摘要：本文主要介紹數(shù)學(xué)學(xué)中的對稱性、因果關(guān)系與守恒定理
在現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)中對稱性是個很深刻的問題。在粒子化學(xué)、固體化學(xué)、原子化學(xué)等許多領(lǐng)域里，對稱性的概念都很重要。對稱性的概念最初來始于生活。在藝術(shù)、建筑等領(lǐng)域中，所謂“對稱”，一般是指左右對稱。人體本身就有近似左和右的對稱性。各種建筑，非常是唐代建筑都有較高的左右對稱性。不僅左右對稱之外，還有軸對稱、球?qū)ΨQ等等。
圖1祈年殿
哪些是對稱性？
為了介紹對稱性的普遍定義，我們先引進(jìn)一些概念。首先是“系統(tǒng)”如何判斷動量和角動量是否守恒，它是我們討論問題的對象；其次是“狀態(tài)”，同一系統(tǒng)可以處在不同的狀態(tài)；不同的狀態(tài)可以是“等價的”，也可以是“不等價的”。我們把系統(tǒng)從一個狀態(tài)變到另一個狀態(tài)的過程稱作“變換”，或則說，我們給它一個“操作”。假如一個操作使系統(tǒng)從一個狀態(tài)變到另一個與之等價的狀態(tài)，或則說，狀態(tài)在此操作下不變，我們就說該系統(tǒng)對于這一操作是“對稱的”，而這個操作稱作該系統(tǒng)的一個“對稱操作”。
圖2旋轉(zhuǎn)的陀螺
比如，一個圓對于圍繞中心旋轉(zhuǎn)任意角度的操作來說是對稱的；或則說，旋轉(zhuǎn)任意角度的操作都是該圓的對稱操作。假如我們在圓內(nèi)加一對互相垂直的半徑，這個系統(tǒng)的對稱操作就少多了。拐角必須是90度的整數(shù)倍，操作才是對稱的。
1951年，荷蘭物理家外爾提出了關(guān)于對稱性的普遍嚴(yán)格的定義：“如果一個操作使系統(tǒng)從一個狀態(tài)變到另一個與之等價的狀態(tài)，或則說，狀態(tài)在此操作下不變，我們就說系統(tǒng)對于這一操作使對稱的，而這個操作稱作這個系統(tǒng)的一個對稱操作。”常見的對稱性時空操作有空間的平移和轉(zhuǎn)動以及時間的平移。
圖3英國物理家外爾
一個物體發(fā)生一平移后，若仍和原先相同，這形體就具有空間平移對稱性。平移對稱性有高低之分，一條無窮長直線對沿自身反向任意大小的平移都是對稱的。一個無窮大平面對沿平面內(nèi)的任何方向平移都是對稱的。但晶體構(gòu)成六面體晶格點(diǎn)陣只對沿確定方向，但是一次平移的“步長”具有確定值的平移才是對稱的，顯見晶體的平移對稱性就低。
假如使物體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動一個角度，若仍和原先相同，這么這些對稱稱作轉(zhuǎn)動對稱或軸對稱。軸對稱也有級次之別。如樹枝圖形繞中心線旋轉(zhuǎn)180度后可恢復(fù)原狀如何判斷動量和角動量是否守恒，而圓形的雪花繞通過中心的垂直軸轉(zhuǎn)動60度后就可以恢復(fù)原狀。前者比后者的對稱性級次高。天壇祈年殿的外型繞其中心垂直軸幾乎旋轉(zhuǎn)過任意角度都和原狀一樣，所以它具有更中級次的轉(zhuǎn)動對稱性。
圖4楓葉的對稱性
一個奢華不變的系統(tǒng)對任何間隔Δt的時間平移表現(xiàn)出不變性，而一個周期性變化的系統(tǒng)（如單擺）只對周期性T數(shù)倍的時間平移不變。她們都具有一定的時間平移對稱性。
化學(xué)定理的對稱性
