摘要：本文主要介紹數學學中的對稱性、因果關系與守恒定理
在現代數學學中對稱性是個很深刻的問題。在粒子化學、固體化學、原子化學等許多領域里，對稱性的概念都很重要。對稱性的概念最初來始于生活。在藝術、建筑等領域中，所謂“對稱”，一般是指左右對稱。人體本身就有近似左和右的對稱性。各種建筑，非常是唐代建筑都有較高的左右對稱性。不僅左右對稱之外，還有軸對稱、球對稱等等。
圖1祈年殿
哪些是對稱性？
為了介紹對稱性的普遍定義，我們先引進一些概念。首先是“系統”如何判斷動量和角動量是否守恒，它是我們討論問題的對象；其次是“狀態”，同一系統可以處在不同的狀態；不同的狀態可以是“等價的”，也可以是“不等價的”。我們把系統從一個狀態變到另一個狀態的過程稱作“變換”，或則說，我們給它一個“操作”。假如一個操作使系統從一個狀態變到另一個與之等價的狀態，或則說，狀態在此操作下不變，我們就說該系統對于這一操作是“對稱的”，而這個操作稱作該系統的一個“對稱操作”。
圖2旋轉的陀螺
比如，一個圓對于圍繞中心旋轉任意角度的操作來說是對稱的；或則說，旋轉任意角度的操作都是該圓的對稱操作。假如我們在圓內加一對互相垂直的半徑，這個系統的對稱操作就少多了。拐角必須是90度的整數倍，操作才是對稱的。
1951年，荷蘭物理家外爾提出了關于對稱性的普遍嚴格的定義：“如果一個操作使系統從一個狀態變到另一個與之等價的狀態，或則說，狀態在此操作下不變，我們就說系統對于這一操作使對稱的，而這個操作稱作這個系統的一個對稱操作。”常見的對稱性時空操作有空間的平移和轉動以及時間的平移。
圖3英國物理家外爾
一個物體發生一平移后，若仍和原先相同，這形體就具有空間平移對稱性。平移對稱性有高低之分，一條無窮長直線對沿自身反向任意大小的平移都是對稱的。一個無窮大平面對沿平面內的任何方向平移都是對稱的。但晶體構成六面體晶格點陣只對沿確定方向，但是一次平移的“步長”具有確定值的平移才是對稱的，顯見晶體的平移對稱性就低。
假如使物體繞某一固定軸轉動一個角度，若仍和原先相同，這么這些對稱稱作轉動對稱或軸對稱。軸對稱也有級次之別。如樹枝圖形繞中心線旋轉180度后可恢復原狀如何判斷動量和角動量是否守恒，而圓形的雪花繞通過中心的垂直軸轉動60度后就可以恢復原狀。前者比后者的對稱性級次高。天壇祈年殿的外型繞其中心垂直軸幾乎旋轉過任意角度都和原狀一樣，所以它具有更中級次的轉動對稱性。
圖4楓葉的對稱性
一個奢華不變的系統對任何間隔Δt的時間平移表現出不變性，而一個周期性變化的系統（如單擺）只對周期性T數倍的時間平移不變。她們都具有一定的時間平移對稱性。
化學定理的對稱性
以上對稱性都是指某個系統或具體事務的對稱性，另一類對稱性是數學定理的對稱性，它是指經過一定的操作后，化學定理的方式保持不變。因而化學定理的對稱性又叫不變性，這類對稱性在數學學中具有更深刻的意義。
圖5牛頓第二定理驗證試驗裝置
數學定理的空間平移對稱性。
構想我們在空間某處做一個化學實驗，之后將這套實驗（連同影響該實驗的一切外部誘因）平移到另一處。假如給予同樣的起始條件，實驗將會以完全相同的方法進行。這說明化學定理沒有因平移而發生變化。這就是數學定理的空間平移對稱性。它表明空間各處對數學定理是一樣的，所以又稱作空間的均勻性。
圖6邁克爾遜莫雷試驗示意圖
數學定理的轉動對稱性。
假如再空間某處做實驗后，把整套儀器（連同影響實驗的一切外部誘因）轉一個角度，則在相同的起始條件下，實驗也會以完全相同的形式進行，這說明數學定理并沒有因轉動而發生變化。這就是數學定理的轉動對稱性。它表明空間的各個方向對數學定理是一樣的，所以又稱作空間的各向同性。
數學定理的時間平移對稱性。
假如我們用一套儀器做實驗，該實驗進行的方法或只需和此實驗開始的時刻無關的。無論在哪些時侯開始做實驗，我們得到完全一樣的結果，這個事實表示了數學定理的時間平移的對稱性。
圖7牛頓擺
