體系有保守系和非保守系之分，后者機(jī)械能守恒，前者則不然。從微觀的角度看無所謂耗散力，在一切系統(tǒng)中，粒子與粒子之間的互相作用可通過互相作用勢(shì)（分子力勢(shì)能）來抒發(fā)。
圖11尼克斯發(fā)射符合動(dòng)量守恒原理
時(shí)間均勻性，或則說，時(shí)間平移不變性意味著，這些互相作用勢(shì)只與兩粒子的相對(duì)位置有關(guān)，亦稱對(duì)于同樣的相對(duì)位置，粒子間的互相作用勢(shì)不應(yīng)隨時(shí)間而變。在這些情況下系統(tǒng)的總能量（動(dòng)能+勢(shì)能）自然是守恒的。
我們可以舉例來說明，在相反的情況下能量可以不守恒。某市建設(shè)了一個(gè)抽水蓄能電廠，夜晚用電低潮是抽水上山，晚上用電高峰時(shí)防水發(fā)電。借助晝夜能源的價(jià)值不同，可以獲得挺好的經(jīng)濟(jì)效益。如果晝夜變化的除了是能源的價(jià)值，并且是重力加速度g（它代表著萬有引力的硬度），從而水閘中同樣水位所蓄的重力勢(shì)能mgh做周期性的變化，則抽水蓄能電廠獲得的除了是經(jīng)濟(jì)效益，并且是能力的盈余。于是永動(dòng)機(jī)的夢(mèng)想實(shí)現(xiàn)了。而時(shí)間的平移不變性不容許出現(xiàn)此類情況。
要曉得牛頓第三定理，即斥力和反斥力大小相等，方向相反和動(dòng)量守恒定理是等價(jià)的，我們同樣可以借助空間平移不變性推出動(dòng)量守恒定理。也可以借助空間的各向同性推出角動(dòng)量守恒定理。
本文關(guān)于對(duì)稱性、因果關(guān)系與守恒定理就介紹到這兒了。男子伴們大家有哪些想說的嗎？歡迎在下方的評(píng)論區(qū)上面留言參與。