以上對稱性都是指某個系統(tǒng)或具體事務(wù)的對稱性，另一類對稱性是數(shù)學(xué)定理的對稱性，它是指經(jīng)過一定的操作后，化學(xué)定理的方式保持不變。因而化學(xué)定理的對稱性又叫不變性，這類對稱性在數(shù)學(xué)學(xué)中具有更深刻的意義。
圖5牛頓第二定理驗(yàn)證試驗(yàn)裝置
數(shù)學(xué)定理的空間平移對稱性。
構(gòu)想我們在空間某處做一個化學(xué)實(shí)驗(yàn)，之后將這套實(shí)驗(yàn)（連同影響該實(shí)驗(yàn)的一切外部誘因）平移到另一處。假如給予同樣的起始條件，實(shí)驗(yàn)將會以完全相同的方法進(jìn)行。這說明化學(xué)定理沒有因平移而發(fā)生變化。這就是數(shù)學(xué)定理的空間平移對稱性。它表明空間各處對數(shù)學(xué)定理是一樣的，所以又稱作空間的均勻性。
圖6邁克爾遜莫雷試驗(yàn)示意圖
數(shù)學(xué)定理的轉(zhuǎn)動對稱性。
假如再空間某處做實(shí)驗(yàn)后，把整套儀器（連同影響實(shí)驗(yàn)的一切外部誘因）轉(zhuǎn)一個角度，則在相同的起始條件下，實(shí)驗(yàn)也會以完全相同的形式進(jìn)行，這說明數(shù)學(xué)定理并沒有因轉(zhuǎn)動而發(fā)生變化。這就是數(shù)學(xué)定理的轉(zhuǎn)動對稱性。它表明空間的各個方向?qū)?shù)學(xué)定理是一樣的，所以又稱作空間的各向同性。
數(shù)學(xué)定理的時間平移對稱性。
假如我們用一套儀器做實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行的方法或只需和此實(shí)驗(yàn)開始的時刻無關(guān)的。無論在哪些時侯開始做實(shí)驗(yàn)，我們得到完全一樣的結(jié)果，這個事實(shí)表示了數(shù)學(xué)定理的時間平移的對稱性。
圖7牛頓擺
關(guān)于數(shù)學(xué)定理的對稱性有一條很重要的定理——對應(yīng)于每一種對稱性都有一條守恒定理。諸如，對應(yīng)于空間均勻性有動量守恒定理，對應(yīng)于空間的各向同性有角動量守恒定理，對應(yīng)于時間平移對稱性有能量守恒定理，對應(yīng)于空間反演對稱性有宇稱守恒定理等。
在時間反演變換下，保守力f、加速度a和質(zhì)量m都是不變的，所以牛頓第二定理f=ma對于保守力具有時間反演不變性，這是數(shù)學(xué)定理的對稱性。地面上一個物體所受的重力f=mg所具有的時間反演不變性，也是數(shù)學(xué)定理的對稱性。在重力作用下的自由落體，經(jīng)過時間反演，就弄成了上拋物體，它的速率反向了，其運(yùn)動具有時間反演不變性。若把自由落體的錄象倒過來播放，聽眾不能判定正反。為何？由于二者都符合數(shù)學(xué)規(guī)律。（這兒沒有考慮空氣的阻力）
圖8蘋果自由落體運(yùn)動
在速率不大的情況下，空氣阻力f=-γv，符號表示阻力的方向總與速率v相反。在時間反演變換下v→-v，因而阻力公式弄成f=γv。亦稱阻力公式不具有時間反演不變性。這就是數(shù)學(xué)規(guī)律對于時間反演的不對稱性了。若果將空氣阻力效應(yīng)顯著的落體運(yùn)動錄出來，倒著放映，聽眾才會察覺不對頭，由于它違背化學(xué)規(guī)律。
因果關(guān)系和對稱性原理