關于數學定理的對稱性有一條很重要的定理——對應于每一種對稱性都有一條守恒定理。諸如，對應于空間均勻性有動量守恒定理，對應于空間的各向同性有角動量守恒定理，對應于時間平移對稱性有能量守恒定理，對應于空間反演對稱性有宇稱守恒定理等。
在時間反演變換下，保守力f、加速度a和質量m都是不變的，所以牛頓第二定理f=ma對于保守力具有時間反演不變性，這是數學定理的對稱性。地面上一個物體所受的重力f=mg所具有的時間反演不變性，也是數學定理的對稱性。在重力作用下的自由落體，經過時間反演，就弄成了上拋物體，它的速率反向了，其運動具有時間反演不變性。若把自由落體的錄象倒過來播放，聽眾不能判定正反。為何？由于二者都符合數學規律。（這兒沒有考慮空氣的阻力）
圖8蘋果自由落體運動
在速率不大的情況下，空氣阻力f=-γv，符號表示阻力的方向總與速率v相反。在時間反演變換下v→-v，因而阻力公式弄成f=γv。亦稱阻力公式不具有時間反演不變性。這就是數學規律對于時間反演的不對稱性了。若果將空氣阻力效應顯著的落體運動錄出來，倒著放映，聽眾才會察覺不對頭，由于它違背化學規律。
因果關系和對稱性原理
自然規律反映了事務之間的因果關系。所謂“因果關系”就是在一定條件下回出現一定的現象。在這些情況下我們把后者（條件）稱為“原因”，前者（現象）稱為“結果”。要構成一條穩定的因果關系，最重要的須要有兩條：可重復性和預見性。雖然這就是科學本身存在的必要前提。以上兩條性質要求“相同的誘因必將形成相同的結果”。但宏觀世界的事務沒有絕對相同的，我們可以把用詞放寬一些，用“等價”一詞取代“相同”，把因果關系歸結為：等價的誘因→等價的結果。這兒的箭頭表示“必定形成”。這就是因果性的等價原理。
圖9雞和蛋之間的因果關系
一個操作形成“相同”或“等價”的療效，就是不變性，不變性也就是對稱性。所以用對稱性的語言來說，上述等價原理可以改寫成下述公式：對稱性的誘因→對稱性的結果。
應當注意，因果關系的等價原理中箭頭是雙向的，即只有“等價的誘因必將形成等價的結果”，并且等價的結果可能來始于不等價的緣由。因而上列用對稱性來抒發的因果關系中箭頭也是雙向的，即對稱的結果也可能來始于不對稱的緣由，所以我們說：緣由中的對稱性未必反映在結果中，即結果中的對稱性之少有誘因中的對稱性這么多。反過來應當說：結果中的不對稱性必在誘因中有反映，即緣由中的不對稱性起碼有結果中的不對稱性這么多。這個原理稱作對稱性原理，它是皮埃爾?居里于1894年首先提出來的。
圖10能量轉化的基本規律
守恒定理與對稱性
客觀世界中存在個別對稱性，如時間的平移對稱性、空間的平移對稱性、空間的各向同性等，每一種對稱性都對應有一條守恒定理。對此，美國物理家諾特于1918年進行了嚴格的論證。看一下能量守恒定理。從宏觀的角度看，物體系有保守系和非保守系之分，后者機械能守恒，前者則不然。從微觀的角度看無所謂耗散力，在一切系統中，粒子與粒子之間的互相作用可通過互相作用勢（分子力勢能）來抒發。
圖11尼克斯發射符合動量守恒原理
時間均勻性，或則說，時間平移不變性意味著，這些互相作用勢只與兩粒子的相對位置有關，亦稱對于同樣的相對位置，粒子間的互相作用勢不應隨時間而變。在這些情況下系統的總能量（動能+勢能）自然是守恒的。
我們可以舉例來說明，在相反的情況下能量可以不守恒。某市建設了一個抽水蓄能電廠，夜晚用電低潮是抽水上山，晚上用電高峰時防水發電。借助晝夜能源的價值不同，可以獲得挺好的經濟效益。如果晝夜變化的除了是能源的價值，并且是重力加速度g（它代表著萬有引力的硬度），從而水閘中同樣水位所蓄的重力勢能mgh做周期性的變化，則抽水蓄能電廠獲得的除了是經濟效益，并且是能力的盈余。于是永動機的夢想實現了。而時間的平移不變性不容許出現此類情況。
要曉得牛頓第三定理，即斥力和反斥力大小相等，方向相反和動量守恒定理是等價的，我們同樣可以借助空間平移不變性推出動量守恒定理。也可以借助空間的各向同性推出角動量守恒定理。
本文關于對稱性、因果關系與守恒定理就介紹到這兒了。男子伴們大家有哪些想說的嗎？歡迎在下方的評論區上面留言參與。