自然規(guī)律反映了事務(wù)之間的因果關(guān)系。所謂“因果關(guān)系”就是在一定條件下回出現(xiàn)一定的現(xiàn)象。在這些情況下我們把后者（條件）稱為“原因”，前者（現(xiàn)象）稱為“結(jié)果”。要構(gòu)成一條穩(wěn)定的因果關(guān)系，最重要的須要有兩條：可重復(fù)性和預(yù)見性。雖然這就是科學(xué)本身存在的必要前提。以上兩條性質(zhì)要求“相同的誘因必將形成相同的結(jié)果”。但宏觀世界的事務(wù)沒有絕對相同的，我們可以把用詞放寬一些，用“等價”一詞取代“相同”，把因果關(guān)系歸結(jié)為：等價的誘因→等價的結(jié)果。這兒的箭頭表示“必定形成”。這就是因果性的等價原理。
圖9雞和蛋之間的因果關(guān)系
一個操作形成“相同”或“等價”的療效，就是不變性，不變性也就是對稱性。所以用對稱性的語言來說，上述等價原理可以改寫成下述公式：對稱性的誘因→對稱性的結(jié)果。
應(yīng)當(dāng)注意，因果關(guān)系的等價原理中箭頭是雙向的，即只有“等價的誘因必將形成等價的結(jié)果”，并且等價的結(jié)果可能來始于不等價的緣由。因而上列用對稱性來抒發(fā)的因果關(guān)系中箭頭也是雙向的，即對稱的結(jié)果也可能來始于不對稱的緣由，所以我們說：緣由中的對稱性未必反映在結(jié)果中，即結(jié)果中的對稱性之少有誘因中的對稱性這么多。反過來應(yīng)當(dāng)說：結(jié)果中的不對稱性必在誘因中有反映，即緣由中的不對稱性起碼有結(jié)果中的不對稱性這么多。這個原理稱作對稱性原理，它是皮埃爾?居里于1894年首先提出來的。
圖10能量轉(zhuǎn)化的基本規(guī)律
守恒定理與對稱性
客觀世界中存在個別對稱性，如時間的平移對稱性、空間的平移對稱性、空間的各向同性等，每一種對稱性都對應(yīng)有一條守恒定理。對此，美國物理家諾特于1918年進(jìn)行了嚴(yán)格的論證。看一下能量守恒定理。從宏觀的角度看，物體系有保守系和非保守系之分，后者機(jī)械能守恒，前者則不然。從微觀的角度看無所謂耗散力，在一切系統(tǒng)中，粒子與粒子之間的互相作用可通過互相作用勢（分子力勢能）來抒發(fā)。
圖11尼克斯發(fā)射符合動量守恒原理
時間均勻性，或則說，時間平移不變性意味著，這些互相作用勢只與兩粒子的相對位置有關(guān)，亦稱對于同樣的相對位置，粒子間的互相作用勢不應(yīng)隨時間而變。在這些情況下系統(tǒng)的總能量（動能+勢能）自然是守恒的。
我們可以舉例來說明，在相反的情況下能量可以不守恒。某市建設(shè)了一個抽水蓄能電廠，夜晚用電低潮是抽水上山，晚上用電高峰時防水發(fā)電。借助晝夜能源的價值不同，可以獲得挺好的經(jīng)濟(jì)效益。如果晝夜變化的除了是能源的價值，并且是重力加速度g（它代表著萬有引力的硬度），從而水閘中同樣水位所蓄的重力勢能mgh做周期性的變化，則抽水蓄能電廠獲得的除了是經(jīng)濟(jì)效益，并且是能力的盈余。于是永動機(jī)的夢想實(shí)現(xiàn)了。而時間的平移不變性不容許出現(xiàn)此類情況。
要曉得牛頓第三定理，即斥力和反斥力大小相等，方向相反和動量守恒定理是等價的，我們同樣可以借助空間平移不變性推出動量守恒定理。也可以借助空間的各向同性推出角動量守恒定理。
本文關(guān)于對稱性、因果關(guān)系與守恒定理就介紹到這兒了。男子伴們大家有哪些想說的嗎？歡迎在下方的評論區(qū)上面留言參與。